第5章 相交线与平行线-【一本】初中数学基础知识大盘点

第五章 相交线与平行线 邻补角互补 一般 两线四角 对顶角相等 特殊一垂线— 点到直线的距离一垂线段最短 相交线 三线八角 同位角、内错角、同旁内角 公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条 直线平行 平行公理 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这 推论 两条直线也互相平行 同位角相等，两直线平行 平行线的判定 平行线 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 互逆 两直线平行，同位角相等 相交线与平行线 平行线的性质 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 概念判断一件事情的语句 题设 结构 结论 命题 分类 真命题（定理）、假命题 证明 对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等 性质 对应线段平行（或在同一条直线上）且相等 对应角相等 平移 作图一找出平移的方向和距离，确定构成图形的关键点 ◆050◆ 5.1相交线 3年2196考 盘 基础知识 知识点31邻补角189考 直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂 1.概念：两个角有一条公共边，且它们的另 线，它们的交点叫做垂足， 一边互为反向延长线，具有这种关系的两 示例如图，若AB和CD相交，且∠1 个角，互为邻补角. 成对出现 90°，则直线AB和CD互相垂直，记作 示例如图，直线AB与直线CD相交于 “AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂 点O,所以∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和 直于CD”(或“CD垂直于AB”).如果垂 第五章 ∠4，∠1和∠4都互为邻补角. 足是O,记作“AB⊥CD,垂足为O”, B 垂直在图中用“门”表示 δ4D 在书写时用“⊥“表示 A 交线 2.性质：邻补角互补 (点拨补角与邻补角是两个不同的概念 平行线 2.画法 补角满足互补的数量关系即可，无位置关 过一点画已知直线的垂线有两种方法： 系，而邻补角不但要满足数量关系，还要 满足位置关系 步骤 三角尺画法 量角器画法 知识点2对顶角285考 让直角三角尺的 将量角器的0 1.概念：两个角有一个公共顶点，并且一个 一条直角边落在 一落 刻度线与已知 已知直线上，即 角的两边分别是另一个角两边的反向延 直线重合 与已知直线重合 长线，具有这种位置关系的两个角，互为 沿已知直线移 对顶角.成对出现 沿已知直线移动 动量角器，使 示例如图，直线AB与直线CD相交于 三角尺，使其另 90°刻度线经过 二移 点O,所以∠1和∠3，∠2和∠4都互为对 一条直角边经过 已知点，作出 顶角. 已知点 90°刻度线上的 另一点 2 B C 1 3 64 一D 用量角器的底 沿与已知直线不 边过已知点和 A 重合的直角边画 2.性质：对顶角相等. 作出的点作直 三画 直线，这条直线 线，这条直线 (注意对顶角一定相等，但相等的角不一 就是已知直线的 就是已知直线 垂线 定是对顶角， 的垂线 知识点3垂线563考 1.概念：两条直线相交所成的四个角中，有 图示 一个角是直角时，就说这两条直线互相垂 A (D D ◆051◆ (注意经过一点画射线或线段的垂线，是 连接这两点间的线段的长度；“点到直线 指画它们所在直线的垂线，垂足有时在射 的距离”是从直线外一点到这条直线的垂 线的反向延长线或线段的延长线上，如图 线段的长度 所示 联系：①都是线段的长度；②都是由“最 短”的性质引入的， (2)“垂线段”与“点到直线的距离” “垂线段”是指一个具体的图形，而“点到直 线的距离”是指垂线段的长度，是一个数 画垂线时用实线反向延长射线或延长 线段用虚线 量，不能说“垂线段是距离”或“作出点到直 第五章 知识点34垂线的性质2考 线的距离”，这些都是常见的错误语句. 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一 同位角、内错角、同旁内 知识点36 条直线与已知直线垂直 角1015考 线与 如图1,2所示，在同一平面内，P分别为 1.如图所示，直线AB,CD被直线EF所截， 直线l外和直线L上一点，过点P有且只 形成了8个角.被载线 载线E 有一条直线m⊥1. E 线 B 34 6人5 ·“三线八角 7Y8 D m 图1 图2 (1)同位角：两个角都在两条被截线（直线 性质2：连接直线外一点与直线上各点的 AB,CD)的同一方，并且在截线（直线 所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线 EF)的同侧，具有这种位置关系的一对角 段最短 叫做同位角.例如：∠1与∠5，∠2与∠6， 如图，设P是直线1外一点，PO⊥1，垂足 ∠3与∠7，∠4与∠8 为O,线段PO叫做点P到直线L的垂线 (2)内错角：两个角都在两条被截线之间， 段.在线段PO,PA1,PA2,PA3,…,PAn 并且分别在截线的两侧，具有这种位置关 中，垂线段PO最短. 系的一对角叫做内错角.例如：∠3与∠5， ∠4与∠6， (3)同旁内角：两个角都在两条被截线之 ·A4A3A2A10 间，并且在截线的同一旁，具有这种位置 知识点35点到直线的距离2考 关系的一对角叫做同旁内角.例如：∠4与 1.概念：直线外一点到这条直线的垂线段的 ∠5，∠3与∠6. 长度，叫做点到直线的距离。 2.解读 (点拨两条直线被第三条直线所截形成的 (1)“两点间的距离”与“点到直线的距离” 8个角中共有4对同位角、2对内错角、2 区别：“两点间的距离”是点与点之间，是 对同旁内角 ◆052◆ 2.同位角、内错角和同旁内角的识别 续表 角的 图形结 角的 图形结 位置特征 基本图形 位置特征 基本图形 名称 构特征 名称 构特征 在截线同 形如字母 在截线同 形如字母 同 侧，在被 “F”(或倒 同旁 侧，在两 “U”(或倒 位 截两直线 置、反置、 内角 条被截直 6 置、反置、 角 2 同方向 旋转) 线之间 旋转) 在截线两 (注意(1)同位角、内错角、同旁内角都成 形如字母 内 侧（交 对出现； “Z”(或倒 影 错)，在两 (2)这三种角讲的都是位置关系，而不是 置、反置、 第五章 角 条被截直 旋转) 大小关系，通常情况下其大小是不确 线之间 定的 交线 盘 典型考法 平行线 考法1 邻补角与对顶角的识别 运用邻补角和对顶角的性质 考法2 计算 例1如图所示，∠1与∠2互为邻补角的有 例2 (1)如图，点O在直线AB上，射线OC ,互为对顶角的有 (填 平分∠DOB.若∠COB=35°，则∠AOD 序号) 个2 2 ① ② ③ ④ (2)如图，直线AB与直线CD相交于点O, E是∠AOD内一点.已知∠AOE=90°， ⑤ ⑦ 8 ∠BOD=45°，则∠COE= 解析判定两个角互为邻补角的关键是看这两 个角的两边：其中一边是公共边，而另外两边互 —B 为反向延长线.只有相交线才会产生对顶角，对 项角的特征是顶，点相同且角的两边互为反向延 解析(1).'射线OC平分∠DOB,∠COB= 长线.图中∠1与∠2互为邻补角的有②⑦，∠1 35°，∴.∠DOB=2∠COB=70°， 与∠2互为对顶角的有⑤⑧. .∠AOD=180°-70°=110°. 答案②⑦⑤⑧ (2)观察图形可知∠COE=∠AOC十∠AOE.由 ◆053◆ 对顶角相等，得∠AOC=∠BOD=45°. 考法4 垂线定义的应用 ,∠AOE=90°，∴.∠COE=∠AOC+∠AOE 角度1求角的度数 45°+90°=135° 例4如图，已知直线AB,CD,EF相交于 答案(1)110(2)135 点O,且CD⊥AB,∠AOE:∠AOD=2:5, 考法3 运用方程计算角的度数 求∠BOF,∠DOF的度数. 例3 如图，已知∠AOB与∠BOC互为邻 补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC E O B 内，∠BOE=2∠EOC,∠D0E=72.求 第五章 ∠EOC的度数. 思路导引图形的概念既可以作为判定图形的 依据，也可以作为该图形具备的性质，由图知 ∠AOD=90荆交CD⊥AB. 性质 线与 思路导引 用字母或含字母的式子表示有关 解：，CDLAB, 角.通过邻补角的性质构造方程，再利用方程思 .∴∠AOD=∠BOD=90°. 线 想求解。 :∠AOE:∠AOD=2:5, 解：设∠BOE=x,则∠EOC=2x, .∠BOC=3x. ∠A0E=90X号-36 ,∠AOB与∠BOC互为邻补角， 又∠BOF=∠AOE,∴.∠BOF=36°， ∴.∠AOB=180°-3x. ∴.∠DOF=∠BOD-∠BOF=90°-36°=54. ,OD是∠AOB的平分线， 角度2判断两直线（或线段）的位置关系 ∴∠D0B=2∠A0B=90- 2 例5如图所示，已知OC⊥AB于点O, .∠DOE=72°， ∠AOD:∠COD=1:2.若∠AOE的度数 2x十x=72°，解得x=36, ∴.90°- 比∠COE的度数的3倍多30°，试判断OD 与OE的位置关系，并说明理由. ∴.∠EOC=2x=72° 方法提炼用方程思想计算角的度数 A B 在角的计算中，若已知量与未知量的关系较 思路导引判定两条直线垂直的方法之一是两 复杂，通过设未知数列方程求解是一种常用 条直线相交所成的四个角中有一个是直角. 的方法.设角度时一般有两种设法： 解：OD⊥OE.理由如下： ①设∠a=x,此时的x已包含单位“”，因此 .OC⊥AB,∴.∠AOC=∠BOC=90° 方程中都要带“”；②设∠a=x°或∠a=x .∠AOD:∠COD=1:2, 度，此时的x不包含单位“”，因此方程中不 ∴.∠DOC=60°. 带单位。 .∠AOE-∠COE=2∠COE+30°=90°， ◆054◆ .∠COE=30°， 解：(1)如图，从火车站到码头沿线段AB走最 .∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+30°=90°， 近.理由：两点之间，线段最短， ∴.OD⊥OE. (2)如图，从码头到铁路沿垂线段BD走最近，理 考法5垂线的画法 由：垂线段最短 例6如图，在△ABC中，∠BAC为钝角， (铁路) A(火车站) D (1)过点C画AB的垂线： (2)过点A画BC的垂线； B(码头) (3)过点B画AC的垂线. (河流) 同位角、内错角、同旁内角的 考法7 识别 第五 A 例8根据下图填空： 思路导引(1)过，点C画AB的垂线，垂足在 BA的延长线上；过，点A画BC的垂线，垂足在 BC边上；过点B画AC的垂线，垂足在CA的延 长线上；(2)要利用三角尺上的直角正确画出图 E D 形；(3)注意画垂直时，要在垂足处标上垂直符 交线与平行线 号“” 2 54 F C 解：如图 (I)直线ED,BC被直线AB所截，则∠1和 是同位角； (2)直线ED,BC被直线AF所截，则∠3和 (1)直线CF即为所求. 是同旁内角； (2)直线AD即为所求 (3)∠1和∠3是直线AB,AF被直线 (3)直线BE即为所求， 截构成的内错角； 考法6 垂线性质的实际应用 (4)∠2和∠4是直线AB, 被直线 例7如图所示，火车站、码头分别位于A,B 两点，直线a,b分别表示铁路与河流. BC所截构成的 角 (1)从火车站到码头怎样走最近？请画图并 答案(1)∠2(2)∠5 (3)ED 说明理由、 (4)AF同位 (2)从码头到铁路怎样走最近？请画图并说 2方法提炼弄清两个角是由哪两条直线被 明理由， (铁路)A(火车站) 第三条直线所截而成的，最简单的方法是两 个角公共边所在的直线是截线，另外两边所 b B(码头) 在的直线是被截线， (河流) ◆055◆ 5.2平行线及其判定 3年640考 盘 基础知识 知识点1平行线9考 知识点2平行公理及其推论8考 1.概念：在同一平面内，不相交的两条直线 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有 叫做平行线。，三个条件缺一不可< 条直线与这条直线平行.>前提条件 (点拨平行线指的是“两条直线”，而不是 2.推论：如果两条直线都与第三条直线平 两条射线或线段.说两条射线平行或线段 行，那么这两条直线也互相平行.简称：平 第五章 平行，实际是指它们所在的直线平行. 行于同一条直线的两条直线也互相平行. 数学语言：如图所示， 2.表示：平行用符号“∥”表示.如图，直线 .a∥b,c∥b,a∥c. AB与CD是平行线，记作“AB∥CD”,读 作“AB平行于CD”, 线与 B 褒 (注意在同一平面内，不重合的两条直线 知识点3平行线的判定613考 只有两种位置关系：相交和平行， 判定方法1：两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么这两条直线平行 3.画法 简单说成：同位角相等，两直线平行： 一“落”：把三角尺的一边落在已知直线a 数学语言：如图所示， 上（如图1所示）； :∠1=∠2（已知）， 二“靠”：紧靠三角尺的另一边放一直尺 .l1∥12（同位角相等，两 (如图2所示)； 直线平行) 三“移”：把三角尺与已知直线a重合的那 判定方法2：两条直线被 边沿直尺的边移动到经过已知点P(如 第三条直线所截，如果内错角相等，那么 图3所示)； 这两条直线平行， 四“画”：沿过已知点P的三角尺一边画直 简单说成：内错角相等，两直线平行 线（如图4所示），则可画出与已知直线a 数学语言：如上图所示， 平行的直线b(如图5所示). :∠2=∠3（已知）， ∴.l1∥12（内错角相等，两直线平行）. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补，那么这两条直线 图1 图2 图3 平行 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 数学语言：如上图所示 .∠2+∠4=180°（已知）， 图4 图5 ∴.1∥12（同旁内角互补，两直线平行）. ◆056◆ 典型考法 M 考法1 平行线的识别 C A R -B 例1 下列说法不正确的有 P ①不相交的两条直线叫做平行线； N D ②在同一平面内，两条不相交的直线的位置 考法3 平行公理及其推论的应用 关系为平行； 例3下列说法中正确的有 ( ③在同一平面内，如果延长线段AB后与射 ①一条直线的平行线只有一条；②过一点与 线CD仍然不相交，那么这条线段与这条射 已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b, 第五 线所在直线互相平行； c∥d,所以a∥d;④经过直线外一点，有且 ④在同一平面内，没有公共点的两条线段是 只有一条直线与这条直线平行. 平行线 A.1个 B.2个 交线与 A.1个 B.2个 C3个 D.4个 C.3个 D.4个 解析一条直线的平行线有无数条，所以①错 行线 解析①中缺少“在同一平面内”这一条件，所 误；②中的点是在直线外还是在直线上位置不 以不正确；②正确；③不正确，因为线段不是向 明确，所以②错误：③中b与C的位置关系不明 确，所以③错误；根据平行公理可知④正确 两个方向延伸，且射线未反向延伸，所以即使没 答案 A 有交点，这条线段与这条射线所在直线也不一 平行线的判定 定互相平行；④中“线段”应为“直线”，所以不 考法4 例4 如图，∠A+∠B=180°，∠EFC= 正确. ∠DCG,试说明AD∥EF. 答案C 考法2 平行线的画法 例2如图所示，直线MN,PQ交于点O,R 为MN,PQ外一点，过点R画直线AB∥PQ, 思路导引 直线CD∥MN. 同位角 M 三线八角 内错角 平行线的判定 R P 同旁内角 解：.∠A+∠B=180°（已知）， 思路导引过直线外一，点画已知直线的平行 AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行). 线，要按一落、二靠、三移、四画的步骤」 .∠EFC=∠DCG(已知)， 解：如图所示，直线AB,CD即为所求 ∴.EF∥BC(内错角相等，两直线平行)， ◆057● ∴.AD∥EF(平行于同一条直线的两条直线也互 .∠2=∠3（已知）， 相平行). .∠MEA+∠2=∠NFD+∠3， 即∠MEF=∠NFE, 方法提炼判定两直线平行的六种方法 ∴c∥d(内错角相等，两直线平行). (1)平行线的概念； (2)平行公理的推论：如果两条直线都与第 三条直线平行，那么这两条直线也互相 B 水 平行； 3 4y万 D (3)同位角相等，两直线平行； d N 第五章 (4)内错角相等，两直线平行； 方法2：如图，延长NF,ME. (5)同旁内角互补，两直线平行； :∠1=∠2十∠6，∠4=∠3+∠5（对顶角 (6)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条 相等)，∠1=∠4（已知）， 直线互相平行. ∴.∠2+∠6=∠3+∠5（等量代换）. 线与 在以上六种判定方法中，一般不用概念判 .∠2=∠3（已知）， 定，其余各种方法可结合具体题目灵活选 ∴.∠5=∠6（等量代换）， 线 择 ∴c∥d(内错角相等，两直线平行). 考法5 平行线判定方法的实际应用 方法提炼判定两直线平行的步骤 例5 一题多解我们知道光线从空气中射入 第1步：找出一组同位角（或内错角或同旁 水中会发生折射现象，光线从水中射入空气 内角)； 中同样也会发生折射.如图，如果知道∠1= 第2步：说明这两个同位角相等（或内错角 ∠4，∠2=∠3，那么光线c,d是否平行？为 相等或同旁内角互补)； 什么？ 第3步：得出“平行”的结论. 考法6 添加辅助线说明两条直线平行、 水 例6 一题多解如图，若MN⊥AB,垂足为 d. Q,∠ABC=130°，∠FCB=40°，试判断直线 思路导引 运用“内错角相等，两直线平行”来 MN与EF的位置关系，并说明理由. 说明平行. M 解：c∥d.理由如下： 方法1：如图. :∠1+∠MEA=180°，∠4+∠NFD= 思路导引观察图形发现直线MN与EF可能 180°（邻补角互补），∠1=∠4（已知）， 平行.题中没有直接判定两条直线平行的条件， ∴.∠MEA=∠NFD(等角的补角相等). 要说明MN∥EF,必须设法构造同位角或内错 ◆058◆ 角或同旁内角，为两直线平行创造条件 .∠ABG=180°-∠ABC=50°， 解：MN∥EF.理由如下： ∴.∠NGB=180°-∠ABG-∠1=40°. 方法1：延长AB交EF于点G,如图1所示. .∠FCB=40°， M ∴.∠NGB=∠FCB,∴.MN∥EF. Q B卧 方法3：过，点B作BG⊥AB,如图3所示 A 图1 M .∠ABC=130°， G E ∴.∠GBC=180°-∠ABC=50°. 图3 又.∠FCB=40°， ,AB⊥MN,BG⊥AB, 第五章 ∴.∠BGC=180°-∠GBC-∠FCB=90°. ∴.MN∥BG,∠ABG=90° .MN⊥AB,.∠AQN=90°， 又.∠ABC=130°，.∠GBC=40° ∴.∠BGC=∠AQN, .∠FCB=40°， ∴.MN∥EF. ∠GBC=∠FCB, 方法2：延长CB交MN于点G,如图2 .BG∥EF,∴.MN∥EF 交线与平行线 所示. 方法提炼添加辅助线是解决几何问题的 A 、1Q 重要方法，它是架起已知与未知之间的桥 梁.当题目中已有的图形不能够或不容易解 C 图2 决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一 .MN⊥AB,.∠1=90° 些基本的几何图形解决问题 ,∠ABC=130°， 5.3 平行线的性质 3年1860考 盘 基础知识 知识点1平行线的性质690考 ∴.∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）， 1.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同 位角相等.简单说成：两直线平行，同位角 相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内 数学语言：如图所示， 错角相等.简单说成：两直线平行，内错角 .l1∥12（已知）， 相等。 ◆059●参考答案 P014 P066 1.B2.A3.C4.B5.C6.D7.C8.A 1.C2.D3.B4.C5.B6.A7.8 9.5×6-2×3(答案不唯一)10.B11.244872 P076 12.B13.C14.B 1.B2.D3.D4.C5.3(答案不唯一)6.-3 P022 7.4或7或88.C9.310.211.A12.C 1.C2.n(n+1) 13.C14.D15.C16.C 2 17.解：(1)原式=3+5-4=8-4=4. 3.解：(1)由题意，得Q=4m+10n. (2)原式=-1+√2-1+2=√2. (2)将m=5×104,n=3×103代入Q=4m+10n,得 P083 Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105. 4.A5.B6.37.0或88.A9.2 1.B2.D3.(2,8)或(2，-10)4.D5.A 10.y2-xy+311.1 6.解：(1)A(-2,3),A'(2,3), ∴点A,A'之间的距离是2-（一2）=4. 12.解：原式=4xy一2xy+3xy=(4-2+3)xy=5xy. 故答案为4. 当x=2,y=一1时， 原式=5×2×(-1)=-10. (2)如图，三角形AB'C'即为所求. ↑y P033 1.32.D3.等式的性质24.C5.A6.A 7.解：(1)移项，得4x一2x=5十1.合并同类项，得 2x=6.系数化为1，得x=3. (2)去分母，得3(x一3)十2(x1)=24.去括号，得 3x一9十2x一2=24.移项，得3x+2x=24十9十2 合并同类项，得5x=35.系数化为1，得x=7. 3 8.A9.B10.B11.6x+14=8x 12.解：设高铁的平均速度为xkm/h,则普通列车的 7.A 平均速度为(x一200)km/h. P094 由题意，得x十40=3.5(x一200)，解得x=296. 答：高铁的平均速度为296km/h. x=11(答案不唯-)2.-13.B4,B5.D (y=1 13.解：(1)设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是 6.-2 xm,则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是 (x+200)m2. 7.解：(1)/y=x-4,① lx+y=6.② 依题意，得x十x十200=800，解得x=300..∴.x十 将①代入②，得x十(x一4)=6，解得x=5. 200=500. 将x=5代入①，得y=1, .甲工程队每天能完成的绿化改造面积是 500m,乙工程队每天能完成的绿化改造面积是 心原方程组的解为=5， y=1. 300m2. (2)方案①所需的施工费用为600×12000 (2)方程组整理，得4x十y=5,① 3x+2y=15.② 500 ②-①×2，得-5x=5,解得x=-1. 14400(元)， 把x=一1代入①，得一4+y=5, 方案②所需的施工费用为400×12000 解得y=9, 300 16000(元)， ·原方程组的解为二-1， y=9. 方案③所需的施工费用为(400+600)×12000 8.B9.B 800 10.解：设港珠澳大桥的隧道长度为xkm,桥梁长度 15000(元). 为ykm. .1440015000<16000,.方案①的施工费用 最少 由题意，得x十y55解得二。9， y=9x-4, P048 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为 1.B2.B3.B4.D5.A6.B7.A8.C9.C 49.1km和5.9km. 10.A11.12012.74.32513.9014.40 11.解：(1)设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单 ◆347◆