精品解析：四川省遂宁市射洪市射洪中学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

射洪中学高2024级高二上期第一学月考试 数学试题 命题人：文一鸣 审题人：郭益 校对：杨勇 文质彬 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：概率+空间向量与立体几何. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. 5 D. 2 3. 已知两个向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机事件A和互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D. 若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件与事件相互独立，且，则__________． 13. 在平行六面体中，，，M为的中点，则______. 14. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有___________.    ①当向运动时，二面角的大小不变 ②二面角的最小值为 ③当向运动时，总成立 ④在方向上的投影向量为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求； （2）求 （3）求； 16. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 17. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率． 18. 已知正方体的棱长为4，，，，分别为，，，的中点. （1）求证：面面； （2）求面与面的距离； （3）求四棱锥的体积. 19. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2024级高二上期第一学月考试 数学试题 命题人：文一鸣 审题人：郭益 校对：杨勇 文质彬 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围：概率+空间向量与立体几何. 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果. 【详解】根据向量减法原则，，而， 故. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的线性运算求出向量的模. 【详解】若，所以， 故. 故选：A. 3. 已知两个向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线定理，可得的值，即可得到结果. 【详解】向量，且，则存在实数，使得， 即，所以,解得, 故， 故选：B 4. 已知随机事件A和互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果． 【详解】因为与互斥，则， 可得， 所以. 故选：D． 5. 在四面体中，点是靠近的三等分点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】解：点是靠近的三等分点， . 故选：D. 6. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乙不输与甲获胜对立事件，根据概率公式计算即可． 【详解】∵乙不输与甲获胜对立事件， ∴乙不输的概率是， 故选：A. 7. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出以及，根据投影向量的含义即可求得答案. 【详解】由题意向量， 故，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D. 若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】A直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，据此可得答案. B注意到当时不满足题目描述； C由投影向量计算公式可判断选项正误； D两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于0，且两向量不共线，据此可判断选项正误. 【详解】A选项，注意到，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误； B选项，注意到当时，若，则不存在，使，故B错误； C选项，在上的投影向量为， 故C正确； D选项，向量，的夹角为钝角，则且不共线， 得，故D错误. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算法则求解即可． 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：AD 10. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 11. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则相互独立 D. 若相互独立，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，；B选项，；C选项，，C正确；D选项，若相互独立，则相互独立，利用进行求解. 【详解】对于A，若，则，A正确； 对于B，若，则事件互斥， 所以，B错误； C选项，因为，所以，则相互独立，C正确； D选项，若相互独立，则相互独立，且， 所以，D错误． 故选：AC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件与事件相互独立，且，则__________． 【答案】0.7 【解析】 【分析】利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解． 【详解】因为事件与事件相互独立，， 所以， 所以, 故答案为：0.7． 13. 在平行六面体中，，，M为的中点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得的值． 【详解】在平行六面体中，，， ，M为的中点， ， 所以. 故答案为： 14. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有___________.    ①当向运动时，二面角的大小不变 ②二面角的最小值为 ③当向运动时，总成立 ④在方向上的投影向量为 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据已知条件建系结合二面角定义及二面角余弦的坐标公式计算判断①②，再应用数量积为0判断垂直判定③，最后应用投影向量定义计算判断④. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，， 因为在上，且，故可设，，， 所以，. 对于①，连接，平面即为平面，而平面即为平面， 故当向运动时，二面角的大小不变，①对； 对于②，设平面的法向量为，又， 所以， 所以 取，则，所以是平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为，所以， 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 因为，故，所以， 当且仅当时取最大值，此时取最小值，②对； 对于③，因为， 故不恒为零，③错； 对于④，因为，，所以， 故在方向上的投影向量为，④对. 故答案为：①②④. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求； （2）求 （3）求； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量数量积坐标公式计算求解； （2）应用空间向量夹角坐标公式计算求解； （3）应用空间向量线性运算律及模长坐标公式计算求解. 【小问1详解】 因为向量，， 所以. 【小问2详解】 【小问3详解】 因为， 所以. 16. 已知向量，，. （Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据可求得,再根据垂直的数量积为0求解即可. (Ⅱ)根据共面有,再求解对应的系数相等关系求解即可. 【详解】解：(Ⅰ)因为,所以. 且. 因为向量与垂直, 所以. 即. 所以实数和的值分别为和. (Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关系等.属于基础题. 17. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出； （2）根据分层抽样得到选取的6人中观看时长在和的人数，利用列举法求出相应的概率. 【小问1详解】 ， 解得； 【小问2详解】 和的频率之比为， 故选取的6人中观看时长在的人数为，设为， 观看时长在的人数为，设为， 则抽取的2人有以下情况，， ， 共15种情况， 其中抽取的2人恰好观看时长在的有， 共6种情况， 故抽取的2人恰好观看时长在的概率为. 18. 已知正方体的棱长为4，，，，分别为，，，的中点. （1）求证：面面； （2）求面与面的距离； （3）求四棱锥的体积. 【答案】（1） 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，∴，， 设是平面的法向量，设是平面的法向量， 则解得 取，则，，得是平面的一个法向量. 则解得， 取，则，，得是平面的一个法向量. ∴，∴平面平面. （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，证明这两个法向量平行或相等即可. （2）利用点到平面距离的向量公式计算即可； （3）直接利用棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面平面， ∴平面与平面的距离等于点到平面的距离， ∵，，∴， 又∵是平面的一个法向量， ∴平面与平面的距离. 【小问3详解】 由（2）知点到平面的距离为， ∵，∴梯形为等腰梯形，易得梯形的高为 ∴，. 19. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， . 不妨设，则， . 又， ， . 又平面， 平面； （2） （3）存在，且. 【解析】 【分析】（1）取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，求得，由，即可求证平面； （2）求得平面的一个法向量，设向量与的夹角为，根据，即可求得答案； （3）设，求向量与平面的法向量所成角的余弦值，列出方程求解，即可得出的值，从而可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量为， 不妨设，则，， . 设向量与的夹角为， 则， ， 平面与平面所成二面角的正弦值为； 【小问3详解】 设， 则，所以， 又平面的一个法向量为， 即直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 【点睛】本题主要考查向量法求证线面平行和向量法求二面角，以及由线面角求其它量的问题，属于常考题型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $