专题3.2代数式的值 易错重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版（2024）数学七年级上册　

3.2代数式的值 【题型1】单字母/多字母定值代入求代数式的值 1.核心知识点总结 -代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按代数式运算关系计算的结果。 -代入关键：多字母代入时需对应字母与数值，避免混淆；代入负数、分数时需注意符号与括号的使用。 2.高频考点梳理 -单字母定值代入：如已知，求的值（常考负整数、分数代入）。 -多字母定值代入：如已知，，求的值(常考两字母、三字母组合代入)。 3.易错点警示 -代入负数时忘加括号：如代入，误算为(正确为)。 -分数代入漏乘分母：如代入，误算为(虽结果正确，但需注意分数乘法步骤，避免漏乘)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一判(判断字母对应值)→二代(代入字母，负数/分数加括号)→三算(按先乘方再乘除后加减计算)。 -示例：已知，，求： 代入：； 计算：。 【例题1】．（2024-2025•海南二模）当x＝1时，代数式5x﹣3的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【变式题1-1】．（2024-2025•海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4 【变式题1-2】．（2024-2025•渝中区校级期末）当x＝1时，代数式ax3﹣3bx+2值是﹣4，则当x＝﹣1时，代数式ax3﹣3bx﹣5值是 　 　 ． 【变式题1-3】．（2024-2025•沂水县期末）若m＝4，，则代数式﹣2m﹣4n的值是 　 　 ． 【题型2】字母特殊关系(相反数/倒数/绝对值)代入求值 1.核心知识点总结 -特殊关系定义：若与互为相反数，则；若与互为倒数，则；则()。 -代入逻辑：先利用特殊关系转化代数式，再代入计算，避免单独求字母值。 2.高频考点梳理 -相反数+倒数组合：如，，求的值。 -绝对值+特殊关系：如，，求的值(需分和讨论)。 3.易错点警示 -混淆相反数与倒数关系：误将“与互为相反数”记为，或“互为倒数”记为。 -绝对值多解遗漏：如只考虑，忽略导致结果不完整。 4.解题技巧拆解 -步骤：一找(找出字母特殊关系)→二转(将代数式转化为含特殊关系的形式)→三算(代入特殊关系值计算，绝对值分情况)。 -示例：、互为相反数，、互为倒数，，求： 转化：； 分情况：时得，时得。 【例题2】．（2024-2025•重庆校级月考）若|a|＝3，|b|＝8，a＜b，则a+b为（　　） A．﹣11 B．﹣11或﹣5 C．5 D．11或5 【变式题2-1】．（2024-2025•贵州期末）已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的负整数，m，n互为倒数，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式题2-2】．（2024-2025•海淀区校级月考）若x，y互为相反数，m，n互为倒数，则2mn+3x+3y＝　 　 ． 【变式题2-3】．（2024-2025•江岸区校级月考）若|x|＝5，|y|＝4且x+y＜0，则x+y＝　 　 ． 【题型3】代数式在几何图形中的面积计算 1.核心知识点总结 -几何关联：根据图形形状(长方形、正方形、半圆等)的面积公式，用字母表示图形边长/半径，再代入字母值计算面积(或阴影部分面积)。 -常见公式：长方形面积，半圆面积，三角形面积。 2.高频考点梳理 -基本图形面积：如长方形长为，宽为，剪去两个半圆(直径)，求剩余面积(代入，)。 -组合图形阴影面积：如正方形内挖去两个小直角三角形，用、表示阴影面积，再代入求值。 3.易错点警示 -公式记忆错误：如将半圆面积误记为(漏乘)，或三角形面积漏乘。 -图形边长混淆：如“正方形边长为，半圆直径为”，误将半径当作(正确半径为)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一辨(辨别图形组成，确定面积公式)→二列(用字母列出总面积与空白面积的代数式)→三算(代入字母值，计算阴影/剩余面积)。 -示例：长方形长，宽，剪去半径的半圆，求剩余面积： 列代数式：； 代入：。 【例题3】．（2024-2025•莱山区期末）如图，“L”形图形的面积为45，如果a﹣b＝3，那么a+b＝　 　 ． 【变式题3-1】．（2024-2025•丰顺县校级开学）如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆．当a＝8，h＝6，r＝3时，剩余铁皮的面积S的值为 　 　 ．（结果保留π） 【变式题3-2】．（2024-2025•延长县期末）如图，将边长为10cm的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形． （1）阴影部分的面积S＝ 　 　 cm2；（用含x的代数式表示） （2）当x＝2时，求阴影部分的面积． 【变式题3-3】．（2024-2025•兴平市期末）如图，某公园有一块长方形ABCD的空地，园林规划人员计划在扇形部分种植郁金香，三角形DCE部分种植牡丹，剩余部分种植草坪．已知AB＝BE＝20m，CE＝x m． （1）用含x的代数式表示种植草坪部分的面积；（提示：圆的面积公式为πr2） （2）当x＝15，π＝3时，求种植草坪部分的面积． 【题型4】绝对值与平方非负性求字母值再代入 1.核心知识点总结 -非负性性质：任意有理数的绝对值()和平方()均为非负数；若两个非负数的和为，则两数均为(即→且)。 2.高频考点梳理 -双非负项和为：如，求的值(常考一次项与平方项组合)。 -多非负项和为：如，求的值(拓展三非负项)。 3.易错点警示 -忽略非负性条件：直接尝试求解单个绝对值或平方项，未利用“和为则各为”的性质。 -高次幂符号错误：如中，时，误算为(忽略奇次幂符号与底数一致)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一判(判断式子是否为非负项和)→二求(令各非负项为，解字母值)→三代(代入代数式计算)。 -示例：，求： 求字母值：→；→； 计算：。 【例题4】．（2024-2025•苍溪县期末）若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．1 B．﹣2025 C．﹣1 D．2025 【变式题4-1】．（2024-2025•德阳期末）若|a﹣2|+（a+b﹣5）2＝0，那么代数式2a﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B．7 C．﹣13 D．9 【变式题4-2】．（2024-2025•凉州区校级期末）已知|a+2|+（b﹣1）2＝0，则（a+b）2024＝　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•白河县期末）若|a﹣3|+|b+2|＝0，求5a﹣3b的值是　 　 ． 【题型5】代数式在实际生活中的应用求值 1.核心知识点总结 -实际关联：将实际问题中的数量关系(如温度转换、速度、费用)转化为代数式，再代入具体数值计算结果。 -常见模型：华氏温度，路程，电费/水费分段计费代数式。 2.高频考点梳理 -温度转换：如摄氏温度，用求华氏温度。 -分段计费：如电费“260千瓦时内元/千瓦时，超260部分元/千瓦时”，求280千瓦时电费。 3.易错点警示 -数量关系混淆：如将“超260千瓦时部分”误算为“”(正确为)。 -单位不统一：如速度，时间，误将路程单位算为“千米”(未统一单位)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一找(找出实际问题中的数量关系，列代数式)→二定(确定代入的数值及范围，如分段计费的区间)→三算(代入计算，验证单位)。 【例题5】．（2024-2025•长沙期中）摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足方程，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将25℃转换为华氏度为（　　） A．77℉ B．82℉ C．86℉ D．91℉ 【变式题5-1】．（2024-2025•泉州校级开学）赵叔叔是一家快递公司的快递员，该公司每天的基本⼯资为80元，另外每送一件快递再加1.5元．李叔叔某一天送m件快递，他这一天可以拿到工资　 　 元（一天工资＝基本工资+送快递另加的费用）．当m＝150时，李叔叔这天可以拿到工资　 　 元． 【变式题5-2】．（2024-2025•扬州期中）已知摄氏温度（℃）与华氏温度（°F）之间的转换关系：或表示摄氏温度，tF表示华氏温度），某天，纽约的最高气温是64.4°F，上海的最高气温是20℃，则当天最高气温更高的城市是　 　 ． 【变式题5-3】．（2024-2025•锡山区期中）为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元． （1）如果小张家一个月用电128度，那么这个月应缴纳电费多少元？ （2）如果小张家一个月用电a度（a＞150），那么这个月应缴纳电费多少元？（用含a的代数式表示） （3）如果小张家八月份用电241度，那么这个月应交电费多少元？ 【题型6】整体思想之配系数转化求值(提升) 1.核心知识点总结 -整体思想：将含字母的式子(如、)视为一个整体，通过配系数将待求代数式转化为含该整体的形式，避免单独求字母值。 -配系数关键：待求代数式与已知整体的系数成整数倍关系(如已知，待求，配系数)。 2.高频考点梳理 -一次式配系数：如已知，求的值(系数比)。 -二次式配系数：如已知，求的值(系数比)。 3.易错点警示 -配系数符号错误：如已知，求，误配系数(正确为，即)。 -整体值计算错误：如已知，求，误算为(正确，但需注意后续加减符号)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一找(找出已知整体与待求式的公共部分)→二配(给已知整体配系数，使与待求式公共部分一致)→三代(代入整体值计算)。 -示例：已知，求： 配系数：； 代入：。 【例题6】．（2024-2025•剑河县校级模拟）若a+2b＝3，则2a+4b的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式题6-1】．（2024-2025•河南校级三模）已知代数式x2+2y的值为2，则3x2+6y﹣1的值是　 　 ． 【变式题6-2】．（2024-2025•临渭区期末）问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，求x2+x+186的值．我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+186＝186． 仿照上面的解题方法解答：若b2+2ab＝8，求2b2+4ab的值． 【变式题6-3】．（2024-2025•贵港期末）【阅读材料】在湘教版七年级数学上册P126页“多知道一点——整体思想的应用”的描述中知道，整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知a2+2a＝1，求代数式3a2+6a+2的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由a2+2a＝1得，3a2+6a+2＝3（a2+2a）+2＝3×1+2＝5， 所以代数式3a2+6a+2的值为5． 【学以致用】（1）若x2﹣2x＝3，求代数式4x2﹣8x﹣1的值； （2）已知当x＝1时，mx2+nx+1＝2024，求当x＝﹣1时，代数式﹣mx2+nx+1的值； 【拓展延伸】（3）若x2﹣2xy+y2＝18，xy﹣y2＝5，求代数式x2﹣3xy+2y2的值． 【题型7】整体思想之奇次项相反数求值(提升) 1.核心知识点总结 -奇次项性质：对于含的奇次幂(如、)的代数式，当取与时，奇次项的值互为相反数(如与)，偶次项的值不变(如与)。 2.高频考点梳理 -三次多项式求值：如时，求时的值(常考三次项+一次项组合)。 -五次多项式求值：如时，求时该式的值(拓展五次项)。 3.易错点警示 -忽略常数项：计算时误将常数项与奇次项一起视为“相反数”(如时，时，常数项不变)。 -符号计算失误：如时，误算为，导致整体结果错误。 4.解题技巧拆解 -步骤：一分离(分离代数式中的奇次项与非奇次项/常数项)→二求奇次项整体值(时)→三找相反数(时奇次项值为相反数)→四算结果。 -示例：时，求时的值： 分离：； 相反数：时； 计算：。 【例题7】．（2024-2025•东区期末）若当x＝1时，代数式ax3+bx+7的值为2034，则当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+7值为（　　） A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019 【变式题7-1】．（2024-2025•平原县期末）已知x＝2024时，代数式ax3+bx﹣3的值是2，当x＝﹣2024时，代数式ax3+bx+7的值等于（　　） A．﹣10 B．4 C．2 D．﹣6 【变式题7-2】．（2024-2025•凤县期末）当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2，则当x＝﹣1时，该多项式的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2 【变式题7-3】．（2024-2025•九龙坡区月考）已知整式，且a0，a1，a2，a3，a4均为正整数，其中a0、a1、a2是三个连续增大的偶数；a3、a4是两个连续增大的奇数．若a0+a1+a2＝a3+a4，则下列说法： ①若a3＝5，x＝﹣1时，则整式M的值为6； ②若a1是4的倍数，则M最高次项的系数被6整除余1； ③若a3＜40，则满足条件的整式M共有6个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型8】程序流程图与代数式循环求值(提升) 1.核心知识点总结 -程序流程图：通过“输入→判断→运算→输出”的流程，将流程转化为代数式(如“输入→→输出”，代数式为)；循环求值需找出流程的循环规律。 2.高频考点梳理 -单步流程求值：如输入，流程为“”，求输出结果(基础单步运算)。 -多步循环求值：如输入，流程为“奇数→，偶数→”，求第2025次输出结果(找循环周期，如“”，周期为2)。 3.易错点警示 -流程转化错误：误将“为奇数时运算A，偶数时运算B”记反，导致初始运算错误。 -循环周期遗漏：计算多次输出时，未发现循环规律(如“”)，盲目计算次数。 4.解题技巧拆解 -步骤：一译(将流程图翻译为代数式/运算规则)→二算(按规则计算前几次输出，找循环周期)→三推(根据周期推算指定次数的结果)。 -示例：输入，流程“偶数→，奇数→”，求第2025次输出： 前几次输出： (输入)→(1次)→(2次)→(3次)→(4次)→(5次)…； 周期：从第2次起，周期为2( ，； 推算：次→周期→第2025次为。 【例题8】．（2024-2025•中江县期末）如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2024次输出的结果为（　　） A．27 B．9 C．3 D．1 【变式题8-1】．（2024-2025•合江县期末）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是﹣7，则输出的结果是（　　） A．0 B．7 C．14 D．49 【变式题8-2】．（2024-2025•内江期末）按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为﹣2，则最后输出的结果是 　 　 ． 【变式题8-3】．（2024-2025•南通校级月考）按如图所示的程序进行运算： 若输出的数为360，且输入的数x不大于100，则正整数x的值为　 　 ． 【题型9】赋值法求多项式系数和(培优) 1.核心知识点总结 -赋值法：给多项式中的字母赋特殊值(如、、)，计算多项式的值，进而求出系数和(如偶次项系数和、奇次项系数和)。 -常用赋值：时，多项式值为所有系数和；时，多项式值为偶次项系数和减奇次项系数和。 2.高频考点梳理 -二项展开式系数和：如，求。 -多项式所有系数和：如，求。 3.易错点警示 -赋值符号错误：如求的系数和，误赋(正确赋，得)。 -系数和计算漏项：如忽略常数项，仅计算含的项的系数和。 4.解题技巧拆解 -步骤：一选(选择合适的赋值，如、)→二算(代入赋值求多项式值，得系数和关系式)→三解(联立关系式，求目标系数和)。 -示例：求的： ：； ：； 联立：。 【例题9】．（2024-2025•亳州二模）若（2x+1）4＝a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1+a3的值为（　　） A．80 B．82 C．40 D．41 【变式题9-1】．（2024-2025•开州区期中）若（1﹣3x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则下列说法中正确的有（　　） ①a0+a1+a2+a3+a4+a5＝﹣32；②a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝32；③a0＝1；④a0+a2+a4＝496；⑤a1+a3+a5＝528． A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【变式题9-2】．（2024-2025•泗洪县一模）若，则a0+a2+a4的值为（　　） A．82 B．81 C．42 D．41 【变式题9-3】．（2024-2025•内蒙古期末）设（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，则a﹣b+c的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．7 D．﹣7 【题型10】绝对值复合型代数式的最值求解(培优) 1.核心知识点总结 -绝对值几何意义：表示数轴上到的距离；多个绝对值和(如)的最值，可通过数轴上点的位置分析(最小值为两点间距离，无最大值)。 2.高频考点梳理 -双绝对值和的最值：如求的最小值(数轴上在与之间时，最小值为)。 -多绝对值和的最值：如求的最小值(时，最小值为)。 3.易错点警示 -几何意义误解：将误看作到的距离(正确为到的距离，即)。 -最值区间错误：认为的最小值在处(正确在任意点，最小值均为)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一化(将绝对值化为“”形式，如)→二找(找出所有“点”在数轴上的位置)→三判(根据点的个数判断最值：偶数个点时，最小值为两端点距离；奇数个点时，最小值为中间点到各点距离和)。 【例题10】．（2024-2025•香洲区校级期中）代数式|x+3|+|x﹣2|的最小值是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式题10-1】．（2024-2025•福建期中）已知（|x+3|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y+5|）＝30，则代数式2x﹣y的最大值是 　 　 ． 【变式题10-2】．（2024-2025•越秀区校级期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？ （2）探究问题：如图①，点A，B，P分别表示数﹣1，2．x，AB＝3． ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3， ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3． 解决问题： ①利用上述思想方法及图②解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4． ②当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2？ ③当x为何值时，图①中的PA﹣PB有最大值？最大值为多少？ 【变式题10-3】．（2024-2025•龙泉驿区期中）【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．在数轴上，点A，B的位置如图1所示，AB＝|1﹣（﹣2）|＝3． 【问题解决】 （1）|2﹣（﹣3）|的几何意义是 　 　 ． （2）如果点C为数轴上一点，它所表示的数为x，点D在数轴上表示的数为﹣2，那么CD＝　 　 （用含x的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式|x+1|+|x+4|的最小值为 　 　 ． （2）运用二：代数式|x﹣2|﹣|x+14|的最大值为 　 　 ． （3）运用三：已知|x﹣1|+|x+3|＝10，则x的值为 　 　 ． （4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是﹣5，F点表示数是﹣2，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为EF，点E与点G之间的距离表示为EG，点F与点G之间的距离表示为FG，若 mFG﹣3EF的值是一个定值，试确定m的值． 【题型11】代数式与数字/图形规律结合的求值（培优） 1.核心知识点总结 -规律本质：从数字序列或图形变化中，提炼含序号（正整数）的代数式，代入具体序号求值。 -常见类型：数字规律（等差、循环）、图形规律（棋子数、阴影面积），关键是“序号与数量”的对应。 2.高频考点梳理 -数字规律：如序列“”（代数式），求第100项； -图形规律：如“第个小屋子需枚棋子”，求第20个的棋子数。 3.易错点警示 -规律提炼错：如“”误写（正确）； -序号代入混：求第5个图形时，错用代入； -图形计数漏：漏数图形重叠/边界部分，导致规律偏差。 4.解题技巧拆解 -步骤：①观(记时的数量)；②找(等差用，循环找周期)；③验(代入验证代数式)；④算(代入目标求值)。 -示例：序列“”，代数式，第2025项=。 【例题11】．（2024-2025•仓山区校级期末）综合与实践 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 3x﹣1 … ﹣7 m ﹣1 2 5 … ﹣3x+2 … 8 5 2 ﹣1 n … （1）【初步感知】根据表中信息可知：m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）【归纳规律】表中代数式3x﹣1的值的变化规律是：x的值每增加1，3x﹣1的值就增加3．类似地，代数式﹣3x+2的值的变化规律是什么？ （3）【拓展应用】当x的值每增加2时，猜想代数式﹣5x﹣1的值会怎样变化？请通过具体数据代入计算加以验证． 【变式题11-1】．（2024-2025•辛集市期末）试探索代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的关系． （1）当a＝2，b＝﹣1时，分别求代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值； （2）当，b＝2时，分别求代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值； （3）从上述计算中，你发现了什么规律？当a＝2023，b＝2022时，请利用你发现的规律求代数式a2﹣2ab+b2的值． 【变式题11-2】．（2022秋•广阳区校级期末）已知有下列两个代数式：①a2﹣b2；②（a+b）（a﹣b）． （1）当a＝5，b＝3时，代数式①的值是 　 　 ，代数式②的值是 　 　 ． （2）当a＝﹣2，b＝1时，代数式①的值是 　 　 ；代数式②的值是 　 　 ． （3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式a2﹣b2和（a+b）（a﹣b）的关系为（用式子表示） 　 　 ． （4）利用你发现的规律，求20232﹣20222． 【变式题11-3】．（2024-2025•德城区期末）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … x﹣2 ﹣4 ﹣3 ﹣2 a 0 … 2x+3 ﹣1 1 b 5 7 … ﹣3x﹣4 … 2 ﹣1 ﹣4 ﹣7 ﹣10 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知，a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； 【归纳规律】 （2）表中x﹣2的值的变化规律是：x的系数是1，x的值每增加1，x﹣2的值就增加1；2x+3的值的变化规律是：x的系数是2，x的值每增加1，2x+3的值就增加 　 　 ；类似的，﹣3x﹣4的值的变化规律是：x的系数是﹣3，x的值每增加1，﹣3x﹣4的值就减少 　 　 ． 【问题解决】 （3）若关于x的代数式mx+n，当x的值每增加1，mx+n的值就减少5，且当x＝2时，mx+n的值为6． ①求这个代数式； ②若x1，x2，x3是三个连续偶数；当x＝x1时，mx1+n＝y1；当x＝x2时，mx2+n＝y2；当x＝x3时，mx3+n＝y3；且y1+y2+y3＝﹣72．求x1的值． 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．已知b＝2a2﹣4，则式子3﹣2a2+b的值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7 2．当x＝4时，则2x+1的值是（　　） A．3 B．7 C．8 D．9 3．已知3x﹣y+5＝0，则代数式2y﹣6x+7的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．﹣17 4．若a＝﹣2，则（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 5．当x＝1时，mx3﹣nx+1的值为4，则x＝﹣1时，mx3﹣nx+7的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二．填空题（共5小题） 6．若b＝a+2，则（b﹣a）3＝　 　 ． 7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则代数式4x﹣2x2的值为 　 　 ． 8．已知2x2﹣3x+4等于9，则6﹣4x2+6x的值为 　 　 ． 9．小林同学在计算时，误将﹣M看成了+M，从而算得结果是，请你帮助小林算出正确结果为　 　 ． 10．如图所示计算机某计算程序，若开始输入x＝5，则最后输出的结果是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 11．已知|x+3|+|y﹣2|＝0，求x+2y的相反数． 12．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是4，求的值． 13．对于有理数x、y规定一种新运算：x※y＝ax+y．其中a为常数，等式右边是乘法和加法运算，已知2※3＝11． （1）求常数a的值． （2）求（）※2的值． 14．如图所示，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别为﹣3、﹣2、2，试回答下列问题． （1）A、C两点间的距离是　 　 ； （2）若E点到B点的距离是8，则E点表示的数是　 　 ； （3）若m，n互为相反数，p，q互为倒数，求的值． 15．某校组织x名学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案：方案一：研学团队先交1500元后，每人收费225元； 方案二：5人免费，其余每人收费打八折． （1）当x＞50时，方案一共收费 　 　 元，方案二共收费 　 　 元；（用含有x的代数式表示） （2）当x＝85时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 16．山西省图书馆是中国国内为数不多的百年老馆之一，是政府举办的大型综合性公共图书馆．某周日早上图书馆开馆时进入读者（a+2b）人，到十点钟时馆内共有读者（3a+5b）人． （1）求从开馆到十点钟时馆内增加读者多少人； （2）当a＝200，b＝300时，求从开馆到十点钟时馆内增加读者的人数． 17．如图，已知正方形ABCD与正方形BEFG的顶点A、B、E在同一直线上，且AB＝a，BE＝b（b＜a）． （1）用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积； （2）当a＝5cm，b＝3cm时，求图中阴影部分的面积． 18．如图是某校运动场的平面图，学校计划在硬化的中心区域（阴影部分）铺设人造草，中心区域最中间是长方形，长为a米，两端为两个半圆，半径为r米． （1）运动场中心区域周长为　 　 米；（结果用含a，r的代数式表示，保留π） （2）若a＝100，且运动场中心区域周长为350米， ①求半径r的值（π取3）； ②在①的条件下，若人造草每平方米40元，则学校共需付多少铺设费用？（π取3） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2代数式的值 【题型1】单字母/多字母定值代入求代数式的值 1.核心知识点总结 -代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按代数式运算关系计算的结果。 -代入关键：多字母代入时需对应字母与数值，避免混淆；代入负数、分数时需注意符号与括号的使用。 2.高频考点梳理 -单字母定值代入：如已知，求的值（常考负整数、分数代入）。 -多字母定值代入：如已知，，求的值(常考两字母、三字母组合代入)。 3.易错点警示 -代入负数时忘加括号：如代入，误算为(正确为)。 -分数代入漏乘分母：如代入，误算为(虽结果正确，但需注意分数乘法步骤，避免漏乘)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一判(判断字母对应值)→二代(代入字母，负数/分数加括号)→三算(按先乘方再乘除后加减计算)。 -示例：已知，，求： 代入：； 计算：。 【例题1】．（2024-2025•海南二模）当x＝1时，代数式5x﹣3的值是（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【答案】A． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝1时，原式＝5×1﹣3＝2． 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题1-1】．（2024-2025•海南一模）已知m＝1，n＝﹣2，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．﹣3 D．4 【答案】D 【分析】把m＝1，n＝﹣2代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：由题意可得： ∴原式＝2×1﹣（﹣2）＝2+2＝4， 故选：D． 【点评】本题考查了代数式求值，正确进行计算是解题关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•渝中区校级期末）当x＝1时，代数式ax3﹣3bx+2值是﹣4，则当x＝﹣1时，代数式ax3﹣3bx﹣5值是 　1　 ． 【答案】1． 【分析】把x＝1代入ax3﹣3bx+2＝﹣4，求出a﹣3b，再把x＝﹣1代入ax3﹣3bx﹣5，然后写成含有a﹣3b的形式，最后整体代入求值即可． 【解答】解：∵当x＝1时，ax3﹣3bx+2＝﹣4， ∴a﹣3b＝﹣6， 当x＝﹣1时， ax3﹣3bx﹣5 ＝（﹣1）3a﹣3b×（﹣1）﹣5 ＝﹣a+3b﹣5 ＝﹣（a﹣3b）﹣5 ＝﹣（﹣6）﹣5 ＝6﹣5 ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查考查了代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入求值法求代数式的值． 【变式题1-3】．（2024-2025•沂水县期末）若m＝4，，则代数式﹣2m﹣4n的值是 　﹣5　 ． 【答案】﹣5． 【分析】将m＝4、代入﹣2m﹣4n运用有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：由题意得． 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要考查代数式求值，准确的计算成为解题的关键． 【题型2】字母特殊关系(相反数/倒数/绝对值)代入求值 1.核心知识点总结 -特殊关系定义：若与互为相反数，则；若与互为倒数，则；则()。 -代入逻辑：先利用特殊关系转化代数式，再代入计算，避免单独求字母值。 2.高频考点梳理 -相反数+倒数组合：如，，求的值。 -绝对值+特殊关系：如，，求的值(需分和讨论)。 3.易错点警示 -混淆相反数与倒数关系：误将“与互为相反数”记为，或“互为倒数”记为。 -绝对值多解遗漏：如只考虑，忽略导致结果不完整。 4.解题技巧拆解 -步骤：一找(找出字母特殊关系)→二转(将代数式转化为含特殊关系的形式)→三算(代入特殊关系值计算，绝对值分情况)。 -示例：、互为相反数，、互为倒数，，求： 转化：； 分情况：时得，时得。 【例题2】．（2024-2025•重庆校级月考）若|a|＝3，|b|＝8，a＜b，则a+b为（　　） A．﹣11 B．﹣11或﹣5 C．5 D．11或5 【答案】D 【分析】根据所给a，b绝对值，可知a＝±3，b＝±8；又知a＜b，那么分两种情况，求得a+b的值，即可． 【解答】解：由题意可得：a＝±3，b＝±8，由题意可得： 当a＝﹣3，b＝8时，a+b＝﹣3+8＝5； 当a＝3，b＝8时，a+b＝3+8＝11． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的化简，求代数式的值，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，正确进行计算是解题关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•贵州期末）已知a，b互为相反数，c是绝对值最小的负整数，m，n互为倒数，则的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】D 【分析】根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，绝对值最小的负整数为﹣1，得到a+b＝0，c＝﹣1，mn＝1，整体代入代数式进行计算即可． 【解答】解：由题意，得：a+b＝0，c＝﹣1，mn＝1， ∴； 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，整体代入是关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•海淀区校级月考）若x，y互为相反数，m，n互为倒数，则2mn+3x+3y＝　2　 ． 【答案】2． 【分析】利用相反数，倒数的定义求出x+y＝0，mn＝1的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵x和y互为相反数，m和n互为倒数， ∴x+y＝0，mn＝1， ∴2mn+3x+3y＝2mn+3（x+y）＝2×1+3×0＝2． 故答案为：2． 【点评】此题考查了相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•江岸区校级月考）若|x|＝5，|y|＝4且x+y＜0，则x+y＝　﹣1或﹣9　 ． 【答案】﹣1或﹣9． 【分析】先根据绝对值的意义得出x＝±5，y＝±4，再结合x+y＜0得出x＝﹣5，y＝﹣4或x＝﹣5，y＝4，分别计算即可得出答案． 【解答】解：由条件可知x＝±5，y＝±4， ∵x+y＜0， ∴x＝﹣5，y＝﹣4或x＝﹣5，y＝4， 当x＝﹣5，y＝﹣4时，x+y＝﹣5+（﹣4）＝﹣9， 当x＝﹣5，y＝4时，x+y＝﹣5+4＝﹣1， 综上所述，x+y＝﹣1或﹣9， 故答案为：﹣1或﹣9． 【点评】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，熟练掌握以上知识点是关键． 【题型3】代数式在几何图形中的面积计算 1.核心知识点总结 -几何关联：根据图形形状(长方形、正方形、半圆等)的面积公式，用字母表示图形边长/半径，再代入字母值计算面积(或阴影部分面积)。 -常见公式：长方形面积，半圆面积，三角形面积。 2.高频考点梳理 -基本图形面积：如长方形长为，宽为，剪去两个半圆(直径)，求剩余面积(代入，)。 -组合图形阴影面积：如正方形内挖去两个小直角三角形，用、表示阴影面积，再代入求值。 3.易错点警示 -公式记忆错误：如将半圆面积误记为(漏乘)，或三角形面积漏乘。 -图形边长混淆：如“正方形边长为，半圆直径为”，误将半径当作(正确半径为)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一辨(辨别图形组成，确定面积公式)→二列(用字母列出总面积与空白面积的代数式)→三算(代入字母值，计算阴影/剩余面积)。 -示例：长方形长，宽，剪去半径的半圆，求剩余面积： 列代数式：； 代入：。 【例题3】．（2024-2025•莱山区期末）如图，“L”形图形的面积为45，如果a﹣b＝3，那么a+b＝　15　 ． 【答案】15． 【分析】将图形分成两个长方形，根据图形的面积列出算式，然后因式分解即可得到答案． 【解答】解：如图， 将图形分成两个长方形，根据图形的面积列出算式可得： b（a﹣b）+a（a﹣b）＝45， 即（a+b）（a﹣b）＝45， ∵a﹣b＝3， ∴a+b＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查整式的乘法与图形的面积，以及因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•丰顺县校级开学）如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆．当a＝8，h＝6，r＝3时，剩余铁皮的面积S的值为 　24﹣4.5π　 ．（结果保留π） 【答案】24﹣4.5π． 【分析】剩余铁皮的面积＝三角形的面积﹣半圆的面积． 【解答】解：Sah24﹣4.5π． 故答案为：24﹣4.5π． 【点评】本题考查了列代数式，关键是找到剩余铁皮的面积与三角形的面积、半圆的面积的关系． 【变式题3-2】．（2024-2025•延长县期末）如图，将边长为10cm的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形． （1）阴影部分的面积S＝ 　（100﹣4x2）　 cm2；（用含x的代数式表示） （2）当x＝2时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）100﹣4x2 （2）84cm2 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小正方形的面积可以得出剩余面积； （2）代入（1）中的代数式求值即可． 【解答】（1）解：根据题意结合图形得，S＝102﹣4x2＝100﹣4x2， 故答案为：100﹣4x2； （2）当x＝2时， S＝100﹣4x2＝100﹣4×22＝100﹣4×4＝100﹣16＝84（cm2）． 【点评】考查图形理解以及整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•兴平市期末）如图，某公园有一块长方形ABCD的空地，园林规划人员计划在扇形部分种植郁金香，三角形DCE部分种植牡丹，剩余部分种植草坪．已知AB＝BE＝20m，CE＝x m． （1）用含x的代数式表示种植草坪部分的面积；（提示：圆的面积公式为πr2） （2）当x＝15，π＝3时，求种植草坪部分的面积． 【答案】（1）10x﹣200π+400； （2）250m2． 【分析】（1）利用长方形的面积减去扇形的面积减去三角形的面积表示种植草坪部分的面积，即可求解． （2）将x＝15，π＝3代入 （1）中的代数式计算即可求解． 【解答】解：（1）∵CE＝x m，由题意可得：CD＝AB＝20m， ∴长方形ABCD的面积为：AB•BC＝20×（20+x）＝400+20x， 种植郁金香的面积为：， 种植牡丹的面积为：， 种植草坪部分的面积为：S＝400+20x﹣100π﹣10x＝10x﹣100π+400； （2）当x＝15，π＝3时，S＝10×15﹣100×3+400＝250， 答：种植草坪部分的面积为250m2． 【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，利用长方形的面积减去扇形的面积减去三角形的面积表示种植草坪部分的面积是解题的关键． 【题型4】绝对值与平方非负性求字母值再代入 1.核心知识点总结 -非负性性质：任意有理数的绝对值()和平方()均为非负数；若两个非负数的和为，则两数均为(即→且)。 2.高频考点梳理 -双非负项和为：如，求的值(常考一次项与平方项组合)。 -多非负项和为：如，求的值(拓展三非负项)。 3.易错点警示 -忽略非负性条件：直接尝试求解单个绝对值或平方项，未利用“和为则各为”的性质。 -高次幂符号错误：如中，时，误算为(忽略奇次幂符号与底数一致)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一判(判断式子是否为非负项和)→二求(令各非负项为，解字母值)→三代(代入代数式计算)。 -示例：，求： 求字母值：→；→； 计算：。 【例题4】．（2024-2025•苍溪县期末）若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2025的值是（　　） A．1 B．﹣2025 C．﹣1 D．2025 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a+1）2+|b﹣2|＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴（a+b）2025＝（﹣1+2）2025＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•德阳期末）若|a﹣2|+（a+b﹣5）2＝0，那么代数式2a﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B．7 C．﹣13 D．9 【答案】A． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣2|+（a+b﹣5）2＝0， ∴a﹣2＝0，a+b﹣5＝0， ∴a＝2，b＝3， ∴2a﹣b2＝2×2﹣32＝﹣5． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•凉州区校级期末）已知|a+2|+（b﹣1）2＝0，则（a+b）2024＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+2|+（b﹣1）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•白河县期末）若|a﹣3|+|b+2|＝0，求5a﹣3b的值是　21　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“|a﹣3|+|b+2|＝0”，分别得到关于a和关于b的一元一次方程，解之，代入5a﹣3b，计算求值即可． 【解答】解：根据题意得： a﹣3＝0， 解得：a＝3， b+2＝0， 解得：b＝﹣2， 则5a﹣3b＝5×3﹣3×（﹣2）＝21， 故答案为：21． 【点评】本题考查了代数式求值，非负数的性质：绝对值，正确掌握绝对值的定义，有理数的运算法则是解题的关键． 【题型5】代数式在实际生活中的应用求值 1.核心知识点总结 -实际关联：将实际问题中的数量关系(如温度转换、速度、费用)转化为代数式，再代入具体数值计算结果。 -常见模型：华氏温度，路程，电费/水费分段计费代数式。 2.高频考点梳理 -温度转换：如摄氏温度，用求华氏温度。 -分段计费：如电费“260千瓦时内元/千瓦时，超260部分元/千瓦时”，求280千瓦时电费。 3.易错点警示 -数量关系混淆：如将“超260千瓦时部分”误算为“”(正确为)。 -单位不统一：如速度，时间，误将路程单位算为“千米”(未统一单位)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一找(找出实际问题中的数量关系，列代数式)→二定(确定代入的数值及范围，如分段计费的区间)→三算(代入计算，验证单位)。 【例题5】．（2024-2025•长沙期中）摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足方程，其中F表示华氏度（℉），C表示摄氏度（℃），那么将25℃转换为华氏度为（　　） A．77℉ B．82℉ C．86℉ D．91℉ 【答案】A 【分析】将C＝25代入中计算即可． 【解答】解：当C＝25时， F25+32 ＝45+32 ＝77， 即25℃转换为华氏度为77℉， 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，将已知数值代入原式并进行正确地计算是解题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•泉州校级开学）赵叔叔是一家快递公司的快递员，该公司每天的基本⼯资为80元，另外每送一件快递再加1.5元．李叔叔某一天送m件快递，他这一天可以拿到工资　（80+1.5m）　 元（一天工资＝基本工资+送快递另加的费用）．当m＝150时，李叔叔这天可以拿到工资　305　 元． 【答案】（80+1.5m），305． 【分析】先根据题意列出代数式，再将m＝150代入、计算． 【解答】解：由题意得，这一天可以拿到工资为（80+1.5m）元，当m＝150时， 80+1.5m ＝80+1.5×150 ＝80+225 ＝305（元）． 故答案为：（80+1.5m）；305． 【点评】此题考查了根据实际问题列代数式并求值的能力，关键是能准确根据题意列式、求解． 【变式题5-2】．（2024-2025•扬州期中）已知摄氏温度（℃）与华氏温度（°F）之间的转换关系：或表示摄氏温度，tF表示华氏温度），某天，纽约的最高气温是64.4°F，上海的最高气温是20℃，则当天最高气温更高的城市是　上海　 ． 【答案】上海． 【分析】把tF＝64.4代入中即可求出tC，然后与20℃比较即可． 【解答】解：令tF＝64.4， 则18（℃）， ∵20＞18， ∴当天最高气温更高的城市是上海， 故答案为：上海． 【点评】本题考查了代数式求值，正确计算是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•锡山区期中）为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元． （1）如果小张家一个月用电128度，那么这个月应缴纳电费多少元？ （2）如果小张家一个月用电a度（a＞150），那么这个月应缴纳电费多少元？（用含a的代数式表示） （3）如果小张家八月份用电241度，那么这个月应交电费多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意利用128乘以每度电0.5元即可； （2）根据题意可得：这个月应缴纳电费＝150×0.5+超过150度的部分×a即可； （3）把241代入（2）的代数式即可． 【解答】解：（1）128×0.5＝64（元）， 答：这个月应缴纳电费64元； （2）由题意得： 150×0.5+（a﹣150）×0.8＝75+0.8a﹣120＝﹣45+0.8a， 答：这个月应缴纳电费（﹣45+0.8a）元； （3）﹣45+0.8a＝﹣45+241×0.8＝147.8（元）． 答：这个月应缴纳电费147.8元． 【点评】此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，理清电费的收费方式． 【题型6】整体思想之配系数转化求值(提升) 1.核心知识点总结 -整体思想：将含字母的式子(如、)视为一个整体，通过配系数将待求代数式转化为含该整体的形式，避免单独求字母值。 -配系数关键：待求代数式与已知整体的系数成整数倍关系(如已知，待求，配系数)。 2.高频考点梳理 -一次式配系数：如已知，求的值(系数比)。 -二次式配系数：如已知，求的值(系数比)。 3.易错点警示 -配系数符号错误：如已知，求，误配系数(正确为，即)。 -整体值计算错误：如已知，求，误算为(正确，但需注意后续加减符号)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一找(找出已知整体与待求式的公共部分)→二配(给已知整体配系数，使与待求式公共部分一致)→三代(代入整体值计算)。 -示例：已知，求： 配系数：； 代入：。 【例题6】．（2024-2025•剑河县校级模拟）若a+2b＝3，则2a+4b的值是（　　） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当a+2b＝3时，原式＝2（a+2b）＝2×3＝6． 故选：C． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题6-1】．（2024-2025•河南校级三模）已知代数式x2+2y的值为2，则3x2+6y﹣1的值是　5　 ． 【答案】5． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当x2+2y＝2时，原式＝3（x2+2y）﹣1＝3×2﹣1＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题6-2】．（2024-2025•临渭区期末）问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，求x2+x+186的值．我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+186＝186． 仿照上面的解题方法解答：若b2+2ab＝8，求2b2+4ab的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵b2+2ab＝8， ∴2b2+4ab ＝2（b2+2ab） ＝2×8 ＝16． 【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•贵港期末）【阅读材料】在湘教版七年级数学上册P126页“多知道一点——整体思想的应用”的描述中知道，整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知a2+2a＝1，求代数式3a2+6a+2的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由a2+2a＝1得，3a2+6a+2＝3（a2+2a）+2＝3×1+2＝5， 所以代数式3a2+6a+2的值为5． 【学以致用】（1）若x2﹣2x＝3，求代数式4x2﹣8x﹣1的值； （2）已知当x＝1时，mx2+nx+1＝2024，求当x＝﹣1时，代数式﹣mx2+nx+1的值； 【拓展延伸】（3）若x2﹣2xy+y2＝18，xy﹣y2＝5，求代数式x2﹣3xy+2y2的值． 【答案】（1）11；（2）﹣2022；（3）13． 【分析】（1）用整体代入法求解即可； （2）根据当x＝1时，mx2+nx+1＝2024得m+n＝2023，把x＝﹣1代入﹣mx2+nx+1后用整体代入法求解； （3）把原式变形为x2﹣2xy+y2﹣（xy﹣y2）用整体代入法求解即可． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝3， ∴4x2﹣8x﹣1 ＝4（x2﹣2x）﹣1 ＝4×3﹣1 ＝11； （2）∵当x＝1时，mx2+nx+1＝m+n+1＝2024， ∴m+n＝2023， ∴当x＝﹣1时， 原式＝﹣m﹣n+1 ＝﹣（m+n）+1 ＝﹣2023+1 ＝﹣2022； （3）∵x2﹣2xy+y2＝18，xy﹣y2＝5， ∴原式＝x2﹣2xy+y2﹣xy+y2 ＝x2﹣2xy+y2﹣（xy﹣y2） ＝18﹣5 ＝13． 【点评】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解是关键． 【题型7】整体思想之奇次项相反数求值(提升) 1.核心知识点总结 -奇次项性质：对于含的奇次幂(如、)的代数式，当取与时，奇次项的值互为相反数(如与)，偶次项的值不变(如与)。 2.高频考点梳理 -三次多项式求值：如时，求时的值(常考三次项+一次项组合)。 -五次多项式求值：如时，求时该式的值(拓展五次项)。 3.易错点警示 -忽略常数项：计算时误将常数项与奇次项一起视为“相反数”(如时，时，常数项不变)。 -符号计算失误：如时，误算为，导致整体结果错误。 4.解题技巧拆解 -步骤：一分离(分离代数式中的奇次项与非奇次项/常数项)→二求奇次项整体值(时)→三找相反数(时奇次项值为相反数)→四算结果。 -示例：时，求时的值： 分离：； 相反数：时； 计算：。 【例题7】．（2024-2025•东区期末）若当x＝1时，代数式ax3+bx+7的值为2034，则当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+7值为（　　） A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019 【答案】B 【分析】由当x＝1时，代数式ax3+bx+7的值为2034，可得a+b＝2027，把x＝﹣1代入代数式ax3+bx+7整理后，再把a+b＝2027代入计算即可． 【解答】∵当x＝1时，ax3+bx+7＝2034， ∴a+b＝2027， ∴当x＝﹣1时， ax3+bx+7 ＝﹣a﹣b+7 ＝﹣（a+b）+7 ＝﹣2027+7 ＝﹣2020， 故选：B． 【点评】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值；有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出一个或几个式子的值，这时可以把这一个或几个式子看作一个整体，将待求式化为含有这一个或几个式子的形式，再代入求值；运用整体代换，往往能使问题得到简化． 【变式题7-1】．（2024-2025•平原县期末）已知x＝2024时，代数式ax3+bx﹣3的值是2，当x＝﹣2024时，代数式ax3+bx+7的值等于（　　） A．﹣10 B．4 C．2 D．﹣6 【答案】C 【分析】直接将x＝2024代入得出20243a+2024b＝5，进而将x＝﹣2024代入得出答案即可． 【解答】解：根据题意可知，20243a+2024b＝5， ∴当x＝﹣2024时， 原式＝（﹣2024）3a﹣2024b+7 ＝﹣（20243a+2024b）+7 ＝﹣5+7 ＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了代数式求值，掌握代数式求值的方法是关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•凤县期末）当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2，则当x＝﹣1时，该多项式的值是（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2 【答案】A 【分析】由已知先求出a+b的值，再整体代入即可得到答案． 【解答】解：∵当x＝1时，多项式ax3+bx﹣2的值为2， ∴a+b﹣2＝2， ∴a+b＝4， 当x＝﹣1时， ax3+bx﹣2 ＝﹣a﹣b﹣2 ＝﹣（a+b）﹣2 ＝﹣4﹣2 ＝﹣6， 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想的应用． 【变式题7-3】．（2024-2025•九龙坡区月考）已知整式，且a0，a1，a2，a3，a4均为正整数，其中a0、a1、a2是三个连续增大的偶数；a3、a4是两个连续增大的奇数．若a0+a1+a2＝a3+a4，则下列说法： ①若a3＝5，x＝﹣1时，则整式M的值为6； ②若a1是4的倍数，则M最高次项的系数被6整除余1； ③若a3＜40，则满足条件的整式M共有6个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用题意对每个结论进行逐一判定即可． 【解答】解：①∵a3、a4是两个连续增大的奇数，a3＝5， ∴a4＝7， ∵a0、a1、a2是三个连续增大的偶数，a0+a1+a2＝a3+a4， ∴a0＝2，a1＝4，a2＝6， ∵，x＝﹣1， ∴M＝7×（﹣1）4+5×（﹣1）3+6×（﹣1）2+4×（﹣1）+2 ＝7﹣5+6﹣4+2 ＝6， ∴①的说法正确； ②∵a1是4的倍数， ∴设a1＝4n，则a0＝4n﹣2，a2＝4n+2， ∴a3+a4＝12n， ∵a3、a4是两个连续增大的奇数， ∴a3＝6n﹣1，a4＝6n+1， ∴M最高次项的系数为6n+1，被6整除余1． ∴②的说法正确； ③由②知：a3＝6n﹣1， ∵a3＜40， ∴6n﹣1＜40 ∴n， ∵n为正整数， ∴n＝1，2，3，4，5，6， ∴a3＝5，11，17，23，29，35， ∴满足条件的整式M共有6个． ∴③的说法正确． ∴正确的个数是3个． 故选：D． 【点评】本题主要考查了代数式求值，多项式的次数与系数，熟练掌握上述定义与性质是解题的关键． 【题型8】程序流程图与代数式循环求值(提升) 1.核心知识点总结 -程序流程图：通过“输入→判断→运算→输出”的流程，将流程转化为代数式(如“输入→→输出”，代数式为)；循环求值需找出流程的循环规律。 2.高频考点梳理 -单步流程求值：如输入，流程为“”，求输出结果(基础单步运算)。 -多步循环求值：如输入，流程为“奇数→，偶数→”，求第2025次输出结果(找循环周期，如“”，周期为2)。 3.易错点警示 -流程转化错误：误将“为奇数时运算A，偶数时运算B”记反，导致初始运算错误。 -循环周期遗漏：计算多次输出时，未发现循环规律(如“”)，盲目计算次数。 4.解题技巧拆解 -步骤：一译(将流程图翻译为代数式/运算规则)→二算(按规则计算前几次输出，找循环周期)→三推(根据周期推算指定次数的结果)。 -示例：输入，流程“偶数→，奇数→”，求第2025次输出： 前几次输出： (输入)→(1次)→(2次)→(3次)→(4次)→(5次)…； 周期：从第2次起，周期为2( ，； 推算：次→周期→第2025次为。 【例题8】．（2024-2025•中江县期末）如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2024次输出的结果为（　　） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】B 【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【解答】解：依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律如下： 第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，1+8＝9， 第6次，， …， 以此类推，从第2次开始以9，3，1循环， ∵（2024﹣1）÷3＝674……1， ∴第2024次输出的结果为9． 故选：B． 【点评】本题考查了求代数式的值，正确找到规律是解题关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•合江县期末）按如图所示的流程图操作，若输入x的值是﹣7，则输出的结果是（　　） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】根据题意列式计算直至结果大于5即可． 【解答】解：输入的x的值是﹣7， 则（﹣7+7）2＝0＜5，返回继续运算； （0+7）2＝49＞5，输出结果； 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值及有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•内江期末）按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为﹣2，则最后输出的结果是 　64　 ． 【答案】64． 【分析】将x＝﹣2输入，按照运算程序，计算结果，根据结果的大小，确定再次输入还是输出． 【解答】解：因为x＝﹣2＜0，x+10＝8≤50， 所以把x＝8＞0，再次代入得，， 因此输出的结果为64， 故答案为：64． 【点评】本题考查代数式求值和有理数的混合运算，掌握计算法则是正确计算的前提． 【变式题8-3】．（2024-2025•南通校级月考）按如图所示的程序进行运算： 若输出的数为360，且输入的数x不大于100，则正整数x的值为　19或38或76　 ． 【答案】19或38或76． 【分析】如果一次运行结果就能输出，则x2﹣1＝360时，解得：x＝19，再计算两次三次四次输出，得出x是正整数且不大于100即符合题意． 【解答】解：如果只进行一次运行，可得：x2﹣1＝360，解得：x＝19，符合题意； 如果只进行两次运行，可得：，解得：x＝38，符合题意； 如果只进行三次运行，可得：，解得：x＝76，符合题意， 如果只进行四次运行，可得：，解得：x＝152＞100，不符合题意， 综上所述，若输出结果是360，则正整数x的值为19或38或76． 故答案为：19或38或76． 【点评】此题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握运算程序，理解题意是解决问题的关键． 【题型9】赋值法求多项式系数和(培优) 1.核心知识点总结 -赋值法：给多项式中的字母赋特殊值(如、、)，计算多项式的值，进而求出系数和(如偶次项系数和、奇次项系数和)。 -常用赋值：时，多项式值为所有系数和；时，多项式值为偶次项系数和减奇次项系数和。 2.高频考点梳理 -二项展开式系数和：如，求。 -多项式所有系数和：如，求。 3.易错点警示 -赋值符号错误：如求的系数和，误赋(正确赋，得)。 -系数和计算漏项：如忽略常数项，仅计算含的项的系数和。 4.解题技巧拆解 -步骤：一选(选择合适的赋值，如、)→二算(代入赋值求多项式值，得系数和关系式)→三解(联立关系式，求目标系数和)。 -示例：求的： ：； ：； 联立：。 【例题9】．（2024-2025•亳州二模）若（2x+1）4＝a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1+a3的值为（　　） A．80 B．82 C．40 D．41 【答案】C 【分析】分别把x＝1和x＝﹣1代入等式得到34＝a0+a1+a2+a3+a4，1＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4，然后两等式相加可得到a1+a3的值． 【解答】解：当x＝1时，等式变形为34＝a0+a1+a2+a3+a4，① 当x＝﹣1时，等式变形为1＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4，② ①+②得80＝2（a1+a3）， 所以a1+a3＝40． 故选：C． 【点评】本题考查了代数式的求值，灵活运用负数的奇数次幂为负数，负数的偶数次幂为正数是解决问题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•开州区期中）若（1﹣3x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则下列说法中正确的有（　　） ①a0+a1+a2+a3+a4+a5＝﹣32；②a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝32；③a0＝1；④a0+a2+a4＝496；⑤a1+a3+a5＝528． A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】C 【分析】根据题意，先把x＝1，x＝﹣1，x＝0分别代入进行计算，进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴当x＝1时， 原式•15 ＝a0+a1+a2+a3+a4+a5 ＝（1﹣3×1）5 ＝（﹣2）5 ＝﹣32，故①正确； 当x＝﹣1时， 原式＝a0+a1•（﹣1）+a2• ＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5 ＝[1﹣3×（﹣1）]5 ＝45 ＝1024，故②不正确； 当x＝0时， 原式＝a0+a1•0+a2•0+a3•0+a4•0+a5•0 ＝（1﹣3×0）5 ＝15 ＝1，故③正确； ∵a0+a1+a2+a3+a4+a5＝﹣32，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝1024， ∴a0+a1+a2+a3+a4+a5+a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝﹣32+1024， ∴2a0+2a2+2a4＝992， ∴a0+a2+a4＝496，故④正确； ∵（a0+a1+a2+a3+a4+a5）﹣（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5）＝﹣32﹣1024， ∴a0+a1+a2+a3+a4+a5﹣a0+a1﹣a2+a3﹣a4+a5＝﹣1056， ∴2a1+2a3+2a5＝﹣1056， ∴a1+a3+a5＝﹣528，故⑤不正确． 综上所述，正确的是：①③④，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了代数式求值，根据题意，把x＝1，x＝﹣1，x＝0分别代入进行计算是解题的关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•泗洪县一模）若，则a0+a2+a4的值为（　　） A．82 B．81 C．42 D．41 【答案】D 【分析】将x＝﹣1代入可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1，将x＝1代入可得a0+a1+a2+a3+a4＝81，将两式相加计算即可． 【解答】解：当x＝﹣1时， a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝1， 当x＝1时， a0+a1+a2+a3+a4＝81， 两式相加可得2（a0+a2+a4）＝82， 则a0+a2+a4＝41， 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，将x＝﹣1和x＝1代入原等式中计算是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•内蒙古期末）设（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，则a﹣b+c的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．7 D．﹣7 【答案】C 【分析】将x＝﹣1代入等式得a﹣b+c﹣d＝8，将x＝0代入等式得d＝﹣1，即可得解． 【解答】解：∵（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d， 将x＝0代入（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d， 得：d＝﹣1， 将x＝﹣1代入（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d， 得：（﹣1﹣1）3＝﹣a+b﹣c+d， ∴a﹣b+c﹣d＝8， ∴a﹣b+c＝8+d＝8+（﹣1）＝7， ∴a﹣b+c的值为7． 故选：C． 【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是理解等式（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d成立的意义． 【题型10】绝对值复合型代数式的最值求解(培优) 1.核心知识点总结 -绝对值几何意义：表示数轴上到的距离；多个绝对值和(如)的最值，可通过数轴上点的位置分析(最小值为两点间距离，无最大值)。 2.高频考点梳理 -双绝对值和的最值：如求的最小值(数轴上在与之间时，最小值为)。 -多绝对值和的最值：如求的最小值(时，最小值为)。 3.易错点警示 -几何意义误解：将误看作到的距离(正确为到的距离，即)。 -最值区间错误：认为的最小值在处(正确在任意点，最小值均为)。 4.解题技巧拆解 -步骤：一化(将绝对值化为“”形式，如)→二找(找出所有“点”在数轴上的位置)→三判(根据点的个数判断最值：偶数个点时，最小值为两端点距离；奇数个点时，最小值为中间点到各点距离和)。 【例题10】．（2024-2025•香洲区校级期中）代数式|x+3|+|x﹣2|的最小值是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由于|x+3|+|x﹣2|表示x到﹣3，2的距离和，所以当﹣3＜x＜2，|x+3|+|x﹣2|的值最小． 【解答】解：根据＝题意可知，|x+3|+|x﹣2|表示的几何意义是x到﹣3，2的距离和， ∴当﹣3＜x＜2时，|x+3|+|x﹣2|有最小值， 最小值为：|x+3|+|x﹣2|＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值，代数式求值，掌握代数式求值的方法是关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•福建期中）已知（|x+3|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y+5|）＝30，则代数式2x﹣y的最大值是 　9　 ． 【答案】9． 【分析】根据绝对值的性质求出|x+3|+|x﹣2|，|y﹣4|+|y+2|的最小值，再根据它们的积是30，分别得到|x+3|+|x﹣2|，|y﹣4|+|y+2|的值，再讨论x，y的最大值最小值，代入计算出代数式的最大值即可． 【解答】解：∵|x+3|+|x﹣2|≥5，|y﹣1|+|y+5|≥6， 又∵（|x+3|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y+5|）＝30， ∴|x+3|+|x﹣2|＝5，|y﹣1|+|y+5|＝6， 当|x+3|+|x﹣2|＝5时，x最小取﹣3，最大取2， 当|y﹣1|+|y+5|＝6时，y最小取﹣5，最大取1， 2x﹣y的最大值是2×2﹣（﹣5）＝4+5＝9， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了绝对值的性质和代数式求值，主要运用了分类讨论的数学思想，理解题意求出各个绝对值的最值是解题的关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•越秀区校级期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？ （2）探究问题：如图①，点A，B，P分别表示数﹣1，2．x，AB＝3． ∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝3；当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3， ∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3． 解决问题： ①利用上述思想方法及图②解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4． ②当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2？ ③当x为何值时，图①中的PA﹣PB有最大值？最大值为多少？ 【答案】①|x+3|+|x﹣1＞4的解集为x＜﹣3或x＞1；②a＝﹣1或﹣5；③当x≥2时，图①中的PA﹣PB有最大值，最大值为3． 【分析】①利用题干中的方法解答即可； ②利用绝对值的几何意义分析解答即可； ③利用绝对值的几何意义结合数轴讨论解答即可． 【解答】解：①点A，B，P分别表示数﹣3，1，x，AB＝4，如图， ∵|x+3|+|x﹣1|的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝4； 当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞4， ∴|x+3|+|x﹣1＞4的解集为x＜﹣3或x＞1． ②∵|x+a|+|x﹣3|的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA+PB的值最小． ∵代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2， ∴|3+a|＝2， ∴a＝﹣1或﹣5． ③由题意：图①中，当点P在点B的右侧时，PA﹣PB有最大值，最大值为AB＝3． ∴当x≥2时，图①中的PA﹣PB有最大值，最大值为3． 【点评】本题主要考查了绝对值的几何意义，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•龙泉驿区期中）【问题背景】我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．在数轴上，点A，B的位置如图1所示，AB＝|1﹣（﹣2）|＝3． 【问题解决】 （1）|2﹣（﹣3）|的几何意义是 　点2与点﹣3之间的距离　 ． （2）如果点C为数轴上一点，它所表示的数为x，点D在数轴上表示的数为﹣2，那么CD＝　　 （用含x的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式|x+1|+|x+4|的最小值为 　3　 ． （2）运用二：代数式|x﹣2|﹣|x+14|的最大值为 　16　 ． （3）运用三：已知|x﹣1|+|x+3|＝10，则x的值为 　4或﹣6　 ． （4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是﹣5，F点表示数是﹣2，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为EF，点E与点G之间的距离表示为EG，点F与点G之间的距离表示为FG，若 mFG﹣3EF的值是一个定值，试确定m的值． 【答案】【问题解决】 （1）点2与点﹣3之间的距离； （2）； 【关联运用】 （1）3； （2）16； （3）4或﹣6； （4）±7.5． 【分析】【问题解决】 （1）|2﹣（﹣3）|的几何意义是点2与点﹣3之间的距离； （2）根据距离可得CD； 【关联运用】 （1）运用一：代数式|x+1|+|x+4|分三种情况讨论； （2）运用二：代数式|x﹣2|﹣|x+14|分三种情况讨论； （3）运用三：已知|x﹣1|+|x+3|＝10，分三种情况讨论； （4）运用四：t s时，E表示的数为：﹣5﹣2t，F表示的数为：﹣2+3t，G表示的数为：6+t，则EF＝﹣2+3t﹣（﹣5﹣2t）＝5t+3，FG，根据已知即可解决． 【解答】解：【问题解决】 （1）|2﹣（﹣3）|的几何意义是点2与点﹣3之间的距离， 故答案为：点2与点﹣3之间的距离； （2）C表示的数为x，点D在数轴上表示的数为﹣2， 则x与﹣2之间的距离CD， 故答案为：； 【关联运用】 （1）运用一：代数式|x+1|+|x+4|表示点x与﹣1的距离与点x与点﹣4距离的和， 当x＜﹣4时，|x+1|+|x+4|＝﹣x﹣1﹣x﹣4＝﹣2x﹣5＞3， 当﹣4≤x≤﹣1时，|x+1|+|x+4|＝﹣x﹣1+4+x＝3， 当x＞﹣1时，|x+1|+|x+4|＝x+1+4+x＝5+2x＞3， 综上所述：当﹣4≤x≤﹣1时，|x+1|+|x+4|取最小值为3， 故答案为：3； （2）运用二：|x﹣2|﹣|x+14|表示点x与2的距离与点x与点﹣14距离的差， 当x≤﹣14时，|x﹣2|﹣|x+14|＝2﹣x+x+14＝16； 当﹣14＜x＜2时，|x﹣2|﹣|x+14|＝2﹣x﹣（x+14）＝﹣12﹣2x 此时﹣16＜﹣12﹣2x＜16； 当x≥2时，|x﹣2|﹣|x+14|＝x﹣2﹣（x+14）＝﹣16； 综上所述：当x≤﹣14时，代数式|x﹣2|﹣|x+14|取最大值为16； 故答案为：16； （3）运用三：由（1）知当﹣3≤x≤1时|x﹣1|+|x+3|取最小值4， ∴|x﹣1|+|x+3|＝10时，x＜﹣3或x＞1， 故当x＜﹣3时不，则1﹣x﹣x﹣3＝10， 解得：x＝﹣6， 当x＞1时，x﹣1+x+3＝10， 解得：x＝4， 故答案为：4或﹣6； （4）运用四：∵E点表示数是﹣5，F点表示数是﹣2，G点表示数是6， ∴根据题意可得：t s时，E点表示数是﹣5﹣2t，F点表示数是﹣2+3t，G点表示数是6+t， 由已知可知F点始终在E点右侧，故EF＝﹣2+3t﹣（﹣5﹣2t）＝3+5t 而FG， 当mFG﹣3EF的值是一个定值时 则m3（3+5t）为定值， 当8﹣2t≥0时，即t≤4时m3（3+5t）＝m（8﹣2t）﹣9﹣15t＝8m﹣9﹣（2m+15）t， ∴2m+15＝0， 解得m＝﹣7.5， 此时定值为8m﹣9＝﹣69； 当8﹣2t＜0时，即t＞4时m3（3+5t）＝﹣8m+2mt﹣9﹣15t＝﹣8m﹣9+（2m﹣15）t， ∴2m﹣15＝0， 解得：m＝7.5， 此时定值为﹣8m﹣9＝﹣69； 综上所述：mFG﹣3EF的值是一个定值时，m的值为±7.5． 【点评】本题考查数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解决问题的关键 【题型11】代数式与数字/图形规律结合的求值（培优） 1.核心知识点总结 -规律本质：从数字序列或图形变化中，提炼含序号（正整数）的代数式，代入具体序号求值。 -常见类型：数字规律（等差、循环）、图形规律（棋子数、阴影面积），关键是“序号与数量”的对应。 2.高频考点梳理 -数字规律：如序列“”（代数式），求第100项； -图形规律：如“第个小屋子需枚棋子”，求第20个的棋子数。 3.易错点警示 -规律提炼错：如“”误写（正确）； -序号代入混：求第5个图形时，错用代入； -图形计数漏：漏数图形重叠/边界部分，导致规律偏差。 4.解题技巧拆解 -步骤：①观(记时的数量)；②找(等差用，循环找周期)；③验(代入验证代数式)；④算(代入目标求值)。 -示例：序列“”，代数式，第2025项=。 【例题11】．（2024-2025•仓山区校级期末）综合与实践 请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 3x﹣1 … ﹣7 m ﹣1 2 5 … ﹣3x+2 … 8 5 2 ﹣1 n … （1）【初步感知】根据表中信息可知：m＝　﹣4　 ，n＝　﹣4　 ； （2）【归纳规律】表中代数式3x﹣1的值的变化规律是：x的值每增加1，3x﹣1的值就增加3．类似地，代数式﹣3x+2的值的变化规律是什么？ （3）【拓展应用】当x的值每增加2时，猜想代数式﹣5x﹣1的值会怎样变化？请通过具体数据代入计算加以验证． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把x＝﹣1代入3x﹣1可求出m，把x＝2代入﹣3x+2可求出n； （2）根据表中数据可知x的值每增加1，﹣3x+2值就减少3； （3）分别求出x＝a和x＝a+2时代数式﹣5x﹣1的值，相减即可得到答案． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，m＝﹣4； 当x＝2时，n＝﹣4， 故答案为：﹣4，﹣4； （2）由数据可知：x的值每增加1，﹣3x+2值就减少3， （3）代数式﹣5x﹣1的值会减少10； 证明：当x＝a时，﹣5x﹣1＝﹣5a﹣1； 当x＝a+2时，﹣5x﹣1＝﹣5a﹣11； ∵﹣5a﹣11﹣（﹣5a﹣1）＝﹣5a﹣11+5a+1＝﹣10， ∴当x的值每增加2时，代数式﹣5x﹣1的值减少10． 【点评】本题考查了代数式求值，整式的加减，列出代数式是关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•辛集市期末）试探索代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的关系． （1）当a＝2，b＝﹣1时，分别求代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值； （2）当，b＝2时，分别求代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值； （3）从上述计算中，你发现了什么规律？当a＝2023，b＝2022时，请利用你发现的规律求代数式a2﹣2ab+b2的值． 【答案】（1）a2﹣2ab+b2＝9，（a﹣b）2＝9； （2），； （3）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，1． 【分析】（1）把a＝2，b＝﹣1分别代入a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2计算即可； （2）把，b＝2分别代入a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2计算即可； （3）由（1）（2）总结可得a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，再利用规律计算即可． 【解答】解：（1）当a＝2，b＝﹣1时， a2﹣2ab+b2＝22﹣2×2×（﹣1）+（﹣1）2＝9， （a﹣b）2＝[2﹣（﹣1）]2＝32＝9． （2）当时， ， ； （3）归纳可得：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2； 当a＝2023，b＝2022时，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（2023﹣2022）2＝1． 【点评】本题考查了代数式的求值，发现规律是解决此题的关键． 【变式题11-2】．（2022秋•广阳区校级期末）已知有下列两个代数式：①a2﹣b2；②（a+b）（a﹣b）． （1）当a＝5，b＝3时，代数式①的值是 　16　 ，代数式②的值是 　16　 ． （2）当a＝﹣2，b＝1时，代数式①的值是 　3　 ；代数式②的值是 　3　 ． （3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式a2﹣b2和（a+b）（a﹣b）的关系为（用式子表示） 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． （4）利用你发现的规律，求20232﹣20222． 【答案】（1）16，16；（2）3，3；（3）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）4045． 【分析】（1）把a＝5，b＝3分别代入①②两式计算，即可得出结果； （2）把a＝﹣2，b＝1分别代入①②两式计算，即可得出结果； （3）根据（1）、（2）的计算结果，即可得出两个代数式的关系； （4）根据（3）中的规律进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）把a＝5，b＝3代入①得：原式＝52﹣32＝16， 把a＝5，b＝3入②得：原式＝（5+3）（5﹣3）＝16， 故答案为：16，16； （2）把a＝﹣2，b＝1代入①得： 原式＝（﹣2）2﹣12＝3， 把a＝﹣2，b＝1代入②得：（a+b）（a﹣b）＝（﹣2+1）×（﹣2﹣1）＝﹣1×（﹣3）＝3， 故答案为：3，3； （3）由（1）、（2）可知：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （4）20232﹣20222＝（2023+2022）（2023﹣2022）＝4045×1＝4045． 【点评】本题考查了代数式求值及有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【变式题11-3】．（2024-2025•德城区期末）观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … x﹣2 ﹣4 ﹣3 ﹣2 a 0 … 2x+3 ﹣1 1 b 5 7 … ﹣3x﹣4 … 2 ﹣1 ﹣4 ﹣7 ﹣10 … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知，a＝ 　﹣1　 ，b＝ 　3　 ； 【归纳规律】 （2）表中x﹣2的值的变化规律是：x的系数是1，x的值每增加1，x﹣2的值就增加1；2x+3的值的变化规律是：x的系数是2，x的值每增加1，2x+3的值就增加 　2　 ；类似的，﹣3x﹣4的值的变化规律是：x的系数是﹣3，x的值每增加1，﹣3x﹣4的值就减少 　3　 ． 【问题解决】 （3）若关于x的代数式mx+n，当x的值每增加1，mx+n的值就减少5，且当x＝2时，mx+n的值为6． ①求这个代数式； ②若x1，x2，x3是三个连续偶数；当x＝x1时，mx1+n＝y1；当x＝x2时，mx2+n＝y2；当x＝x3时，mx3+n＝y3；且y1+y2+y3＝﹣72．求x1的值． 【答案】（1）﹣1；3； （2）2；3； （3）①﹣5x+16；②6． 【分析】（1）将对应的x值代入含有x的代数式计算即可； （2）根据表格中的数据分析判断即可； （3）①根据（2）中的规律可知，当x的值每增加1，mx+n的值就减少5时，x的系数 m＝﹣5，又当x＝2时，mx+n的值为6，则﹣5×2+n＝6，求出n的值即可得到代数式； ②根据连续偶数的意义，分别用含x1的代数式表示出y1、y2、y3，再代入y1+y2+y3＝﹣72求解即可； 【解答】解：（1）当x＝1时，x﹣2＝1﹣2＝﹣1；当x＝0时，2x+3＝0+3＝3； ∴a＝﹣1；b＝3， 故答案为：﹣1；3； （2）表中x﹣2的值的变化规律是：x的系数是1，x的值每增加1，x﹣2的值就增加1；2x+3的值的变化规律是：x的系数是2，x的值每增加1，2x+3的值就增加2；类似的，﹣3x﹣4的值的变化规律是：x的系数是﹣3，x的值每增加1，﹣3x﹣4的值就减少3， 故答案为：2；3； （3）①根据（2）可知： ∴x的系数m＝﹣5， 又∵当x＝2时，mx+n的值为6， ∴﹣5×2+n＝6， 解得：n＝16， ∴这个代数式为﹣5x+16； ②由题意可得：x2＝x1+2，x3＝x1+4， ∴y1＝﹣5x1+16，y2＝﹣5（x1+2）+16＝﹣5x1+6，y3＝﹣5（x1+4）+16＝﹣5x1﹣4， ∵y1+y2+y3＝﹣72， ∴（﹣5x1+16）+（﹣5x1+6）+（﹣5x1﹣4）＝﹣72， 解得：x1＝6， 【点评】本题考查代数式求值及解一元一次方程，掌握列代数式是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 B D． C． B． A 一．选择题（共5小题） 1．已知b＝2a2﹣4，则式子3﹣2a2+b的值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7 【答案】B 【分析】将b＝2a2﹣4代入3﹣2a2+b，再合并同类项即可． 【解答】解：∵b＝2a2﹣4， ∴3﹣2a2+b ＝3﹣2a2+2a2﹣4 ＝3﹣4 ＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，掌握用整体代入法求代数式的值是解题的关键． 2．当x＝4时，则2x+1的值是（　　） A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】D． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝4时，原式＝2×4+1＝9． 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 3．已知3x﹣y+5＝0，则代数式2y﹣6x+7的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．17 D．﹣17 【答案】C． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵2y﹣6x+7＝﹣6x+2y+7， ∵3x﹣y+5＝0， ∴3x﹣y＝﹣5， ∴当3x﹣y＝﹣5时，原式＝﹣6x+2y+7＝﹣2（3x﹣y）+7＝﹣2×（﹣5）+7＝17． 故选：C． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 4．若a＝﹣2，则（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】B． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当a＝﹣2时，原式1． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 5．当x＝1时，mx3﹣nx+1的值为4，则x＝﹣1时，mx3﹣nx+7的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由当x＝1时，mx3﹣nx+1的值为4得m﹣n＝3，当x＝﹣1时，mx3﹣nx+7＝﹣（m﹣n）+7，代入计算即可． 【解答】解：由条件可知m﹣n+1＝4， ∴m﹣n＝3． ∴当x＝﹣1时， mx3﹣nx+7＝﹣m+n+7＝﹣（m﹣n）+7＝﹣3+7＝4． 故选：A． 【点评】本题考查的是求代数式的值，正确代入准确计算是关键． 二．填空题（共5小题） 6．若b＝a+2，则（b﹣a）3＝　8　 ． 【答案】8． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵b＝a+2， ∴b﹣a＝2， ∴当b﹣a＝2时，原式＝23＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则代数式4x﹣2x2的值为 　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【分析】由已知条件可得x2﹣2x＝3，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴x2﹣2x＝3， ∴4x﹣2x2 ＝﹣2（x2﹣2x） ＝﹣2×3 ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键． 8．已知2x2﹣3x+4等于9，则6﹣4x2+6x的值为 　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【分析】根据题意可得：2x2﹣3x+4＝9，即2x2﹣3x＝5，把代数式变形为：﹣2（2x2﹣3x）+6，然后把2x2﹣3x＝5代入计算即可． 【解答】解：∵2x2﹣3x+4＝9， ∴2x2﹣3x＝5， ∴6﹣4x2+6x ＝﹣2（2x2﹣3x）+6， ＝﹣2×5+6 ＝﹣10+6 ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． 9．小林同学在计算时，误将﹣M看成了+M，从而算得结果是，请你帮助小林算出正确结果为　﹣10　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由M得结果是，先确定M的值，再计算M的值． 【解答】解：因为M， ∴M． 所以M ＝﹣10． 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查了代数式的计算．求出M的值是解决本题的关键． 10．如图所示计算机某计算程序，若开始输入x＝5，则最后输出的结果是　75　 ． 【答案】75． 【分析】根据题意，把x＝5代入计算，根据条件＞50进行判定，是否进行第二次计算，依此类推即可求解． 【解答】解：根据条件＞50进行判定， 第一次，当x＝5时，5+2x﹣x2＝5+2×5﹣52＝15﹣25＝﹣10， 第二次，当x＝10时，5+2x﹣x2＝5+2×10﹣102＝25﹣100＝﹣75， ∴﹣75相反数为75＞50， ∴输出的结果为75， 故答案为：75． 【点评】本题考查了流程图的计算，理解流程图中带上的计算方法，掌握代入求值的计算是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 11．已知|x+3|+|y﹣2|＝0，求x+2y的相反数． 【答案】﹣1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+3|+|y﹣2|＝0， ∴x+3＝0，y﹣2＝0， ∴x＝﹣3，y＝2， ∴x+2y＝﹣3+2×2＝1， ∴1的相反数是﹣1， ∴x+2y相反数为﹣1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 12．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是4，求的值． 【答案】10或﹣14． 【分析】根据相反数、倒数、绝对值的意义，得到a+b＝0，cd＝1，m＝±4，再整体代入求值即可． 【解答】解：由题意可得：a+b＝0，cd＝1，|m|＝4， ∴m＝±4， 当m＝4时，； 当m＝﹣4时，； 即的值为10或﹣14． 【点评】本题考查了相反数、倒数、绝对值，以及代数式求值，利用整体代入法是解题关键． 13．对于有理数x、y规定一种新运算：x※y＝ax+y．其中a为常数，等式右边是乘法和加法运算，已知2※3＝11． （1）求常数a的值． （2）求（）※2的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据新运算，将2※3＝11转化为关于a的等式解答； （2）根据（1）中所求的a的值，根据新定义规定的运算，转化为一般运算解答． 【解答】解：（1）根据新运算， 2※3＝11得， 2a+3＝11， 解得a＝4． （2）∵a＝4， ∴x※y＝4x+y， 于是（）※2＝4×（）+2＝﹣3+2＝﹣1． 【点评】此题考查了对新定义计算的理解掌握及应用能力，正确运用x※y＝ax+y是解题的关键． 14．如图所示，数轴上的三个点A、B、C表示的数分别为﹣3、﹣2、2，试回答下列问题． （1）A、C两点间的距离是　5　 ； （2）若E点到B点的距离是8，则E点表示的数是　﹣10或6　 ； （3）若m，n互为相反数，p，q互为倒数，求的值． 【答案】（1）5； （2）﹣10或6； （3）． 【分析】（1）利用数轴知识解答； （2）利用数轴知识解答； （3）利用相反数和倒数的定义解答． 【解答】解：（1）A、C两点间的距离是5； 故答案为：5； （2）若E点到B点的距离是8，则E点表示的数是﹣10或6； 故答案为：﹣10或6； （3）∵m，n互为相反数，p，q互为倒数， ∴ ． 【点评】本题考查了代数式求值，相反数，倒数，数轴，解题的关键是掌握代数式求值，相反数的定义，倒数的定义，数轴知识． 15．某校组织x名学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案：方案一：研学团队先交1500元后，每人收费225元； 方案二：5人免费，其余每人收费打八折． （1）当x＞50时，方案一共收费 　（225x+1500）　 元，方案二共收费 　（240x﹣1200）　 元；（用含有x的代数式表示） （2）当x＝85时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【答案】（1）（225x+1500），（240x﹣1200）； （2）采用方案二省钱．理由如下： 当x＝85时，方案一共收费225×85+1500＝20625（元）， 方案二共收费240×85﹣1200＝19200（元）， ∵19200＜20625， ∴采用方案二省钱． 【分析】（1）根据两种方案分别列出代数式即可； （2）把x＝85代入两个代数式并求值，再比较大小即可． 【解答】解：（1）当x＞50时，方案一共收费（225x+1500）元， 方案二共收费0.8×300（x﹣5）＝（240x﹣1200）元． 故答案为：（225x+1500），（240x﹣1200）． （2）采用方案二省钱．理由如下： 当x＝85时，方案一共收费225×85+1500＝20625（元）， 方案二共收费240×85﹣1200＝19200（元）， ∵19200＜20625， ∴采用方案二省钱． 【点评】本题考查列代数式、代数式求值，根据两种方案分别列出代数式并求值是解题的关键． 16．山西省图书馆是中国国内为数不多的百年老馆之一，是政府举办的大型综合性公共图书馆．某周日早上图书馆开馆时进入读者（a+2b）人，到十点钟时馆内共有读者（3a+5b）人． （1）求从开馆到十点钟时馆内增加读者多少人； （2）当a＝200，b＝300时，求从开馆到十点钟时馆内增加读者的人数． 【答案】（1）（2a+3b）人． （2）从开馆到十点钟时馆内增加读者1300人． 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）将a＝200，b＝300代入（2a+3b）求解即可． 【解答】解：（1）增加人数为：（3a+5b）﹣（a+2b） ＝3a+5b﹣a﹣2b ＝（2a+3b）， ∴从开馆到十点钟时馆内增加读者（2a+3b）人； （2）当a＝200，b＝300时，代入（1）的代数式， ∴2a+3b＝2×200+3×300＝1300（人）， ∴从开馆到十点钟时馆内增加读者1300人． 【点评】本题考查了整式的加减实际应用，代数式求值，能够通过题干信息列出代数式是解题的关键． 17．如图，已知正方形ABCD与正方形BEFG的顶点A、B、E在同一直线上，且AB＝a，BE＝b（b＜a）． （1）用含a，b的代数式表示图中阴影部分的面积； （2）当a＝5cm，b＝3cm时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）9.5cm2． 【分析】（1）阴影部分的面积等于三角形ABC的面积加上正方形BEFG的面积，再减去三角形AEF的面积； （2）把a，b的值代入（1）中的代数式求解． 【解答】解：（1）图中阴影部分的面积为： 2+b2b（a+b） ； （2）∵当a＝5cm，b＝3cm时， 阴影部分的面积为： 2595×3 ＝9.5cm2， ∴图中阴影部分的面积为9.5cm2． 【点评】本题考查了列代数式及求值，面积的和差是解题的关键． 18．如图是某校运动场的平面图，学校计划在硬化的中心区域（阴影部分）铺设人造草，中心区域最中间是长方形，长为a米，两端为两个半圆，半径为r米． （1）运动场中心区域周长为　（2a+2πr）　 米；（结果用含a，r的代数式表示，保留π） （2）若a＝100，且运动场中心区域周长为350米， ①求半径r的值（π取3）； ②在①的条件下，若人造草每平方米40元，则学校共需付多少铺设费用？（π取3） 【答案】（1）（2a+2πr）；（2）①25米；②学校共需付275000元． 【分析】（1）利用长方形与圆的周长公式解答即可； （2）①利用长方形与圆的周长公式列出方程解答即可； ②利用长方形与圆的面积公式求得相应部分的面积，再利用面积×单价解答即可． 【解答】解：（1）根据题意可知， ∵最中间是长方形，长为a米，两端为两个半圆，半径为r米， ∴运动场中心区域周长：（2a+2πr）米． 故答案为：（2a+2πr）； （2）①由题意得：2a+2πr＝350， ∵a＝100，π取3， ∴， 即r≈25（米）； ②由题意得：铺人工草费用为： 40×[252×3+100×（25+25）] ＝40×（1875+5000） ＝275000（元）， 答：学校共需付275000元的铺设费用． 【点评】本题主要考查了列代数式，代数式求值，掌握代数式求值的方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $