专题02：全等三角形常考几何模型证明（专项训练）2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题02：全等三角形常考几何模型证明 目录概览 题型1手拉手模型 题型2倍长中线模型 题型3旋转模型 题型4证一条线等于两条线段和或差 题型5动点问题的全等证明 题型6综合问题全等证明 题型演练 题型1手拉手模型 1.如图，CA=CD,∠1=∠2，BC=EC,求证：∠A=∠D. 2.如图，点C,D均在线段AB上，且AD=BC,分别过点C,D在AB的异侧作FC⊥AB,ED⊥AB,连 接EF交AB于点G,连接AE,BF,AE=BF, (I)求证：∠AED=∠BFC: 第17页，共17页 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：AG=BG. 3.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,延长AB至点D,使DB=AB,连接CD,以CD为边作 △CDE,其中∠DCE=90°，CD=CE,连接BE. D (I)求证：ACD≌BCE; (②)BE与AD有何位置关系？请说明理由， 4.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC,AD=AE,∠I=∠2.试说明： D (1)BD=CE 试卷第16页，共17页 (2 AM AN 题型2倍长中线模型 5,如图，在ABC中，AD平分∠BAE,E为CD的中点，∠DAC=∠ADC,求证：AB=2AE. 6.己知如图：在A0B和△C0D中，0A=0B,0C=0D,∠A0B=∠C0D=25°. O B (I)求证：AC=BD; (2)求∠APB的大小. 第17页，共17页 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 7.如图，己知在ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边作直角aABE和△ACF,其中 AB=AE,∠BAE=90°，AC=AF,∠CAF=90°，连接EF. D (1)若AB=6,AC=4,求AD的取值范围： (2)求证：EF=2AD. 8.如图，点E在ABC的中线AD的延长线上，且DE=AD. A D (I)求证：BE=AC; (2)若AB=3,AC=7,求AD的取值范围； (3)若BC=AE,求证：ABC是直角三角形. 试卷第16页，共17页 9.我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在△OAC和△OBD中，OA=OB ,0C=0D,LA0C=60°，∠B0D=120°. B (1)△OAC和△OBD_兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (②)取BD的中点P,连接OP,求证：AC=20P,小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍 延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程. 题型3旋转模型 1O.在△ABC中，AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），E是△ABC外一点，连接AD、AE ,已知AD=AE,∠DAE=LBAC,连接CE,DE. B D B 图1 图2 (1)如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠ACE=度： (2)如图2，当点D在线段BC上，试判断∠ADE与∠ACE之间的数量关系，并说明理由； 第17页，共17页 画学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (3)当点D在线段CB的延长线上时，(2)中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由. 11.如图，AB=AE,AB/1DE,LDAB=65°，∠E=37 D B (1)求∠DAE的度数； (2)若∠B=28°，求证：AD=BC. 12.如图，B,C，,E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，BD与AC交于点M,AE与 CD交于点N. D 0 M N B E (1)求证：AE=BD; 试卷第16页，共17页 (2)若把△DCE绕点C任意旋转一个角度，(1)中的结论还成立吗？请说明理由. 13.【基本模型】 D D E 图1 图2 图3 如图，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，如图I,BE、DF与EF之间的数 量关系为 【模型运用】当E点在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，如图2，请你探究BE、DF与EF之间的 数量关系，并证明你的结论： 【拓展延伸】如图3，已知AB=AD,∠B+∠D=180,E在线段BC上，F在线段CD上，∠EaF=∠BAD ,请你直接写出BE、DF与EF之间的数量关系 第17页，共17页 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 题型4证一条线等于两条线段和或差 14.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别在边BC,CD上，已知∠EAF=∠DAB, ∠ABC+∠ADC=180°， D A E B F B E F 图1 图2 (I)求证：EF=BE+DF; (2)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由. 15.在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E. M D B 图1 图2 图3 (I)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE; (②)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系，并加以证明； 试卷第16页，共17页 (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？（请直接写出这个 等量关系，不需要证明). 16.如图，在ABC中，∠BAC=2LB,CD平分∠ACB交AB于点D.求证：AC+AD=BC. 17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，∠BAC与∠ACB的平分线AD,CE交于点O (1)求∠AOE的度数； 第17页，共17页 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：AC=AE+CD. 18.如图，AB∥CD,EF交AB于E,交CD于F,EP平分LBEF,FP平分∠DFE,直线MN经过点P并与 AB,CD分别交于点M,N. M A B E B C D F N 图① 图② (I)如图①，求证：EM+FN=EF; (2)如图②，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出EM,FN,EF三条线段的数量关 系 试卷第16页，共17页专题02：全等三角形常考几何模型证明 目录概览 题型1手拉手模型 题型2倍长中线模型 题型3旋转模型 题型4证一条线等于两条线段和或差 题型5动点问题的全等证明 题型6综合问题全等证明 题型演练 题型1手拉手模型 1.如图，CA=CD,∠1=∠2，BC=EC,求证：∠A=∠D. 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合∠I=∠2，得∠ACB=∠DCE,再运用SAS证明 △ABC≌△DEC,即可作答. 【详解】证明：：∠1=∠2， .∠1+∠ECA=∠2+∠ECA, 即LACB=∠DCE, 在ABC和△DEC中， BC=EC ∠ACB=∠DCE CA=CD .△ABC≌ADEC(SAS), ∴.∠A=∠D. 2.如图，点C,D均在线段AB上，且AD=BC,分别过点C,D在AB的异侧作FC⊥AB,ED⊥AB,连 第43页，共54页 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 接EF交AB于点G,连接AE,BF,AE=BF. (I)求证：∠AED=LBFC; (2)求证：AG=BG. 【答案】（①）见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键 (I)利用HL可证明RtA ADE≌RtaBCF,则由全等三角形的性质可证明结论； (2)由全等三角形的性质得到DE=CF,再证明△EDG≌△FCG,得到DG=CG,最后根据线段的和差关 系可证明结论 【详解】(1)证明：：FC⊥AB,ED⊥AB, .ZADE ZBCF, 在RtAADE和RtABCF中， AE=BF AD=BC' .RtAADESRtABCF(HL), ∠AED=∠BFC; (2)证明：：RtA ADES≌RtaBCF, .DE=CF, :FC⊥AB,ED⊥AB, .∠EDG=∠FCG=90°， 在△EDG和△FCG中， [∠EDG=∠FCG ∠EGD=∠FGC, ED=FC 试卷第44页，共54页 .△EDG≌△FCG(AAS, :.DG=CG, .DG+AD=CG+BC, .AG=BG 3.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,延长AB至点D,使DB=AB,连接CD,以CD为边作 △CDE,其中∠DCE=90°，CD=CE,连接BE, D (1)求证：ACD≌BCE; (②)BE与AD有何位置关系？请说明理由. 【答案】(1)见解析 (②)BE⊥AD;理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，了解并能熟练运用手拉手模型证明三角形全等是解题关 键 (I)根据SAS证明ACD≌BCE即可； (2)利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可. 【详解】(1)证明：：∠DCE=90°，∠ACB=90°， ∴∠ACB+LBCD=∠DCE+LBCD, .∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE, CD=CE ·.△ACD≌△BCE(SAS): (2)解：BE⊥AD;理由如下： 第43页，共54页 @学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，BE交CD于点O, D 由(I)得：ACD≌BCE, .∠ADC=∠BEC, :∠E0C=∠D0B, :180°-∠E0C-LBEC=180°-∠D0B-∠ADC, ∴∠DBE=∠DCE=90°， .BE⊥AD 4.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC,AD=AE,∠I=∠2.试说明： (1)BD=CE; (2)AM=AN· 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键 (I)由SAS证明△ABD≌△ACE,得出对应边相等即可； (2)由∠1=∠2推出∠BAN=∠CAM,由全等三角形的性质得出∠B=∠C,由ASA证明△ACM≌aABN, 得出对应边相等即可. 【详解】(1)证明：在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠1=∠2， AD=AE 试卷第44页，共54页 :△ABD≌△ACE(SAS, BD=CE; (2)证明：∠1=∠2， :∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,即∠BAN=∠CAM, 由(1)得：△ABD≌△ACE, .∠B=∠C, 在△ACM和△ABN中， ∠C=∠B AC=AB ∠CAM=∠BAN :△ACM≌△ABN(ASA), :AM AN. 题型2倍长中线模型 5.如图，在ABC中，AD平分∠BAE,E为CD的中点，∠DAC=∠ADC,求证：AB=2AE. B D 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长AE至点F,使AE=EF 证明△AEC≌△FED,得到∠F=∠CAE,再证明△ABD≌△AFD,即可得出结论. 【详解】证明：延长AE至点F,使AE=EF,连接DF,则：AF=2AE, B D E E为CD的中点， .DE=CE, ZAEC ZDEF 第43页，共54页 @学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AEC≌△FED, ∠F=∠CAE, :AD平分∠BAE, ∴.∠BAD=∠DAE, :∠ADC=∠B+∠BAD,∠DAC=∠DAE+∠CAE,且LDAC=∠ADC, .∠B=LCAE, ∠B=∠F, 又：∠BAD=∠DAE,AD=AD, △ABD≌△AFD, .AB=AF, :AB=2AE. 6.己知如图：在A0B和△C0D中，0A=0B,0C=0D,∠A0B=∠C0D=25°. B (I)求证：AC=BD; (2)求∠APB的大小. 【答案】(1)见解析 (2)250 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质， (1)先证明∠AOC=∠B0D,再由SAS证明△AOC兰△BOD,然后结合全等三角形的性质即可得答案； (2)由△AOC≥△BOD可得∠OAC=∠OBD,再结合图形，利用角的和差可得∠APB的度数 【详解】(1)证明：：LAOB=LC0D, :∠A0B+∠B0C=∠C0D+∠BOC, 即∠A0C=∠B0D, 在△AOC与△B0D中， 试卷第44页，共54页 AO=BO ∠AOC=∠BOD, OC=OD ,AAOC兰△BOD(SAS) :AC=BD (2):△A0C兰△B0D, ∠OAC=∠0BD, :∠AOB+∠OAB+∠OBA=180 :∠A0B=25°， .∠0AB+∠0BA=180°-25°=155°， :∠0AP+∠PAB+∠0BA=155°， :∠OAC=∠OBD, ∠PAB+∠0BA+∠0BD=155°， 即∠PAB+∠PBA=155°， :∠PAB+∠PBA+∠APB=180°， ∠APB=25°. 7.如图，己知在ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边作直角△ABE和△ACF,其中 AB=AE,∠BAE=90°，AC=AF,∠CAF=90°，连接EF. (1)若AB=6,AC=4,求AD的取值范围； (2)求证：EF=2AD 【答案】(1)1<AD<5 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质； (1)延长AD至点G,使DG=AD,连接BG,证明aADC≌aGDB(SAS),可得BG=AC=4,再根据三 第43页，共54页 @学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角形三边关系即可解答 (2)根据△ADC≌aGDB(SAS)可得AC=BG,∠ACD=∠DBG,推出AC∥BG,等量代换得到 ∠ABG=∠EAF,再证明△ABG≌△EAF,得到AG=EF,进而可得结论. 【详解】(1)证明：如图，延长AD至点G,使DG=AD,连接BG, E D G 因为AD是边BC的中线， 所以BD=CD, 因为LADC=∠GDB, 所以△ADC≌△GDB(SAS), 所以BG=AC=4, 所以AB-BG<AG<AB+BG, 所以2<2AD<10, 所以1<AD<5. (2)证明：因为△ADC≌△GDB, 所以AC=BG,∠ACD=∠DBG, 因为AC=AF, 所以AF=BG. 因为∠ACD=∠DBG, 所以AC∥BG, 所以LBAC+∠ABG=180°， 因为∠BAC+∠EAF=360°-90°-90°=180°， 所以∠ABG=LEAF, 又因为AB=AE, 试卷第44页，共54页 所以△ABG≌△EAF(SAS), 所以AG=EF. 因为AG=2AD, 所以EF=2AD. 8.如图，点E在ABC的中线AD的延长线上，且DE=AD. D (I)求证：BE=AC; (2)若AB=3,AC=7,求AD的取值范围； (3)若BC=AE,求证：ABC是直角三角形. 【答案】(1)见解析 (2)2<AD<5 (3)见解析 【分析】(1)根据全等三角形的判定与性质即可证明BE=AC: (2)结合(1)根据三角形三边关系即可得AD的取值范围； (3)根据己知线段关系得到AD=BD=CD,利用等边对等角推出∠DAB=∠DBA,∠C=∠DAC,再利用 三角形内角和求出∠BAC=90°即可. 【详解】(1)解：证明：：AD是ABC的中线， :BD =CD, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB, CD=BD △ADC≌△EDB(SAS), :AC BE 第43页，共54页 @学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (2):AB=3,BE=AC=7, 7-3<AE<7+3, 即4<2AD∠10. 2<AD<5, ,AD的取值范围是2<AD<5. (3)AD=DE,BD=CD,BC=AE, .AD BD=CD, ∴.∠DAB=∠DBA,∠C=∠DAC, 又∠DAB+∠DBA+∠C+∠DAC=180°， C∠BAC=∠DAB+∠DAC=)X180°=90 即ABC是直角三角形， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的判 定与性质、三角形三边关系。 9.我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在△OAC和△OBD中，OA=OB ,0C=0D,∠A0C=60°，∠B0D=120°. B (I)△OAC和aOBD_兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (②)取BD的中点P,连接OP,求证：AC=2OP,小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍 延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程 【答案】(1)是 (2)见详解 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是 解题的关键 (1)证出∠A0C+∠B0D=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论： 试卷第44页，共54页