精品解析：广东省惠州市惠阳区第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

广东省惠州市惠阳区第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、最高次为 3 次，不符合题意． 故选：B． 2. 一元二次方程的一次项的系数是（ ） A. B. 5x C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的一次项的系数是5， 故选：D． 3. 二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上， 由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）． 故选：D． 4. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 5. 将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为， 故选：D． 6. 已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根， ∴x1•x2＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两个根为x1,x2,则x1+x2=-，x1•x2=． 7. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握，对称轴为直线，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：A． 8. 如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A. 1 B. C. D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 故选A． 9. 已知点A（﹣1，m）、B（﹣2，n）都在二次函数的图像上，则m、n的大小关系是（ ） A. m＜n B. m=n C. m＞n D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】把A,B坐标代入即可比较． 【详解】∵点A（﹣1，m）、B（﹣2，n）都在二次函数的图像上 ∴m=，n= ∴m＜n 故选A． 【点睛】此题主要考查二次函数的函数值大小，解题的关键是熟知二次函数坐标的特点． 10. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若函数是二次函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 根据二次函数定义可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：，解得：， 故答案为：． 12. 一元二次方程有一个根为1，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义，将代入列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得，． 故答案为：5． 13. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的开口向下，可得：＜，解不等式可得答案． 【详解】解： 抛物线的开口向下， ＜， ＜ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是抛物线的开口方向，掌握＞，抛物线的开口向上，＜，抛物线的开口向下，是解题的关键． 14. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的根与系数的关系和勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关系为． 根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，可直接设出，根据韦达定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：设两条直角边的长分别是， ， ， ∴直角三角形斜边的长是． 故答案为：5． 15. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】根据关系式，令h=0求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间. 【详解】解：依题意，令得： ∴ 得： 解得：（舍去）或 ∴即小球从飞出到落地所用的时间为 故答案为4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单. 三、解答题（一）：本大题共3小题，第小题7分，共21分． 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先变形，再直接开平方，即可解答； （2）根据配方法求解即可解答． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 17. 2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的多少人？ 【答案】每轮每人传染的人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染人，第一轮后共有名感染者，第二轮后共有名感染者，由此列方程解答，根据实际情况取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每轮每人传染的人． 18. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】 两位同学的解法都错误， 小敏： 两边同除以，得 ， 则． （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （×） 正确解答： 移项，得， 提取公因式，得， 去括号，得， 则或， 解得，． 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程 【详解】略 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，利用一面长为25米的墙，用总长度51米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． （1） 米（用含的代数式表示）； （2）若长方形围栏的面积为210平方米，求栅栏的长； 【答案】（1） （2）10 米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，根据题意列出一元二次方程是解题的关键； （1）利用的长栅栏的总长度的长，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据长方形围栏的面积为 210 平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长 25 米，即可确定结论； 【小问1详解】 解：根据题意得：米． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为 10 米． 20. 如图，在中，，，，点P由点A出发，沿边以的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿边以的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问： （1）经过几秒后，？ （2）经过几秒后，的面积等于？ 【答案】（1）经过秒后，；（2）经过3秒或5秒后，的面积等于． 【解析】 【分析】（1）设经过秒后，，则，，据此列出方程求解即可． （2）设经过秒后，的面积等于，则，，利用三角形的面积公式结合的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； 【详解】解：（1）设经过秒后，，则， 依题意，得，化简，得， 解得． 答：经过秒后，． （2）设经过秒后，的面积等于，则， 依题意，得， 化简，得， 解得． 答：经过3秒或5秒后，的面积等于． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，则称该方程为“倍根方程”．如的两个根是,，4是2的2倍，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“倍根方程”． ① ② （2）若关于x的方程（）是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）①它是“倍根方程”；②它不是“倍根方程” （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解与解一元二次方程，分式的化简求值，理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解方程，然后根据“倍根方程”的定义进行直接判断； （2）根据“倍根方程”的定义找出，之间的关系，进行分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：①， 因式分解，得， ∴或， 解得， ∴， ∴是“倍根方程”； ②， 因式分解，得， ∴或， 解得， ∵，， ∴不是“倍根方程”； 【小问2详解】 解：解方程得，， ∵该方程是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 即或， 当时，即， ， 当时，即， ， ∴的值为或． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）． 素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是． 素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是． 问题解决 任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高． 任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高． 任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】任务一：该长方体盒子的高为；任务二：该长方体盒子的高为；任务三：每个有盖盒子应降价元或元. 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； 任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，再解方程并检验即可； 任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，再解方程并检验即可； 任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，再解方程即可. 【详解】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意舍去， ∴， ∴该长方体盒子的高为； 任务二：设剪去的正方形的边长为，则 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意舍去， ∴， ∴该长方体盒子的高为； 任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则 ， 整理得：， 解得：，， 答：每个有盖盒子应降价元或元. 23. 如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点D是该抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）请在y轴上找一点E，使的周长最小，求出点E的坐标； （3）直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为或或1或2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的定义等知识点． （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求顶点，则，则当取得最小值时，的周长最小，过点作轴的对称点，则，连接，，此时与轴交点即为点由对称可得，根据两点间线段最短可得，再求出直线的解析式，令即可求解． （3）分，，三种情况讨论，利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入函数解析式，得 ， 解得， 这个二次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：， ∴顶点， ∴， ∴当取得最小值时，的周长最小， 过点作轴的对称点，则，连接，，此时与轴交点即为点 由对称可得，根据两点间线段最短可得 设直线， 则代入，， ∴， 解得， ∴直线， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：对于，当， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 如图： 设，， 则，， 当时，①， 解得，（舍去）， ②， 解得，（舍去）， 当时，，此时N在x轴上， ， 解得或（舍去 当时，， ， 解得或（舍去， 当是等腰三角形时，的值为或或1或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市惠阳区第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项的系数是（ ） A. B. 5x C. 1 D. 5 3. 二次函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 5. 将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C. D. 2 7. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 8. 如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A. 1 B. C. D. 1或 9. 已知点A（﹣1，m）、B（﹣2，n）都在二次函数的图像上，则m、n的大小关系是（ ） A. m＜n B. m=n C. m＞n D. 不能确定 10. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若函数是二次函数，则___________． 12. 一元二次方程有一个根为1，则________． 13. 如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________． 14. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是___________． 15. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第小题7分，共21分． 16. 用适当的方法解方程 （1） （2） 17. 2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的多少人？ 18. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，利用一面长为25米的墙，用总长度51米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． （1） 米（用含的代数式表示）； （2）若长方形围栏的面积为210平方米，求栅栏的长； 20. 如图，在中，，，，点P由点A出发，沿边以的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿边以的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问： （1）经过几秒后，？ （2）经过几秒后，的面积等于？ 21. 如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，则称该方程为“倍根方程”．如的两个根是,，4是2的2倍，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“倍根方程”． ① ② （2）若关于x的方程（）是“倍根方程”，求代数式的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）． 素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是． 素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是． 问题解决 任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高． 任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高． 任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 23. 如图，已知二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点D是该抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）请在y轴上找一点E，使的周长最小，求出点E的坐标； （3）直线分别交直线和抛物线于点M，N，当是等腰三角形时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $