精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属实验学校(经开)2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级数学学科 月度质量调研题 分值：120分 时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A. y=2x-1 B. C. D. 2. 如图，在Rt中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 4. 已知抛物线开口向下，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 任意实数 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象上有三点、、，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、、均在反比例函数的图象上．若，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 无法确定的正负 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 拋物线的顶点坐标为________． 10. 抛物线与轴的交点坐标为__________． 11. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 12. 若是抛物线上的点，则代数式的值为________． 13. 某人从地面沿着坡度为的山坡走了米，这时他离地面的高度是________米． 14. 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论： ①∠AFC=120°； ②△AEF是等边三角形； ③AC=3OG； ④S△AOG=S△ABC 其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都选上） 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数． （1）通过配方，将其化成的形式； （2）求图象与轴的交点坐标． 18. 如图，在足够大的空地上有一段长为20米的墙，某人利用墙和围栏围成一块矩形草地，其中，已知草地的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若所围成的草地的面积为800平方米，求所利用的墙的长． 19. 如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中画，使； （2）在图②中画，使； （3）在图③中画，使． 21. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 22. 象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，某数学兴趣小组为了测量亚帆灯塔的高度，在其附近高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知高台为4米，请计算亚帆灯塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：，，） 23. 【定理证明】如图①，在中，，是斜边上的中线，求证：，请根据下面的提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：延长至点E，使，连接、， 【结论应用】如图②，在四边形中，，，、分别是、的中点，当，时，______； 【拓展】如图③，是斜边上的中线，，，点是边上的一个点，过点分别作和的垂线，垂足为、．当点在边上移动时，则　　． 24. 如图，在中，，，于点，．动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿向终点运动，过点作于点，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为，平行四边形与的重叠部分图形面积为． （1）__________； （2）当点落在边上时，求的值； （3）平行四边形与的重叠部分图形是四边形时，求与之间的函数关系式； （4）连结，当与的一条边垂直时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级数学学科 月度质量调研题 分值：120分 时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A. y=2x-1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得答案． 【详解】解：A、不是二次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、不是二次函数，故此选项不合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2. 如图，在Rt中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了余弦的定义，勾股定理．先根据勾股定理求的的长，再根据余弦的定义即可求得结果． 【详解】解：在Rt中，， ∴， ∴． 故选：B 3. 若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，将代入方程，求出的值即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选D． 4. 已知抛物线开口向下，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ； 故选：B． 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“上加下减，左加右减”成为解题的关键． 直接运用平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：抛物线向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是． 故选D． 6. 如图，O为跷跷板AB的中点．支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB=1.6m，则OC的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵O为AB的中点，AB=1.6， ∴OB=AB=0.8， 在Rt△OCB中，sin∠OBC=， ∴OC=OB•sin∠OBC=0.8sin20°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象上有三点、、，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数，判断出抛物线开口向下以及对称轴位置，离对称轴越远函数值越小，进而判断即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数，图象抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴， 故选：B． 8. 已知点、、均在反比例函数的图象上．若，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 无法确定的正负 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及代数式的符号判断．首先利用点C的坐标求出k的值，再根据反比例函数的表达式求出和，最后结合m的取值范围分析的正负． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数为． ∵点、在反比例函数的图象上， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 拋物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，即可得到该抛物线的顶点坐标， 熟练掌握二次函数的顶点式是解决此题的关键． 【详解】∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 10. 抛物线与轴的交点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了抛物线与轴的交点坐标．令，求出函数值即可解答． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为： 11. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练使用一元二次方程根的判别式是解题关键． 利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 若是抛物线上的点，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将点代入，得出，即，整体代入即可求解． 【详解】解：将点代入， 得，即 ∴ 故答案为：． 13. 某人从地面沿着坡度为的山坡走了米，这时他离地面的高度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答． 【详解】∵坡度为， ∴设离地面的高度为x,那么水平距离为 ∵,解得x=50. 即这时他离地面的高度是50米. 故答案为50. 【点睛】考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 14. 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG=30°，给出以下结论： ①∠AFC=120°； ②△AEF是等边三角形； ③AC=3OG； ④S△AOG=S△ABC 其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都选上） 【答案】①②④． 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∴∠FCA＝∠OAG， ∵O为AC中点，EF⊥AC， ∴AF＝CF， ∴∠FAC＝∠FCA， ∵点G是AE中点且∠AOG＝30°， ∴OG＝AE＝AG， ∴∠OAG＝∠AOG＝30°， ∴∠FCA＝∠FAC＝30°， ∴∠AFC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，①正确； ∵∠FAE＝30°+30°＝60°，∠AEO＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AFE＝60°， ∴△AEF是等边三角形，②正确； ∵∠OAG＝30°，EF⊥AC， ∴AE＝2OE＝2OG， ∴OA＝OE＝OG， ∴AC＝2OA＝2OG，③不正确； ∵点G是AE中点， ∴S△AOG＝S△AOE， ∵∠AOE＝90°＝∠B，∠OAE＝∠BAC， ∴△AOE∽△ABC，相似比为＝＝＝， ∴＝（）2＝， ∴S△AOG＝S△ABC，④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的混合运算． （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘方，乘法，最后运算加法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后再运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， ∴． 17. 已知二次函数． （1）通过配方，将其化成的形式； （2）求图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）； （2）与轴的交点坐标为，． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）通过配方把二次函数配成顶点式即可； （）令，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，即， ∴，， ∴与轴的交点坐标为，． 18. 如图，在足够大的空地上有一段长为20米的墙，某人利用墙和围栏围成一块矩形草地，其中，已知草地的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若所围成的草地的面积为800平方米，求所利用的墙的长． 【答案】 【解析】 【分析】设根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出方程解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意，得矩形的长为， 故， 整理，得 解得， 当时，，大于墙长，不符合题意，舍去； 当时，，等于墙长，符合题意； 故所利用的墙的长为． 19. 如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平行四边形的性质和直角三角形的全等来证明线段相等，并利用三角函数的定义来求解． 根据平行四边形的性质可得，，再根据，，得出，得到，再根据已知条件求出即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中画，使； （2）在图②中画，使； （3）在图③中画，使． 【答案】（1） 解：如图①，即为所求； （2）解：如图②，即为所求； （3）解：如图③，即为所求； 【解析】 【分析】该题是格点作图题，考查了角的正切，相似三角形的性质和判定． （1）取格点，使，连接，则即为所求； （2）取格点，使，连接，则即为所求； （3）取格点，连接交于点E，连接，则即为所求； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. “七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2024年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到11.52万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子____________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】（1）从假期第一天到第三天的平均日增长率为 （2）①；②每把扇子应降价6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可；②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 答：从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 ①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， 答：每把扇子应降价6元． 22. 象山亚帆中心地标性建筑为亚运会帆船赛事提供了专业的助航服务．如图，某数学兴趣小组为了测量亚帆灯塔的高度，在其附近高台上的处测得塔顶处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知高台为4米，请计算亚帆灯塔的高的值．（结果精确到1米；参考数据：，，） 【答案】亚帆灯塔的高的值为14米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，则四边形为矩形，得出（米），在中，在中，分别解直角三角形得出的长，最后再由计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形为矩形， （米）， 在中，， （米）． 在中，， （米）． （米）． 答：亚帆灯塔的高的值为14米． 23. 【定理证明】如图①，在中，，是斜边上的中线，求证：，请根据下面的提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：延长至点E，使，连接、， 【结论应用】如图②，在四边形中，，，、分别是、的中点，当，时，______； 【拓展】如图③，是斜边上的中线，，，点是边上的一个点，过点分别作和的垂线，垂足为、．当点在边上移动时，则　　． 【答案】【定理证明】证明：延长到点，使，连接、， 则， 是斜边上的中线， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ， ． 【结论应用】； 【拓展】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． [定理证明]证出平行四边形是矩形，得出即可； [结论应用]连接、，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案； [拓展]连接，由勾股定理求出，根据三角形的面积可得出答案． 【详解】[定理证明]略 [结论应用]解：如图，连接、， ，为中点， ， ， ， ， 是中点， ， ，，、分别是边、的中点， ，， ． 故答案为：； [拓展]解：如图，连接， 在中，，， ， 是斜边上的中线， ， ， ，， ， 即， ， ， 故答案为：． 24. 如图，在中，，，于点，．动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿向终点运动，过点作于点，以、为边作平行四边形．设点的运动时间为，平行四边形与的重叠部分图形面积为． （1）__________； （2）当点落在边上时，求的值； （3）平行四边形与的重叠部分图形是四边形时，求与之间的函数关系式； （4）连结，当与的一条边垂直时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）解直角三角形求出，进而求出，再根据正切的定义即可解答； （2）由题意可得，根据勾股定理求得，证明，得到，求出，根据平行四边形的性质可得，当点M在边上时，易证，从而可得，即，即可求解； （3）分三种情况：①当时，；②当时，分别交于点G、点H，，③当时，交于点K，，分别进行求解即可； （4）分两种情况：①当时，则时平行四边形；②当时，证，分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：由题意可得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当点M在边上时， ∴， ∴，即， 解得：； 【小问3详解】 解：①当时，如图，此时，重叠部分的面积为：， 由（2）知， ∴， ； ∵，则， ∴点P运动到点D的时间为， ②当时，分别交于点G、点H， 此时，重叠部分的面积为：， ∵， ∴，即， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵，则， ∴点P运动到点C的时间为， ③当时，交于点K， 此时，重叠部分的面积为：， 同理②得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，； 【小问4详解】 解：①当时， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴； ②当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得： ， ∴当与的一条边垂直时，t的值为或． 【点睛】本题考查动点相似三角形问题，涉及解直角三角形，勾股定理，函数关系式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $