1.第一章 特殊平行四边形学情调研-【真题圈】2025-2026学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）

真题圈数学 同步调研卷（上） 九年级12N 1.第一章学情调研 蜕 (时间：120分钟满分：120分) ☒ 咖咖 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.（模考·2023西安铁一中二模)矩形具有而菱形不一定具有的性质是( A.四条边都相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直且平分 D.对边平行且相等 2.（月考·2022-2023北京十一学校)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若BD=2, 则AC的长是( 製 A.6 B.5 C.4 D.3 3.（中考·2023深圳市)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移 a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形，则a的值为( A.1 B.2 C.3 D.4 D D D 精品 B D B 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 4.(期中·2023-2024佛山顺德区)如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，BD=5,则菱形ABCD 的周长是( ) A.10 B.12 C.15 D.20 崇 5.（期末·2023-2024沈阳皇姑区改编)如图，延长正方形ABCD的一边BC至E,使CE=AC,连接 AE交CD于F,则∠AFC的度数是( 些加 A.112.5° B.120° C.122.5° D.135° H 6.（联考·2023-2024沈阳铁西区)如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD的四条边的中点，要使四 圍 边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应该具备的条件是( 品 A.一组对边平行而另一组对边不平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 第6题图 7.如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD的周长为30cm,则AB的 长为() A.15 cm B.10cm C.7.5 cm D.5 cm 8.(月考·2023-2024成都嘉祥外国语学校)如图，菱形OABC的边长为2，∠AOC=45°，则点B的 坐标为() A.(2W2,2) B.(2+√2,2√2)C.(V2,2+√2) D.(2+√2，√2) B 0 A 第7题图 第8题图 第10题图 9.(联考·2023-2024青岛市北区)小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件： ①AB=BC;②∠ABC=90°；③AC=BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边 形ABCD为正方形.现有下列四种选法，你认为错误的是( A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 10.如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N,DN=2CN=2,连接BN,则BN的 长度为( ) A.2 B./2 D.② 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.正方形的对称轴有 条 12.（中考·2023陕西)点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°，连接AE,则∠BAE的度数 为 13.情境题木匠师傅在判断一个木框是不是矩形时，量得一组对边的长均为0.6m,另一组对边的长 均为0.8m,一条对角线长为1m,于是判断此木框为矩形，此方法是否合理？ .(填合 理或不合理) 14.情境题（模考·2023贵阳花溪区）小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形，做成班刊刊头（如图 所示).若菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm,则这张菱形纸片的边长 为 cm. 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,将△ABE沿着AE折叠至△AB'E,然后展开，若BE =CE,连接BC,则B'C的长为 16.如图，已知正方形ABCD中，点E,F分别在边CD,BC上，且DE=BF,连接AE,DF,若AB= 2√5，则AE+DF的最小值为 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.（月考·2023-2024沈阳七中)(6分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=CD,E是对角 线BD上一点，且EA=EC.求证：四边形ABCD是菱形. 第17题图 18.(开学考·2023-2024北京四中)(6分)下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法， 选择其中一种方法，完成证明 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点 求证：CD=4B. D 令 全C B 第18题图① 方法一 方法二 证明：如图②，延长CD到点E,使得DE=CD,连接AE,BE. 证明：如图③，取BC的中点E,连接DE. A A D.. D E B 第18题图② 第18题图③ 19.(6分)如图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC边上的点且BE=BF,连接CE,延长AB 至G使得BG=BA,连接GF并延长交CE于点H,求∠GHE的度数 第19题图 岁 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 20.(联考·2023-2024青岛市南区)(8分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：矩形ABCD, 求作：菱形AECF,点E,F分别在边BC,AD上 D 第20题图 21.（期末·2022-2023武汉东湖高新区)(8分)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD 相交于点O,且∠1=∠2. 泡 (1)求证：四边形ABCD是矩形 (2)若∠AOB=60°，且AB=4,求四边形ABCD的面积. 必 蜕 0 ☒图 000 不1 第21题图 22.(8分)如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAB,∠ABC的平分线交于点D,DE⊥BC于点E, 数 DF⊥AC于点F 教育 (1)试判断四边形CEDF的形状，并说明理由 (2)若AC=6,BC=8,求CE的长 崇 E 第22题图 巡咖 H 23.(8分)如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E.点F在BC边上，且FE⊥AE. (1)求∠BEC的度数 (2)在图中已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论. 第23题图 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 一 24.(期末·2022-2023广州番禺区)(10分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D 作DE∥AC,且DE=)AC,连接OE交CD于点F,连接AF,CE. (1)求证：OE=CD (2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求 AF B 第24题图 真题圈 精品图书 金星教 25.探究性问题（期中·2023-2024沈阳大东区）(12分)(1)【问题探究】 如图①，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.在线段AO上任取一点P(端点除外)， 连接PD,PB. ①求证：PD=PB. ②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上 的位置发生变化时，求证：∠DPQ=90°， (2)【迁移探究】 如图②，将正方形ABCD换成菱形ABCD,且∠ABC=60°，其他条件不变，试探究AQ与CP的 数量关系，并说明理由， D C ② 第25题图 盗印必 ① 关爱学子 拒绝盗印答案与解析 同步调研卷（上） 1.第一章学情调研 1.B2.C 3.B【解析】：四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD, BC∥AD,CD=AB=4.:将线段AB水平向右平移得到线 段EF,∴CE∥DF,AB∥EF∥CD,.四边形ECDF为平行 四边形，当CD=CE=4时，口ECDF为菱形，此时a=BE =BC-CE=6-4=2.故选B. 4.D【解析】四边形ABCD为菱形，∴.AB=BC=CD=AD. ·∠A=60°，.△ABD为等边三角形，∴.AB=BD=5, .菱形ABCD的周长=4AB=20.故选D. 5.A【解析】：AC是正方形的对角线，.∠ACD=∠ACB= 45°，∴.∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°.又，CE=AC, .∠CEF=22.5°，.∠AFC=90°+22.5°=112.5°.故选A. 6.D【解析】如图，连接AC,BD 0 H 交于点O.:E,F,G,H分 A 别是AB,BC,CD,AD的中 G 点，·EF∥AC,EF=7AC, GH∥AC,GH=)AC,·.EF B F ∥GH,EF=GH,.四边形 第6题答图 EFGH是平行四边形.同理可知EH∥BD∥FG.当EH⊥EF时， 口ABCD是矩形，：EF∥AC,EH∥BD,∴.BD⊥AC.故选D. 7.D【解析】在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°， 根据矩形的性质易得△ABO≌△DCO,则OA=OD,所 以∠DAO=45°，所以∠BOA=∠BAO=45°，所以AB= BO,即BC=2AB.由矩形ABCD的周长为30cm,得30= 2AB+2×2AB,解得AB=5cm.故选D. 8.D【解析】如图，作BH⊥x轴于H.y4 ·四边形OABC是菱形，.AO =AB=2,CO∥AB,∴.∠BAH =∠AOC=45°，∴.△ABH是等 腰直角三角形，∴AH=BH= 0 H 号B=反，0H=A0 第8题答图 =2+√2，∴.点B的坐标是(2+√2，√2).故选D. 9.C【解析】A.四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时， 平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD 是正方形，故此选项正确，不符合题意；B.四边形ABCD是平行 四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC =BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意； C.四边形ABCD是平行四边形，当②∠ABC=90°时，平行四 边形ABCD是矩形，当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法 得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；D.四 边形ABCD是平行四边形，当②∠ABC=90时，平行四边形 ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选 项正确，不符合题意.故选C 1O.B【解析】如图，过点B作BE⊥CM于E,:DN⊥CM, BE⊥CM,.∠DNC=∠CEB=90°，..∠DCN+∠CDN= 边形ABCD是正方形，DC=CB,∠BC ∴.∠DCN+∠BCE=90°，∴.∠CDW =∠BCE,.△DCN≌△CBE, .DN CE,CN BE.DN= 2CN=2,∴.CN=BE=1,CE =2,∴.EN=CE-CN=2-1=1. :∠BEN=90°，.在Rt△EBN中， EP 根据勾股定理得BN=√EN+BE2 A B =√2.故选B. 第10题答图 11.4 12.62°【解析】如图，连接BE.:点E是菱形ABCD的对称中 心，∠ABC=56°，∴.点E是菱形ABCD的两对角线的交点， AE1BE,∠ABE=)∠ABC=28,∠BAE=90° ∠ABE=62°.故答案为62 D 0 B C 第12题答图 第13题答图 13.合理【解析】如图，由题意得AB=CD,BC=AD,∴.四 边形ABCD为平行四边形.又：AC=1m,0.6+0.82=12, ∴AB+BC=AC心，∴.△ABC是直角三角形，∠B=90°， ∴.平行四边形ABCD是矩形，即此木框为矩形，此方法合理.故 答案为合理。 14.13【解析】如图，连接AC,BD.:正方形AECF的面积为 50cm2,.AF=FC=√50cm, 4C =4F2+FC2 =10(cm). :菱形ABCD的面积为 B-- >D 120cm2,.BD=2×120÷10 =24(cm),.菱形ABCD的 第14题答图 边长为，9 =13(cm).故答案为13. 15号【解析】：将△ABE沿着伍折叠至△ABE,BB'1 AE,S△Ae=SAAWE,BE=B'E.'BE=CE,∴BE=EC=B'E =3,∴.∠B'BE=∠BB'E,∠EB'C=∠ECB,∴.∠BB'C= ∠BB'E+∠EB'C=90°.在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE2 =i6+9=5,:号×4E×B'=2×方×AB×BE,BB'= 2兰BC=VBc2-8=36-=号.故答案为号 5 16.10【解析】如图，延长DC到PA 使CD=CP,连接AF,PF :四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠B=∠ADE= 90·.在△ADE和△ABF中， 第16题答图 AD=AB, ∠ADE=∠ABF,'.△ADE≌△ABF(SAS),∴.AE=AF DE=BF, :∠BCD=90°，CD=CP,.DF=PF,AE+DF= AF+PF当点A,F,P在一条直线上时，AP的长为AE+DF的最 5小值.AB=25,0=cD=25,Dp-2nC-A5. ∴.AP=√AD2+PD2=√20+80=10，即AE+DF的最小值为 10.故答案为10. AD=CD, I7.【证明】在△ADE和△CDE中，{AE=CE, DE=DE, ∴.△ADE≌△CDE(SSS), ,.∠ADE=∠CDE. ,AD∥BC,.∠ADE=∠CBD, ∴.∠CDE=∠CBD,BC=CD, ∴.AD=BC, .四边形ABCD是平行四边形 又AD=CD, .平行四边形ABCD是菱形 18.【证明】选方法一：点D是AB的中点，，AD=BD, ∴.四边形ACBE是平行四边形， ,∠ACB=90°，.四边形ACBE是矩形，.AB=CE. CD-DE-CE.:CD-AB. 选方法二：，点D是AB的中点， ∴.DE是△ABC的中位线，.DE∥AC, .∠DEB=∠ACB=90°， .DE是BC的垂直平分线，∴.CD=DB. AD =BD=4B,CD=4B. 19.【解】".四边形ABCD是正方形， ∴.∠CBE=∠GBF=90°，AB=BC BG=AB,∴.BG=BC. BE BF. 在△BCE和△BGF中，{∠CBE=∠GBF, BC=BG. ∴.△BCE≌△BGF(SAS),∴.∠BCE=∠G. ,∠BCE+∠BEC=90°，.∠G+∠GEH=90°， ∴.∠GHE=90° 20.【解】如图，菱形AECF为所作 A 火 D 米 第20题答图 21.(1)【证明】在口ABCD中，AO=C0,B0=DO. :∠1=∠2，.B0=C0,.A0=B0=C0=D0, AC=BD,口ABCD为矩形. (2)【解】：∠AOB=60°，OA=OB, ∴.△AOB是等边三角形， .OA=AB=4,.∴.AC=8 .BC=VAC2-AB2=V82-42=4V3, S矩形ABm=AB·BC=4×4W5=165, 22.【解】(1)四边形CEDF是正方形.理由如下： 如图，过点D作DN⊥AB于点N .∠C=90°，DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F, 真题圈数学九年级12N .四边形CEDF是矩形 又，∠CAB,∠ABC的平分线交于点D,∴.DF=DN=DE, ∴.矩形CEDF是正方形 N ‘D C E B 第22题答图 (2)如图，连接CD.AC=6,BC=8,∠C=90°，.AB=10. ,DF=DE=DN,DF·AC+DE·BC+DN·AB=AC·BC, ,'.EC·(AC+BC+AB)=AC·BC, 6×8 EC=6810=2 23.【解】(1)，四边形ABCD为矩形，∴.∠ABC=∠BCD=90° :BE平分∠ABC,∴.∠EBC=45°，.∠BEC=45°. (2)△ADE≌△ECF证明如下： ,四边形ABCD是矩形， .∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC :FE⊥AE,∠AEF=90°. .∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°. ∠AED+∠DAE=90,∴.∠FEC=∠EAD, :∠EBC=∠BEC=45°，.BC=EC .AD=EC. ∠DAE=∠CEF, 在△ADE和△ECF中，AD=EC, ∠ADE=∠ECF, .∴.△ADE≌△ECF(ASA). 24.(1)【证明】，四边形ABCD是菱形， 01=0C=号4C,AD=CD,∠D0C=90°. :DE∥AC且DE=)AC,DE=OA=OC, .四边形OCED是平行四边形. :∠DOC=90°，.四边形OCED为矩形， .OE CD. (2)【解】如图，连接AE. 由(1)得四边形OCED是矩形， .CF=DE :在菱形ABCD中， ∠ABC=60°， 第24题答图 AC=AB=CD=AD=4,∴AF⊥CD, .A=√AC2-CF2=V42-2=23 在矩形OCED中，CE=OD=√AD2-A02=2√5 在Rt△ACE中，AE=√AC2+CE2=V42+(2√)2=2√7 4E=23_V2 =27=7 25.(1)【证明①：四边形ABCD是正方形， .CD=CB,∠DCA=∠BCA=45°. 又CP=CP,.△DCP≌△BCP,PD=PB. ②过点P作PM⊥AB,PN⊥AD,垂足分别为点M,N,如图① :四边形ABCD是正方形， O.∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=90°， 答案与解析 ∴.四边形AMPN是矩形，PM=PN,∴.∠MPN=90° PD=PQ,PN=PM,.Rt△DPN≌Rt△QPM(HL), ∴.∠DPN=∠QPM..'∠QPN+∠QPM=90°， ∴.∠QPN4∠DPW=90°，即∠DPQ=90°. (2)【解】AQ=CP,理由如下： ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴.AB=BC,AC⊥BD,DO=BO, ∴.△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD, ∴.∠BAC=60°，PD=PB. PD=PQ,∴PQ=PB. 过点P作PE∥BC交AB于点E,过点E作EG∥AC交BC 于点G,如图②， 则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB=∠BAC=60°， ∠AEP=∠ABC=60°， ∴.EG=PC,△APE,△BEG都是等边三角形， ∴.BE=EG=CP 过点P作PM⊥AB于点M,则QM=MB,AM=EM, ∴.AQ=BE,∴.AQ=CP D AM AME ① ② 第25题答图 2.第二章学情调研 1.D2.B3.C4.B5.A 6.D【解析】根据题意得x+x2=2,x2=-3,则2x+2x2x2= 2(x+x)-xx2=2×2-(-3)=7.故选D 7.C 8.B【解析】14.41<15<15.84，.一元二次方程x2+12x=15 的一个根的范围为1.1<x<1.2.故选B. 9.B【解析】x2-17x+70=0,.(x-10)(x-7)=0,∴.x,= 10,x2=7.2+7<10,无法构成三角形，∴此三角形的周长是 2+10+10=22.故选B. 10.D【解析】，x2-2(a-1)x+a-2=0(a>0)是关于x的一元 二次方程，4=[-2(a-1)]2-4a(a-2)=4,由求根公式，得 x=2a0±2，x=1或x=1-2.>0,x>x,x= 2a 1,=1-名y=x=1a1-)=1-a20,解得 a<3,.0<a<3.故选D. 11.x+112.x1=0,x2=2 13.9【解析】，一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数 根，.4=62-4m=0,∴m=9.故答案为9. 14.1【解析】，'x2-4mx+3m2=（x-m)(x-3m),.关于x的一元 二次方程x2-4mx+3mr=0(m>0)的两根分别为x,=m,x2= 3m,且x2>x,.x2-x,=2m=2,.m=1.故答案为1. 15.6【解析】设每次倒出总量的百分比为x,最后水是酒精的3 倍，总体积还是12L,则酒精剩余12×=3L可列方程为 12(1-2=3,解得x=7,3=2(舍去).12×=6L, 每次倒出液体的数量为6L.故答案为6. 16.4或-)【解析】由题意可得，(2x-1)2-(2x-1)(x+2)=7,整 理，得2-7x-4=0,(x-4)2x+1)=0,x=4,为=-2 故答案为4或- 17.【解(1)x2+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0, 则x+3=0,或x-1=0 解得x,=-3,x2=1. (2)2x2-4x+1=0, .a=2,b=-4,c=1, ,∴.b2-4ac=(-4)2-4×2×1=8>0, x=4±22 2×2 22=22 x-2+ 2 18.【证明】：a2-8a+20=(a-4)2+4≥4， ∴.无论a取何值，a2-8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的 二次项系数都不会等于0， ∴.关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ar+1=0,无论a取何值，该 方程都是一元二次方程， 19.【解】设t=3x+5,则原方程可化为2-4t+3=0, 即(t-1)(t-3)=0,∴.t=1或t=3. 当1=1，即3x+5-1时，解得x=-号： 当1=3，即3x+5=3时，解得x=号 综上所述，原方程的解是x=一专5=一号 20.【解】设AB的长是xm,则BC的长是(24-3x)m, 根据题意得x(24-3x)=45, 整理得x2-8x+15=0, 解得x1=3,x2=5, 当x=3时，24-3x=24-3×3=15>10,不符合题意，舍去； 当x=5时，24-3x=24-3×5=9<10,符合题意. 答：AB的长是5m 21.【解】(1)=(-6)2-4(-m2+3m+5) =r-12m16=4a-7. :(m-新≥0(m+70, .方程总有两个不相等的实数根 (2)设方程的另一根为a,则x+x2=a+(-1)=6,解得a=7, .方程的另一根为7. 22.【解】(1)32 (2)设每件商品应降价x元， 由题意得(40-x)(20+2x)=1200, 整理得x2-30x+200=0,解得x=10或x=20. .要尽快减少库存，.x=20, .每件商品应降价20元。 23.【解】(1)△ABC是等腰三角形 理由：把x=-1代入方程，得a+c-2b+a-c=0,即a=b, 所以△ABC为等腰三角形， 7(2)△ABC为直角三角形.