第1章 有理数-【一本】初中数学基础知识大盘点

第一章有理数 数轴一原点、正方向、单位长度 相反数 a(a>0), 绝对值—al= 0(a=0), -a(a<0) 乘积是1的两个数 有关概念 倒数 0没有倒数 将一个大于10的数表示成a×10”(1≤a<10, 科学记数法 n为正整数)的形式 近似数与精确度 利用数轴比较 大小比较 利用法则比较 同号两数相加 加法 异号两数相加，互为相反数的两个数相加得0 有理数 转化 一个数同0相加，仍得这个数 减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 首先确定符号 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 运算法则 乘法 任何数与0相乘，都得0 转化 除法除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 正数的任何次幂都是正数 乘方 负数的奇次幂是负数， 偶次幂是正数 0的任何正整数次幂都是0 交换律—a+b=b+a,ab=ba 结合律—(a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc) 运算律 分配律一a(b+c)=ab+ac ◆001● 1.1正数和负数 3年74考 盘 基础知识 第 用正、负数表示具有相反 章 知识点31正数和负数的概念25考 知识点32 意义的量49考 1.正数：像十3,1.8%，3.5这样大于0的数 引入负数以后，我们可以用正数和负数表 叫做正数. >“+”号通常省略不写 数 示一些具有相反意义的量.当一个量用正 2.负数：像一3，一2.7%，一3.5这样在正数 数表示时，具有相反意义的量就用负数表 前加上符号“一”（负）的数叫做负数 示：反之亦然.例如，盈（十）和亏（一），支 抓住关键字眼：“正数前”与“”，如一(3) 就不是负数 出（一）和收入(+) 3.0的认识 (点拨具有相反意义的量 (1)0既不是正数，也不是负数.0是正数 (1)必须是同类量 与负数的分界， 节约3吨汽油与浪费1吨水 不是同类量 (2)0是最小的自然数， (3)0的意义：0除了表示“没有”外，它还 (2)意义必须完全相反，且要有数量 表示起点、某种量的基准等.例如，0℃是 向北走3米与向西走5米. 意义不相反 一个确定的温度，海拔0m表示海平面的 上升与下降不是具有相反意义的量 平均高度 没有数量 典型考法 ● ●●●● 用正、负数表示具有相反意义 考法1 正、负数的识别 考法2 的量 例1在数-1,9,0，-3.05，-(-)，+2， 例2 如果水位升高2m时水位变化记作 +2m,那么水位下降2m时水位变化记 一21号中，负数有 作 A.3个B.4个 C.5个 D.6个 解析 由题意知，水位上升为正，下降为负，所 解析负数有-1，-305，-2共3个 以水位下降2m记作-2m. 答案A 答案 -2m ◆002◆ 1.2 有理数 3年702考 基础知识 第 知识点1有理数89考 个点来表示 章 1.概念：整数和分数统称为有理数， (注意数轴上的，点不一定都是有理数，也 2.分类 可以是其他数，如π 有理 (1)按概念分 (2)一般地，设a是一个正数，则数轴上表 正整数 示数a的点在原点的右边，与原点的距离 非负整数 整数零 是a个单位长度；表示数一a的点在原点 有理数 负整数 的左边，与原点的距离是a个单位长度. 正分数 图示： 分数 可化为有限小数或 负分数 无限循环小数 表示数-a的点表示数a的点 到原点的距离到原点的距离 (2)按性质分 正整数 正有理数 -a-101a 正分数非负有理数 -a是负数，所a是正数，所 对应的点在对应的点在 有理数 零 原点的左边 原点的右边 负整数 负有理数 知识点33相反数90考 负分数 1.概念：像2和一2,5和一5这样，只有符号 知识点2数轴84考 数轴三要素 不同的两个数叫做互为相反数.一般地，a 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直 和一a互为相反数.特别地，0的相反数 线叫做数轴， 是0. 原点单位长度 正方向 (注意(l)一a不一定表示负数，当a为负 -4-3 -2 0 2 3 数时，一a为正数， 2.画法 (2)相反数是成对出现的， 步骤 图形 2.性质：若a与b互为相反数，则a十b=0; (1)画一条水平（或竖直）的直线 反之，若a+b=0,则a与b互为相反数 (2)在直线上任取一个点表示 0 数0，这个点叫做原点 3.几何意义：一般地，在数轴上，互为相反数 的两个数对应的点在原点的两侧，并且与 (3)确定从原点向右（或向上） 0 为正方向，用箭头表示出来 原点的距离相等， (4)选取适当的长度为单位 如图，2.5和一2.5互为相反数，它们所对 长度 -2-1012 应的点与原，点的距离都是2.5. 3.数轴上的点与有理数的关系 2.5 2.5 (1)任何一个有理数都可以用数轴上的 -3-2.5-2-101 22.53 ◆003◆ 4.多重符号的化简方法 (点拨互为相反数的两个数的绝对值相 (1)省略所有的“+”号 等，绝对值相等的两个数相等或互为相 (2)由“一”号的个数确定结果的符号： 当“一”号的个数为偶数时，化简的结果为 反数 第 正数；当“一”号的个数为奇数时，化简的 (2)代数意义 章 结果为负数， ①一个正数的绝对值是它本身： 示例 有 直接去掉“+”号 ②一个负数的绝对值是它的相反数； 数 -[(-7)]=-(-7)=7. ③0的绝对值是0. 工T 两个负号，结果为正 故对于任意有理数a,都有 (注意多重符号化简的结果的符号是由“一” a(a>0), 号的个数决定的，与“十”号的个数无关」 a=0(a=0), 知识点34绝对值39考 -a(a<0) 1.概念：一般地，数轴上表示数a的点与原 点的距离叫做数a的绝对值，记作a. (注意当绝对值符号里的数的正负性不能 距离不为负数，故绝对值为非负数，即 确定时，要分类讨论，即将其分为大于0、 lal≥0 2.意义 小于0和等于0这三类来讨论， (1)几何意义：一个数的绝对值就是数轴 知识点5有理数的大小比较 上表示这个数的点与原点的距离.离原点 越远，这个数的绝对值越大；反之，绝对值 在数轴上表示有理数，它们 越小 利用数轴 从左到右的顺序，就是从小 到大的顺序，即左边的数小 示例D 于右边的数 较 1-2=2|2=2 小 (1)正数大于0,0大于负数， -5-4-3-2-1012 3 56 正数大于负数； 利用法则 -3=3中13=3 (2)两个负数，绝对值大的反 而小 典型考法 考法1 有理数的分类 非负整数集合：{ …}; 例1 把下列各数填在相应的集合中： 有理数集合：{ …}. 0.81,-3,2号-8.1，-4,171,0. 15,-1 答案正数集合：{15,0.81,2号，171,3.14，登， 2.010010001…(相邻两个1之间依次增加一个 3.14,,-1.6,2.010010001…(相邻两个 0),…}； 1之间依次增加一个0). 正数集合：{ …}； 负分数集合：一司-3.1，-1.6…： 负分数集合：{ …}; 非负整数集合：{15,171,0，…}； ◆004◆ 有理数集合{15，-，0.81，-3,2号，-3.1， -(一m十1)；0的相反数是0，是它本身. 答案 -202332 -(-m+1)0 -4,171,0,3.14,-1.6,… 考法2 求数轴上的点表示的数 方法提炼求一个数的相反数的方法 第 例2(1)在数轴上，一个点从一4开始向左 (1)求一个具体数的相反数时，只需将它前 章 移动2个单位长度，再向右移动5个单位长 面的正、负号换成相反的符号即可. 度后表示的数是 (2)求一个字母或一个式子的相反数时，只 有 A.-7B.3 C.-1 D.-11 需在这个字母或这个式子的整体前面加上 数 (2)易错A,B为同一数轴上的两点，且A, “一”号，就可以得到对应的相反数， B之间的距离为3.若点A所表示的数是 角度2相反数性质的应用 一1，则点B所表示的数是 例4若3x一8与2互为相反数，则x= 解析(1)如图： 2 思路导引互为相反数的两个数的和为0. -6-5-4-3-2-101一 解析因为3x一8与2互为相反数，所以3x 点从一4开始向左移动2个单位长度到一6，再 8十2=0，解得x=2. 向右移动5个单位长度到一1. 答案 2 (2)如图： 33 3 考法4多重符号的化简 -5-4-3-2-10123 例5化简下列各式： 当，点B在点A的左边时，点A向左数3个单位 +(-7)= 长度为一4；当点B在点A的右边时，点A向右 -(+1.4)= 数3个单位长度为2. +(+2.5)= 答案(1)C(2)2或-4 -(-6)= ； -[-(+6)]= 雪易错点拨在数轴上，与一个点的距离为 -[+(-5)]= ； a(a>0)的点有两个，且分别在这个点的两 -[-(-2.8)]= 边.(2)题易忽略点A的左边也有符合条件 答案-7-1.42.5665-2.8 的点，从而漏解。 方法提炼多重符号化简的结果的符号是 考法3 相反数 由“一”号的个数决定的，与“十”号的个数无 角度1 求一个数的相反数 关，有奇数个“一”号结果为负，有偶数个 例32023是 的相反数，一3号与 “一”号结果为正 互为相反数，一m十1的相反数是 考法5绝对值 的相反数是它本身， 角度1与绝对值有关的计算 解析2023的相反数是-2023；-32的相反 例6(1)一3的绝对值是 数是-(-3)=32；-m+1的相反数是 A.±3 B.3 C.-3 D.一3 ◆005 (2)易错如果|x=2,那么x= .0.04>0.03>0.02>0.01, A.2 B.-2 ∴最接近标准质量的乒兵乓球的编号是3号. 答案 C C.2或-2 D2或-司 考法6 有理数的大小比较 第 解析(1)一个负数的绝对值是它的相反数，故 例9将下列各数表示在数轴上，并用“>” 章 一3的绝对值是3. 号连接。 (2)绝对值是2的数就是数轴上与原点的距离是 5,-23,20,-3 1 41 理 2的点所表示的数，它们是2或一2. 解：如图所示 答案(1)B(2)C 雪易错点拨借助数轴，运用数形结合思想， -6-5-4-3-2-0123456 由绝对值的几何意义得出，不要漏解， 由数轴上右边的数大于左边的数可知，5>3> 0>- >-2>3 角度2绝对值非负性的应用 例10比较下列各对数的大小： 例7若|a-1|+|b一2|=0，则a+b的 (1)-1和一5； 值为 ( A.3 B.-3 C.0 D.3或-3 2②和一27 解析·la-1+b一2=0， “0+0”型 (3)一2.6和 且a-1|>≥0，|b-2≥0， -2 ∴.|a-1=0,b-2|=0,∴.a-1=0,b-2=0, 解：(1)因为|-1=1,1-51=5,1<5， 所以-1>一5. 解得a=1,b=2,∴.a十b=1+2=3. 答案A (2)因为 引-81-271=27,8<27 5 方法提炼“0十0”型问题的解决方法 所以-6>-2.7， 若几个非负数的和为零，则这几个数同 5 (3)因为 2= ，-26<， 时为零，即若|a|十|b十…+|m=0, 则a=b=…=m=0. 所以一2.6< 2 例11 一题多解若m>0,n<0,且m>n, 角度3绝对值在实际生活中的应用 把m,-m,n, n用“>”号连接起来 例8乒乓球比赛中所用的乒乓球的质量是 解：方法1（数轴比较法）：因为m>0,n<0,且 有严格规定的，但实际生产的乒乓球的质量 |m>nl,所以把m,n,一m,-n表示在数轴上 可能会有一些偏差.下列检验记录(“十”表示 如图所示 超出标准质量，“一”表示不足标准质量)中， -1m n 0 -n m 最接近标准质量的乒乓球的编号是 ( ) 因为在数轴上右边的数总比左边的数大， 编号 2 3 4 所以m>-n>n>-m. 偏差/g -0.04 +0.02 -0.01 +0.03 方法2（性质比较法）：因为m>0,n<0, 所以m为正数，n为负数， A.1号 B.2号 C.3号 D.4号 所以一m为负数，一n为正数. 解析|一0.04|=0.04,1+0.021=0.02， 又因为正数大于一切负数，且|m>n, |-0.01=0.01,+0.03=0.03. 所以m>-n>n>-m. ◆006◆ 1.3 有理数的加减法 3年683考1 盘 基础知识 第 知识点1有理数的加法397考 知识点2有理数的减法97考 1.法则 法则：减去一个数，等于加这个数的相反 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝 数，即a-b=a+(-b). 理 对值相加 示例 减号变加号 示例 (1) 取相同的特号 1-(+4)=1+(-4)=-3 ■ 被藏数不变减裁变为相反裁 (-2)+(-3)= (2+3)=-5 把绝对值相加 减号变加号 (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝 (2) (-2)-(3)=(-2)+3=1. 对值较大的加数的符号，并用较大的绝对 被藏裁不变咸数变为相反裁 值减去较小的绝对值.互为相反数的两个 知识点3有理数加减混合运算89考 数相加得0. 1.加减法统一成加法 (1)因为减法可以转化成加法，所以加减 示例 混合运算可以统一为加法运算，如a一b十 取绝对值较大的加戴的符号 c-d=a+(-b)+c+(-d). (-5)+(+2)=-(5-2)=-3 (2)在和式中，加号和括号可以省略，如 用较大的绝对值藏 (+9)+(-10)+(-2)+8可以写成9 去较小的绝对值 10一2十8，读作“正9、负10、负2、正8的 (3)一个数同0相加，仍得这个数 和”或读作“9减10减2加8” 2.运算律 2.有理数加减混合运算的一般步骤 运算律 文字表述 符号表述 (1)统一为加法运算； (2)写成省略加号及括号的形式； 两个数相加，交换 加法 (3)运用加法运算律； 加数的位置，和 a+b=b+a 交换律 (4)运用加法法则进行计算， 不变 示例 三个数相加，先把 (+9)-(+10)+(-2)-(-8) 加法 前两个数相加，或 (a+b)+c= 减法变加法 结合律 者先把后两个数 =(+9)+(-10)+(-2)+8 a+(b+c) 加法交换律 相加，和不变 加法结合律 =[(+9)+8]+[(-10)+(-2)]s 有理数的加 (注意运用加法交换律交换加数时，一定 法运算 =17+(-12) 要带着性质符号一起交换。 有理裁的加法运算 ◆007● 典型考法 考法1 有理数加法运算的简便方法 考法2 有理数的加减混合运算 第 例1计算： 例2计算： 章 (1)(+26)+(-14)+(-16)+(+18); (1)(-5)+(-7)-(+13)-(-19): (2(+)+(+)+3+(-)+(-3)+ 20-号+(+)+(-3)+2号： 数 (-3); (3)5号+34+4号+(-16)+(-6.8)+ 3号--1号引-（+2-(-25： (-4.2); (4)(-3.125)+(+4.75)-98 (4)(-2.8)+(-3.6)+(-1.5)+3.6; (5)-33+22+(-5), +5)-4号 解：(1)原式=[(+26)+(+18)]+[(-14)+ 解：(1)原式=-5+(-7)+（一13）+19=-6 (-16)]=44+(-30)=14. (2)原式=[(+号)+(+)+(-)]+ (2)原式-0+()+号+(-3)+2号 [3+(-3)]+(-)=0+0+(-)=-景 [()+(-3)]+(号+2) (3)原式=(5号+4号)+[34+(-16)]十 1+37 [(-6.8)+(-4.2)]=10+18+(-11)=17. (4)原式=[(-2.8)+(-1.5)]+[(-3.6)+ =2 3.6]=-4.3+0=-4.3. (⑤)原式=(-3)+(-号)+2+日 3)原式=号-13+(-24)+2 +(-5)+ (-6)=[(-3)+2+(-5]+[(-3)+2+ 号-12+(-2+2别 (-6)]=-6+0=-6, =号+(-13+2》 方法提炼运用加法运算律简化运算的常 号+(-D 用方法 (1)相反数结合法：互为相反数的两个数先 、3 相加； (2)同号结合法：符号相同的数先相加； (④原式-(-3号)+4+(-9日)+54-4号 (3)同分母结合法：分母相同（或分母成倍数 关系)的数先相加； [(-38)+(9]+(4+54)-4号 (4)凑整法：几个数相加得到整数，先相加； (⑤)同形结合法：整数与整数、小数与小数 一18+10-4号 相加； (6)拆分法：带分数可拆成整数和真分数两 =-34号 部分再分别相加. -7 31 ◆008◆ 有理数加减法在实际生活中的 思路导引(1)将这些数相加，若结果是正数， 考法3 应用 则收工时工人在A地的东边；若结果是负数，则 例3 某检修站工人驾驶一辆汽车沿东西方 收工时工人在A地的西边. 向的公路检修线路，规定向东行驶为正，向 (2)将这些数的绝对值相加，即得出汽车所行驶 西行驶为负.从A地出发到收工时，工人驾 的路程，再乘每千米耗油量，即得汽车这天的总 第 驶汽车的行车里程（单位：千米）记录如下： 耗油量。 章 解：(1)根据题意，得7+(-2)十5+（一1）+6十 +7,-2,+5,-1,+6,-3,-2,+2,+4, (-3)+(-2)+2+4十(-2)+6=20（千米）. -2,+6 答：收工时工人在A地的东边，距A地20千米 数 (1)收工时工人在A地的什么方向？距A (2)这辆汽车这天所行驶的路程为|十7|+ 地多远？ 1-2+1+51+1-1++61+|-31+-21+ 1+2+|+41+|一21+|+61=40（千米）， (2)若每千米耗油0.2升，则这辆汽车这天 ∴.这辆汽车这天共耗油40×0.2=8（升）。 共耗油多少升？ 答：这辆汽车这天共耗油8升 1.4 有理数的乘除法3年74考 基础知识 知识点1有理数的乘法法测5考 3.倒数的求法 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对 (1)求非零整数a的倒数：用数a作分母， 值相乘 1作分子，即直接写成是如2的倒数 示例 (1)(-5)×(-6)=+(5×6)=30: 是 同号相乘 绝对值相乘 定特号 (2)求分数”(m≠0，n≠0)的倒数：把这 ×= m 绝对值相乘 异号相乘 定符 个分数的分子和分母交换位置，即”的 2.任何数与0相乘，都得0. 倒数是只如号的倒数是 知识点32倒数59考 (3)求小数的倒数：要先把小数化成分数， 1.概念：乘积是1的两个数互为倒数.一个 正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍 再求其倒数.如：0.25=，所以0.25的倒 是负数，0没有倒数.特别地，倒数等于它 数是4. 本身的数是1和一1. (4)求带分数的倒数：要先把带分数化成 2.性质：若a,b(a≠0，b≠0)互为倒数，则 假分数，再交换分子和分母的位置.如： ab=1;反之，若ab=1,则a,b互为倒数. 1号，所以12的倒数是号 ◆009● 知识点3多个有理数的乘法74考 除以一个数 1.多个有理数相乘 示例 2(=2》=-3 (1)几个不是0的数相乘，负因数的个数 等于乘它的倒裁 第 是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并 数时，积是负数 章 把绝对值相除.0除以任何一个不等于0 示例(-2)×(-3)×5×(-4) 的数，都得0. 示例 同号得正 =二(2X3X5X4) =一120.3个负因数，积为簧 (1) 数 (-16÷(二4)=+(16÷4)=4 (2)几个数相乘，如果其中有因数为0，那 绝对值相除 异号得负 么积等于0. (2)(-12)÷(+6)=-(12÷6)=-2. 示例216×(-32)×0× 1 2023 X 绝对值相除 (-2023)=0. 有理数的加减乘除混合运 知识点5 算138考 (点拨多个有理数相乘的步骤 有理数加减乘除混合运算的顺序 判断 (1)在乘除混合运算中，通常先将除法转 算式中有 算式中没有 化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的 因数为0 因数为0 符号，最后求出结果 确定积的符号 积为0 示例计算：4÷(-)×号÷(-ě) 把绝对值相乘 2.有理数的乘法运算律 解：原式=4×(-)×号×(-) (1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的 -4x×号×8 位置，积相等，即ab=ba. =1 示例5X(-7)=(-7)×5. (2)在加减乘除混合运算中，先算乘除，后 (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个 算加减，同级运算，按从左到右的顺序进 数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等， 行，有括号的要先算括号里面的. 即(ab)c=a(bc). 示例3X5×(-8)=3×[5×(-8)]. 示例计算：1-02×[-3-4×(8- (3)分配律：一个数同两个数的和相乘，等 5.3)] 于把这个数分别同这两个数相乘，再把积 解：原式=1-}×[-3-4×(8-8)】 相加，即a(b+c)=ab十ac. 示例（一5）×(7十8)=（一5）×7+ =1-号×(-3+4×8 (-5)×8. =1-号×(-3+4》 知识点4有理数的除法法则88考 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这 1+号骑 个数的倒数，即a÷b=a·1(b≠0). 6 b Γ251 ◆010参考答案 P014 P066 1.B2.A3.C4.B5.C6.D7.C8.A 1.C2.D3.B4.C5.B6.A7.8 9.5×6-2×3(答案不唯一)10.B11.244872 P076 12.B13.C14.B 1.B2.D3.D4.C5.3(答案不唯一)6.-3 P022 7.4或7或88.C9.310.211.A12.C 1.C2.n(n+1) 13.C14.D15.C16.C 2 17.解：(1)原式=3+5-4=8-4=4. 3.解：(1)由题意，得Q=4m+10n. (2)原式=-1+√2-1+2=√2. (2)将m=5×104,n=3×103代入Q=4m+10n,得 P083 Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105. 4.A5.B6.37.0或88.A9.2 1.B2.D3.(2,8)或(2，-10)4.D5.A 10.y2-xy+311.1 6.解：(1)A(-2,3),A'(2,3), ∴点A,A'之间的距离是2-（一2）=4. 12.解：原式=4xy一2xy+3xy=(4-2+3)xy=5xy. 故答案为4. 当x=2,y=一1时， 原式=5×2×(-1)=-10. (2)如图，三角形AB'C'即为所求. ↑y P033 1.32.D3.等式的性质24.C5.A6.A 7.解：(1)移项，得4x一2x=5十1.合并同类项，得 2x=6.系数化为1，得x=3. (2)去分母，得3(x一3)十2(x1)=24.去括号，得 3x一9十2x一2=24.移项，得3x+2x=24十9十2 合并同类项，得5x=35.系数化为1，得x=7. 3 8.A9.B10.B11.6x+14=8x 12.解：设高铁的平均速度为xkm/h,则普通列车的 7.A 平均速度为(x一200)km/h. P094 由题意，得x十40=3.5(x一200)，解得x=296. 答：高铁的平均速度为296km/h. x=11(答案不唯-)2.-13.B4,B5.D (y=1 13.解：(1)设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是 6.-2 xm,则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是 (x+200)m2. 7.解：(1)/y=x-4,① lx+y=6.② 依题意，得x十x十200=800，解得x=300..∴.x十 将①代入②，得x十(x一4)=6，解得x=5. 200=500. 将x=5代入①，得y=1, .甲工程队每天能完成的绿化改造面积是 500m,乙工程队每天能完成的绿化改造面积是 心原方程组的解为=5， y=1. 300m2. (2)方案①所需的施工费用为600×12000 (2)方程组整理，得4x十y=5,① 3x+2y=15.② 500 ②-①×2，得-5x=5,解得x=-1. 14400(元)， 把x=一1代入①，得一4+y=5, 方案②所需的施工费用为400×12000 解得y=9, 300 16000(元)， ·原方程组的解为二-1， y=9. 方案③所需的施工费用为(400+600)×12000 8.B9.B 800 10.解：设港珠澳大桥的隧道长度为xkm,桥梁长度 15000(元). 为ykm. .1440015000<16000,.方案①的施工费用 最少 由题意，得x十y55解得二。9， y=9x-4, P048 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为 1.B2.B3.B4.D5.A6.B7.A8.C9.C 49.1km和5.9km. 10.A11.12012.74.32513.9014.40 11.解：(1)设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单 ◆347◆