精品解析：陕西省咸阳市彩虹中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

咸阳彩虹中学2025-2026学年度第一学期 高二第一次月考数学试题 命题人：赵征文 审题人：贺亭亭 考试时间：120分钟 总分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，向量，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 5. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）． A. B. C. D. 6. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 7. 若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l过第一、三、四象限 B. 过点与直线l平行的直线的方程是 C. 直线到直线l的距离为 D. 若直线m：，则 10. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，点在直线上，若直线平行于直线，则点坐标为______. 13. 已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值与最小值的和为__________. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为________ ①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． 16. 已知点在圆上运动，点. （1）求的最小值； （2）若为的中点，求点的轨迹方程. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 19. 在直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，直线的法向量为；推广，在空间三维直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，平面的法向量为.已知，平面. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点在平面内，直线与平面所成角的正弦值为，求点到点距离的最小值及此时的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳彩虹中学2025-2026学年度第一学期 高二第一次月考数学试题 命题人：赵征文 审题人：贺亭亭 考试时间：120分钟 总分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，向量，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【详解】因为，，且， 则，解得. 故选：C. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性可解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即． 故选：C. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线的一般式得到其斜率，再利用直线斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线可化为， 则其斜率为，设其倾斜角为， 则，所以. 故选：B. 4. 若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，椭圆焦点在轴，根据椭圆几何性质得解. 【详解】根据题意，椭圆焦点在轴， 所以，所以. 故选：B 5. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 6. 若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 7. 若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线在轴上的截距可求得，设直线的倾斜角为，求出即直线的斜率，即可求出. 【详解】令，则，所以， 设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 因为直线的斜率为，所以， 故， 则直线的斜率，所以. 故选：D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求得，，，，因此分别为右顶点和左顶点，从而可求离心率. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l过第一、三、四象限 B. 过点与直线l平行的直线的方程是 C. 直线到直线l的距离为 D. 若直线m：，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，画出直线图象可判断选项正误；对于B，设与直线l平行的直线的方程为，代入可判断选项正误；对于C，由平行直线距离公式可判断选项正误；对于D，由两直线斜率关系可判断直线位置关系. 【详解】对于A，由直线方程，令，得，令，得.即直线过点.据此可画出直线图象，则直线过一，二，三象限，故A错误； 对于B，设与直线l平行的直线的方程是，代入， 得，故B正确； 对于C，直线到直线l的距离为：，故C正确； 对于D，斜率为，斜率为， 因，则两直线不垂直，故D错误. 故选：BC 10. 已知空间中三点，则（ ） A. B. 方向上的单位向量是 C. 是平面的一个法向量 D. 在上的投影向量的模为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算逐项判断即可. 【详解】由题意：，，. 对A：因为，故A正确； 对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误； 对C：因为，， 所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确； 对D：由，故D正确. 故选：ACD 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 的周长为 B. 存在点，使得 C. 若，则的面积为 D. 使得为等腰三角形的点共有4个 【答案】AB 【解析】 【分析】根据焦点三角形的周长为判断A；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的形状判断B；结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积可判断C；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断D． 【详解】对于A，由题意，， 的周长为，故A正确； 对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，， 则为直角，故B正确； 对于C，当时，如图，中， 由余弦定理得， 即①， 又，即②， 联立①②可得， 所以，故C错误； 对于D，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故D错误． 故选：AB． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，点在直线上，若直线平行于直线，则点坐标为______. 【答案】. 【解析】 【分析】首先求出过点A与直线平行的直线方程，两直线的交点坐标即为点B； 【详解】解：因为直线平行于直线， 所以设直线方程为，又点在直线上， 所以，解得，所以直线方程为 联立两直线方程解得故点坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查两直线的交点坐标及与已知直线平行的直线方程，属于基础题. 13. 已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值与最小值的和为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】由椭圆定义，可得，然后由三点共线时， 可得答案. 【详解】，则椭圆左焦点为，右焦点为. 由椭圆定义，，则. 当三点共线时，易得. 因，则. 则，即的最大值为，最小值为.从而的最大值与最小值的和为12. 故答案为：12 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为________ ①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为； ③的最小值为；④当平面时， 【答案】②③ 【解析】 【分析】应用空间向量研究4个命题，对于①，可研究与平面的法向量是否垂直即可；对于②，研究函数的最值即可；对于③，可研究函数的最值即可；对于④，可求解与平面的法向量垂直条件即可. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，， ，，， 设点，因为， 所以，即， 解之可得，所以. 当时，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以. 因为， 所以，所以与平面不平行.故①错误； 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故②正确； 因为 ， 所以当时，取得最小值，且最小值为.故③正确； 当平面时，点平面， 因为，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 因为， 点平面，所以，所以.故④错误. 故答案为：②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． 【答案】（1）3x＋4y－14＝0 （2）3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0 【解析】 【分析】（1）由点斜式直接求解即可； （2）由题可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，再利用点到直线的距离的公式即得. 【小问1详解】 由直线的点斜式方程得， 整理得直线l的方程为3x＋4y－14＝0. 【小问2详解】 ∵直线m与l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，∴， 即|14＋c|＝15. ∴c＝1或c＝－29. 故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 16. 已知点在圆上运动，点. （1）求的最小值； （2）若为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先判断点在圆外，再根据圆外点到圆上点距离的最小值为圆外点到圆心的距离减半径求解即可； （2）通过中点建立相关关系，列方程求解轨迹方程 【小问1详解】 圆的标准方程为， 故圆心，半径. 因为，所以点在圆外. 所以的最小值为. 【小问2详解】 设. 因为为线段的中点， 所以则 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，因两两垂直，故可以为原点建立如图的空间直角坐标系， 由、、、、、， 则、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 分别取，则、、，， 即得，， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 19. 在直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，直线的法向量为；推广，在空间三维直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，平面的法向量为.已知，平面. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）已知点在平面内，直线与平面所成角的正弦值为，求点到点距离的最小值及此时的坐标. 【答案】（1）； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据材料结合已知条件可求出点到面的距离； （2）求出平面的法向量，进而计算得线面角； （3）小问利用向量共线定理结合条件求出点的坐标，根据分析，发现动点的轨迹是圆，再次利用向量共线定理得到三点共线，由此易得距离最小值及点的坐标. 【小问1详解】 由题知； 【小问2详解】 由题意，易知点在平面内，，平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，故， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 过点作平面的垂线，垂足为，设，有， 存在唯一实数，使得，又， 则，， 又在平面内， ，解得， ， 由（1）知，， 又由题知，根据勾股定理可得， 点落在以为球心，为半径的球面与平面所截的圆上，即点落在以为圆心，为半径的圆上. 由（2）可知，点在以上圆上， 又∵点， ∴，，三点共线， ， 此时点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $