专题03空间向量研究立体几何中平行垂直问题（3大题型）（专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题03 空间向量研究立体几何平行和垂直问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求平面的法向量 2 题型二、利用空间向量证明平行问题 4 题型三、利用空间向量证明垂直问题（常考点） 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求平面的法向量 1.(2025广东茂名部分学校月考)在空间直角坐标系Oxyz中,A(-1,0,0),B(1,2,-2),C(2,3,-2),则平面ABC的一个法向量为(　　) A.(1,-1,0)　　B.(1,-1,1)　　C.(1,0,-1)　　D.(0,1,1) 答案.A　根据题意,得=(2,2,-2),=(3,3,-2), 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则取x=1,则y=-1,z=0,所以n=(1,-1,0),故选项A符合, 选项B,C,D中的向量与选项A中的向量均不共线,故排除. 2.[多选]在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论正确的是(　　) A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) B．平面B1CD的一个法向量为(1,1，1) C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1) 解析：选AC　∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确； ∵＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确； ∵＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，(1,1,1)·＝0，(1,1,1)·＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确； ∵＝(0,1,1)，而·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正确．故选A、C. 3.(2025安徽蚌埠联考)已知平面α={M|n·=0},其中点A(1,2,15),n=(1,1,1),则下列各点在平面α内的是(　　) A.(3,1,6)　　B.(2,1,1)　　C.(9,8,5)　　D.(5,4,9) 答案：D　若M的坐标为(3,1,6),则=(2,-1,-9),此时n·=2-1-9=-8≠0,故M∉α,A错误; 若M的坐标为(2,1,1),则=(1,-1,-14),此时n·=1-1-14=-14≠0,故M∉α,B错误; 若M的坐标为(9,8,5),则=(8,6,-10),此时n·=8+6-10=4≠0,故M∉α,C错误; 若M的坐标为(5,4,9),则=(4,2,-6),此时n·=4+2-6=0,故M∈α,D正确. 4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量． [解]　连接PF，因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB，所以PF⊥平面ABCD，连接AC，CF，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以CF⊥AB.以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示)． 由题意得F(0,0,0)，P，D，C，E.所以＝，＝.设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)， 则即所以 令y＝2，则x＝，z＝－2. 所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2)． 题型二、利用空间向量证明平行问题 5.(2025湘豫名校联考)不重合的两直线l1,l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是(　　) A.平行　　B.相交　　C.垂直　　D.不能确定 答案：A　因为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),所以v2=-2v1,因此v2∥v1,又两直线l1与l2不重合,所以l1∥l2. 6.(2025河南郑州一中质检)已知平面α的一个法向量为n=(4,-2,m),直线l的一个方向向量为u=(-1,-3,2),若l∥α,则m=(　　) A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2 答案：B　∵平面α的一个法向量为n=(4,-2,m),直线l的一个方向向量为u=(-1,-3,2),且l∥α,∴n⊥u,因此n·u=-4+6+2m=0,解得m=-1. 7.(2024广东省实验中学期中)已知e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量,平面α和平面β的法向量分别为a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,若α∥β,则λ+μ=(　　) A.5　　B.-5　　C.3　　D.-3 答案：A∵e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量,∴{e1,e2,e3}可以作为空间的一个基底, 又平面α和平面β的法向量分别为a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,且α∥β,∴a∥b, 设a=tb,t∈R,则e1+λe2+3e3=t(-e1+2e2+μe3), ∴解得∴λ+μ=-5. 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．平行 C．垂直 D．不能确定 解析：选B　建系如图，设正方体的棱长为2， 则A(2,2,2)，A1(2,2,0)， C(0，0,2)，B(2,0,2)， ∴M(2,1,1)，N(1,1,2)， ∴＝(－1,0,1)． 又平面BB1C1C的一个法向量为 n＝(0,1,0)， ∵－1×0＋0×1＋1×0＝0， ∴⊥n，∴MN∥平面BB1C1C. 9．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________． 解析：∵l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y.∵＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)， ∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1) ＝(x，y，－x－y)，∴∴m＝－3. 答案：－3 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．求证：CE∥平面C1E1F. 证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)， C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1. 设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)， 因为＝， ＝(－1,0,1)， 所以即取n＝(1,2,1)． 因为＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0， 所以⊥n，且CE⊄平面C1E1F. 所以CE∥平面C1E1F. 题型三、利用空间向量证明垂直问题（常考点） 11．若直线l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l与平面α的位置关系是(　　 ) A．l∥α B．l⊥α C．直线l与平面α相交但不垂直 D．无法确定 解析：选B　∵μ＝a，∴μ∥a，∴l⊥α. 12．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　) A．3　　　　　　　　　 B．6 C．－9 D．9 解析：选C　∵l⊥α，v与平面α平行， ∴u⊥v，即u·v＝0， ∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，∴z＝－9. 13.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. 证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M. 所以＝， ＝(0，，1)，＝(，－，0)． 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n⊥，n⊥，所以 ⇒ 取y＝1，得x＝1，z＝－. 则n＝(1,1，－)． 因为＝， 所以n＝－ ，得n与共线． 所以AM⊥平面BDF. 14. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D.设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，则＝，＝(a,0，z－3a)，＝.又·＝a2－a2＋0＝0，故由题意得2a2＋z2－3az＝0， 解得z＝a或2a.故AE＝a或2a. 答案：a或2a 15.如图，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. (1)求证：平面GEF⊥平面PBC； (2)求证：EG与直线PG和BC都垂直． 证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Pxyz. 则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)． 于是＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)． 设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)， 则即可取n＝(0,1，－1)． 显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量． 又n·＝0，∴n⊥， 即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直， ∴平面GEF⊥平面PBC. (2)由(1)知，＝(1，－1，－1)， ＝(1,1,0)，＝(0，－3,3)， ∴·＝0，·＝0， ∴EG⊥PG，EG⊥BC， ∴EG与直线PG和BC都垂直． 1．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知分别是平面的法向量，若，则（   ） A．1 B．7 C． D．2 【答案】D 【详解】由于，所以，故，解得，故选：D 2．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 【答案】A 【详解】由向量，得，所以，所以.故选：A 3．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 【答案】AC 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确；B选项：因为，所以所以或，B错误；C选项：因为，所以，C正确；D选项：记直线l与平面所成角为，则，因为，所以，D错误.故选：AC 4.(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，解得．故答案为： 5．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【详解】（1）在中，．所以，即； 又因为，在平面中，面，面，， 所以平面； （2）因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，所以， 由（1）已证，且已知，故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 因为为中点，所以， 由知，， 设平面的法向量为，则即，令，则， 于是，又因为由（1）已证平面， 所以平面的法向量为，所以， 平面与平面夹角的余弦值； （3）设是线段上一点，则存在使得， 因为，.所以， 因为平面，所以平面当且仅当，即， 即，解得， 因为，所以线段上不存在使得平面． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量研究立体几何平行和垂直问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求平面的法向量 1 题型二、利用空间向量证明平行问题 2 题型三、利用空间向量证明垂直问题（常考点） 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求平面的法向量 1.(2025广东茂名部分学校月考)在空间直角坐标系Oxyz中,A(-1,0,0),B(1,2,-2),C(2,3,-2),则平面ABC的一个法向量为(　　) A.(1,-1,0)　　B.(1,-1,1)　　C.(1,0,-1)　　D.(0,1,1) 2.[多选]在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论正确的是(　　) A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) B．平面B1CD的一个法向量为(1,1，1) C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1) 3.(2025安徽蚌埠联考)已知平面α={M|n·=0},其中点A(1,2,15),n=(1,1,1),则下列各点在平面α内的是(　　) A.(3,1,6)　　B.(2,1,1)　　C.(9,8,5)　　D.(5,4,9) 4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量． 题型二、利用空间向量证明平行问题 5.(2025湘豫名校联考)不重合的两直线l1,l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1与l2的位置关系是(　　) A.平行　　B.相交　　C.垂直　　D.不能确定 6.(2025河南郑州一中质检)已知平面α的一个法向量为n=(4,-2,m),直线l的一个方向向量为u=(-1,-3,2),若l∥α,则m=(　　) A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2 7.(2024广东省实验中学期中)已知e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量,平面α和平面β的法向量分别为a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,若α∥β,则λ+μ=(　　) A.5　　B.-5　　C.3　　D.-3 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．平行 C．垂直 D．不能确定 9．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________． 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．求证：CE∥平面C1E1F. 题型三、利用空间向量证明垂直问题（常考点） 11．若直线l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l与平面α的位置关系是(　　 ) A．l∥α B．l⊥α C．直线l与平面α相交但不垂直 D．无法确定 12．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　) A．3　　　　　　　　　 B．6 C．－9 D．9 13.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. 14. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________. 15.如图，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. (1)求证：平面GEF⊥平面PBC； (2)求证：EG与直线PG和BC都垂直． 1．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知分别是平面的法向量，若，则（   ） A．1 B．7 C． D．2 2．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 3．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 4.(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 5．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $