福建省华安县第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年(上)学华安一中第一次月考 高二数学试卷 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在等比数列中，，则（    ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3．设数列的前项和为．若，，则（   ） A．61 B．121 C．125 D．364 4. 设为等比数列的前项和，且，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 11 5. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A 36 B. 35 C. 42 D. 38 6. 数列满足,若．则等于（　　） A. B. C. D. 7．等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 8. 已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 10. 设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值为常数的是（ ） A. B. C. D. 11. 设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ） A B. 当且仅当时，取得最大值 C. 时，n的最大值为33 D. ，，，……，，……中，最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和，则____________． 13. 设是公差为正数的等差数列，若，，则_____________． 14. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 等比数列中，． （1）求通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 16.（本小题15分） 设是公比为正数的等比数列，，.设的前项和，. （1）求与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 17. （本小题15分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 18. （本小题17分）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 19.（本小题17分） 已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． （1）求、、； （2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求证：． 高二上数学第一次月考参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【详解】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴⇒d＝2 2. 在等比数列中，，则（    ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】A 【分析】根据求出，再根据可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得q＝2，所以. 3．设数列的前项和为．若，，则（   ） A．61 B．121 C．125 D．364 【答案】D 【分析】根据递推关系式求出及与的关系式，结合等比数列的求和公式计算即可. 【详解】因为，①， 所以当时，， 当时，②， ①-②得，， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 4. 设为等比数列的前项和，且，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 11 【答案】A 【分析】根据已知求出数列公比即可由等比数列求和公式得出. 【详解】，，，则公比， ，，. 5. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 36 B. 35 C. 42 D. 38 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，故 6. 数列满足,若．则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据依次求解，得到周期数列，最小正周期为4，从而求出. 【详解】，则， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， ……， 故为周期数列，最小正周期为4， ，故 7.等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由与的关系计算可得. 【详解】由可设， 则，， 所以 8. 已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出的通项公式，再求出的通项公式，利用错位相减法求和，最后确定的最大值. 【详解】由题数列的前项和， 当时，； 当时，；也满足； 所以， 所以数列的各项为， 数列的各项为 所以数列与数列的公共项从小到大排列得到数列， ， 所以， 所以，① ，② 则①-②得： 则， ，， 所以单调递增； 若 当时 当时 所以的正整数的最大值为6. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【分析】只需把分别代入数列通项公式检验即得. 【详解】对于A项，分别把代入，即得，故A项正确； 对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误. 故选：AC. 10. 设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值为常数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【分析】设公比为，依题意可得，再根据等比数列通项公式及前项和公式计算可得； 【详解】解：因为在等比数列中满足，设公比为，所以，即，解得，所以，，，所以，， 故选：ABC 11. 设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当且仅当时，取得最大值 C. 时，n的最大值为33 D. ，，，……，，……中，最大值为 【答案】ACD 【分析】由数列的前n项和求出通项公式，由此判断出等差数列的单调性和符号，找到，可判定A、B；再解不等式，判定C；再由的最大值和的最小正项求出的最大值. 【详解】对于A项，．当时，； 当时， 时，，满足． 综上所述，，A正确； 对于B项，要使取得最大值， 则应有，即，解得． 又，所以当或时，取得最大值．故B不正确； 对于C项，由A知，， 解，可得． 所以，时，n的最大值为33．故C正确． 对于D项，由前面可知当，， 且当时，取得最大值，是最小正项，所以D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和，则____________． 【答案】 【分析】利用可得出数列的通项公式. 【详解】因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，因此，. 故答案为：. 13. 设是公差为正数的等差数列，若，，则_____________． 【答案】39 【分析】利用等差数列的性质求得，继而求得，可求出公差，继而利用等差数列性质结合通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意是公差为正数的等差数列，设公差为， ，， 则，则， 故，故， 故， 故答案为：39 14. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______. 【答案】【详解】由题意知， 前99组数共包含 个数， 则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项， 即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【答案】（1）或 . （2）. 【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m． 详解：（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或．-----------------------------------------------------------6分 （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，．-------------------------------------------------------------------------------------13分 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题． 16.（15分） 设是公比为正数的等比数列，，.设的前项和，. （1）求与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1）, （2） （3） 【分析】（1）根据等比数列的定义以及通项公式即可求得，利用和之间的关系可求得； （2）利用分组求和的方法结合等差以及等比数列的前n项和公式，即可得答案; （3）结合（1）可得的表达式，利用裂项求和法即可求得答案. 【小问1详解】 由题意是公比为正数的等比数列，，， 设公比为q，则， 故； 由的前项和，，则， 当时，， 也适合该式，故.---------------------------------4分 【小问2详解】 由题意可得 .----------------------------------------------------------------9分 小问3详解】 由（1）得， 故 .------------------------------------------------------15分 17. （15分）记Sn为等差数列{an}前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果； （2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 根据题意有， 解答，所以， 所以等差数列的通项公式为；------------------7分 （2）由条件，得，即， 因为，所以，并且有，所以有， 由得，整理得， 因为，所以有，即， 解得， 所以的取值范围是：---------------------------------------------15分 18. （17分） 已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【详解】（1）当时，， 当时，. 又注意到，符合上式，则；....................7分 （2）即判断是否成立，由（1）可得，， 则 ，则当时，；时，. 则在时，取最大值，则，因， 则不存在正整数m，使得成立. ....................17分 19.（17分） 已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． （1）求、、； （2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1），， （2）证明见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用递推公式逐项计算可得出、、的值； （2）由已知条件可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （3）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得出的值，结合已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 解：因为知数列满足：，且， 由，可得， 由，可得， 由，可得.------------------4分 【小问2详解】 解：由可得，且， 所以，数列是公比和首项都为的等比数列， 所以，，故.----------------------------8分 【小问3详解】 解：设等差数列的公差为，且， 因为，可得， 因为、、成等比数列，即， 因为，解得，所以，， ， 且数列前项和为，则数列单调递增，所以，， 因为， 综上所述，对任意，.-----------------------------------------17分 - 2 - 第一次月考高二上数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 $