第2章 整式的加减-【一本】初中数学基础知识大盘点

第二章 整式的加减 列式表示数和数量关系 用字母表示数 列式表示变化规律 概念一 由数或字母的积组成的式子 单项式 系数数字因数 次数一所有字母的指数的和 概念一几个单项式的和 整式的加减 项 每个单项式 多项式 常数项 不含字母的项 次数一次数最高项的次数 字母相同 同类项 相同字母的指数也相同 系数相加 合并同类项 字母及指数不变 整式的加减 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各 项的符号与原来的符号相同 去括号 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各 项的符号与原来的符号相反 化简求值 去括号，合并同类项，代入求值 ◆0164 2.1 整式 3年19考 基础知识 第 知识点1 用含有字母的式子表示数量 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做 关系6考 这个单项式的系数， 1.用字母表示数：字母和数一样可以参与运 算，可以用式子把数量关系简明地表示 示例单项式一a,y,-2的系数 整 3 的 出来， 分别是-1，景 减 示例比x大y的数可表示为x十y. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母 2.用字母表示数的书写规范 的指数的和叫做这个单项式的次数， (1)数与字母或字母与字母相乘时，乘号 不能将数字的指数一同计算 通常写成“·”或省略不写，并且数通常写 示例2a2h3的次数是2+3=5,22a2h的 在字母前面，如a·b,xy,l0m等； 次数是2十1=3. (2)数字因数是“1”或“一1”时，“1”通常省 (注意单项式中某个字母的指数是1时， 略不写，如“1·ab”应写成“ab”,“一1· 指数省略不写，如y的指数是1而不是0. ab”应写成“-ab”; (3)带分数与字母相乘时，应把带分数化 知识点3多项式7考 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项 成假分数，如“22与a的乘积”应写成 式.其中，每个单项式叫做多项式的项，不 8a, 含字母的项叫做常数项.单项式的个数叫 做多项式的项数 (4)含有字母的除式应写成分数的形式， 示例多项式v一2.5的项是v与一2.5， 如6除以3”应写成号 其中一2.5是常数项. (5)式子后面有单位且式子是和或差的形 2.多项式的次数 式时，应把式子用括号括起来，如(5m+ (1)多项式里，次数最高项的次数，叫做这 3n)元，(3十a)米等 个多项式的次数， 知识点2单项式6考 示例多项式x2十2x+18中的次数最高 项是二次项x2,这个多项式的次数是2. 1.单项式的概念：由数或字母的积组成的式 (2)一个多项式可根据次数和项数将其叫 子叫做单项式.单独的一个数或一个字母 做“几次几项式” 也是单项式， 示例x2y3一3x3y3一2叫做六次三项式. 示例 2abe 3,a. 知识点4整式 (注意单项式中不含加减运算，只含乘法 单项式与多项式统称整式，即 和数字作分母的除法运算，分母中含有字 单项式 整式 母的不是单项式 多项式 ◆017◆ d 典型考法 ●●●● ●●●●●0 考法1 实际问题中的列式问题 个图案中▲有3×3+1=10（个），第4个图案中 第 例1 用含有字母的式子表示下列数量 ▲有3×4十1=13（个）…故第n个图案中△ 章 关系 有(3n+1)个. (1)已知全校共n个班级，现计划从每个班 答案(3n十1) 整 级中分别抽取3人组成学校“文明使者团 的 方法提炼解决图形变化规律问题要从 加 队”，一共抽取了 人； 减 (2)王老师带领本班学生到学校图书馆领取 “形”和“数”两个角度入手，从最简单的图形 了a本数学练习本，并将这些练习本分给本 开始，逐一看图，观察、分析、归纳图形或数 班43名学生，平均每人分得 本； 字的变化规律，并应用这一规律进行相关的 (3)春节来临之际，“朝阳与夕颜”爱心团队 计算和推理， 购买了一部分物品送给敬老院的老人.已知 考法3 整式的识别 购买了x箱花生油，每箱158元；y袋大米， 每袋50元，则一共花了 元 例3下列各式中哪些是单项式？哪些是多 解析(I)抽取的总人数=每班抽取的人数× 项式？哪些是整式？ 班级数， (1)-1;(2)x;(3)2-1 6(4) x-29 (2)平均每人分得的练习本数=练习本总数 人数 ;(6)2,(7)3x2+2x-1, (5)5 (3)一共花费的钱数=购买花生油花费的钱数十 购买大米花费的钱数 解：单项式有(1)(2)(5)；多项式有(3)(6)(7)： 答案（1)3m(2)8 整式有(1)(2)(3)(5)(6)(7). (3)(158x+50y) 用和的形式表示数量关系时，如果后面有单 2方法提炼(1)辨别整式的关键：分母中不 位，要记得加括号 含有字母，如果含有字母就不是整式；(2)辨 考法2探索规律问题中的列式问题 别单项式与多项式的关键：确定一个式子是 例2下图是一组有规律的图案，第1个图 整式后，看式子中是否含有“加减”运算，如 案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组 果有就是多项式，如果没有就是单项式. 成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案 由13个▲组成…则第n(n为正整数)个 考法4 整式的相关概念 图案由 个▲组成 例4填表： ▲▲ (1) A▲AA▲A AAAA▲A△AA△A 单项式 m 3ab 2x 第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案 3π2h 解析观察图形，第1个图案中▲有3×1十1= 系数 4(个)，第2个图案中▲有3×2+1=7（个），第3 次数 ◆018◆ (2) (2)若此整式是二次多项式，求的值； 多项式 2a-1 -x+5x4+8-x2y+3xy -2 (3)若此整式是二项式，求的值 项 解：(1)因为关于x的整式(|一3)x3+(k-3)x 次数 k是单项式，所以k一3=0，且k一3=0，解得 第 最高次项 k=3. 章 答案 (1)1-32 1 5 3π 2415 (2)因为关于x的整式(k|一3)x3+(k一3)x2 整 k是二次多项式，所以k|一3=0，且k一3≠0，解 3(横排) 的 (2)2a,-1 -x,5x4,8 -x2y,3xy4,-2 得=一3. 减 1452a5.x 3xy(横排) (3)若关于x的整式(|k|一3)x3+(k一3)x2一 考法5 利用整式的概，念确定字母的值 是二项式，分两种情况： 例5已知关于x的整式(|k|一3)x3十(k 当k一3=0，且k一3≠0时，解得k=一3； 3)x2-k. 当k=0时，此整式是二项式. (1)若此整式是单项式，求k的值； 综上所述，k=一3或k=0. 2.2 整式的加减 3年3088考 盘 基础知识 知识点31同类项10考 2.法则：合并同类项后，所得项的系数是合 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同 并前各同类项的系数的和，且字母连同它 的项叫做同类项.几个常数项也是同类项. 的指数不变，简称“一加两不变” 示例100t与一252t是同类项；3x2与2x 示例 是同类项：a与一6a是同类项；5与号 系数相加 2ab+3ab=5ab 也是同类项 宇母与其指数不变 (点拨(1)同类项的前提条件是单项式。 3.合并同类项的步骤 (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺 ○解题模板 序也无关（简称“两无关”）. 知识点2合并同类项1380考 一找 根据同类项的定义找出同类项 1.概念：把多项式中的同类项合并成一项， 利用加法交换律与加法结合律移动某 二移 些项的位置 叫做合并同类项. 示例一2x与5x合并同类项后为3x; 三并 利用合并同类项的法则合并同类项 00与3ab合并同美项后为写06 四写 写出合并后的结果 ◆0199 示例-3a2+2a-1+a2-5a …… 找 知识点4整式的加减55考 =(-3a2+a2)+(2a-5a)-1... 移 般地，几个整式相加减， =(-3+1)a2+(2-5)a-1…… 运算法则一如果有括号就先去括号， 并 然后再合并同类项 =-2a2-3a-1. 写 第 去括号 整式的 章 知识点3去括号法则153考 般步骤 合并同类项 加减 如果括号外的因数是正数，去括号后原括 结果按某个字母的指数升（降） 幂排列 号内各项的符号与原来的符号相同；如果 式 不能有同类项 括号外的因数是负数，去括号后原括号内 加 化简结果 不含括号 减 各项的符号与原来的符号相反.例如a十 带分数要化为假分数 (b-c)=a+b-c;a-(b-c)=a-b+c. 典型考法 考法1 同类项概念的应用 考法3 整式的化简求值 例1 若7ab2与一a3b的和为单项式，则 角度1直接代入求值 y2= 例3先化简，再求值：3a2-3(a2+ab 解析若两个或两个以上的单项式的和仍是单 3b)+(gc+3ab+号6)，其中a=2023 1 项式，则这些单项式为同类项， 所以7ab2与一ab为同类项， b=-1. 所以x=3,y=2, 解：原式=3d-3a-3ab+是+8d+ 所以y=23=8. 3ab叶号=.当6-1时，原式=(-12=1 答案8 角度2利用整体思想化简求值 考法2 去括号 例4先化简，再求值：已知a2一a=2,求 例2化简：2x-[2(x+3y)-3(x一2y)]. d+2a2-a+1D-2(2a2-10的值， 解：2x-[2(x十3y)-3(x-2y)] =2x-(2x+6y-3x+6y) 解：原式=d2+2a2-2a+2-a2+2=2a2- =2x-2x-6y+3x-6y 2a+号-2d-a)+2 =3x-12y. 因为a2-a=2,所以原式=2X2+5=13 2-2 方法提炼对于多重括号，可遵循“由里向 方法提炼需要运用整体思想进行代入求 外逐层去”的原则，即先去小括号，再去中括 值的问题有三种情形：(1)变形已知式； 号、大括号，最后合并同类项；也可以“由外 (2)变形求值式；(3)两种式子都作变形，使 向里”逐层去括号，注意中括号内若有两个 之有一个共同的“整体”，以便进行整体代入 小括号，去小括号可同时进行. 求值 ◆020◆ 考法4 利用数形结合思想化简求值 解：由题意，得A一B=4xy 例5有理数a,b,c在数轴上的位置如图 .B=x2-2xy十y2, 所示. ..A=B+4xy=x2-2xy+y2+4xy=x2+ 第 (1)化简：a+c-3c-b+2a+b; 2xy-y2, 章 (2)当a=-4,b=一6，c=1时，求(1)中式子 .A+B=x2+2xy+y2+x2-2xy+y2= 整 的值 2x2+2y2, .正确的结果为2x2+2y2. b a 加 解：(1)由数轴，得b<a<0<c,且|c|< 考法7 整式加减在实际生活中的应用 |a<|b1,则a+c<0,c-b>0,a+b<0, 例8某校七年级三个班级的学生在植树节 所以|a+c-3c-b+2a+b=-a-c 当天义务植树.已知一班的学生植树a棵， 3c+3b-2a-2b=-3a+b-4c 二班的学生植树的棵数比一班的3倍少20， (2)当a=-4,b=-6,c=1时， 班的学生植树的棵数比二班的)多15。 原式=-3×(-4)+(-6)-4×1=2. (1)求这三个班级的学生共植树多少棵（用 整式加减中的“不含某一项” 考法5 问题 含a的式子表示)； 例6已知m,n是系数，且mx2 2xy+y与 (2)当a=50时，求二班的学生比三班的学 3x2+2nxy+3y的差中不含二次项， 生多植树多少棵。 求m2十n2的值 解：(1)由题意，得这三个班级的学生共植树的 解：m.x2-2xy+y-(3x2+2nxy+3y) 棵教为a十30-20+号(3a-20)+15=4u =mx2-2xy+y-3x2-2nxy-3y =(m-3)x2-(2+2n)xy-2y. 20+2a-10+15=5.5a-15. 由题意，得m一3=0,2十2n=0, 答：这三个班级的学生共植树(5.5a一15)棵. 解得m=3,n=一1， .m2+2=32+(-1)2=10. (2)二班的学生比三班的学生多植树的棵数为 考法6 整式加减中的看错题问题 3a-20 [2(3a-20)+15]=3a-20-(号a 例7已知A,B都是多项式，且B=x2 2xy十y2,莉莉在计算A+B时，误算成了 10+15）=3a-20-3a+10-15-1.5a-25. A一B,结果得到4xy.请你帮莉莉求出正确 当a=50时，1.5a-25=1.5×50-25=50. 的结果 答：二班的学生比三班的学生多植树50棵 ◆021◆ 中考真题演练 考点1用字母表示数 考点2 整式的有关概念 第 1.[湖南长沙]为落实“双减”政策，某校利用 4.[四川绵阳]整式-3xy2的系数是() 章 课后服务开展了主题为“书香满校园”的 A.-3 B.3 C.-3x D.3x 读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100 5.[海南]下列整式中，是二次单项式的是 整 本供学生阅读，其中甲种读本的单价为 () 的 A.x2+1 B.xy C.x2y D.-3x 10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设 加 6.[青海]已知单项式2ab2m+7与3a2mbm+2 减 购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费 是同类项，则m十n= 用为 () 7.[四川绵阳]若多项式xymm十 A.8x元 B.10(100-x)元 (n-2)x2y2+1是关于x,y的三次多项 C.8(100-x)元 D.(100-8x)元 式，则mn= 2.[青海]木材加工厂将一批木料按如图所 考点3 整式的加减运算 示的规律依次摆放，则第n个图中共有木 8.[江苏泰州门下列计算正确的是 料 根 A.3ab+2ab=5ab B.5y2-2y2=3 O 人人人 C.7a+a=7a2 第1个图第2个图 第3个图 第4个图 D.m2n-2mn2=-mni 3.[河北]某书店新进了一批图书，甲、乙两 9.[湖南邵阳]已知x2一3.x+1=0,则3x2一 种图书的进价分别为4元/本、10元/本. 9x+5= 现购进m本甲种图书和n本乙种图书，共 10.[内蒙古包头]若一个多项式加上3xy十 付款Q元 2y2一8的结果为2xy+3y2-5,则这个 (1)用含m,n的式子表示Q; 多项式为 (2)若共购进5×104本甲种图书和3×103 11.[贵州黔西南州]一个运算程序的示意图 本乙种图书，用科学记数法表示Q的值. 如图所示，若开始输入的x的值为625， 则第2020次输出的结果为 ≠】 输入x 输出 x+4 12.[湖北黄冈]先化简，再求值：4xy-2xy (-3xy),其中x=2,y=-1. )答案见P347 ◆022●参考答案 P014 P066 1.B2.A3.C4.B5.C6.D7.C8.A 1.C2.D3.B4.C5.B6.A7.8 9.5×6-2×3(答案不唯一)10.B11.244872 P076 12.B13.C14.B 1.B2.D3.D4.C5.3(答案不唯一)6.-3 P022 7.4或7或88.C9.310.211.A12.C 1.C2.n(n+1) 13.C14.D15.C16.C 2 17.解：(1)原式=3+5-4=8-4=4. 3.解：(1)由题意，得Q=4m+10n. (2)原式=-1+√2-1+2=√2. (2)将m=5×104,n=3×103代入Q=4m+10n,得 P083 Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105. 4.A5.B6.37.0或88.A9.2 1.B2.D3.(2,8)或(2，-10)4.D5.A 10.y2-xy+311.1 6.解：(1)A(-2,3),A'(2,3), ∴点A,A'之间的距离是2-（一2）=4. 12.解：原式=4xy一2xy+3xy=(4-2+3)xy=5xy. 故答案为4. 当x=2,y=一1时， 原式=5×2×(-1)=-10. (2)如图，三角形AB'C'即为所求. ↑y P033 1.32.D3.等式的性质24.C5.A6.A 7.解：(1)移项，得4x一2x=5十1.合并同类项，得 2x=6.系数化为1，得x=3. (2)去分母，得3(x一3)十2(x1)=24.去括号，得 3x一9十2x一2=24.移项，得3x+2x=24十9十2 合并同类项，得5x=35.系数化为1，得x=7. 3 8.A9.B10.B11.6x+14=8x 12.解：设高铁的平均速度为xkm/h,则普通列车的 7.A 平均速度为(x一200)km/h. P094 由题意，得x十40=3.5(x一200)，解得x=296. 答：高铁的平均速度为296km/h. x=11(答案不唯-)2.-13.B4,B5.D (y=1 13.解：(1)设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是 6.-2 xm,则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是 (x+200)m2. 7.解：(1)/y=x-4,① lx+y=6.② 依题意，得x十x十200=800，解得x=300..∴.x十 将①代入②，得x十(x一4)=6，解得x=5. 200=500. 将x=5代入①，得y=1, .甲工程队每天能完成的绿化改造面积是 500m,乙工程队每天能完成的绿化改造面积是 心原方程组的解为=5， y=1. 300m2. (2)方案①所需的施工费用为600×12000 (2)方程组整理，得4x十y=5,① 3x+2y=15.② 500 ②-①×2，得-5x=5,解得x=-1. 14400(元)， 把x=一1代入①，得一4+y=5, 方案②所需的施工费用为400×12000 解得y=9, 300 16000(元)， ·原方程组的解为二-1， y=9. 方案③所需的施工费用为(400+600)×12000 8.B9.B 800 10.解：设港珠澳大桥的隧道长度为xkm,桥梁长度 15000(元). 为ykm. .1440015000<16000,.方案①的施工费用 最少 由题意，得x十y55解得二。9， y=9x-4, P048 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为 1.B2.B3.B4.D5.A6.B7.A8.C9.C 49.1km和5.9km. 10.A11.12012.74.32513.9014.40 11.解：(1)设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单 ◆347◆