4.2.4余角、补角学案 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

该初中数学导学案围绕余角和补角展开，引导学生理解概念、掌握性质及应用。课前通过复习角的和差与角平分线等旧知，结合三角尺观察引入新知，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料注重概念形成与几何语言规范，例题运用方程思想培养运算能力，变式与综合题发展推理意识和创新意识。课前预习、课中探究及分层练习设计，便于学生自主学习，助力教师教学评估。

余角、补角 一、学习目标 1. 理解余角和补角的概念，能根据图形判断两个角是否互余或互补。 2.能熟练求出一个角的余角和补角。 3.掌握“同角（或等角）的余角相等”、“同角（或等角）的补角相等”的性质，并能运用这些性质进行简单的推理和计算。 4. 在运用余角、补角性质解决问题的过程中，体会方程思想和数形结合思想。 二、课前预习 1. 复习旧知： · 什么叫做角的和、差？如何画一个角等于已知角的和或差？ · 什么叫做角的平分线？它有什么性质？ 2. 预习新知：（阅读课本第135-136页） · 观察一副三角尺，同一把三角尺的两个锐角加起来等于多少度？ · 用自己的话说一说，什么样的两个角叫做“互为余角”？什么样的两个角叫做“互为补角”？ · 尝试完成课本第136页的“思考”题，并理解其结论。 3. 预习自测： · ∠A=35°，则∠A的余角是 ______，∠A的补角是 ______。 · 若∠α的补角是120°，则∠α= ______。 三、课堂学习 (一) 概念形成 1. 余角和补角的定义 · 互余： 如果 两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。 · 几何语言： ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∴ ∠1 与 ∠2 互余。 · 互补： 如果 两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。 · 几何语言： ∵ ∠α + ∠β = 180°，∴ ∠α 与 ∠β 互补。 注意： · 互余、互补是指两个角之间的数量关系，与位置无关。 · 强调“互为”，即若∠1是∠2的余角，则∠2也是∠1的余角。 2. 余角和补角的性质 · 性质： 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 · 几何语言： · ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°（同角），∴ ∠2 = ∠3。 · ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，且 ∠1 = ∠3（等角），∴ ∠2 = ∠4。 · 补角的性质同理。 (二) 例题讲解与变式 【例1】 已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数。 · 分析： 设这个角为x°，则它的补角是(180-x)°，余角是(90-x)°。根据“补角=3×余角”建立方程。 · 解： 设这个角为x°。 根据题意，得 180 - x = 3(90 - x) 解方程： 180 - x = 270 - 3x 2x = 90 x = 45 答：这个角是45°。 变式训练1： 1. 已知一个角的补角比它的余角的2倍大35°，求这个角的度数。 (提示：设未知数，列方程。补角 = 2 × 余角 + 35) 2. 若一个角的余角与这个角的补角的比是2:5，求这个角的度数。 【例2】 如图，点A、O、B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC。在图中找出∠COE的余角。 · 分析： 由A、O、B共线可知∠AOC与∠BOC互补。由角平分线定义，可得∠COD与∠COE互余。再利用等量代换找出其他余角。 · 解： ∵ 点A、O、B在同一直线上， ∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°。 ∵ OD平分∠AOC，OE平分∠BOC， ∴ ∠COD = 1/2 ∠AOC，∠COE = 1/2 ∠BOC。 ∴ ∠COD + ∠COE = 1/2 (∠AOC + ∠BOC) = 90°。 ∴ ∠COD 和 ∠COE 互余。 ∵ OD平分∠AOC， ∴ ∠COD = ∠AOD。 ∴ ∠AOD 和 ∠COE 也互余。 ∴ ∠COE的余角是∠COD和∠AOD。 变式训练2： 1. 如图，O是直线AB上与直线DE的交点，∠COD=90o, (1) 图中互余的角共有几对？分别是哪些？ (2) 若∠AOC=40°，求∠BOD的度数。 2. 如图，已知∠AOB是直角，∠BOC=53°，OM平分∠AOC， (1) 求∠MOB的度数。 (2) 图中互余的角有哪些？ 四、课堂练习 一、填空题 1. 若∠α=52°，则∠α的余角是 ______，补角是 ______。 2. 一个角的补角是125°，则这个角的度数是 ______。 3. 若∠1与∠2互余，∠1=35°，则∠2= ______。 4. 若∠3与∠4互补，且∠3:∠4=1:2，则∠3= ______，∠4= ______。 5. “同角或等角的余角相等”这个命题的条件是 _______________________， 结论是 ______________。 二、选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 一个角的补角一定大于这个角 B. 任何一个角都有余角 C. 若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1、∠2、∠3互余 D. 一个角等于它的余角的2倍，那么这个角是60° 2. 如图，∠AOC=∠BOD=90°，下列结论中错误的是（ ） A. ∠AOB=∠COD B. ∠AOD=∠BOC C. ∠AOD与∠BOC互补 D. ∠COD与∠AOB互补(?) 3. 已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 180° 4. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOD=100°，则∠COE的度数是（ ） A. 100° B. 130° C. 140° D. 150° 5. 如果∠1和∠2互余，∠1和∠3互补，∠2和∠3的和等于周角的1/3，那么∠1、∠2、∠3的度数分别是（ ） A. 75°，15°，105° B. 60°，30°，120° C. 50°，40°，130° D. 70°，20°，110° 三、解答题 1. 一个角的余角比它的补角的1/3还少20°，求这个角的度数。 2. 如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD。图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？ 3. 已知∠AOB=90°，OC是任意一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。求∠MON的度数。 4. 如图，已知∠AOD和∠BOC都是直角. (1) 试说明∠AOB与∠DOC的关系，并说明理由。 (2) 若∠DOC=28°，求∠AOC的度数。 5. 如图，点A、O、B在一条直线上，∠AOC=∠BOE，∠COE=90°. (1) 图中与∠AOC互余的角是 ______。 (2) 图中与∠AOC相等的角是 ______。 (3) 图中与∠AOC互补的角是 ______。 五、课后练习 一、填空题 1. 30°角的余角是 ______，补角是 ______。 2. 若一个角的度数是x°，则它的余角是 ______°，补角是 ______°。 3. 若∠α的补角是它的3倍，则∠α= ______。 4.若∠A与∠B互余，且∠A=(3x+10)°，∠B=(x+20)°，则x= ______。 二、选择题 1. 一个锐角的补角与这个角的余角的差是（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 2. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+ ∠COD的度数为（ ） A. 90° B. 120° C. 180° D. 360° 4. 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角。其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=25°30'，则下列结论中不正确的是（ ） A. ∠2=45° B. ∠1=∠3 C. ∠AOD与∠1互为补角 D. ∠1的余角等于65°30' 三、解答题 1. 已知∠1的度数是∠2的度数的2/3，且∠2的补角比∠1的余角的3倍大15°。求∠1的度数。 2. 如图，已知O是直线AB上一点，∠AOC=63°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°。 (1) 求∠BOD的度数。 (2) 请说明OE是否平分∠BOC. 3. 如图，已知∠AOE=100°，∠BOF=80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数。 4. 【综合探究】 已知∠AOB=90°，射线OC在∠AOB的外部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。 (1) 如图1，当射线OC在∠AOB的右侧时，求∠MON的度数。 (2) 当射线OC在∠AOB的左侧时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $