精品解析：江苏省海安市某校2025-2026学年九年级上学期第10月检测数学试卷

2025~2026学年度阶段性学习生活调查九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 8. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线上有点两点，对于任意实数m，若，，都有，则a的值为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为________． 12. 二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为_________． x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 14. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为____． 15. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时____． 16. 若抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是___． 17. 如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则点的坐标是___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点，，连结．若点只在第一象限内运动，过点作于，当取得最大值时，点的坐标是_________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点逆时旋转的． （2）画出关于点的中心对称图形． （3）可由绕点旋转得到，请写出点的坐标． 20. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； ①列表： x … … y … … ②描点、连线； （3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围． 21. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的O处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）． 22. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接、、． （1）求证：； （2）若，，．求的度数． 23. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 24. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 25. 已知关于x的二次函数 （1）若时，求该函数的解析式； （2）当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； （3）若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 26. 综合与实践：某数学兴趣组开展“旋转与作图”探究活动． 【探究情境】 有一张矩形纸片，，．如图1，沿直线将矩形纸片裁剪为和，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点E． 【补图推证】 （1）当的边经过点D时，小组探究“如何在仅有的图中补画”．在完成了第一步“在射线上截取”后，同学们就“如何确定点E的位置”先后发言． ①小丽：如图2，分别以点A，F为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点E．连接，，可以依据“________”证得． ②小强：还可以这样画，如图3，作的垂直平分线，交于点M．分别以点A，M为圆心，线段，长为半径画弧，两弧交于点E．连接，，也可以证得． ③小红：是的．点E始终在以A为圆心，长为半径的圆上，且就是该圆的切线． ①小丽证得的依据是________； ②判断小强的说法是否正确，并说明理由； 【画图再探】 （2）记直线与的边的交点为G，小明提问：当直线经过点C时，能求出的长吗？请在图4中画出图形，并解决小明提出的问题； 【拓广延伸】 （3）请解决小强提出的问题：当E，F，D三点共线时，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度阶段性学习生活调查九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的识别，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，“形如（为常数，且），这样的函数叫做二次函数”，逐项进行判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一次函数，不符合题意； 、是反比例函数，不符合题意； 、是二次函数，符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 故选：． 3. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向下，则解析式中对应的二次项系数为负数，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质逐项分析即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，，故正确； 而与不一定平行，故D不一定正确， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来求解点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换，熟练掌握坐标变换规律是解题的关键． 【详解】解：设点绕原点逆时针旋转后的点为，则，． ∵，即，． ， 点的坐标为， 故选： ． 6. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴点为顶点，其纵坐标为最大值；点、在对称轴右侧， 时，随增大而减小， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，中，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理等知识，由旋转的性质得出的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得， ∴， 根据勾股定理得： ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故选：A． 8. 如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则方程的解为，，由于关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程，所以或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：由二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为， 即抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 即方程的解为，， ∵关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程， ∴或， 解得，， 即关于的一元二次方程的解为，， 故选：D． 9. 如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．证明，推出，得到点在射线上，当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴点在射线上， ∴当时，有最小值， 最小值为， 故选：C． 10. 已知抛物线上有点两点，对于任意实数m，若，，都有，则a的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴和开口方向，则可得到增减性，求出点A关于对称轴的对称点的坐标为，可得，则可推出，进而得到当时，，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，且函数开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，点A关于对称轴的对称点坐标为 ∵，， ∴， ∴点B和点都在对称轴右侧， ∴， ∵， ∴ ∵对于任意的m都满足，即， ∴当时，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的横，纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横，纵坐标均互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 12. 二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为_________． x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答的关键．根据表格数据可得该二次函数的对称轴为直线，进而利用二次函数的对称性可得对应的函数值与对应的函数值相等，进而可求解． 【详解】解：由表格数据，和的函数值相等， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∴和的函数值相等，即， 故答案为：15． 13. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 14. 如图，点E是正方形的边上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，根据旋转的性质可得出，根据等式的性质可得出，根据正方形的面积公式可求出边长，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转到， ∴， ∴，即， 又四边形的面积为144， ∴， ∴边长， 又，， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时____． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的外角，根据旋转的性质，得到，角的和差关系，求出的度数，等边对等角求出的度数， 【详解】解：∵旋转，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：60． 16. 若抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据求出二次函数的顶点坐标，二次函数图象与轴的交点坐标，根据图象过第一、二、三象限，得到交点纵坐标大于等于0，顶点的纵坐标小于0，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，在轴的左侧，顶点坐标为，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限， ∴，解得； 故答案为：． 17. 如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，过点作轴于点，过点作于点，由旋转的性质和勾股定理可得，，，再利用面积法求出，再用勾股定理求出，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接、，过点作轴于点，过点作于点， ， 点坐标为，点坐标为， ， ，， 线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，平面内有一动点，定点，，连结．若点只在第一象限内运动，过点作于，当取得最大值时，点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，作轴，交于点，求出直线的解析式、的长，设，结合解直角三角形的相关计算求出，当时，取最大值，即可求出点的坐标． 【详解】解：依题得，点在的函数图象上， 且需满足，， 当时，， 当时，， 即定点，为函数与坐标轴的交点， 作轴，交于点， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， 即直线的解析式为， ，， 中，， ， ， ， ， ， 在中，， 当最长时，最长， ，则， ，， ， ， ， ， ， 当时，取最大值， 此时点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、求一次函数的解析式、勾股定理、解直角三角形的相关运算，解题关键是通过作辅助线找出何时取得最大值． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点逆时旋转的． （2）画出关于点的中心对称图形． （3）可由绕点旋转得到，请写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） 如图所示，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）将点、分别绕点逆时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）作，的中垂线，交点即为所求． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求，其坐标为． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质． 20. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出此函数的图象； ①列表： x … … y … … ②描点、连线； （3）当时，结合图象，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） ①列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … ②画函数图象如下所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数与不等式之间的关系，把二次函数解析式化为顶点式，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）①根据所给函数关系式列表即可；②根据所列表格画出对应的函数图象即可； （3）求出抛物线与x轴两个交点的横坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①略 ②略 【小问3详解】 解：在中，当时，或， ∵函数开口向上， ∴当时，x的取值范围为． 21. 一次足球训练中，某足球运动员从球门正前方的O处射门，足球的飞行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，以O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）通过计算，判断球是否能射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， ∵该抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∵， ∴球不能射进球门． 22. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接、、． （1）求证：； （2）若，，．求的度数． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 由旋转可知， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）由旋转可知，，结合等边三角形的性质，证明，可得结论； （2）连接，作垂直于，交的延长线于，由旋转可知，是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 是等边三角形，则， ， ， ，， ， ， ∴， ， ∴． 23. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】（1）证明：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 得， ，， ， 或． 24. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】（1）A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 （2）本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． 【小问2详解】 解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 25. 已知关于x的二次函数 （1）若时，求该函数的解析式； （2）当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； （3）若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答． （2）先整理，故图象的对称轴为直线，结合．故当时，最小，当时，，列式，即可作答． （3）进行分类讨论，即①若，则函数图象开口向上．②若，则函数图象开口向下，再结合二次函数的图象性质，进行分析列式，即可作答． 【小问1详解】 解： ， 当时，， ， ． 该函数的解析式为． 【小问2详解】 解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又． 当时，最小， ∵ ∴当时，， ∴． ． ； 【小问3详解】 解：①若，则函数图象开口向上． 又对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ∴点在对称轴的右侧． 又对于，都有， ， ． ②若，则函数图象开口向下， ∴点在对称轴的左侧． 对称轴为直线 当或时函数值相等． 又对于，都有， ， ． 综上：或． 26. 综合与实践：某数学兴趣组开展“旋转与作图”探究活动． 【探究情境】 有一张矩形纸片，，．如图1，沿直线将矩形纸片裁剪为和，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为点E． 【补图推证】 （1）当的边经过点D时，小组探究“如何在仅有的图中补画”．在完成了第一步“在射线上截取”后，同学们就“如何确定点E的位置”先后发言． ①小丽：如图2，分别以点A，F为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点E．连接，，可以依据“________”证得． ②小强：还可以这样画，如图3，作的垂直平分线，交于点M．分别以点A，M为圆心，线段，长为半径画弧，两弧交于点E．连接，，也可以证得． ③小红：是的．点E始终在以A为圆心，长为半径的圆上，且就是该圆的切线． ①小丽证得的依据是________； ②判断小强的说法是否正确，并说明理由； 【画图再探】 （2）记直线与的边的交点为G，小明提问：当直线经过点C时，能求出的长吗？请在图4中画出图形，并解决小明提出的问题； 【拓广延伸】 （3）请解决小强提出的问题：当E，F，D三点共线时，连接，求的面积． 【答案】（1）① ②解：小强的说法正确，理由为： 连接， ∵是的中点，， ∴， ∴，， ∴， 又∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据作图，利用得到两三角形全等即可； ②连接，即可得到，根据得到两三角形全等即可； （2）根据三线合一和旋转的性质可得，，然后在中运用勾股定理解答即可； （3）过点作于点，根据勾股定理求出长，即可得到长，然后根据正弦的定义求出长，利用三角形的面积公式计算解题． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， 故答案为：； ②略 （2）如图，∵，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即； （3）如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，即， 解得， ∴； 如图，过点作于点， 同上可得， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，勾股定理，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $