精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

汽开三中2025-2026学年度上学期月考 高二数学 命题人：高二数学组 审题人： 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆，其左右焦点分别为，点P是椭圆E上任意一点，则的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 4. 已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（    ） A. B. C. 或 D. 或 6. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 7. 圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 1 8. 若圆上有且只有四个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，之间的距离为 10. 已知圆和圆，下列说法正确的是（ ） A. 两圆相内切 B. 两圆相外切 C. 是两圆的公切线 D. 是两圆的公切线 11. 点P在圆M：上，点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB关于点M的对称直线为 B. 点P到直线AB距离的最大值为 C. 圆M关于直线AB对称的圆的方程为 D. 当最大时， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线的倾斜角为______． 13. 若与有交点，则实数的取值范围为_____________. 14. 已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知、为直线上两点，直线． （1）求直线的方程； （2）若，求实数的值． 16. 椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|． 17. 已知圆. （1）求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）直线与圆C相交所得的弦长为4，求实数b的值. 18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，，且. （1）求点的轨迹方程； （2）过作（1）的切线，求切线方程； （3）若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围. 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2025-2026学年度上学期月考 高二数学 命题人：高二数学组 审题人： 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用圆的一般方程的圆心公式. 【详解】使用圆的一般方程的圆心公式，其中 ， 圆心坐标为． 故选：B. 2. 已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 3. 已知椭圆，其左右焦点分别为，点P是椭圆E上任意一点，则的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义进行求解即可. 【详解】由题意，根据椭圆的定义可知 ，. 所以的周长为. 因为椭圆方程为，所以. 所以的周长为. 故选：C. 4. 已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，进而求得的值，得到答案. 【详解】因为直线的一个方向向量为，可得直线的斜率为，即. 故选：C. 5. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，满足条件的直线有两条，一条是过这两点的中点，另一条是平行于这两点的直线，然后利用直线方程的知识求解即可. 【详解】根据题意，分情况讨论可得： 当两个点，在所求直线的异侧时， 即过线段的中点．由于直线又经过， 此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为； 当，在所求直线同侧时， 直线与所求的直线平行， 又因为， 所以所求的直线斜率为，由于直线又经过， 直线方程为， 化简得：， 综上，满足条件的直线为或， 故选：C． 6. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率越小，越接近于圆，写出各项椭圆的离心率并比较大小，即可得答案. 【详解】由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆， 对于，， 对于，， 对于，， 对于，， 显然的离心率最小. 故选：D 7. 圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】将两个圆的方程相减，可得两圆的公共弦的方程，求得弦所在直线与坐标轴的截距，即可求得答案. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1， 圆的圆心为，半径为2， 则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交， 故将和相减得， 即圆与圆的公共弦所在直线方程为， 令，则；令，则， 故与两坐标轴所围城的三角形面积为， 故选：C 8. 若圆上有且只有四个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得，解此不等式求得半径r的取值范围. 【详解】圆的圆心为 圆心到直线的距离为 由解得，故选B. 【点睛】本题主要考查了圆的方程，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，之间的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将化为，令即可确定定点；将、代入方程，由方程形式判断直线位置关系；由直线平行得，应用平行线距离公式求距离. 【详解】由，令，可得， 所以过定点，A对； 时，，而，即，B对； 时，，而，显然不垂直，C错； ，则，可得，由上知，之间的距离为，D对. 故选：ABD 10. 已知圆和圆，下列说法正确的是（ ） A. 两圆相内切 B. 两圆相外切 C. 是两圆的公切线 D. 是两圆的公切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出圆心距与半径之和比较即可判断A，B选项；分别求出两圆圆心到直线和的距离，与半径比较，即可判断C，D选项. 【详解】由题可得,,,，所以，所以两圆相外切，故A错误，B正确； 对于C选项，圆心到的距离为, 同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故C正确； 对于D选项,圆心到的距离为, 同理圆心到的距离为,所以是两圆的公切线，故D正确； 故选：BCD 11. 点P在圆M：上，点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线AB关于点M的对称直线为 B. 点P到直线AB距离的最大值为 C. 圆M关于直线AB对称的圆的方程为 D. 当最大时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，分别求得点关于点的对称点坐标，即可判断；对于B，利用圆上动点到直线的最大距离为即可判断；对于C，求得圆心关于直线对称的点即可得解；对于D，判断得最大时直线与圆相切，再利用两点距离公式与勾股定理即可得解. 【详解】对于A，因为点，点，点， 则点关于点的对称点， 点关于点的对称点， 则，则对称直线方程为， 化简可得，故A错误； 对于B，由题意可得，直线的方程为，即， 因为圆，所以，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为，故B正确； 对于C，设圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 所以圆关于直线对称的圆的方程为，故C错误； 对于D，当最大时，易得直线与圆相切，如图， 在中，，， 所以，故D正确. 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，即可得到其倾斜角. 【详解】直线即，所以直线的斜率为， 设倾斜角为，则，又，所以， 即直线的倾斜角为. 故答案为： 13. 若与有交点，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到曲线和直线恒过定点，画出图象，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为1的下半圆， 又由直线恒经过定点， 因为曲线与轴的交点分别为， 可得， 要使得与有交点，可得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为_____________. 【答案】5 【解析】 【分析】运用数形结合思想，画图确定最值位置，再求解最小值即可. 【详解】如图，圆是圆关于直线 的对称圆， 所以圆的方程为，圆心为 ，且由图知， 五点共线时， 有最小值， 此时， 所以的最小值为5. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知、为直线上两点，直线． （1）求直线的方程； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）两点式求斜率，应用点斜式写出直线方程； （2）根据直线垂直的判定列方程求参数. 【小问1详解】 由题设，则， 故； 【小问2详解】 由，则， 可得. 16. 椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程. （2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果. 【小问1详解】 由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . 17. 已知圆. （1）求过圆心C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）直线与圆C相交所得的弦长为4，求实数b的值. 【答案】（1）或; （2）或. 【解析】 【分析】（1）写出圆的标准方程确定圆心和半径，讨论直线是否过原点，结合截距式及所过的点求方程即可； （2）根据已知可得直线与的距离为，应用点线距离公式列方程求参数. 【小问1详解】 由题设，圆标准方程为，即，半径为3， 若直线原点，则方程为，即，符合； 若直线不过原点，令直线方程为，而在直线上， 所以，故直线方程为； 综上，所求直线为或. 【小问2详解】 由题设，直线与的距离为， 所以，故或. 18. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，，且. （1）求点的轨迹方程； （2）过作（1）的切线，求切线方程； （3）若点在（1）的轨迹上运动，另有定点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设，结合列出方程即可求解； （2）分切线斜率不存在和切线斜率存在两种情况讨论求解即可； （3）先求出到圆心的距离，进而结合圆上一点到定点的距离最值问题求解即可. 【小问1详解】 设，由， 得， 整理得，，即， 则点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 【小问3详解】 点到圆心的距离为， 所以，即， 即的取值范围为. 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： （3）若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 【答案】（1） （2）或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，求出即可. （2）首先求出，的坐标，设，由面积公式求出，再由点在椭圆上求出，即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得（负值已舍去），则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为椭圆的方程为，所以， 则，，所以. 设，则，所以， 又，所以， 所以点的坐标为或或或； 【小问3详解】 由，消去整理得， 设点，则， 而，依题意， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $