第二十二章二次函数 单元提升测试-2025-2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册第二十二章 二次函数单元提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列函数中，其中开口向下的二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（本题3分）将抛物线，向上平移2个单位长度，再左平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，函数的最大值为4 D．关于的方程的所有实数根的和为4 5．（本题3分）若抛物线经过和两点，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线，则关于新抛物线下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．图象过点 C．在时，的最小值为 D．当时，随增大而减小 6．（本题3分）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点A的坐标是，与x轴的一个交点B的坐标为，直线经过A，B两点．下列结论错误的是（   ） A． B．方程有两个相等的实数根 C．当时， D．抛物线与x轴的另一个交点是 7．（本题3分）已知二次函数，当时，．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C．或 D． 8．（本题3分）小明同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系，下列结论中正确的是（   ） A．的长为 B．实心球运行过程中的最大高度是 C．实心球运行路径的函数表达式为 D．小明投掷实心球的成绩为 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点A、B、C，则a的值是多少？（    ） A． B． C．2 D． 10．（本题3分）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：；；方程的两根和为；若，则；点，在抛物线上，且当时，，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知点，，在函数的图像上，则，，的大小关系是 ． 12．（本题3分）如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 13．（本题3分）已知某抛物线的形状与相同，且其最高点坐标是则该抛物线的解析式是 ． 14．（本题3分）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来用了 ，汽车前进了 ． 15．（本题3分）如图，若某抛物线形沙丘满足的函数表达式为，则最低点到最高点O的垂直高度为 ． 16．（本题3分）已知二次函数，当时，的最大值为3，则的值为 ． 17．（本题3分）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段轴交抛物线于点，，则的面积是 ． 18．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）抛物线过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的顶点坐标及对称轴． 20．（本题9分）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求，，的值； (2)求的面积． 21．（本题9分）如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和． (1)由图象可知，不等式的解集是_____； (2)在什么范围内，随增大而减小？ 22．（本题9分）已知函数是二次函数． (1)求的值； (2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)当时，求的取值范围． 23．（本题9分）已知二次函数过点、 (1)求此二次函数解析式，并求出顶点坐标． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图像． (3)当时，x的取值范围是______． (4)当时，y的取值范围是______． 24．（本题10分）某网络经销商购进了一批文化衫进行销售，文化衫进价为元/件．当售价为元/件时，销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨1元销售量就减少件．设销售单价为元/件，销售量为件． (1)写出与的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (2)当销售单价为多少元时，销售总利润为元？ (3)若每件文化衫的利润不超过，要想获得总利润最大，每件文化衫售价为多少元？并求出最大利润． 25．（本题12分）若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图像经过点A，点B，且与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式 (2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标 (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点M的坐标． 第6页，共7页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十二章二次函数单元提升测试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形 考生禁填： 缺考标记 码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ “、 单选题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共30分） 1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D]3.[A]B][C][ D 4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][ D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][ D 10.[A][B][C][D] 二、填空题(（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分) 11 12. 13 16. 17 18 三、解答题（共66分) (56平)[乙 q+Y=( 0 1-- (56苹)07 (8￥)6I ■ ■ 22.(本题9分) 23.(本题9分) 5 3 2 1 -5-4-3-2-10 1 2345x -2 -3 -5 -7 8 (0L￥)忆 ■ 25.(本题12分) C B 图1 图2参考答案 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C 8 D B 1.B 【分析】本题考查了判断二次函数的开口方向，根据抛物线的开口方向和二次项系数的关系 逐一判断即可，掌握抛物线的开口方向和二次项系数的关系是解题的关键. 【详解】解：A、由y=6x2可知，6>0， 开口向上，不符合题意； B、由y=-3x2+5可知，-3<0， .开口向下，符合题意： C、由y=x-1可知，不是二次函数，不符合题意； D、由y=-(x-1)2+x2=2x-1可知，不是二次函数，不符合题意； 故选：B 2.C 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象和性质，掌握它们的性质是解题的关键.根 据二次函数图象开口方向可以判断出的符号，由对称轴的位置判断b的符号，再由一次函 数的性质解答 【详解】解：由图象可知，函数图形开口向下， .a<0 .一次函数y=ax+b中y随x的增大而减小， :抛物线y=ar'+bx+c的对称轴直线x=力在y轴右侧， 2a b0, .b>0, .一次函数y=ax+b交于y轴的正半轴， .一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限 故选：C 3.A 【分析】此题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键。 答案第3页，共29页 根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”即可得到答案. 【详解】解：抛物线y=3(x-2)+1向上平移2个单位长度，再左平移3个单位长度，所得 抛物线的函数表达式为y=3(x+1)2+3. 故答案为：A 4.D 【分析】本题考查新定义，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，利用数形 b=-2 结合的思想解答是解题的关键.由(-1,0)，(3,0)是函数图象和x轴的交点，解得： lc=-3可 判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得x2-2x-3=3或x2-2x-3=-3,利用 根与系数的关系可判断D正确. 【详解】解：：(-1,0)，(3,0)是函数图象和x轴的交点， 1-b+c=0 9+3b+c=0' b=-2 解得： c=-31 ∴.bc=(-2)×(-3)=6>0, 故A,B错误； 由图象知函数没有最大值，故C错误； 关于x的方程x2+bx+C=3,即x2-2x-3=3或x2-2x-3=-3, 2=2, 当x2-2x-6=0时，x+x=- 当x2-2x=0时，X3+X4= 22, 1 :关于x的方程x2+bx+c=3的所有实数根的和为2+2=4， 故D正确， 故选：D. 5.C 【分析】本题考查了二次函数图象，二次函数的性质，二次函数的平移，解决本题的关键是 得到新抛物线的解析式. 答案第4页，共29页 先根据1，和(3，n)求得二次函数对称轴，再利用平移的性质得到新函数解析式，根据二次 函数的性质，逐一判断即可 【详解】解：：抛物线y=2x2+mx+3经过1，n和3，n)两点， ·抛物线对称轴为直线x=-m=1+3, 42 则m=-8, y=2x2-8x+3=2(x-22-5, :将该抛物线向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到新抛物线， :新抛物线解析式为y=2(x+12-3, :2>0, 故抛物线开口向上，故A错误； 当x=0时，y=2-3=-1, 故抛物线不经过(0,2，故B错误； 抛物线对称轴为直线x=-1, 在-2≤x≤2时，y在顶点处取最小值，为-3，故C正确； 当x>-1时，y随x增大而增大，故D错误， 故选：C. 6.C 【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的 增减性，利用数形结合思想，计算判断即可. 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键， 【详解】解：：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点A的坐标是(1,3)，且开口向下， .对称轴为直线x=- b=1>0,a<0, 2a .b>0, :抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交点位于正坐标轴上， ∴.c>0, .abc<0, 答案第3页，共29页 故A选项正确，不合题意； :抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)开口向下，与x轴的一个交点坐标为4,0)，另一个交点为 x2,0),且对称轴为直线x=1, :4+五=1， 2 解得x2=-2, 另一个交点为(-2,0)， 故D选项正确，不合题意； 根据图象，当1<x<4时，y2<y 故C选项错误，符合题意 抛物线片=ax2+bx+ca≠0)的顶点A的坐标是(1,3)， :直线y=3与y=ax2+bx+c(a≠0)有且只有一个公共点， .方程ax2+bx+c-3=0有两个相等的实数根，且为x2=x,=1, 故B正确，不合题意， 故选：C. 7.B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据当y≥1时，-m-2≤x≤-m+4得到a<0,抛物 线开口向下，抛物线的对称轴为直线x=-m+1,再根据二次函数的增减性判断即可. 【详解】解：当y≥t时，-m-2≤x≤-m+4, a<0,抛物线开口向下，且当y=1时，x=-m-2,2=-m+4, :抛物线的对称轴为直线x=-m-2+-m+4.-m+1, 2 A(-m-3,p)关于对称轴的对称点为-m+5,p), :A(-m-3,p),B(3m,9是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，且p>9, 3m<-m-3或3m>-m+5, 解得m<-3或m> 5 41 故选：B. 答案第4页，共29页 8.D 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为y=a(x-5)+4,把点(0,2)代入 即可求出解析式；当y=0时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离OM. 【详解】解：：出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是 4m. 设抛物线解析式为：y=ax-5)+4, 把点(0,2)代入得：25a+4=2, 解得：a=25 2 抛物线解析式为：y=-3x-52+4, 25 当y=0时，- x-+40, 解得，x=5-5V2(舍去)，x,=5+5V2, 即此次实心球被推出的水平距离0M为51+√2)m,即小明投掷实心球的成绩为51+√2]m 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D. 9.B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函 数的图象与性质，正方形的性质.可得A0,1,即OA=1,根据正方形的性质以及二次函数 的对称性可得C 再代入函数解析式求解a. 【详解】解：连接BC,交AO于点D A B 当x=0,y=1, 答案第3页，共29页 .A0,1),即0A=1, :四边形ABOC是正方形， .OA=BC=1,0A⊥BC, CD=OD-1 c 将c传)代入=r241a0则01-月 解得a=-2, 故选：B 10.c 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键.利用开口方向，抛物 线与y轴交点在y轴负半轴，对称轴的位置可分别判断Q、b、c正负性，从而可判断①； 根据抛物线的对称性可得到点A(3,0)的对称点为(-1,0)，代入到抛物线解析式中可得 a-b+c=0,再结合b=-2a,c<0,即可判断②；由根与系数的关系可直接判断③； 将b=-2a,c=-3a,代入到a+b+c中，利用不等式的性质即可判断④；假设当点 A(m-2,y,)和Bm+1,y,)关于对称轴对称时，解得m,根据抛物线的增减性即可判断m的 取值范围. 【详解】解：①由图象可知，抛物线的开口向上，抛物线与y轴交点在y轴负半轴，对称 轴为直线x=- b =1 2a a>0,c<0,b=-2a<0, :abc>0,故①错误； ②.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0),对称轴为直线x=1, ·点A3,0的对称点为（-1,0)， 将(-1,0)代入y=ax2+bx+c中得，a-b+c=0, :b=-2a, a--2a+c=0,即3a+c=0, .c<0, 答案第4页，共29页 3a+2c<0,故②正确； ③设方程ax2+bx+c-1=0的两根为和x2, .x1+x2=- b.-20-2,故③错误， ④由①知，b=-2a, 由②可知，3a+c=0,即c=-3a, .a+b+c=a-2a-3a=-4, -2<c<-1,即-2<-3a<-1, 8 -<-4a< 3’即8 4 a+b+c<-4 ,故④正确： 3 ⑤点P(m-2,y),Q(m+1,y2在抛物线上， 当y=y2时，m-2+m+1=2, 得m号 片>y2, 3 m<乏，则⑤正确。 综上，正确的结论有②④⑤，共3个· 故选：C. 11.3<<y2 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小.根据函数解析式得到二次函数开口向上， 对称轴为直线x=1,且离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到y轴的距离即可得到答 案。 【详解】解：：二次函数解析式为y=2x-1)2,2>0, .二次函数开口向上，对称轴为直线x=1, .离对称轴越远函数值越大， :点-1，（名为·(（侵部在所数y=2x-的图很上 1-=28 .3<y<y2, 答案第3页，共29页 故答案为：y3<<y2 12.-2<x<2 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想分析问题.观 察图象，当ax2+bx+c>kx+h时，二次函数图象在一次函数图象上方，即可得解. 【详解】解：“抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+h相交于(-2，m),（2,n两点， ·当ax2+bx+c>x+h时，二次函数图象在一次函数图象上方， 观察图象可知，此时-2<x<2, 故不等式ax2+bx+c>kx+h成立时，x的取值范围是-2<x<2. 故答案为：-2<x<2· 13.y=-2(x+3)2+5 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据题意设抛物线解析式为y=a(x+3)+5,a<0, 根据抛物线的形状与y=2x2-3x+1相同，得出a=-2,即可求解。 【详解】解：·抛物线最高点坐标是-3,5)，设抛物线解析式为y=a(x+3)+5,a<0, :抛物线的形状与y=2x2-3x+1相同， .a=-2, 抛物线解析式为y=-2(x+3)+5, 故答案为：y=-2x+3)2+5. 14. 345 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于理解汽车停下来 时的状态与二次函数的关系 先将二次函数化为顶点式，再分析汽车停下来时的情况，即汽车从刹车到停下来，其 速度逐渐减小为O,再根据二次函数的最值求解即可. 【详解】解：：s=30t-5t2=-51-3+45, .对称轴为t=3, :汽车刹车后前行的距离会先增加，达到最大值后停止，即汽车停下来时，s取得最 大值， 答案第4页，共29页 :可知汽车从刹车后到停下来用了3s,汽车前进了45m. 故答案为：①3；②45· 15.144 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键.根据函数表 达式求出点B的坐标，即可得解. 【详解】解：当x=18时，y= 则最低点B(18,-144), 那么最低点B(18,h)到最高点O的垂直高度为144， 故答案为：144. 16.2或-1或-7 【分析】本题考查二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，先求出抛物线的对称轴为 -4a 直线x=2x--2a,分三种情况：当-2a≤-1，即a≥)时，当-1<-2a<2,即 -1<a<二时，当-2a≥2，即a≤-1时，结合二次函数的性质，进行求解即可. 【详解】解：：y=-x2-4ax-a2, :对称轴为直线x=2×- -4a =-2a, -1<0, .抛物线的开口向下， 当-20≤-1，即a2时， 当x=-1时，函数有最大值3， .-（-1+4a-a2=3,-1≤x≤2， 整理得：a2-4a+4=0, 解得：a1=a2=2; 1 当-1<-2a<2,即-1<a<5时， 当x=-2a时，函数有最大值3， .--2a)2+8a2-a2=3, 答案第3页，共29页 解得：a,=1(舍去)，a2=-1(舍去)： 当-2a≥2，即a≤-1时， 当x=2时，函数有最大值3， .-22-8a-a2=3, 整理得：a2+8a+7=0, 解得：a1=-1,a2=-7; 综上分析可知：a的值为2或-1或-7； 故答案为：2±2或-1或-7. 17.35 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上 对称点坐标、三角形面积等知识，根据PC-号8P,得到S心-号Sc,由二次函数图像 与性质求出B(0,7)、C(6,7),计算出S4c的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与 性质是解决问题的关键， 【详解】解：如图所示，BP1y轴， SAANC=BC:B0,SaM=,PC·BO 2 :PC=BC,则C=3, PC2' 2 Sa=Saac :抛物线y=axr2-6axr+7(a<0)交x轴正半轴于点A,交y轴于点B, ·B(0,7),对称轴为直线x=- 60=3, 2a BP⊥y轴， “C(6,7), 则S=号BC-B0=)x6x7=21, 2 2 2 2 Sac-35。c-5×21=14, △ABP的面积是21+14=35 故答案为：35. 18.22 答案第4页，共29页