4.2.4余角、补角学案 2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册

余角、补角

一、学习目标

1. 理解余角和补角的概念，能根据图形判断两个角是否互余或互补。

2.能熟练求出一个角的余角和补角。

3.掌握“同角（或等角）的余角相等”、“同角（或等角）的补角相等”的性质，并能运用这些性质进行简单的推理和计算。

4. 在运用余角、补角性质解决问题的过程中，体会方程思想和数形结合思想。

二、课前预习

1. 复习旧知：

· 什么叫做角的和、差？如何画一个角等于已知角的和或差？

· 什么叫做角的平分线？它有什么性质？

2. 预习新知：（阅读课本第135-136页）

· 观察一副三角尺，同一把三角尺的两个锐角加起来等于多少度？

· 用自己的话说一说，什么样的两个角叫做“互为余角”？什么样的两个角叫做“互为补角”？

· 尝试完成课本第136页的“思考”题，并理解其结论。

3. 预习自测：

· ∠A=35°，则∠A的余角是 ______，∠A的补角是 ______。

· 若∠α的补角是120°，则∠α= ______。

三、课堂学习

(一) 概念形成

1. 余角和补角的定义

· 互余： 如果 两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。

· 几何语言： ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∴ ∠1 与 ∠2 互余。

· 互补： 如果 两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。

· 几何语言： ∵ ∠α + ∠β = 180°，∴ ∠α 与 ∠β 互补。

注意：

· 互余、互补是指两个角之间的数量关系，与位置无关。

· 强调“互为”，即若∠1是∠2的余角，则∠2也是∠1的余角。

2. 余角和补角的性质

· 性质： 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。

· 几何语言：

· ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°（同角），∴ ∠2 = ∠3。

· ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，且 ∠1 = ∠3（等角），∴ ∠2 = ∠4。

· 补角的性质同理。

(二) 例题讲解与变式

【例1】 已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数。

· 分析： 设这个角为x°，则它的补角是(180-x)°，余角是(90-x)°。根据“补角=3×余角”建立方程。

· 解： 设这个角为x°。

根据题意，得 180 - x = 3(90 - x)

解方程： 180 - x = 270 - 3x

2x = 90

x = 45

答：这个角是45°。

变式训练1：

1. 已知一个角的补角比它的余角的2倍大35°，求这个角的度数。

(提示：设未知数，列方程。补角 = 2 × 余角 + 35)

2. 若一个角的余角与这个角的补角的比是2:5，求这个角的度数。

 

【例2】 如图，点A、O、B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC。在图中找出∠COE的余角。

· 分析： 由A、O、B共线可知∠AOC与∠BOC互补。由角平分线定义，可得∠COD与∠COE互余。再利用等量代换找出其他余角。

· 解：

∵ 点A、O、B在同一直线上，

∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°。

∵ OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，

∴ ∠COD = 1/2 ∠AOC，∠COE = 1/2 ∠BOC。

∴ ∠COD + ∠COE = 1/2 (∠AOC + ∠BOC) = 90°。

∴ ∠COD 和 ∠COE 互余。

∵ OD平分∠AOC，

∴ ∠COD = ∠AOD。

∴ ∠AOD 和 ∠COE 也互余。

∴ ∠COE的余角是∠COD和∠AOD。