第4章 几何图形初步-【一本】初中数学基础知识大盘点

参考答案 P014 P066 1.B2.A3.C4.B5.C6.D7.C8.A 1.C2.D3.B4.C5.B6.A7.8 9.5×6-2×3(答案不唯一)10.B11.244872 P076 12.B13.C14.B 1.B2.D3.D4.C5.3(答案不唯一)6.-3 P022 7.4或7或88.C9.310.211.A12.C 1.C2.n(n+1) 13.C14.D15.C16.C 2 17.解：(1)原式=3+5-4=8-4=4. 3.解：(1)由题意，得Q=4m+10n. (2)原式=-1+√2-1+2=√2. (2)将m=5×104,n=3×103代入Q=4m+10n,得 P083 Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105. 4.A5.B6.37.0或88.A9.2 1.B2.D3.(2,8)或(2，-10)4.D5.A 10.y2-xy+311.1 6.解：(1)A(-2,3),A'(2,3), ∴点A,A'之间的距离是2-（一2）=4. 12.解：原式=4xy一2xy+3xy=(4-2+3)xy=5xy. 故答案为4. 当x=2,y=一1时， 原式=5×2×(-1)=-10. (2)如图，三角形AB'C'即为所求. ↑y P033 1.32.D3.等式的性质24.C5.A6.A 7.解：(1)移项，得4x一2x=5十1.合并同类项，得 2x=6.系数化为1，得x=3. (2)去分母，得3(x一3)十2(x1)=24.去括号，得 3x一9十2x一2=24.移项，得3x+2x=24十9十2 合并同类项，得5x=35.系数化为1，得x=7. 3 8.A9.B10.B11.6x+14=8x 12.解：设高铁的平均速度为xkm/h,则普通列车的 7.A 平均速度为(x一200)km/h. P094 由题意，得x十40=3.5(x一200)，解得x=296. 答：高铁的平均速度为296km/h. x=11(答案不唯-)2.-13.B4,B5.D (y=1 13.解：(1)设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是 6.-2 xm,则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是 (x+200)m2. 7.解：(1)/y=x-4,① lx+y=6.② 依题意，得x十x十200=800，解得x=300..∴.x十 将①代入②，得x十(x一4)=6，解得x=5. 200=500. 将x=5代入①，得y=1, .甲工程队每天能完成的绿化改造面积是 500m,乙工程队每天能完成的绿化改造面积是 心原方程组的解为=5， y=1. 300m2. (2)方案①所需的施工费用为600×12000 (2)方程组整理，得4x十y=5,① 3x+2y=15.② 500 ②-①×2，得-5x=5,解得x=-1. 14400(元)， 把x=一1代入①，得一4+y=5, 方案②所需的施工费用为400×12000 解得y=9, 300 16000(元)， ·原方程组的解为二-1， y=9. 方案③所需的施工费用为(400+600)×12000 8.B9.B 800 10.解：设港珠澳大桥的隧道长度为xkm,桥梁长度 15000(元). 为ykm. .1440015000<16000,.方案①的施工费用 最少 由题意，得x十y55解得二。9， y=9x-4, P048 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为 1.B2.B3.B4.D5.A6.B7.A8.C9.C 49.1km和5.9km. 10.A11.12012.74.32513.9014.40 11.解：(1)设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单 ◆347◆第四章几何图形初步 圆柱 柱体 棱柱 圆锥 常见立体图形 锥体 棱锥 球 从正面看 立体图形 从不同方向看立体图形 从左面看 从上面看 立体图形的展开图 几何图形初步 向两个方向无限延伸，无端点 直线 两点确定一条直线 射线—向一个方向无限延伸， 有一个端点 线 线段的比较与运算一线段的中点 两点之间，线段最短 线段 连接两点间的线段的长度为两点的距离 平面图形 作一条线段等于已知线段 1°=60 角的度量 1'=60” 角的比较与运算 角的平分线 角 和为90°的两个角互为余角 概念 和为180°的两个角互为补角 余角和补角 同角（等角）的余角相等 性质 同角（等角）的补角相等 ◆035◆ 4.1几何图形 3年478考 盘 基础知识 第四章 知识点1立体图形32考 知识点2 从不同方向看立体图形45考 1.几何图形：长方体、圆柱、球、长（正）方形、 几 圆、线段、点等，以及小学学习过的三角 图 形、四边形等，都是从形形色色的物体外 正方体 员 初 形中得出的，它们都是几何图形.几何图 从前面看 步 形分为立体图形和平面图形 从左面看 2.立体图形 (1)立体图形：有些几何图形（如长方体 从上面看 正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都 (点拨从不同方向看物体得到的平面图有 在同一平面内，它们是立体图形 (2)常见立体图形的分类：按形状可分为 如下关系： 柱体、锥体、台体和球体；也可按围成立体 物体为 从前面看 从左面看 长方体 高平齐 图形的面是平的还是曲的分为多面体和 不 对 曲面体 正 相 (3)常见立体图形的比较 从上面看 底面 侧面 特点 知识点3立体图形的展开图☑6考 圆柱 圆 曲面 两个底面 1.立体图形的展开图：有些立体图形是由一 棱柱 多边形 长方形或 互相平行 正方形 些平面图形围成的，将它们的表面适当剪 圆锥 圆 曲面 只有一个顶点 开，可以展开成平面图形.这样的平面图 各侧面有一个 形称为相应立体图形的展开图. 棱锥 多边形 三角形 公共顶点 2.常见几何体的展开图 球 表面是曲面 正方体长方体五棱柱 三棱锥圆锥圆柱 3.平面图形 立体 图形 (1)平面图形：有些几何图形（如线段、角、 展开图 三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一 示意图 举例) 平面内，它们是平面图形 (注意(1)不是所有的立体图形都可以展 (2)常见的平面图形如图所示. 开，如球体就不能展开； 线段 角形 长方形 (2)对于同一个立体图形，当我们按照不 同的方式展开时，得到的展开图一般是不 正方形 梯形 平行四边形 圆 扇形 同的. ◆036◆ 3.正方体的展开图 知识点4点、线、面、体5考 展开图（注：示意图中相同颜色 1.概念与关系 类型 的面为相对面) 概念 关系 体 几何体简称体 一四一型 包围着体的是面，面有平 四章 面 点动成线，线 的面和曲的面两种 动成面，面动 线 面与面相交的地方形成线 二三一型 成体 何图形初 线与线相交的地方是点 二二二型 三三型 (注意(1)点只有位置，没有大小； (2)线只有长短，没有粗细； (口诀巧记正方体的展开图 (3)面只有大小，没有薄厚。 中间四个面，上下各一面； 2.常见的旋转体 面动成体 中间三个面，一二隔河现； 圆锥 圆柱 圆台 球 中间两个面，楼梯天天见； 中间没有面，三三连一线。 (注意一线不过四（如 体图形 或 等)，且不能出现“L”形 旋转 等)、“田”字形（如 的平 面图 等)、“凹”字形（女 形 盘 典型考法 考法1 判断截几何体所得截面的形状 状可能是三角形、四边形、五边形，不可能是六 例1如图，用一个平面去截一个三棱柱，截 边形. 答案 D 面的形状不可能是 考法2 从不同方向看立体图形 例2下列几何体中，从前面看与从上面看 形状不一样的是 A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 B D 解析用一个平面去截一个三棱柱，截面的形 答案 C ◆037◆ 由多面体的表面展开图描述立 考法5 正方体展开图相对面的确定 考法3 体图形 例3 如图所示的图形为某些几何体的平面 例5 某正方体的表面展开图如图所示，则 与“话”字相对的字是 () 展开图，则从左到右对应的几何体名称分别 第 听 为 党话跟 党走 几 A.跟 B.党 C.走 D.听 解析由正方体表面展开图的“隔一”“Z端”是 A.圆柱、圆锥、四棱柱、正方体 形 相对面可知，“话”与“走”是相对面 B.四棱锥、圆锥、正方体、圆柱 步 答案C C.圆柱、圆锥、正方体、三棱锥 D.圆柱、圆锥、三棱柱、正方体 上方法提炼正方体展开图相对面的确定方 答案D 法一“隔一”“Z端”是相对面， 如图，如果出现一条直线上的三个方块相 考法4正方体展开图的识别 连，那么1号面与3号面是相对面，中间隔 例4下列展开图中，是正方体的展开图的 了一个2号面. 是 123 “隔一” 田 “Z”字形两端处的小正方形是正方体的相对 A 面，如图中的A面和B面是相对面！ 解析正方体的展开图中不能出现“凹”字形和 “田”字形 A B 答案C “Z端 4.2直线、射线、线段 3年422考 基础知识 知识点1直线 1.直线及其表示方法 ②用一个小写字母表示. (1)概念：直线是从客观事物中抽象出来 如图，可表示为直线1. 的，直线没有尽头，是向两方无限延伸的 2.基本事实：经过两点有一条直线，并且只 (2)特征：①无端点；②无方向；③无长短. 有一条直线.简单说成：两点确定一条 (3)表示方法 直线 ①用直线上的任意两点表示 示例植树时，只要定出端点两个树坑的 如图，可表示为直线BC或直线CB, 位置，就能使同一行树坑在一条直线上。 ◆038◆ 3.点与直线的位置关系 (3)表示方法 (1)一个点在一条直线上，也可以说这条 ①用表示端点的两个大写字母表示. 直线经过这个点。 如图，可表示为线段AB或线段BA. 如图，点A在直线m上. B -2 A·B ②用一个小写字母表示 四章 (2)一个点在直线外，也可以说直线不经 如图，可表示为线段a. 过这个点 2.线段的延长线：线段的延长线是指线段向 如图，点B在直线m外 一方延长的部分.如图1，延长线段AB是 4.两条直线相交：当两条不同的直线有一个 指按A到B的方向延长；如图2，延长线 图形 公共点时，我们就称这两条直线相交，这 段BA是指按B到A的方向延长（也可以 步 个公共点叫做它们的交点 说成反向延长线段AB), 如图，直线a与直线b相交于点O. 延长线常画成虚线 B 图1 图2 (点拔()线段是直线（或射线）的一部分 知识点2射线 (2)线段不能向两方无限延伸，可度量 1.概念：直线上的一点和它一边的部分叫做 (3)射线可作反向延长线，但不存在射线 射线，这一点叫做射线的端点， 的延长线。 2.特征：①有一个端点；②有方向；③无 3.直线、射线、线段的区别与联系 长短 直线 射线 线段 3.表示方法 基本图形 1 (1)用射线的端点和射线上的任意一点表 A B 示（表示端点的字母必须写在前面）. 直线AB(BA) 射线CD或 线段EF(FE) 表示方法 如图，可表示为射线OA. 或直线 射线L 或线段L Q A 端点 无端点 有一个端点 有两个端点 (2)用一个小写字母表示 区 一端可以 如图，可表示为射线. 延伸 可以无限延伸 不可以延伸 别 无限延伸 (点拨射线是由端点和方向决定的，因此， 度量 不可以度量 不可以度量 可以度量 只要端点相同，方向相同，就是同一条 都属于“线”，都是直的；射线和线段都是 联系 射线 直线的一部分 知识点3线段 知识点4比较线段的长短6考 1.线段及其表示方法 1.度量法：用刻度尺分别测量出线段的长度 (1)概念：直线上两个点和它们之间的部 作比较 分叫做线段， 2.叠合法：将两条线段放在同一条直线上， (2)特征：①有两个端点；②无方向；③有 使得其中一个端点重合，另外两个端点放 长短 在公共点的同侧作比较. ◆039● 知识点5用尺规作线段的和、差2考 知识点6线段的中点396考 1.用尺规作一条线段等于已知线段 1.如图，点M把线段AB分成相等的两条线 尺规作图 指用无刻度的直尺和圆规作图 段AM与MB,点M叫做线段AB的中 第四章 已知：线段a(如图)， 点，有AM=MB=2AB或AB=2AM= 求作：线段AB,使AB=a. a 2MB. 何 作一条线 作法（如图）： A M B 段等于已 形初 (1)作射线AP; 2.如图1所示，M,N是线段AB上的两点， 知线段 (2)在射线AP上截取AB=a, 它们把线段AB分成相等的三条线段 则线段AB就是所求作的线段 AM,MN与NB,我们称M,N是线段AB A B P 的三等分点.类似地，线段的四等分点如 作图时要正确使用作图工具，尽量 图2所示 重点解读 减少误差，要求用铅笔作图，保留作 N B 图痕迹 AM-MN-NB-3AB 图1 2.用尺规作线段的和、差 N P B 画法 图例 AM=MN=NP=PB=4AB 用直尺画直线 图2 AF,在直线AF上 用圆规截取线段 知识点7线段的性质8考 AB=a,再在线段 线段 1.线段的基本事实：两点的所有连线中，线 AB的延长线上用 的和 h a 圆规截取线段BC A B 段最短.简单说成：两点之间，线段最短 =b,线段AC就是 如图，在点A到点B的所有连线中，线段 线段a与b的和， 记作AC=a+b AB(连线③)最短， ①② 用直尺画直线 ③ ④ B AF,在直线AF上 ⑤ 用圆规截取线段 AB=a,再在线段 2.两点的距离：连接两点间的线段的长度， 线段 b AB上用圆规截取 的差 叫做这两点的距离。 线段BD=b,线段 AD AD就是线段a与 如图，线段AB的长度就是点A与点B之 b的差，记作AD= 间的距离 a-b ◆040◆ 典型考法 考法1 直线、射线、线段的识别 (说明：不写作法，保留作图痕迹) 例1 如图，图中共有 条直线， 第 b 条射线， 条线段，其中以 章 A为端点的线段是 解：(1)如图1所示，线段AB即为所求. 几 A abb B 图1 B 何图形初 (2)如图2所示，线段AC即为所求 答案186线段AC,线段AD,线段AB C 方法提炼直线、射线、线段的辨别方法 图2 考法4 线段的中点的应用 向两方延伸 线 角度1逐段计算求线段的长 反向延伸 例4如图，M是线段AC的中点，B在线段 AC上，且AB=2cm,BC=2AB,求BM 考法2 过定点画直线、射线和线段 的长 例2如图，在平面上有A,B,C,D四点，根 B M 据下列语句画图： 解：，AB=2cm,BC=2AB,∴.BC=4cm, (1)作直线AD,BC交于点E; ..AC=AB+BC=2+4=6(cm). (2)作射线AB,并将其反向延长： (3)连接AC,BD相交于点F; :M是线段AC的中点AM=2AC-3cm, (4)连接EF交AB于点G. .BM=AM-AB=3-2=1(cm). 4 角度2利用方程思想求线段的长 B 例5如图，B,C两点把线段AD分成三部 D· 分，AB:BC:CD=2:5:3,M为AD的 解：(1)(2)(3)(4)如图所示， 中点 (1)判断线段AB与CM的大小关系，并说 明理由； (2)若CM=10,求AD的长， A B M C 考法3 尺规作图 解：(1)AB=CM理由如下： 例3如图，已知线段a,b,c,用直尺和圆规 设AB=2x,BC=5x,CD=3x, 作线段，使它等于： 根据比例美系设出未知数，表示出线段长 (1)a+2b: 则AD=2x十5x十3x=10x. (2)3c+2b-a. M为AD的中点， ◆041◆ ∴MD=2AD=5z, 角度4利用整体思想求线段的长 例7如图，点C在线段AB上，M,N分别 ..CM-MD-CD=5x-3x=2x, ∴.AB=CM. 是AC,BC的中点， (2).CM=10,.2x=10, (1)若AC=9cm,CB=6cm,求线段MN的长， 第四章 解得x=5,∴.AD=10x=10×5=50. (2)若C为线段AB上任意一点，AB= acm,其他条件不变，你能猜想MN的长度 方法提炼在进行与线段长度有关的计算 几 吗？请说明理由. 时，如果已知线段之间的比值或线段之间的 图 倍分关系，可用方程思想建立一元一次方程 (3)若点C在线段AB的延长线上，AB= 初 bcm,M,N分别为AC,BC的中点，你能猜 解决问题. 想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结 角度3利用分类讨论思想求线段的长 论，并说明理由 例6易错已知线段AB=15cm,直线AB A 上有一点C,BC=3cm,M是线段AC的中 点，求AM的长. 思路导引 解：如图1，点C在点B的右边， MC-AC A M B C 线段中点 计算：MN=MC+NC 图1 MN=MC-NC 因为AB=15cm,BC=3cm, NC-BC 所以AC=15+3=18(cm). 因为M是线段AC的中，点， 解：(1)AC=9cm,M是AC的中点， 所以AM-=2AC-2×18=9(cm). CM-7AC-4.5 cm. 如图2，点C在点B的左边 ,BC=6cm,N是BC的中点， M C B 图2 .CN-BC-3 cm, 因为AB=15cm,BC=3cm, ∴.MN=CM+CN=7.5cm. 所以AC=15-3=12(cm). 因为M是线段AC的中，点， (2MN=acm理由如下： M,N分别是AC,BC的中点， 所以AM=2AC=2X12=6(cm). 综上所述，AM的长为9cm或6cm. ∴MC=2AC,CN=2CB 骨易错点拔当题目中给出的条件无法判断 :.MN-MC+CN-7AC+CB-(AC+ 点的位置时，需要借助图形分类讨论.例如 CB)-AB-a cm. 本题中只是说点C在直线AB上，无法判断 点C是在线段AB上，还是在线段AB的延 (3)MN=2bcm理由如下： 长线上，应分两种情况讨论.本题易因忘记 如图，点C在线段AB的延长线上. 分情况讨论出现漏解. A M B N C ◆042◆ M是AC的中点， 相交，最多有 个交点（用含n的式 :.CM-AC. 子表示) ,N是BC的中点， 人米 CN-BC, 第 (2)【实践应用】某班50名同学参加毕业晚 章 .MN-CM-CN-AC-BC-(AC- 会，若每两个人握一次手问好，则共握手多 几 BC)-2AB-z6cm. 少次？晚会最后，每两个人要互赠礼物留 念，则共需准备多少件礼物？ 图形 模型提炼双中点模型 解：(1)三条直线相交最多有3个交点，四条直 步 如图，只要点C在线段AB所在的直线 线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有 上，M,N分别是AC,BC的中点，那么就有 10个交点.而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+ MN-AB. 3十4，故可猜想，n条直线相交，最多有1十2十 C N B 3++(n-1)=nm21D个交，点. 2 M B N C 故答案为6，n(nD 2 CMA B (2)当n=50时， 考法5 关于直线的交点规律探索（拓展) nn-1)_50×(50-1)=1225(次). 例8(1)【观察发现】如图，我们通过观察后 2 2 可以发现：两条直线相交，最多有1个交点； 每两个人要互赠礼物留念，共需准备礼物的件 三条直线相交，最多有3个交点；那么四条 数为1225×2=2450. 直线相交，最多有 个交点；n条直线 答：共握手1225次，共需准备2450件礼物 .3 角 3年1194考 盘 基础知识 ●●●● ●●●● 知识点1角的概念及表示方法 终边 B 1.角的概念 始边4 (1)静态概念：有公共端点的两条射线组 图1 图2 成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶 (2)动态概念：角也可以看作由一条射线 点，这两条射线是角的两条边.如图1，点 绕着它的端点旋转而形成的图形， O是角的顶点，OA,OB是角的两条边. 如图2，图中的角可以看作射线OA绕着 ◆043● 点O旋转到OB而形成的. 知识点2角的度量与换算3考 (注意角的大小与角两边的长短无关，只 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角 与角两边张开的幅度有关， 度制 “度、分、种是60进制 度：把一个周角360等分，每一份就是1 第四章 2.平角和周角：射线OA绕点O旋转，当终 度的角，记作1° 止位置OB和起始位置OA成一条直线 度量 分：把1度的角60等分，每一份叫做1 单位 分的角，记作' 时，形成平角；继续旋转，OB和OA重合 角 几 的 秒：把1分的角60等分，每一份叫做1 时，形成周角 秒的角，记作1” 形 单 1°=60,1'-60"，1周角=360°，1平角=180° 平角的两边成一条直线 换算 但不能说平角就是直线 1周角=2平角=4直角=360°，1平角=2直 及 角=180° 步 平角 周角 由度化成分、秒的形式（即从高位向低 换算 位化)：1=60,1=60" A A(B) 方法 由分、秒化成度的形式（即从低位向高 周角的两边重合成一条射线 位化1(，1( 但不能说周角就是射线 3.角的表示 知识点3角的大小比较2考 表示方法 图示及记法 适用范围 1.度量法：借助量角器先测量出角的度数， 用三个 A 再比较角的大小. 大写字 O 任何情况都适用 对“中” 角的顶点对准量角器的中心 母表示 ∠AOB或∠BOA 重合 角的一边与量角器的零刻度线重合 用一个 以某一点为顶点的 骤 读数 读出角的另一边所对的度数 大写字 0 角只有一个时，可 ∠O 比较大小 根据度数的大小比较角的大小 母表示 以用顶点表示角 2.叠合法：将两个角的顶点和一条边重合， 用阿拉 根据另一条边的位置来比较两个角的 伯数字 1 任何情况都适用 表示 ∠1 大小 将两个角的顶点及一条边重合 用希腊 两个角的另一条边落在重合一边的 必 母 任何情况都适用 步骤 同侧 表示 ∠a 由两个角的另一条边的位置来比较 两个角的大小 (注意()用三个大写字母表示角时，表示 用叠合法来比较∠AOB和∠CED的大 角的顶点的字母应写在中间，表示两边上 小，如图所示 的点的字母可交换位置， B(D) D B 不写在中间的表示是错误的< B D (2)当以某一点为顶，点的角有两个或两个 O(E)A(C O(E)A(C O(E)A(C) 以上时，其中任意一个角都不能用一个大 LAOB-∠CED∠AOB<LCED∠AOB>∠CED 写字母表示. 图1 图2 图3 ◆044