精品解析：湖南省长沙市望城区第六中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

望城六中高一10月月考数学试题卷 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集运算即可得解. 【详解】∵，，∴. 故选：C. （2025·北京） 2. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】的否定是. 故选：D 4. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人 A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了南山一棵树的同学组成集合，去了磁器口的同学组成集合， 依题意，， 而，由容斥原理得， 解得，所以只去了一个地方的有(人). 故选：C （2025·北京） 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 7. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】因为，借助重要不等式求最大值. 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a、b，则， 又因为， 所以，当且仅当时取“＝”， 故三角形周长的最大值为. 故选：B． 8. 若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，由基本不等式可得的最小值等于，故，从而得到实数的最大值． 【详解】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 二、多选题 9. 设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 是的环 B. 若，则存在的一个环，含有8个元素 C. 若，则存在的一个环，含有4个元素且 D. 若，则存在的一个环，含有7个元素且 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用题设中的信息，集合的交集、并集的运算，以及集合间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知：①，②若，则且， 对于A，全集且， 满足且当时，可得且，所以A正确； 对于B，由的子集，共8个元素， 若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确； 对于C，若，可得， 所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确； 对于D，若， 可得，， ， ，，且， 所以集合中至少有8个元素，所以D错误. 故选：ABC. 10. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例排除AC，利用不等式的性质判断BD，从而得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C，因为，取，则，故C错误； 对于D，因为，由不等式的性质可知，故D正确. 故选：BD. 11. 已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 的最小值是16 C. 的最大值是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过取特值代入检验排除A项，利用常值代换法可得B项，直接利用基本不等式可得C项，利用基本不等式的变形公式即得D项. 【详解】对于A，取满足题意，但显然不成立，故A错误； 对于B，由，因a，b均为正数， 则， 当且仅当时，即，，等号成立，故B正确； 对于C，由基本不等式可知，即， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由基本不等式可知，则， 当且仅当，时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 集合，，且，则实数可取值组成的集合为_________ 【答案】 【解析】 【分析】确定，，考虑和两种情况，计算得到答案. 【详解】，，则， 当时，，满足条件； 当时，，，则或，解得或. 综上所述：. 故答案为：. 13. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由的解集为， 可得，且方程的解为， 所以，则， 所以， 即关于的不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知关于的方程有两个实根，满足，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得. 【详解】方程中，，而是该方程的两个实根， 于是，由，得， 即，解得，所以实数. 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出集合，根据集合交并补即可得到答案； （2）转化为，再分和讨论即可. 【小问1详解】 因为或， ， 所以， . 【小问2详解】 若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故的取值范围为. 16. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； （3）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 【答案】（1）是“完全集”，理由如下： 集合，由完全集的定义： ，， 所以集合为“完全集”. （2）； （3） 证明：若是两个不同的正数，且是完全集， 设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根， 由，解得或（舍）， 所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾， 所以中至少有一个大于2. 【解析】 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）设，得到，分类讨论求解即可； （3）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，由于， 所以，当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当时，，故只能，求得， 于是“完全集”只有一个，为； 当时，由， 即有，而， 又， 因此，故矛盾， 所以当时不存在“完全集”， 综上：“完全集”为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 17. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 由对一切实数恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当时，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 18. （1）已知，，，证明：； （2）证明：当，时，有. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用“”的代换及基本不等式计算可得； （2）依题意，，再计算，即可得证. 【详解】（1），，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， ； （2）因为，， 所以，，即，， 所以 ，当且仅当或时取等号， 所以，则. 19. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城六中高一10月月考数学试题卷 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. （2025·北京） 2. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人 A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 （2025·北京） 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 15 8. 若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题 9. 设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 是的环 B. 若，则存在的一个环，含有8个元素 C. 若，则存在的一个环，含有4个元素且 D. 若，则存在的一个环，含有7个元素且 10. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 的最小值是16 C. 的最大值是 D. 三、填空题 12. 集合，，且，则实数可取值组成的集合为_________ 13. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________. 14. 已知关于的方程有两个实根，满足，则实数______. 四、解答题 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的必要条件，求a的取值范围． 16. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； （3）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 17. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 18. （1）已知，，，证明：； （2）证明：当，时，有. 19. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $