精品解析：云南省楚雄彝族自治州民族中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

楚雄州民族中学高三年级9月月考数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定是将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过解不等式明确集合，再求两集合的交集. 【详解】二次不等式，变形得，解得或. 故. 因此. 故选：D 3. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算先计算，再由复数的概念即可求解. 【详解】由题意有， 所以的虚部是. 故选：A. 4. 在中，点在上，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意可知. 故选：C 5. 若双曲线C的实轴长与虚轴长之和为12，且虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线C的半焦距为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，半焦距为，由条件列方程可求，再根据关系求结论. 【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为，半焦距为， 由已知，， 所以，， 所以， 故选：B 6. 某幼儿园老师为了奖励月考成绩前名的小朋友，购买了块巧克力分给这名小朋友，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和是最小一份的倍，则分到最多小朋友得到的巧克力为（　　） A. 块 B. 块 C. 块 D. 块 【答案】C 【解析】 【分析】设这四个小朋友从小到大所得巧克力数为、、、，公差为，则，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，求出的值即可. 【详解】由题可设这四个小朋友从小到大所得巧克力数为、、、，公差为，则， 根据题意可得，即，解得， 所以分到最多小朋友得到的巧克力为块. 故选：C. 7. 记..的内角的对边分别为，且，则一定为（　　） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式、二倍角公式得到，进而得到，由此可得出结论. 【详解】在中， 由正弦定理得，， 即． 又，， 故 所以（舍去）或， 所以. 故为等腰三角形． 故选： B． 8. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出两函数图象，根据交点个数即可求出零点个数. 【详解】由题意，分别画出函数和的图象，如下图所示： 显然的值域为,易知，且当时，两函数图象无交点， 由图可知，与的图象共有10个交点，故原函数有10个零点． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，则（ ） A. C的长轴长为8 B. C的焦点坐标为 C. C的离心率为 D. C上的点到焦点的最大距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程分别得到，然后结合椭圆的几何性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于椭圆，，则， 则， 对于A，椭圆的长轴长为，故A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，且， 则焦点坐标为，故B错误； 对于C，离心率，故C正确； 对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为，故D正确； 故选：ACD 10. 已知，则可能是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式及商数关系将变形，再化简得到，即可根据三角函数值在各个象限的符号判断所在的象限. 【详解】因为，即， 所以， 即，所以， 所以是第二象限角或第四象限角. 故选：BD. 11. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为.下列命题正确的是（ ） A. 当时，为四边形 B. 当时，为等腰梯形 C. 当时，为六边形 D. 当时，的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意作出满足题意的截面，由线面、面面的位置关系对四个选项逐一判断即可得解. 【详解】选项A，如图1，当时，可在上取到点满足， 可得截面为四边形，所以A正确； 选项B，如图2，当时，即为中点，此时，， 可得截面为等腰梯形，所以B正确； 选项C，如图3，当时，此时的截面为五边形，所以C错误； 选项D，如图4，当时，点与点重合，取的中点， 连接，可证，且， 则截面为菱形，其面积为， 即的面积为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前项和为．若，则__________． 【答案】93 【解析】 【分析】根据题意求得，结合等比数列求和公式求解即可. 【详解】由题意公比，所以，解得， 所以. 故答案为：93. 13. 七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为______． 【答案】192 【解析】 【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解. 【详解】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位， 故不同的排法有种. 故答案为：192. 14. 已知圆和轴相切，且与相切于，则圆的半径为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】设出圆心坐标，根据圆心到切点的距离，圆心到轴的距离等于半径列出等量关系，由导数的几何意义可求切线斜率，于是又可列得圆心和切点的连线垂直切线，得到另一个方程，进而得解. 【详解】设圆心坐标为，半径为，由题知， 注意到圆心和切点的连线的斜率和切线斜率互为负倒数， ，则，时，， 即在切线斜率是， 于是，则， 联立消去字母得到， 解得或，又圆和轴相切，则或. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． （1）求点的坐标以及抛物线方程； （2）若点与关于点对称，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线过点、求出可得答案； （2）求出点坐标，由可得答案． 【小问1详解】 因为抛物线过点，则①，又， 且焦点为，即②， 结合①②解得(舍)，或， 即； 【小问2详解】 当时，，则， 所以． 16. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. （1）求的最小值； （2）当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平移及函数的奇偶性即可得参数的取值，从而可得最小值； （2）利用三角函数恒等变形，结合余弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由，向左平移个单位长度可得： ， 因为是奇函数，所以，， 所以，， 因为，所以当时，取到最小值为. 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以时，取得最大值， 此时，由，得. 所以的取值集合为. 17. 如图，等腰梯形中，，垂足为点，延长线段至点，使得．将沿翻折至的位置，使得． （1）证明：平面平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分几何体的外接球的表面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的边角关系，利用勾股定理求解长度，即可证明线线垂直，进而可证明平面，平面得解， （2）建立空间直角坐标系，求解向量的夹角即可得解， （3）根据三角形相似，以及正弦定理，即可求解半径，由球的表面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 在中，因为，所以， ,可得． 因为平面， 所以平面．因为平面， 所以． 在中，因为， 所以，即． 又平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，， 所以． 设直线与所成的角为， 则， 故直线与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 如图， 设，则三棱锥即为所求的公共部分． 设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为． 因为，所以，则． 由正弦定理得， 由于平面，故,即， 所以． 18. 在中，角，，所对的边是，，，已知，外接圆面积为． （1）求的长； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理化简已知式，借助于外接圆面积即可求解； （2）利用向量数量积的定义化简已知式得，推得角为钝角，由余弦定理得，再由正弦定理求得，则得，进而，求得，即得的周长. 【小问1详解】 由可得，即得， 设外接圆半径为，依题意，即， 由正弦定理，，则得，解得. 【小问2详解】 由（*），可知角为钝角， 又由余弦定理，，可得. 由正弦定理，，可得，因角为钝角，故， 代入（*），可得，故，则， 故的周长为. 19. 已知函数． （1）当时． （i）求的值； （ii）证明：在区间各恰有一个极值点． （2）若当，，求． 【答案】（1）（i）；（ii）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）求导，根据导数的定义即可求解；（ii）求导，构造函数，根据的单调性确定的正负，即可结合极值的定义求解， （2）分类讨论，构造，根据的单调性，结合函数单调性的定义，即可求解. 【小问1详解】 （i）当时，， 则． 由导数的定义可得 （ii）令，则，令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 又， 所以存在唯一，使得， 且存在唯一，使得 所以当时，，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在区间上有唯一极大值点，在区间上有唯一极小值点． 【小问2详解】 由题意得， 令则，令，则， 当时，在上单调递增，故单调递增． ①当时，令， ，由（1）知：在区间上，，且在上单调递减，故，因此，故在区间上单调递减， 当时，若，则，单调递增，此时，不符合题意； 当时，存在唯一的，使得当时，单调递增，则，不符合题意． ②当时，， 且当时，，单调递减， 故存在唯一的，使得当时，单调递减， 则，不符合题意． ③当时，，不符合题意． ④当时， 所以存在唯一的，使得． 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，，单调递减， 且当时，单调递增， 所以当时，，符合题意； 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州民族中学高三年级9月月考数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点在上，满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线C的实轴长与虚轴长之和为12，且虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线C的半焦距为（　　） A. B. C. D. 6. 某幼儿园老师为了奖励月考成绩前名的小朋友，购买了块巧克力分给这名小朋友，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和是最小一份的倍，则分到最多小朋友得到的巧克力为（　　） A. 块 B. 块 C. 块 D. 块 7. 记..的内角的对边分别为，且，则一定为（　　） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 8. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆，则（ ） A. C的长轴长为8 B. C的焦点坐标为 C. C的离心率为 D. C上的点到焦点的最大距离为 10. 已知，则可能是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 11. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为.下列命题正确的是（ ） A. 当时，为四边形 B. 当时，为等腰梯形 C. 当时，为六边形 D. 当时，的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等比数列的前项和为．若，则__________． 13. 七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲、乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法种数为______． 14. 已知圆和轴相切，且与相切于，则圆的半径为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若． （1）求点的坐标以及抛物线方程； （2）若点与关于点对称，求． 16. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数. （1）求的最小值； （2）当最小时，求函数取得最大值时，的取值集合. 17. 如图，等腰梯形中，，垂足为点，延长线段至点，使得．将沿翻折至的位置，使得． （1）证明：平面平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求三棱锥与三棱锥所围成的公共部分几何体的外接球的表面积． 18. 在中，角，，所对的边是，，，已知，外接圆面积为． （1）求的长； （2）若，求的周长． 19. 已知函数． （1）当时． （i）求的值； （ii）证明：在区间各恰有一个极值点． （2）若当，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $