导数的应用-不等式问题典型考点专项练-2026届高三数学一轮复习

导数的应用--不等式问题 一、单选题 1．已知函数，若在上恒成立，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，对任意的，满足，是的导数，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意x，都有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 5．已知数列满足，则（    ） A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 二、多选题 6．以下不等式成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 7．设函数在上存在导函数，对于任意的实数x，有，当时，，若，则实数m的取值范围是 ． 8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是 ． 9．已知函数的定义域为，是的导函数，，若对任意的，有，则不等式的解集是 ． 10．设函数，则使得不等式成立的的取值范围是 ． 11．设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立.若，则实数的取值范围为 . 12．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 ． 四、解答题 13．已知函数. (1)求的最大值； (2)当时，证明：. 14．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，记的极小值为，证明：． 15．已知函数． (1)求的极小值； (2)若，，求证：． 16．已知函数，，则 (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求m的取值范围； (3)当时，若的最小值是0，求的最大值． 17．已知函数，． (1)求的单调区间； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)证明：． 18．设函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)当时恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：. 19．已知函数（），其中. (1)讨论的单调性； (2)若恰好有一个零点，求的取值范围； (3)若有两个零点，（），求证：. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C A B B ABC 1．B 先分离参数，再构造函数，利用导函数确定函数单调性，从而得到函数最值，进而得出答案. 由题意可转化为恒成立， 令函数为偶函数， 故考虑时，， 令， 即在上单调递增， 则，则在上单调递增， 在上单调递减，故， 故， 故选：B. 2．C 试题分析：令，则，因此，所以选C. 构造，构造，构造等 3．A 令，利用导数研究单调性，利用单调性逐个选项比较大小即可. 令，则， 由得，当时，， 即在上单调递增， 对于A，由，则，所以， 即，可知A正确； 对于B，由，则，所以， 即，可知B错误； 对于C，由，则，所以，即，可知C错误； 对于D，由，则，所以，即，可知D错误. 故选：A 4．B 设，，结合已知利用导数法得函数在上为减函数，结合奇函数性质得，即可求解. 设，，则， 且，所以函数在上为减函数． 又为奇函数，则有，所以． 当时，， 故不等式的解集是． 故选：B 5．B 法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误. 法2：构造，利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项所在区间，从而判断的单调性；对于A，构造，判断得，进而取推得不恒成立；对于B，证明所在区间同时证得后续结论；对于C，记，取推得不恒成立；对于D，构造，判断得，进而取推得不恒成立. 法1：因为，故， 对于A ，若，可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立， 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故， 故为减数列，注意 故，结合， 所以，故，故， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，故恒成立仅对部分成立， 故A不成立. 对于B，若可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而， ，，故，故，故为增数列， 若，则恒成立，故B正确. 对于C，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立即 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为减数列， 又，结合可得：，所以， 若，若存在常数，使得恒成立， 则恒成立，故，的个数有限，矛盾，故C错误. 对于D，当时， 可用数学归纳法证明：即， 证明：当时，，此时不等关系成立； 设当时，成立， 则，故成立 由数学归纳法可得成立. 而，故，故为增数列， 又，结合可得：，所以， 若存在常数，使得恒成立，则， 故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误. 故选：B. 法2：因为， 令，则， 令，得或； 令，得； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 令，则，即，解得或或， 注意到，， 所以结合的单调性可知在和上，在和上， 对于A，因为，则， 当时，，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：，即， 因为在上，所以，则为递减数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故， 所以在上单调递增，故， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故A错误； 对于B，因为， 当时，，， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 又当时，，即， 假设当时，， 当时，因为，所以，则， 所以， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 此时，取，满足题意，故B正确； 对于C，因为，则， 注意到当时，，， 猜想当时，， 当与时，与满足， 假设当时，， 当时，所以， 综上：， 易知，则，故， 所以， 因为在上，所以，则为递减数列， 假设存在常数，使得恒成立， 记，取，其中， 则， 故，所以，即， 所以，故不恒成立，故C错误； 对于D，因为， 当时，，则， 假设当时，， 当时，，则， 综上：， 因为在上，所以，所以为递增数列， 因为， 令，则， 因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故， 所以， 故，即， 假设存在常数，使得恒成立， 取，其中，且， 因为，所以， 上式相加得，， 则，与恒成立矛盾，故D错误. 故选：B. 6．ABC A选项，令，，，，求导，求出函数单调性，得到，，得到A正确；B选项，在A选项基础上，得到时，，，B正确；C选项，令，，求导得到函数单调递增，且，从而得到C正确，D选项，令，，求导得到函数单调性和值域，结合的单调性和取值范围，得到两函数图象，数形结合得到D错误. A选项，令，， 则恒成立，故在上单调递增， 则， 令，， 则，故在上单调递增， 故， 所以，即，A正确； B选项，由A选项知，时，单调递增，单调递减， 则， 所以，即，B正确； C选项，令，， 则， ，，， 又在上恒成立， 故在恒成立， 故在上单调递增， 又，故，即当时，，C正确； D选项，令，，则， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 在上单调递增，在上单调递减， 且，， 画出两函数图象如下： 时，不满足， 存在，使得当时，，即，D错误. 故选：ABC 很多时候，我们需要证明，但不代表就要证明，因为大多数情况，的零点解不出来，设隐零点是一种方法，也可尝试凹凸反转，如要证明，可把拆分为两个函数，放在不等式的两边，即要证明，只要证明，凹凸反转的关键是如何分离出两个函数，通常考虑指数函数与对数函数分离，构造两个单峰函数，进行求解. 7． 根据已知等式和不等式构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性进行求解即可. 设，则， 为奇函数，． 当时，，所以在上是减函数． 因为， 即，所以，从而． 故答案为： 8． 先对的范围分类讨论，再讨论的正负，进而利用分离参数法求解参数范围即可. 因为恒成立，所以恒成立， 则恒成立，当时，， 此时恒成立，符合题意， 当时，，现在讨论的正负， 当时，原不等式可化为， 即恒成立，令， 而，当时，恒成立， 得到在上单调递增，可得，则， 当时，原不等式可化为， 得到，令， 则，故在上单调递增， 当时，，不符合题意，排除， 综上，的取值范围是. 故答案为： 9． 将所求不等式转化为，通过研究的单调性，结合，即可得到不等式解集. 设，则， 设，则，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 得， 因而，单调递减，又， 依题意，所求为，可得解集为. 故答案为：. 10． 根据函数解析式，判断函数单调性以及奇偶性，利用函数性质再解不等式即可. 令，则， 当时，，，故，即， 故在上单调递增； 又在上单调递增且函数值恒正， 所以在上单调递增， 故在上单调递增； 又的定义域为，且， 故为偶函数， 故， 也即， 整理可得：，即， 解得. 故答案为：. 11． 构建，结合题意分析的奇偶性和单调性，由题意可得原不等式化为，根据奇偶性和单调性解不等式即可. 设，可知的定义域为， 因为，即， 则， 则函数为偶函数， 当时，，可知函数在单调递增， 由偶函数性质可得函数在单调递减， 因为，可得， 即，可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 关键点点睛：根据题意构建函数，分析其奇偶性和单调性，进而解不等式. 12．/ 参变分离，将问题转化为函数最值问题，利用导数研究单调性，结合换元法可解. 因为分别是定义域为的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②解得，， 因为在上都为增函数， 所以在上单调递增，， 故不等式 令，因为当时，，单调递增， 所以， 又， 所以， 因为在上都为增函数，所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的最大值是. 故答案为: 本题为不等式恒成立问题，先根据奇偶性求出解析式，然后参变分离，利用换元法化简，结合单调性求解即可. 13．(1) (2)证明见解析 （1）求导，即可根据函数的单调性求解最值， （2）利用导数求解的最小值，即可根据的最大值求解. （1），令得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，取得最大值，且最大值为. （2）设，，则， 在上单调递增， ，即在上的最小值为4， ，，， 当时，. 14．(1) (2)证明见解析 （1）当时，可得，再利用导数的几何意义求出切线方程； （2）先利用导数求出则的极小值，从而可得要证，即证，构造函数，利用导数求得，从而可求解. （1）当时，，， 故当时，曲线在处的切线方程为， 化简得． 故切线方程为：. （2）由题知，令，解得， 又，则，则当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递增， 则的极小值，． 要证，即证． 令，则， 令，则， 则在区间内单调递减，又， 所以，即在区间内单调递增， 则， 故. 15．(1)0 (2)证明见解析 （1）求导，根据导数与极值求解即可； （2）由（1）可知，令，代入即可得证. （1）的定义域为，， 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值； （2）由（1）知，当时，， 可得，即， 因为，，， 所以令，得， 即得证． 16．(1)答案见解析 (2) (3) （1）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，进而得到函数的单调区间； （2）令，求得，由，转换为恒成立，令，求得，得到在上为增函数，得到，即可求解； （3）令函数，转化为在上恒成立，结合相切时取得等号，设切点坐标为，求得切线方程，列出方程组，求得的表达式，得到所以，令函数，利用导数求得单调性，得到，求得，得出，且，进而得到答案. （1）解：由函数，可得， 若时，可得，所以在上单调递增； 若时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 综上可得：当时，在上单调递增； 若时，在上单调递减，在上单调递增. （2）解：令函数，可得， 因为当时，恒成立，所以在上恒成立， 又因为，要使得在上恒成立，则恒成立， 令， 可得， 即在上为单调递增函数，所以，解得， 即实数的取值范围为. （3）解：当时，若的最小值是0， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 显然相切时取得等号，由函数，设切点坐标为， 可得，可得， 所以切线方程为， 即， 因为切线过原点，则， 解得， 所以 ， 令，其中， 可得， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，此时， 可得， 则，其中， 只需证明：当时，，当时，， 令，可得， 因为和都为增函数，都可为增函数， 所以，所以为增函数， 因为，所以当时，，当时，， 所以，当且仅当，等号成立， 即的最大值为. 方法策略：利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略： 1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围； 2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值，进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围； 3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围. 17．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)证明见详解 （1）求导，利用导数求原函数的单调区间； （2）令，可知对任意恒成立，取特殊值得必要条件，再从充分性角度研究时，利用导数证明恒成立即可； （3）由（2）可知：，取，可得，进而分析证明. （1）由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）设， 当时，，即对任意恒成立， 取，解得； 若，则， 设，则， 可知在上单调递增，则，此时，符合题意； 综上所述：实数a的取值范围为． （3）由（2）可知：当时，对，均有，即， 取，代入得， 可得， 分别取代入相加得 ， 所以，原式即证． 方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 18．(1) (2) (3)证明见解析 （1）利用导数的几何意义求解； （2）求出导函数，并设，求得，由于 ，因此根据，以及分类讨论是否恒成 立，从而得参数范围； （3）由（2）不等式变形得，再用代后变形及放缩得，然后令后相加可证． （1）， 由题意曲线在点处的切线方程为， 则，解得； （2），， ，令（），则， 当，即时，，即是上的增函数， 因此， 是增函数，所以，不合题意，舍去； 当即时，，即是上的减函数， 所以， 所以是上的减函数，从而恒成立， 当即时，， 时，，在单调递增， 时，，在单调递减， 又，所以时，恒成立，即恒成立， 此时在上单调递增，因此，与题意不合，舍去， 综上． （3）由（2）知时，，即，从而， 所以，又， 所以， 此不等式中分别令得 ，，，， 将这个不等式相加得. 关键点点睛：本题关键点在于第（3）小题，关键是利用（2）中不等式变形及不等式的性质得出，然后分别令后相加得证． 19．(1)答案见解析 (2)或 (3)证明见解析 （1）求导，分，和三种情况，得到函数的单调性； （2），构造，，求导，得到函数单调性，又，当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于0，从而得到或 （3）由（2）知时，有两个零点，，，两式相减得，故所证不等式可化为，令（），则上不等式化为，构造，，求导得到其单调性，得到，证毕. （1）（）. 当时，，在递减， 当时，，， ⅰ）若，则，在单调递增， ⅱ）若，令， .当时，，当，， ∴在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在递减；当时，在递增： 当时，在递减，在递增. （2）令， 记（），， 易知，；，， ∴在单调递增，在单调递减， 又，当趋向于时，趋向于， 当趋向于时，趋向于0， 故恰有一个零点时，或. （3）由（2）知时，有两个零点， 由，， 作差可得. 所证不等式 . 令（），则上不等式即.① 记（）， ， ∴在单调递增， ∴.所以不等式①成立，故有. 对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 学科网（北京）股份有限公司 $