精品解析：江西省鹰潭市余江区第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

余江一中2024级高二年级上学期第一次月考 数学试卷 满分150分时间 120分钟 一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般式化为斜截式，由斜率与倾斜角的关系计算即可. 【详解】由化为，即该直线斜率为， 所以其倾斜角为. 故选：A 2. 已知直线与直线平行，则m的值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线  和  互相平行列式求参即可. 【详解】因为直线  和  互相平行，且两直线的斜率一定存在， 所以  即  ，所以  . 故选：A 3. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 4. 已知圆与圆有三条公切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，利用圆心距等于半径之和即可求解. 【详解】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D 5. 已知椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件结合椭圆的定义求出，设出点坐标，由给定弦长求出即可得解. 【详解】因为椭圆上任意一点到，的距离之和为，由椭圆的定义得，即， 令椭圆：的半焦距为， 则，则直线， 由，解得， 于是得，则， 所以椭圆的方程为. 故选：C 6. 一条光线从点射出，经过直线反射后，反射光线经过椭圆的右焦点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得关于直线的对称点，椭圆的右焦点，从而求得反射光线所在直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， ，解得， 椭圆的右焦点， 直线也即反射光线所在直线方程为. 故选：C 7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 即曲线表示以坐标原点为圆心，半径为的圆在轴及轴上方部分的半圆， 直线经过定点，如图， 当直线与半圆相切时，， 所以直线与曲线恰有两个公共点时，由图可知，， 即. 故选：D． 8. 已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（ ） A. 与圆O相切 B. 是两条平行的直线 C. 的最大值为 D. 上的点到原点O的距离的最大值为6 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，设，利用先求出动点M的轨迹方程，得到是圆心在点，半径为的圆，结合作图，利用圆与圆之间位置关系判断，圆的切线性质以及圆上的点到定点距离的最值求解逐一判断各选项即可. 【详解】 设，由题意，，因，代入坐标可得：， 两边取平方，整理得：，即， 故点M的轨迹为是圆心在点，半径为的圆. 对于A，因圆与圆的圆心距满足，故两圆相交，即A错误； 对于B，由上分析知是圆心在点，半径为的圆，故B错误； 对于C，如图，当与圆相切时，取得最大值，此时记切点为， 因，则，故得的最大值即，故C正确； 对于D，由上分析，因圆的圆心与原点O都在轴上， 故圆与轴的右交点到原点O的距离最大，且距离最大为，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的方程，下列说法正确的是（　　） A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D. 该方程不可能表示直线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆方程及圆的方程特征，逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，故B错误； 对于C，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故C正确； 对于D，当，，方程表示两条直线，故D错误. 故选：AC 10. 某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知R为火星的半径，远火星点N到火星表面的最近距离为，则（ ） A. 椭圆轨道的离心率为 B. 圆形轨道的周长为 C. 火星半径为 D. 近火星点与远火星点的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项 【详解】如图 以线段的中点为原点，所在直线为x轴，以的方向为x轴正方向建立直角坐标系，则可设轨道所在的椭圆的标准方程为，则由已知， 所以，故离心率为，A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为，所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为，所以B正确，C错误； 因为近火星点与远火星点的距离为，D正确． 故选：ABD． 11. 已知直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 所有圆均不经过点 B. 若圆关于直线对称，则 C. 若直线与圆相交于、，且，则 D. 不存在圆与轴、轴均相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】A假设存在圆经过点，将代入圆的方程判断是否有解；B由在直线上，代入即可判断；C几何法先求到直线的距离，结合点线距离列方程求；D根据题设，假设存在圆与数轴相切，判断是否有解. 【详解】A：将代入，则， 所以，此时， 所以不存在值，使圆经过点，对； B：若圆关于直线对称，则在直线上， 所以，则，对； C：由题意，到直线的距离， 所以，则，可得或，错； D：若圆与轴、轴均相切，则，显然无解，即不存在这样的圆，对； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆：与圆内切，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，解得答案. 【详解】因为两圆内切，所以圆心距等于半径之差的绝对值，所以， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系求参数，意在考查学生的对于圆和圆位置关系的理解和应用. 13. 已知为椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且以为直径的圆过，当，该椭圆的离心率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由圆的圆周角的性质得出，且，由于，则，，利用椭圆的定义得，即可得出和的关系，从而可求出椭圆的离心率. 【详解】解：由题意知，以为直径的圆过，点为椭圆的右焦点， 则，且， 又，则，， 设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得 由椭圆的定义得，则，即：， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的离心率和简单几何性质，以及椭圆定义的应用和圆的性质的应用. 14. 已知点到动直线的投影点为Q，若点，则的最大值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】求出直线所过定点，设点，由⊥得到点轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而得到的最大值为，得到答案. 【详解】变形为， 令，解得， 故恒过点， 设点，则⊥， 即， 整理得， 所以点轨迹为以为圆心，为半径的圆， 又，即在圆外， 则的最大值为. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求： （Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程； （Ⅱ）求△ABC的面积． 【答案】（Ⅰ）x-3y+1=0（Ⅱ）10 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出中点D的坐标，利用直线方程的两点式即可得解． （Ⅱ）求出的长度，再求出直线的方程及点到直线的距离，问题得解． 【详解】解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3）， ∴D（-1，0）． ∴直线AD的方程为， 整理得：x-3y+1=0； （Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3）， ∴|BC|=． 又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为， ∴△ABC的面积为=10． 【点睛】本题主要考查了中点坐标公式及直线方程的两点式，考查了两点距离公式及点到直线的距离公式及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题． 16. 已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标求出椭圆方程即可. （2）根据已知条件确定是直角三角形，然后求得外接圆半径和圆心坐标，即可求出圆的方程. 【小问1详解】 因为直线过点和， 所以且，则， 所以所求椭圆的方程为． 【小问2详解】 如图，若点在椭圆上，根据椭圆的定义，可得． 因为，所以， 又因为，所以，则，即是直角三角形． 所以的外接圆圆心为，半径， 所以外接圆方程为． 17. 已知圆，直线． （1）设与圆交于，两点，若，求的倾斜角； （2）设与圆交于，两点，求中点的轨迹方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由弦长及圆的半径求得弦心距，再由圆心到直线的距离列式求得的值，则直线的倾斜角可求； （2）由是弦的中点，所以，得弦的中点的轨迹. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，则， ， ，解得． 所以直线的方程为或． ∴直线的斜率为，故直线的倾斜角为或． 【小问2详解】 直线，即， 令，解得，所以直线过定点, 因为轴，当为的中点时，则轴， 所以的方程为，显然不符合题意， 故不为的中点， 因为与圆交于两点，是的中点，所以， 又因为过定点， 所以， 所以中点的轨迹是以为直径端点的圆（除点）. 所以，即. 18. 已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （1）若P的坐标为，求过点P的切线方程； （2）试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； （3）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 【答案】（1）或， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径即可求得斜率即可得方程 （2）设，可得为直径得方程，可求得直线得方程为，即可得定点. (3)由可得，进而可得：• ，可求得其范围. 【小问1详解】 由图像易知：是其一条切线， 设另切线方程为 ，即 圆心坐标为，半径 根据圆的切线的定义可知：，即 解得： 代回方程可求得切线方程为： 所以或， 过点P的切线方程为：或， 【小问2详解】 ∵圆 ∴圆心，半径， 设，由题意知在以为直径的圆上，又, ∴以为直径的圆的方程为：，即 又圆C：，即 故直线的方程为，即 由，解得， 即直线AB恒过定点. 【小问3详解】 由，得 ∴ 设， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的取值范围为. 19. 如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值； （3）以点为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：设，则，故， 而，故. 故为定值且定值为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得的关系，再根据可求，故可求标准方程. （2）设，则可得，根据在椭圆上可得定值. （3）求出的方程，分别联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程后可得的横坐标，从而可得面积之比，结合换元法可得范围. 【小问1详解】 由题设有，且，故， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设. 圆，直线， 由可得即， 故， 由可得即， 同理， 而，， 而，故 ， 令，故，其中， 故 ， 而，故，故. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用斜率或点的坐标表示目标函数，后者需要结合不等式、函数性质或导数等工具来求范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余江一中2024级高二年级上学期第一次月考 数学试卷 满分150分时间 120分钟 一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线平行，则m的值为（ ） A. 4 B. 9 C. D. 3. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆有三条公切线，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（　　） A. B. C. D. 6. 一条光线从点射出，经过直线反射后，反射光线经过椭圆的右焦点，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 8. 已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（ ） A. 与圆O相切 B. 是两条平行的直线 C. 的最大值为 D. 上的点到原点O的距离的最大值为6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于的方程，下列说法正确的是（　　） A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D. 该方程不可能表示直线 10. 某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知R为火星的半径，远火星点N到火星表面的最近距离为，则（ ） A. 椭圆轨道的离心率为 B. 圆形轨道的周长为 C. 火星半径为 D. 近火星点与远火星点的距离为 11. 已知直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 所有圆均不经过点 B. 若圆关于直线对称，则 C. 若直线与圆相交于、，且，则 D. 不存在圆与轴、轴均相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若圆：与圆内切，则_______ 13. 已知为椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且以为直径的圆过，当，该椭圆的离心率是_______. 14. 已知点到动直线的投影点为Q，若点，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求： （Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程； （Ⅱ）求△ABC的面积． 16. 已知直线同时过椭圆的右焦点和上顶点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且，求外接圆的方程． 17. 已知圆，直线． （1）设与圆交于，两点，若，求的倾斜角； （2）设与圆交于，两点，求中点的轨迹方程． 18. 已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （1）若P的坐标为，求过点P的切线方程； （2）试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； （3）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 19. 如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值； （3）以点为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $