精品解析：黑龙江省牡丹江市宁安市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

宁安一中高一学年10月份数学试卷 2025.10 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第一册第一章~第三章的3.1. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集定义即可求出. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论. 【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误； 对B：当，时，由不能推出，所以B错误； 对C：当时，由不能推出，所以C错误； 对D：由，又，所以，所以D正确. 故选：D 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】转化为求解即可. 【详解】，即，即，解得或. 故选：D. 4. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题的定义，结合特例法、全称命题和特称命题的否定的性质进行判断即可. 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题； 对于命题，当时，，所以为真命题，则为假命题； 综上，和均为真命题. 故选：B 5. 在下面四个图中，可表示函数的图象的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】根据函数的定义可知，一个只能对应一个，所以ABC错，D正确. 故选：D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将绝对值不等式化简，即可得到结果. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知集合，，，则、、的关系满足（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【解析】 【分析】把限制条件进行通分，比较式子的含义可得答案. 【详解】，， ， 因为，所以表示被6除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 所以, 被3除余1的整数，当其为奇数时，被6除余1；当其为偶数时，被6除余4. 集合中元素的分子均为被6除余1的数，而集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集. 故选：B 8. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，而的定义域为，故A错误； 对于B，函数的定义域为，而的定义域为， 且，故B正确； 对于C，函数的定义域为，而的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，而的定义域为， 且，故D正确. 故选：BD. 10. 已知关于的不等式的解集为或.则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定与的关系及，再逐项判断即可得解. 【详解】由不等式的解集为或，得2，3为方程的两根，且， 则，即， 对于A，，A正确； 对于B，不等式化为，解得，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，不等式化为，解得，D正确. 故选：ACD 11. 向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则（ ） A. 赞成的不赞成的有9人 B. 赞成的不赞成的有11人 C. 对，都赞成的有21人 D. 对，都不赞成的有8人 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】赞成的人数为，赞成的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合，如图所示， 设对事件，都赞成的学生人数为， 则对，都不赞成的学生人数为， 赞成而不赞成的人数为， 赞成而不赞成的人数为， 依题意，解得. 所以赞成的不赞成的有9人，故A正确； 赞成的不赞成的有12人，故B错误； 对，都赞成的有21人，故C正确； 对，都不赞成的有8人，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 设集合，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出两条直线交点即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为：. 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据条件整理，代入，利用基本不等式求解． 【详解】因为，， ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， 故答案为：8． 14. 若，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法可求答案. 【详解】令，则，原式化为， 所以. 故答案为： 15. 若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得在时恒成立，令，根据二次函数的性质求出有最小值时的取值，求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得在时恒成立， 令，所以在时恒成立， 因为二次函数图象对称轴为， 所以当时有最小值为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16. 已知全集，集合，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先化简集合，再根据并集的定义计算可得； （2）用列举法表示全集，再由补集、交集的定义计算可得. 【小问1详解】 由，即，解得，， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为， ，， 所以，则 17. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，求出的值即可得答案； （2）分、求解即可 【小问1详解】 因为， 所以，解得， 所以 【小问2详解】 当时，则有， 解得，不满足，故舍去； 当时，则有，解得或（舍去） 综上，. 18. 已知函数，． （1）当时，，求的最小值； （2）当时，，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，结合不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：因为时，，可得， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时取等号，即，时取得最小值为． 【小问2详解】 解：因为当时，，可得， 则， 因，所以，则解不等式可得或， 则不等式的解集为或． 19. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故取值范围是. 【小问2详解】 若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 20. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. （1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】（1），从第 3 年开始该设备开始全年盈利； （2）方案①比较合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）确定，解不等式得到答案. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【小问1详解】 ， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； 【小问2详解】 ①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 21. 已知集合且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素，，，都有，则称集合具有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值不小于； ②求的最大值． 【答案】（1）不具有性质P． （2）①证明见解析；②10． 【解析】 【分析】（1）由集合具有性质的定义判断即可； （2）不妨设，由集合A具有性质P，得，然后证明即可；对任意正整数，，与①类似可得，所以，又集合符合性质P，所以求解即可. 【小问1详解】 因为 所以集合不具有性质P． 【小问2详解】 不妨设， ①由集合A具有性质P，得， 所以， 即有． ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 且A中含10个元素，所以n的最大值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁安一中高一学年10月份数学试卷 2025.10 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第一册第一章~第三章的3.1. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 5. 在下面四个图中，可表示函数的图象的可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知集合，，，则、、的关系满足（ ） A.  B.  C.  D.  8. 已知为正实数，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知关于的不等式的解集为或.则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 向50名学生调查对、两事件态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则（ ） A. 赞成不赞成的有9人 B. 赞成的不赞成的有11人 C. 对，都赞成的有21人 D. 对，都不赞成的有8人 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 设集合，，则___________． 13. 已知正实数a，b满足，则的最小值为________． 14. 若，且，则_____. 15. 若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本大题共6小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 16 已知全集，集合，. （1）求； （2）求. 17. 已知函数，且. （1）求的解析式； （2）若，求实数的值. 18. 已知函数，． （1）当时，，求的最小值； （2）当时，，求关于x的不等式的解集． 19. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. （1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 21. 已知集合且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素，，，都有，则称集合具有性质． （1）判断集合否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值不小于； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $