1.第一章 特殊平行四边形学情调研-【真题圈】-2025学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）山西专版

答案与解析 .DE⊥AC,OE=CE,∴.∠DEA=90°，OD=CD,.OC= 同步调研卷（上） OD CD=2,..BD =20D=4, 1.第一章学情调研 .BC=√BD2-CD2=√42-22=2√5，即BC的长为2V3. 故选A 1.D 10.D【解析】：四边形ABCD是 A 2.D【解析】.四边形ABCD是菱形，∴.∠A=∠C=50°，BC 正方形，∴.点D与点B关于AC =CD,∴.∠BDC=∠CBD=65°.故选D. 对称 3.D【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点， 如图，连接BF,则此时DE+EF的 CD=BD=7AB,∠DCB=∠B=25, 值最小，为BF的长， .∠ACD=90°-25°=65°.故选D. 1BC=6,CF=6-2=4, 4.B【解析】由折叠可得，∠A=∠'=50°.：四边形ADA'E ∴.BF=VBC2+CF2=36+16 B 是菱形，4A'E=AD,·∠1=180°，∠4=180°，50°= =2√13.故选D. 第10题答图 2 65°.故选B. 11.4【解析】：四边形ABCD是菱形，∴AB=BC 5.D【解析】由题意可得∠ADC=90°，∠CDE=∠DEC=60°， ∠B=60°，.△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4. AD=DE=CD,.∠ADE=90°-60°=30°， 故答案为4. ∠DAB=∠ABD=180°，30°=75， 12.5【解析】在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8, 2 .AB=√AC2+BC2=10. ∴.∠AEC=∠AED+∠DEC=75°+60°=135°.故选D, 6.B【解析】：四边形ABCD是菱形， “AB边上的中线CD=2AB=5.故答案为5 :.OA=OC,OB OD=BD,BD LAC, 13.(√5,2)【解析】如图，连接AC,交OB于点D. :四边形OABC是菱形，.OD=DB,AC⊥OB. .BD=2OB=12. .B的坐标为(0,4)，∴.OB=4,.OD=2. :S黄5m=24C·BD=54,4AC=9 菱形OABC的边长为3，即OC=3, AE1BC,·.∠AEC=90°，0E=2AC=45. ∴.CD=V32-22=√5 AC⊥OB,OB⊥x轴，AC∥x轴，C(5,2) 故选B. 故答案为(V5,2). 7.C【解析】：点E,F分别为边AB,BC的中点，.EF∥AC, EF=AC.AC=10,EF=AC=5. D 同理，可得HG∥4C,HG=24C=5, .EF∥HG,EF=HG,.四边形EFGH是平行四边形. 点E,H分别为边AB,AD的中点， ·EH∥BD,EH=2BD=4 】 F ,AC⊥BD,∴.EF⊥EH,∴.∠FEH=90°， 第13题答图 第14题答图 ∴.平行四边形EFGH是矩形， 14.3【解析】如图，连接PB,在正方形ABCD中，AB=AD ∴.矩形EFGH的面积=4×5=20. ∠BAC=∠DAC=45° 故选C. AB=AD. 在△ABP和△ADP中，{∠BAC=∠DAC, &.A【解析】如图，，四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形， AP=AP, .OB=OC,∠OBA=∠OCB=45°， 0 .△ABP≌△ADP(SAS),.BP=DP ∠BOC=∠EOG=90°， N PE⊥AB,PF⊥BC,∠ABC=90°， ∴.∠BON=∠COM ∴.四边形BFPE是矩形，∴.EF=PB,.DP=EF=3. 在△OBN与△OCM中， 故答案为3. ∠OBN=∠OCM, OB=OC, 15.(1)85(2)45-(选择一题作答即可) I∠BON=∠COM, 第8题答图 【解析】：四边形ABCD是平行四边形， △OBN≌△OCM(ASA),SaaN=S△oCw .'OA=OC,OB=OD. :Som=5人ox=号SE动m=子×1x1=号 1 :△ABO是等边三角形， ,∴.OA=OB,∠ABO=∠BAO=60°， 故选A .OA=OC OB OD,AC BD. 9A【解折F四边形ABCD是矩形，：0A=OC=之4C,OD .平行四边形ABCD是矩形， .∠ABC=∠BAD=90°，∴.∠ACB=30° BD,AC BD,CD=4B 2,04-OD OC. 在Rt△ACB中，∠ACB=30°，BC=8, 真题圈数学九年级3B .'AC 2AB,AB2+BC2 AC2, ,∠ABC=60°，BE平分∠ABC,.∠EBC=30° AB2+82=(2AB)3,AB=8y5 3 ∠E=90,CE=7BC=3 (1),AE平分∠BAD交BC于点E,∠BAD=90°， 在Rt△BEC中，由勾股定理得BE2=CB2-CE, .∠BAE=45°，.△ABE是等腰直角三角形，∴.BE=AB. 即B=62-32,解得BE=3√5（负值舍去）， 由勾股定理，得AE=VAB2+BE2=V2AB=2AB=86 ∴.矩形BECF的周长为2BE+2CE=6N5+6. 3 19.(1)【证明】.·四边形ABCD是矩形， 故答案为8y6 3 .AD∥BC,.∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE. (2)如图，过点E作EF⊥OC于点FA ,EF垂直平分AC,.OA=OC, :△ABO是等边三角形， ∴.△AOE≌△COF(AAS),∴.OE=OF, AB=0OB=85,∠AB0= '.四边形AFCE为平行四边形。 又，EF⊥AC,.四边形AFCE为菱形 ∠BA0=60°， E (2)【解】设AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm, .∠OBC=∠OCB=30° 第15题答图 在Rt△ABF中，AB=4cm,由勾股定理得42+(8-x)2=x2, 同(1)可得AB=BE=8Y5 3, 解得x=5.∴.AF=5cm BO=BE,CE=BC-BE=8 20.【解】(1)四边形BFED是矩形.理由如下： 3 .CE=BC,CF=DC, ∠B0E=180°，30=75°， 2 ∴.四边形BFED是平行四边形 .∠E0F=180°-60°-75°=45°， 四边形ABCD是菱形，∴.BC=CD,∴.CE=BC=CF= .△OEF是等腰直角三角形，.OF=EE DC,∴.BC+CE=CF+DC,即BE=DF, 在Rt△CEF中，∠BCF=30P,EF=号EC=445, .平行四边形BFED是矩形. 3 (2):四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,AC⊥BD, OB=JOF+EF=EF=EF=446 3 .AD∥CE,∠BOC=90°. 故答案为42-46 ,四边形BFED是矩形，.∠BDE=90°， 3 .∠BDE=∠BOC,AC∥DE, 16.【证明：CD平分∠ACB,.∠ACD=∠DCG. .四边形ACED是平行四边形，.DE=AC=4, :EG垂直平分CD,∴DG=CG,DE=EC, .∠DCG=∠GDC,∠ACD=∠EDC, S矩形FED=BD·DE=8×4=32. .∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC, 21.(1)【证明】：四边形ABCD是矩形，.AD=BC,DC∥AB. ∴.∠EAB=∠DEA,∠ABF=∠BFC. .CE∥DG,DE∥GC, :∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF与边CD分别交于点E,F, 四边形DECG是平行四边形. 又，DE=EC,.平行四边形DGCE是菱形 .∠EAB=∠DAE,∠ABF=∠FBC .∠AED=∠DAE,∠BFC=∠FBC 17.【解】(1)如图，四边形ABCD即所求作 ∴.AD=DE,CF=CB. (2)连接BD(如图)， ∴.DE=CF,即DF+EF=CE+EF BC=AD, 在△ABC和△BAD中，{AC=BD, .'DF=CE. AB=BA, (2)【解①如图，BG即所求 G C(E .△ABC≌△BAD(SSS), 第17题答图 ②油(1)，得AD=DE. .∠BAD=∠ABC=90°，∴∠ABC+∠BAD=180, :点E与点C重合，AD=DC .BC∥AD. :四边形ABCD是矩形， 3 :BC∥AD,BC=AD,∴.四边形ABCD是平行四边形.（一 .四边形ABCD是正方形 第21题答图 组对边平行且相等的四边形是平行四边形) .BD平分∠ABC :AC=BD,∴.四边形ABCD是矩形.（对角线相等的平行四 :BG平分∠ABC,.点D落在射线BG上 边形是矩形) ,AB=4,四边形ABCD是正方形，BG交AC于点O, 18.【解】：四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD=AB=4,∠DAB=90°，BO=OD .∠ABC+∠BCD=180° 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=√AB2+AD2=√42+42 又：BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, =4W2,.B0=2W2 .∠EBC+∠ECB=90°，.∠E=90 22.【解】(1)四边形BE'FE是正方形 BF∥CE,CF∥BE, 理由如下：，·△CBE是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋 .四边形BECF为平行四边形， 转90°得到的，.∠CEB=∠AEB=90°，∠EBE=90°，AB .四边形BECF为矩形 =CB,AE=CE'. 答案与解析 又，∠BEF+∠AEB=180°，∴.∠BEF=90°， 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF2=AB2+BF2=1+(V2 ,四边形BEFE是矩形. -1)2=4-2√2，.MW=AF2=4-2√2. 由旋转可知BE=BE,∴.四边形BEFE是正方形 (2):四边形BEFE是正方形，∴.BE=BE=EF, 2.重难题型卷（一）特殊平行四边形 BC=EB2+EC,.100=EB2+(EB+2)2, 1.C .EB=6,.EF=BE=6,.CE=6+2=8=AE. 2.A【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一 如图，过点D作DH⊥AE于点H,.∠DHA=90°=∠AEB, 即可，(1)有一个内角是直角，（2)对角线相等.故选A. ·∠DAH+∠EAB=∠DAH+D 3.【证明】：点D,E,F,G分别是MN,BN,BC,CM的中点， ∠ADH=90°， ∴.DE是△BMN的中位线，FG是△BCM的中位线. .∠ADH=∠BAE, 又DA=AB, ·.DE=3BM,DE∥BM,GF=BM,GF∥BM H .△ADH≌△BAE(AAS), ∴.DE=GF,DE∥GF∴.四边形DEFG是平行四边形 .AH=BE=6,DH=AE A B 同理可得DG=)NC =8,HE=2, 第22题答图 .BM=CN,.DE=DG..四边形DEFG是菱形 ∴.DE=VDH2+H2=√64+4=217. 4.D【解析】在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°， 23.【解】(1)67.5 根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO,则OA=OD,∠DAO 分析：：四边形ABCD是正方形， =45°，所以∠BOA=∠BAO=45°，即BC=2AB.由矩形 AC⊥BD,∠BA0=45°，∠G0A=90°. ABCD的周长为30cm,得30=2AB+2×2AB,解得AB=5cm 由折叠的性质得∠EAF=∠BAF=22.5°， 故选D 在△GA0中，∠AGD=180°-∠G0A-∠EAG=67.5°. 5.A【解析】如图，连接AC,:四边形ABCD是正方形， (2)四边形BGEF是菱形.理由如下： ∴.AC=BD,且∠CAB=45° :四边形ABCD是正方形， .BD=AE,.AE=AC, .∠BAD=∠ABC=90°，AC⊥BD. ∴.∠E=∠ACE. 由折叠可知，∠AEF=∠ABF=90°，BF=EF, .·∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E ∴.∠AEF+∠BOC=180°，.EF∥BG. =45°，.∠E=22.5° 第5题答图 ,'四边形ABCD是正方形，.∠BAC=45° 故选A. 由折叠可知，∠BAF=∠CAF=∠BAC=22.5”, 6.2.9【解析】当伸缩门关闭时，连接AC(图略)，：四边形 .∠AFB=∠AGD=90°-22.5°=67.5°. ABCD是菱形，.AB=BC.:∠B=60°，.△ABC是等边 ∠BGF=∠AGD,.∠AFB=∠BGF,∴.BG=BF, 三角形，∴.AC=AB=0.3m,∴.当校门关闭时，伸缩门的宽度为 BG=EF,四边形BGEF是平行四边形， 0.3×18=5.4(m). ∴.平行四边形BGEF是菱形 当校门打开时，伸缩门的宽度为2.5m,.校门打开了5.4-2.5 (3)如图，过点N作NK⊥AB于点K,交AF于点I, =2.9(m.故答案为2.9. 则∠AKN=∠NKM=90°. A ?答【解析】：对角线BD的垂直平分线MW交AD于点M交 ,四边形ABCD是正方形， K BC于点N,.MB=MD.设MD的长为x,则MB=DM=x, .∠BAD=∠ADC=90°，AD= AM=8-x.在Rt△AMB中，BM=AM+AB2,即x2=(8- 'O、E AB,.四边形ADNK是矩形， 241,解得x=名“MD的长为瓷故答案为铝 16 .'KN=AD=AB. 由折叠可知，MN⊥AF,∴.∠BAF+ &5【解析1如图所示，连接AC,BC,AB,B,DE,可得四边 第23题答图 ∠AIK=∠KNM+∠FN=90° 形ACBE是正方形，C,D,E三点在同 一直线上，AB与CE是正方形的对角 ② :∠AIK=∠FIN,.∠BAF=∠KNM. D ∠BAF=∠KNM, 线，正方形的边长为√，则CD=DE ① 在△ABF和△NKM中，{AB=NK, =AD=BD=0,则拼成的这个矩 ∠ABF=∠NKM, 2 ∴.△ABF≌△NKM(ASA),∴.AF=MW 形梢长与宽分别为V而，严， 第8题答图 .AB =1,.BD=4B2+AD2=2. 10 =5y2 由(2)得∠GAD=∠BAD-∠BAF=90°-22.5°=67.5°， ∴.这个矩形的对角线的长 2 ∠AGD=67.5°，∴.∠AGD=∠GAD, 故答案为5y2 .'DG=AD=1, .BG=BD-DG=√2-1，∴BF=BG=2-1. O9.【解(1)四边形AFDE是菱形.理由： :DE∥AB,DF∥AC,四边形AFDE是平行四边形真题圈数学 7.(期中·22-23太原)如图.四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O,点E,F,G,H分别为边AB, 同步调研卷（上） 九年级3B BC,CD和AD的中点，顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形EFGH.若AC=IO,BD=8, 则四边形EFGH的面积等于( 1.第一章学情调研 A.45 B.40 C.20 D.18 (时间：120分钟满分：120分) 8.如图，正方形ABCD和正方形EFGO的边长都是1，正方形EFGO绕点O旋转时，两个正方形重 图州 叠部分的面积是() A B 第I卷（选择题共30分） c D.不能确定 、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.(月考·23-24山西省实验)下列结论错误的是( ) A.对角线相等、垂直的平行四边形是正方形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线垂直的四边形是菱形 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 2.如图，BD为菱形ABCD的对角线，已知∠A=50°，则∠BDC的度数为( 9.如图，在矩形ABCD中，AB=2,对角线AC与BD相交于点O,DE⊥AC,垂足为E,OE=CE,则 A.130 B.509 C.55 D.65 BC的长为( 3.(期中·22-23山西省实验改编)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，且∠B A.2V5 B.4 =25,则∠ACD=() C.25 D.22 A.50° B.55 C.60 D.65 10.(期中·23-24晋中榆次区)如图，正方形ABCD的边长为6，点F在边DC上，且DF=2,点E 是对角线AC上的一个动点，则DE+EF的最小值为( A.8 B.10 C.43 D.213 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 4.(期中·22-23运城实验中学)如图，在△ABC中，∠A=50°，点D,E分别是AB,AC上的一点， 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，若四边形ADA'E是菱形，则∠1的度数为() 11.(月考·22-23山西现代双语学校)如图，已知菱形ABCD,∠B=60°，AB=4,则AC= A55 B.65 C.50° D.60 4 5.(期中·23-24太原小店区)如图，四边形ABCD是正方形，在正方形内部作等边三角形EDC,则 ∠AEC的度数为() 匹0 A,120° B.125 C.130 D.135 阳图 6.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接OE.若OB=6, 图 最品 菱形ABCD的面积为54，则OE的长为(） 第11题图 第13题图 12.(月考·23-24山西省实验)在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD A.4 B.4.5 = C.8 13.(期中·23-24太原改编)如图，已知菱形OABC的边长为3，若顶点B的坐标为(0,4)，则第一象 D.9 第6题图 限内的顶点C的坐标为 14.如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,EF=3,则DP 17.(月考·22-23山西省实验)(8分)下面是小林同学设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程： 的长为 已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°.求作：矩形ABCD. 作法： 如图，(1)以点B为圆心，AC的长为半径作弧： (2)以点A为圆心，BC的长为半径作弧： (3)两弧交于点D,C,D在AB同侧： (4)连接AD,CD,所以四边形ABCD是矩形 第17题图 第14题图 第15题图 15.(期中·21-22太原)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,△AB0是等边 根据小林同学设计的尺规作图过程： 三角形，BC=8,AE平分∠BAD交BC于点E,连接OE.请从(1)(2)两题中任选一题作答 (1)使用直尺和圆规，补全图形.（保留作图痕迹）】 (1)线段AE的长等于 (2)请补全下面的证明过程 (2)线段0E的长等于 证明：连接BD,(提示：请完成此项要求) BC= 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 在△ABC和△BAD中，{AC=) 16.(月考·23-24太原三十七中)(6分)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,CD的垂直平分线分别 AB=BA. 交AC,DC,BC于点E,F,G,连接DE,DG,求证：四边形DGCE是菱形 .△ABC≌△BAD(SSS),.∠BAD=∠ABC=90, .∠ABC+∠BAD=180°，.BC∥AD 'BC∥AD,BC=AD, .四边形ABCD是平行四边形，( )(填理论依据) G AC=BD,.四边形ABCD是矩形.( )(填理论依据) 第16题图 精品圆 18.(期中·22-23运城实验中学改编)(8分)如图，口ABCD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, BF∥CE,CF∥BE.若∠ABC=60°，BC=6,求四边形BECF的周长. 第18题图 一2 19.(月考·22-23太原三十八中改编)(9分)如图，在矩形ABCD中，AC的垂直平分线EF分别交 21.(期中·22-23太原)(10分)在矩形ABCD中，∠DAB的平分线AE交边CD于点E. AD,BC于点E,F,交AC于点O (1)如图①，∠ABC的平分线BF交边CD于点F,求证：DF=CE 需 (1)连接AF,CE.求证：四边形AFCE为菱形 (2)如图②，当点E与点C重合时. (2)若AB=4cm,BC=8cm,求AF的长. ①作∠ABC的平分线BG交AC于点O; ②当AB=4时，求①中BO的长. 第19题图 图州 目测 内☑ 第21题图 20.(期中·23-24太原小店区)(9分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O,延长 BC至点E使得CE=BC,延长DC至点F使得CF=DC,依次连接BF,FE,ED (1)判断四边形BFED的形状并说明理由. (2)若AC=4,BD=8,求四边形BFED的面积. 盗印必究 关爱学子 金望教前 指绝器到 第20题图 一3 22.(月考·23-24山西省实验)(12分)综合与实践 23.(模考·2022太原五中)(13分)如图.已知正方形纸片ABCD. 问题情境：如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方 实践操作：第一步：如图①，将正方形纸片ABCD沿AC,BD分别折叠，然后展平，得到折痕AC, 向旋转90°，得到△CBE(点A的对应点为点C),延长AE交CE'于点F,连接DE BD.折痕AC,BD相交于点O. (1)试判断四边形BEFE的形状，并说明理由. 第二步：如图②，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，然后展平，得到折痕 (2)若AB=10,CF=2,求DE的长. AF,AF与BD相交于点G,连接GE,EF 问题解决：(1)如图②，∠AGD的度数是 (2)如图②，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由 探索发现：(3)如图③，若AB=1,将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB, DC相交于点M,N求MN2的值 B 第22题图 ② 第23题图 直题圈 金效育精品圆， 盗印必穷 关学子 绝篇印 一4一