精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2026届10月月考 数学卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 样本数据12，18，14，16，20，20的中位数为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】将所给的样本数据从小到大排列，根据中位数的定义可求. 【详解】将样本数据12，18，14，16，20，20从小到大排列，可得：12，14，16，18，20，20. 所以这组数据的中位数是. 故选：C. 2. 已知集合，，则的子集个数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，根据其含有元素个数确定子集个数. 【详解】，因为， 所以含有个元素，所以的子集个数为. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据共轭复数的定义求出，再利用的性质对进行化简求解． 【详解】， ， ， ， 故选：B． 4. 设随机变量，则（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.65 D. 0.70 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量，， 所以. 故选：B. 5. 若等比数列满足已知，，则的公比为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设出公比后借助等比数列性质计算即可得. 【详解】设数列的公比为，则有，， 则，即. 故选：A. 6. 表示不超过x的最大整数，例如，，，则不等式的解集为（ ） A. ∅ B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，得.讨论和两种情况下的取值情况，可得不等式的解集. 【详解】由，得 当，即时，，所以的值只能为1，所以. 当，即时，，所以无解. 综上所述，不等式的解集为. 故选：D. 7. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设出直线方程后，结合韦达定理与抛物线定义计算即可得. 【详解】由可知，设，、， 联立，则有， 故，即， 又，， 由，则，即有， 则， 即，则或， 又，故，则，则. 故选：A. 8. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件得出与的关系，再将进行化简，最后结合向量模的性质求出其取值范围. 【详解】因为，，， 两边平方可得， 化简可得，故， ， ， 因为， , ， ， 故选：. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的图象 B. 与有相同的零点 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用诱导公式与正弦型函数的图像性质可判断A选项；利用正弦型函数的零点可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项；利用正弦型函数的对称轴可判断D选项． 【详解】对于A，因，则与的图象关于轴对称，故A错误； 对于B，由可得，即，由可得，即， 故与有相同的零点，故B正确； 对于C，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 则与有相同的最小正周期，故C正确； 对于D，函数的对称轴满足，即的对称轴为， 函数的对称轴满足，即的对称轴为， 故与的图象有相同的对称轴，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，则.根据棱锥的体积公式分别计算出，将题中多面体补成正方体，可求得，然后依次判断各选项即可. 【详解】因为平面，，所以平面. 设，则. 所以，. 把多面体补成如图正方体： 则. ，. 所以. 所以，，，. 故选：ACD. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 若是的两个不相等的实数根，则 D. 若是的两个不相等的实数根，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数，研究函数的单调性、极值、简图，并根据性质逐项分析即可. 【详解】函数的定义域为R，. 当或时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 选项A：在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点.所以选项A错误； 选项B：因为在上单调递增，当时，，所以，所以选项B正确； 选项C：因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ，所以函数的简图如下： 若是的两个不相等的实数根，则.不妨设. 当时，，则； 当时，，则. 当时，由得， 化简，得：， 所以 因为，所以 因为，所以 整理，得：，即， 所以，. 综上所述，.所以选项C 正确； 选项D：由选项C 知：当时，，则； 当时，，则. 所以. 所以 因为，所以. 所以选项D 正确. 故选：BCD . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知双曲线的渐近线方程为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】把方程化为双曲线的标准方程，依据双曲线的渐近线方程的求法，可得答案. 【详解】因为为双曲线，所以 ， 所以方程可化为：， 这是双曲线的标准方程，其中 ，， 依据双曲线的渐近线方程为 ， 可得：. 故答案为： 14. 函数的部分图象如图所示，若、，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用图象求出函数的解析式，求出、的取值范围，结合正弦型函数的对称性求出的值，由此可求得的值. 【详解】由图象可得，函数的最小正周期为， 所以，，则， 因为，且函数在附近单调递增， 所以，，则， 因为，所以，，则， 因为、，则，， 又因为，则，可得， 因此，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差后，借助等差数列求和公式与基本量计算即可得； （2）借助等差数列求和公式与作差法计算即可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，有，即， 由，有，将代入得， 则或，又数列的公差不为， 故，则， 故数列的通项公式； 【小问2详解】 ， 则，又，故使成立的的最大值为. 16. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】（1）证明如下： 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 17. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600] 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附：， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）； （3）列联表如下： 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 有. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果； （3）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为； （2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为 （3）列联表如下： 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 ， 因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题. 18. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】 依题意设， 直线的斜率为，则， 所以． 又，所以， 进而有，即是直角三角形． [方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】 由题意设，则． 因为Q，E，G三点共线，所以， 又因为点P，G在椭圆上，所以， 两式相减得， 所以，所以． （ii） 【解析】 【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形； （ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i）略 （ii）[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】 设，则直线的方程为，联立解得 所以直线的方程为． 联立直线的方程和椭圆C的方程，可得， 则， 所以． 令，即 ． 注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，． [方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】 设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为． 由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，． 又，从而，进而．以下同解法一． 【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为是证明垂直的核心和关键； 方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单. (ii)导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解； 19. 记. （1）当时，求的单调区间； （2）证明：对于任意正整数，的单调区间不变，最小正周期不变； （3）记，是的最小值，若对任意正整数，都有，求的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） ， 由于，即， 故当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故其最小正周期， 又， 故其最小正周期， 综上，对于任意正整数，的单调区间不变，最小正周期不变； （3） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化简后，结合余弦函数性质计算即可得； （2）求导后结合三角恒等变换公式化简计算即可得其单调性，再利用单调性可得其最小正周期，再验证为周期即可得； （3）求导后结合三角恒等变换公式化简后结合（1）、（2）计算可得的周期及其单调性，即可得的最小值，再利用等比数列求和公式计算即可得，即可得解. 【小问1详解】 ， 令，，解得，； 令，，解得，； 故其增区间为，减区间为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 而， 故最小正周期，则只需研究时的情况： 结合（1），（2）知的增区间为， 减区间为，且最小正周期为， 又，则， 故， 故当时： ，，，则单调递增， 当时： ，，，则单调递减， 故最小正周期，故其增区间为， 减区间为， 故最小值， 故，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届10月月考 数学卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 样本数据12，18，14，16，20，20的中位数为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 2. 已知集合，，则的子集个数（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 设随机变量，则（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.65 D. 0.70 5. 若等比数列满足已知，，则的公比为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 表示不超过x的最大整数，例如，，，则不等式的解集为（ ） A. ∅ B. C. D. 7. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 8. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的图象 B. 与有相同的零点 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 10. 如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 若是的两个不相等的实数根，则 D. 若是的两个不相等的实数根，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 已知双曲线的渐近线方程为，则_______． 14. 函数的部分图象如图所示，若、，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最大值． 16. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 17. 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 [0，200] (200，400] (400，600] 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附：， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 19. 记. （1）当时，求的单调区间； （2）证明：对于任意正整数，的单调区间不变，最小正周期不变； （3）记，是的最小值，若对任意正整数，都有，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $