精品解析：河北省唐山市路北区2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025～2026学年度第一学期学业水平调研测试 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本次评价满分100分，时间为90分钟． 2．答卷前，务必在答题卡上用0.5mm黑色字迹的签字笔填写自己的学校、班级、姓名及考生号，并用2B铅笔把对应考生号的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题必须用0.5mm，黑色字迹签字笔作答；答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；不准使用涂改液，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答在试卷上无效． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（ ） A. B. 2 C. D. 7 2. 二次函数的对称轴是，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的顶点是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 下列二次函数的图象通过平移能与的图象重合的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A. 1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可得方程 D. 不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 10. 如图，抛物线的对称轴是，与轴的一个交点的横坐标为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有4个小题，共13分．13～15题各3分，16题每空2分．） 12. 抛物线有最_____点（填“高”或“低”）． 13. 已知是方程的两根，则____________． 14. 一个直角三角形的两条直角边相差，面积为，则斜边长是_____________． 15. 如图，直线与二次函数的图象相交于两点，与轴相交于点，若，则 （1）对称轴是直线_____； （2）_____． 三、解答题（本大题有8道小题，共63分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程： （2）解方程： 17. 已知抛物线，点是图象上一点． （1）求的值； （2）将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若此方程的一个根为，求的值； （2）求证：无论取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 19. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． （1）直接写出函数值随增大而增大时的取值范围； （2）比较的大小，并说明理由． 20. 如图，两根等长的金属丝各自首尾相接，分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为，正六边形的边长为．求这两根金属丝的总长． 21. 如图，二次函数的图象交轴于原点及点． （1）求抛物线的对称轴及的长； （2）若抛物线顶点到坐标轴的距离和是7，求的值． 22. 如图，某校劳动实践基地计划用长的栅栏，再借助外墙墙长为墙长为）围成矩形基地． （1）如图1，若围成矩形基地面积为，求边的长． （2）如图2，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开1道1米宽的门，若围成矩形基地面积为，求边的长． 23. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期学业水平调研测试 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本次评价满分100分，时间为90分钟． 2．答卷前，务必在答题卡上用0.5mm黑色字迹的签字笔填写自己的学校、班级、姓名及考生号，并用2B铅笔把对应考生号的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题必须用0.5mm，黑色字迹签字笔作答；答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；不准使用涂改液，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，答在试卷上无效． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若一元二次方程化成一般形式后二次项系数是3，则一次项系数是（ ） A. B. 2 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为3，一次项系数为， 故选：A． 2. 二次函数的对称轴是，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的对称轴． 根据二次函数的对称轴为，将代入求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， 即，解得． 故选：C ． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 直接根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 解得， 即一元二次方程的根是． 故选：A． 4. 二次函数的顶点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此判定即可． 【详解】∵， ∴二次函数的顶点坐标是：． 故选：B． 5. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据确配方法的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方解答即可． 【详解】解： 故选：A． 6. 下列二次函数的图象通过平移能与的图象重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线平移不改变的值，逐项判断即可求解，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过平移后，二次项系数的值不会改变，四个选项中只有选项二次项系数与的二次项系数相等， ∴的图象通过平移能与二次函数的图象重合， 故选：． 7. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟知一元二次方程有两个不相等实数根；一元二次方程有两个相等实数根；一元二次方程没有实数根是解决问题的关键．根据方程有实数根，得出，解不等式即可． 【详解】解：∵方程有实数根， ， ， 故选：D． 8. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 9. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A. 1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患流感 C. 依题意可得方程 D. 不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据每轮传染中平均每人传染了x个人，可得出第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，进而可得出1轮后有个人患了流感，结合“有一人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入中，可求出经过三轮传染后患病人数． 【详解】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人， ∴1轮后有个人患了流感，结论A不符合题意； ∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，结论B不符合题意； 根据题意得：，即，结论C不符合题意； 解得：（不符合题意）， ∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，结论D符合题意． 故选：D． 10. 如图，抛物线的对称轴是，与轴的一个交点的横坐标为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知该抛物线开口向下，对称轴为直线，然后可判断A、B，分别把和代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，即，对称轴为直线，则有， 当时，则；当时，则； 所以错误的是C选项； 故选C． 11. 如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 二、填空题（本大题有4个小题，共13分．13～15题各3分，16题每空2分．） 12. 抛物线有最_____点（填“高”或“低”）． 【答案】高 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由抛物线可知开口向下，所以该抛物线有最高点； 故答案为：高． 13. 已知是方程的两根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系：，．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故答案为：． 14. 一个直角三角形的两条直角边相差，面积为，则斜边长是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，设较短的直角边长是，较长的就是，根据面积是，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长． 【详解】解：设这个直角三角形的较短直角边长为， 则较长直角边长为， 根据题意，得， 解得，， 因为直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去， 所以， 当时，， 由勾股定理，得直角三角形的斜边长为． 故答案为：． 15. 如图，直线与二次函数的图象相交于两点，与轴相交于点，若，则 （1）对称轴是直线_____； （2）_____． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】本题考查了二次函数关于对称轴对称，关键在于结合图形，找到线段的长度，属于基础题． 根据对称轴为直线，结合即可求解． 【详解】解：设对称轴与交于点． ， ， ∴对称轴为直线，， ， ， ， 故答案为：，12． 三、解答题（本大题有8道小题，共63分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， ； （2）， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 17. 已知抛物线，点是图象上一点． （1）求的值； （2）将点向右平移2个单位长度，得到点，判断点是否在该抛物线的图象上，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：由（1）得，点， ∵将点向右平移2个单位长度，得到点， 将代入得， ， 点在抛物线上． 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特点，点的平移，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）抛物线上的点坐标满足相应的函数解析式，所以将代入求解即可； （2）将点向右平移2个单位长度得到点，则，将代入求得，即可判断点在该抛物线的图象上． 【小问1详解】 解：将代入得， ； 【小问2详解】 略 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若此方程的一个根为，求的值； （2）求证：无论取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， 无论取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义和根的判别式． （1）将代入方程即可求出； （2）计算，得到，即可证明论取任何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解：将代入方程得， 解得； 【小问2详解】 略 19. 在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． （1）直接写出函数值随增大而增大时的取值范围； （2）比较的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越近的点，其值越大， ∵，，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性和函数值比较大小，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）先根据抛物线解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的图象和性质解答即可； （2）计算出、两点到抛物线对称轴的距离，根据抛物线开口向下，则距离对称轴越近的点，其值越大，解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴随增大而增大时的取值范围为：； 【小问2详解】 略 20. 如图，两根等长的金属丝各自首尾相接，分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为，正六边形的边长为．求这两根金属丝的总长． 【答案】两根金属丝的总长为 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意列出方程，然后求解即可． 【详解】解：由题得，正五边形的周长为，正六边形的周长为， ， 整理得：， ， 解得：，（舍）， ， 答：这两根金属丝的总长为． 21. 如图，二次函数的图象交轴于原点及点． （1）求抛物线的对称轴及的长； （2）若抛物线顶点到坐标轴的距离和是7，求的值． 【答案】（1）直线， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据二次函数解析式，得出对称轴，再根据对称性求出的长即可； （2）将二次函数配方得到顶点坐标，再根据顶点到坐标轴的距离和是7，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 顶点坐标为， ， 解得：． 22. 如图，某校劳动实践基地计划用长的栅栏，再借助外墙墙长为墙长为）围成矩形基地． （1）如图1，若围成矩形基地面积为，求边的长． （2）如图2，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开1道1米宽的门，若围成矩形基地面积为，求边的长． 【答案】（1）的长为 （2）的长为或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设的长为，则的长为，根据此时的矩形面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设的长为，则的长为，根据此时的矩形面积为，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设的长为，则的长为， 由题得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：的长为； 【小问2详解】 解：设的长为，则的长为， 由题得：， 整理得：， 解得：． 答：的长为或． 23. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）； 画出函数图象，如图， （3）或 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； 【小问3详解】 解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $