精品解析：河北省石家庄市第三十八中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

38中学2025-2026学年第一次阶段性考试 高三年级数学测试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 若函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 7. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分.） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A B. C. D. 10. 已知幂函数图象经过点，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数 C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：＝________． 13. “生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为______． 14. 若直线是曲线与曲线的公切线，则__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 讨论函数的单调性. 16. 已知为偶函数，为奇函数，且. （1）求，的解析式； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 17. 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． （1）求证：是周期函数； （2）当时，求的解析式； （3）计算 18. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克年；当时，v是x的一次函数，当x达到20尾立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克年. （1）当时，求v关于x的函数解析式； （2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克立方米）可以达到最大？并求出最大值. 19. 已知函数. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 38中学2025-2026学年第一次阶段性考试 高三年级数学测试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合、，从而得到. 【详解】解不等式得，所以， 由得 故选：A 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：B 3. 若函数的满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由极限的定义化简即可求出答案. 【详解】因为， 所以 故选：D 4. 若函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用分离常数法将函数转化为，再利用二次函数的性质求解. 【详解】函数， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以的值域为 故选：C 【点睛】本题主要考查函数值域的求法以及不二次函数的性质的应用，属于基础题. 5. 已知，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解. 【详解】，， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 6. 已知，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【详解】因为， ，， 故. 故选：C. 7. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数与原函数之间的关系，结合图象即可求解. 【详解】由图象可得当时，，当时，. 结合图象可得：当时，，即； 当时，，即； 所以的解集为. 故选：D 8. 已知函数，若关于的方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解出或，然后利用方程的根与函数交点的关系，判断根的个数即可. 【详解】 解得或， 画出的函数图象， 的解得个数，可以看作与的交点个数，显然有两个交点； 因为， 故与需要有三个交点， 由函数图像可知， 解得. 故选：B 【点睛】此题主要考察的是分段函数相关的复合函数的根的个数相关问题，做此类题，大多数都需要数形结合求解. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分.） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的运算法则计算并判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 10. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数 C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据幂函数过点，求出函数解析式，再结合幂函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，则， 所以，其定义域为，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A错； 又，所以是增函数，故B正确； 因此当时，，故C正确； 当时，因，， 则 ，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的性质，所以，可判定A错误；再由函数是以4为周期的周期函数，得到，可判定B正确；结合与周期性，可判定C错误，求得，进而可判定D正确． 【详解】由题意知，得， 的图象关于直线对称，则， 所以，所以，所以A错误； 又由，因为关于点中心对称， 所以，所以， 又因，则， 所以， 所以是以4为周期的周期函数，又，即， 所以，所以B正确； 由，所以C错误； 因为， 所以， 所以，所以D正确． 故选：BD． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：＝________． 【答案】1 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则求解即可. 【详解】原式＝ ＝ ＝＝＝＝1． 故答案为：1. 【点睛】该题考查的是有关对数的运算，涉及到的知识点有对数的运算法则，属于简单题目. 13. “生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为______． 【答案】20 【解析】 【分析】由三元容斥原理求解即可. 【详解】首先设是会打乒乓球的教师，是会打羽毛球球的教师， 是会打蓝球的教师， 根据题意得，，，，， 再使用三元容斥原理得： ， 有， 而中把的区域计算了3次， 于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数. 因此会且仅会其中两个体育项目教师人数为. 故答案为：20. 14. 若直线是曲线与曲线的公切线，则__________. 【答案】11 【解析】 【分析】由直线是曲线的切线，求解得，可得切线方程，再设直线与曲线相切的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求． 【详解】由，得， 由题意可得，解得，， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线切线， 由，得， 设切点为，则，且， 联立得，即，解得，所以． ∴． 故答案为：11. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】先求的导函数，再分和两种情况讨论导数的正负进而判断函数的单调性即可. 【详解】由题意知的定义域为，， 对于，. ①当时，，在上单调递增； ②当时，令， 即， 解得， 令，则或； 令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 16. 已知为偶函数，为奇函数，且. （1）求，的解析式； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数建立方程，解方程即可得答案； （2）由题知，进而得，再解不等式即可得答案. 【小问1详解】 解：因为为偶函数，为奇函数，且有， 所以， 所以，，解得，. 所以，，. 【小问2详解】 解：因为，当且仅当时等号成立， 所以. 所以，对任意的，恒成立，即， 则，即，解得， 所以，的取值范围. 17. 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． （1）求证：是周期函数； （2）当时，求的解析式； （3）计算 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）利用周期函数定义证明即可； （2）当时，可得出，再由可求得解析式； （3）计算出的值，再利用函数的周期性即可解出. 【小问1详解】 ∵对任意实数，恒有， ∴， ∴函数是周期为4的周期函数. 【小问2详解】 ∵，∴. 当时，， 此时. 【小问3详解】 当时，；当时，. ∴， ∴，又函数的一个周期为4， ∴ . 18. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克年；当时，v是x的一次函数，当x达到20尾立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克年. （1）当时，求v关于x的函数解析式； （2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克立方米）可以达到最大？并求出最大值. 【答案】（1） （2）10尾/立方米，12.5千克/立方米 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，分别求出关于的函数关系式，进而可得出当时关于的函数关系式； （2）设鱼的年生长量为千克立方米，写出函数的解析式，分别求出函数在、上的最大值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 由题意得当时，； 当时，设 显然在内是减函数， 由已知得，解得. 所以. 故函数. 【小问2详解】 设年生长量为千克/立方米，依题意并由（1）可得 当时，为增函数， 故； 当时，，. 所以当时，的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克立方米. 19 已知函数. （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 ，， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 【小问2详解】 ∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $