精品解析：湖南省长沙市望城区第六中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

6学科网 命组卷网 望城六中高一10月月考数学试题卷 一、单选题 1.若集合=l2,36,N={-16,则SN=() A.1,3y B.{l,6 c2,3y D.2,6 【答案】C 【解析】 【分析】由补集运算即可得解 【详解】0=l,23,6,N={-1,6,÷CN={2,3} 故选：C (2025北京) 2.已知函数f的定义域为D,则“f四的值域为R"是“对任意M∈R,存在∈D 使得 (>M"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解 【详解】若函数f)的值域为R,则对任意M∈R,一定存在∈D,使得f(:)=M+1, 取=无，则(=M+1>M,充分性成立： 取f)=2,D=R,则对任意M∈R,一定存在￥∈D,使得f(:)=M+1」 取=，则（川=M+1>M,但此时函数）的值域为Q,如），必要性不成立： 所以f)的值域为R“是对任意M∈R,存在。∈D,使得广()>M,的充分不必要条件 第1页/共18页 6学科网6组卷网 故选：A 3.命题D:x∈M,3x2+4x+5≥0 的否定是() xEM,3x2+4x+5≥0 B.xeM,3x2+4x+5<0 c.r∈M,3x2+4x+5≥0 D.3r∈M,3x2+4x+5<0 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解 【详解】 x∈M,3x2+4x+5≥0 的否定是x∈M,3x2+4x+5<0 故选：D 4.为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个 地方调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去 了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少 去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有()人 A.24 B.26 C.28 D.30 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合A,去了南山一棵树的同学组成集合B,去了磁器口的同学组成集 合C, n(AUBUC)=55,n(A)=31,n(B)=21,n(C)=30,n(A∩B)=10,n(B∩C=7 依题意， n(A∩B∩C)=0 55=31+21+30-10-7-n(A∩C) 而 ,由容斥原理得 第2页/共18页 命学科网命组卷网 n(A∩C)=10 解得 所以只去了一个地方的有5-10-7-10=28人). 故选：C (2025·北京) a>0,b>0 5.已知 ,则() 1+1 A.a2+b2>2ab B.a b ab 11 2 L C.a+b>√ab D.a'b√ab 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可判断 【详解】对于A当a=b时，“+=2ab,故A错误： 261 +=2+4=6< 对于BD,取a= 4,此时ab 11 8=1 ab 24 1+1=2+4=6> 2 a b =4V2=2 11 ab V24 ,故BD错误： 对于C,由基本不等式可得a+b≥2√ab>Va ,故C正确 故选：C 6.已知实数ab满 3=4 满足】 ,则下列不等式可能成立的是() b<a<0 2b<a<0 A. B. 0<a<b D.0<2b<a 【答案】B 第3页/共18页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】设指数函数f)=3,8()=4,)=2,在同一坐标系中作出三个两数的图象，结合函数图 象即可求解 【详解】设函数f(田=3，g)=4华，h()=2 作出函数图象如下， y=t 少=fx) y=8(x) y=t 设3”=40=1 对A,当0<1<1时，直线与函数/)=38闭=4的图象交点的横坐标为4,6， 由函数图象可知，a<b<0,A错误； 对C,当>时，直线-‘与数倒=3,8)=4的图象交点的横标为a,b 由函数图象可知，0<b<a,C错误： 30=4 0=226 因为 ,所以 设3”=220=1 作出函数f四=3，h(x)=2 的图象如下， y=t y=f(x) y=h(x) y=t 2b a 第4页/共18页 命学科网命组卷网 对B,当0<1<1时，直线"与函数/倒=3，h0=2的图象交点的装坐标为026 由函数图象可知，2b<a<0,B正确： 对D,当>1时，直线'与通数)=3引，)=2的图象交点的候丝标为a2b 由函数图象可知，0<a<2b,D错误： 故选B. 7.我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五” 特例后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一 个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为() A.12 B.5V2+5 c5V3+5 D.15 【答案】B 【解析】 【分折】因为a+'=a+分+2ab,借助重要不等式求最大值 【详解】因为直角三角形的斜边长等于5，设两直角边分别为a,b,则(+6=25 又因为a+b2=a+b2+2abs2a2+b) 所以a+b≤5V2.当且仅当0=6=5y2 2时取“=”， 故三角形周长的最大值为5√2+5 故选：B, 8若不等式V口+b≥V2k(a+)对任意正数a,b恒成立，则实数k的最大值为(） √2 A.2 B.1 C.2 D.2 【答案】A 第5页/共18页 6学科网6组卷网 【解析】 2s2+62 a2+b2 1 【分析】由题意可得 上2a+b,由基本不等式可得2a+bY的最小值等于4，故2≤号 4,从而得 到实数k的最大值. k2≤Q2+62 【详解】由不等式Va2+b2≥√2k(a+b)可得2(a+b)2, a2+b2 故k2≤2(a+b)2的最小值. a2+b2 a2+b2 a2+b2 1 因为2(a+b2(a2+b2+2ab)2(2a2+2b2)4,当且仅当a=b时，等号成立， a2+b2 故2(a+b)的最小值等于4， 1 4,所以22，则实数k的最大值为2： 故选：A 二、多选题 9设乙是一个非空类合，F是"的子樂构威的集合，如果F同时满是：O⑦∈F,②若4，BE ,则 An(GB)∈F且AUB∈F,那么称F是U的一个环则下列说法正确的是（） 若0=2345,6，则F=@,L35,2,46,是V A. 是的环 0=a6,c,则存在0的一个环F,F含有8个元素 B.若 C若0=Z,则存在的-个环F,F含有4个元素且 2,{3,5}∈F 第6页/共18页 6学科网命组卷网 U= R,则有在0的一个环F,F合有7个元素 [0,31,[3,5]∈F D.若 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用题设中的信息，集合的交集、并集的运算，以及集合间的关系，逐项判定，即可求解 【详解】由题意知：①⑦∈F,②若4B∈F,则An(G,B)eF且AUB∈F, U={1,2,3,4,5,6F={0,{1,3,5},{2,4,6},U} 对于A,全集 日 满足②eF且当4，BeF时，可得4n(GB)eF且AUB∈F,所以A正确： 对于B,由U的子集3=，{@，，{c,{a,b,{a,c,c,{a,6c》,共8个元素。 若F是U的子集构成的集合，所以集合F有8个元素，所以B正确： 对于c,若2eF,35}eF,可得2u{3,5}={2,3,5}eF 所以2U3.5}=2,35}eF=亿，2，B,5,2,35功是个环，其中F中含有4个元素，所以C正确： 对于D,若0,3]eF,B,5]eF 可得0,3]nG35]=0,3)eF,B,5]nC[0,3=6,5∈F.B,5u0,3引=0,51eF 0,3]nC[0,3)={3}eF.[0,5]nC{3}=[0,3u3,5]eF,且⑦eF, 所以集合F中至少有8个元素，所以D错误， 故选：ABC 10若a6cd∈R 下列说法正确的是() A.若a>b,则ac>bc B若ald>bld, 则a>b C.若 a>b,c>d ac>bd ,则 D.若a>b.ma>b ,则 【答案】BD 第7页/共18页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】举反例排除AC,利用不等式的性质判断BD,从而得解. 【详解】对于A,当C=0时，aC=bc,故A错误； 对于B,因为a4>bd,所以d≠0，即ld>0,所以a>b,故B正确： 对于C,因为a>hc>d,取a=lb=C=0d=-,则ac=d ,故C错误： 对于D,因为a>b ，由不等式的性质可知 3>b3 ,故D正确 故选：BD 11.已知a,b均为正数，且2a+5b=1,则下列结论一定正确的是() 1.1 9 1 一> A.a b B.a+4ba+b的最小值是16 1 C.ab的最大值是40 D.8a2+50b2≥1 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过取特值代入检验排除A项，利用常值代换法可得B项，直接利用基本不等式可得C项，利用 atb,a+b2 基本不等式的变形公式2≤√2 即得D项 1.1 【详解】对于A,取=b= 7满足题意，但显然αb不成立，故A错误： 对于B,由2a+5h=(a+46)+(a+b)=1,因a,b均为正数. 则a+46a+6(a+4h+a+bJ(a+46+a+)=10+90+90+a+4 9 +19t1 ≥16 a+4b a+b 第8页/共18页 命学科网命组卷网 9(a+b）_a+4b 省驱时a+40ab,即a2万 6,等号成立，故B正确： 1 ab≤ 对于C,由基本不等式可知2a+5b=1≥2V10ab,即0 40, 1 1 a=- b= 当且仅当4， 10时，等号成立，故C正确： 12a+5b 4a2+25b2 对于D,由基本不等式可知2 2 2 ,则8a2+50b2≥1 1b二 1 a= 当且仅当4,10时，等号成立，故D正确 故选：BCD 三、填空题 12集合A={r-1=0,B={xax+1=0,且AUB=A,则实数a可取值组成的集合为 【答案】 {-1,0, 【解析】 【分析】确定A={1,1,B℃A,考虑B=⑦和B≠②两种情况，计算得到答案 【详解1A={xr-1=0={,4UB=A,则BcA, 当B=☑时，a=0,满足条件： 当B≠@时，a0.8a,则a度。得a1成a2 综上所述： B={-1,0,1} 第9页/共18页 6学科网命组卷网 故答案为： {-1,0, 13.已知关于x的不等式ax+b>0的解集为-3，+o),则关于x的不等式a+bx<0的解集为 【答案】 （-3,0) 【解析】 a,b 【分析】先根据不等式的解集可得“，”的关系及“的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解 【详解】由+b>0的解集为-3，+∞）】 可得a>0,且方程x+b=0的解为-3， b -=-3 所以a,则b=3a, 所以x+br=a(x2+3x<0→x2+3x<0→-3<x<0 即关于x的不等式m'+bx<0的解集为(-3,0） 故答案为： （-3,0) 14已知关于x的方程+mx-2=0有两个实根，西，满足+乃=8 则实数m= 【答案】±2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得。 【详解】方程+mx-2=0中，△=m+8>0,而，是该方程的两个实根， 于是+场=m5=-2,由+写=8，得6+-2%=8 即m+4=8 ，解得m=2 所以实数m=+2 第10页/共18页 6学科网命组卷网 故答案为：±2 四、解答题 15.已知集合 =,0,B-12-x-6<0,c-12a-3<<a* (1)求(GA)nB (2)若x∈B是x∈C的必要条件，求a的取值范围. 【答案】()d-1<x< (2){aa≥} 【解析】 A,B 【分析】(1)直接求出集合，根据集合交并补即可得到答案： C≤BC=☑C≠O (2)转化为 ,再分 和 讨论即可 【小问1详解】 因为4-0=2x<- B={x2-5x-6<0}={-1<x<6 所以A=闭-1≤x<y (GA)nB={d-1<x<1} 【小问2详解】 若xeB是x∈C CCB 必要条件，则 当C=0时，2a-3≥a+1,即a24, 第11页/共18页 6学科网 命组卷网 2a-3<a+1 当 时， 2a-32-1 ,解得 C≠☑ a+1≤6 1≤a<4 故a的取值范围为{aa≥号 16已知有限集4={a,a,…,a.}(n≥2，n∈N）,若4+4，+…+a,=4××…x0,则称A为“完全 集” （4山判断集合{12，V2-山25+2是否为“完全失”，并说明理由， (2)若4为“完全集”，且4c八，用列举法表示集合A(不需要说明理由)， (3)若集合{a,b}为“完全集”，且4，b均大于0，证明：a,b中至少有一个大于2 【答案】4){12，V2-1,22+2是“完全集”，理由如下 集合{一2，V5-1,22+2,由完全集的定义： 1+(-2)+2-1+22+2=22,-1x(V2)x(N2-x(22+2)=22, 所以集合{1-2，V2-l,25+2为“完金集” 212,3 (3) 证明：若4，b是两个不同的正数，且{a,6}是完全集， 设a+b=ab=1>0 根据根和系数的关系知，a, 相当于x-r+t=0 两个根， 由A=-1>0,解得>4政1<0（合）， 所以0-b>4,又因为ab都是正数，若ab都不大于2，b≤4，矛盾， 第12页/供18页 6学科网命组卷网 a,b 所以 中至少有一个大于2. 【解析】 【分析】(1)由“完全集”的定义判断即可： (2)设4<a<…<a,得到44a1<”,分类讨论求解即可： (3)由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设4<4<…<0.，由于44…a,=a+a++a,<m0, 所以44…0<”，当1=2时，即有4<2，又“为正整数，所以4=1 于是1+4=1x4,则凸无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当1=3时，44，<3，故只能4=，4=2， 求得4=3 于是“完全集”4只有一个，为机，2,3) 当n≥4时，由4%…a1≥1×2×…x(n-1） 即有n>1×2x…xn-l),而n-(n-10(n-2)=-+4n-2=-(n-2}+2<0 又(n-l(n-2)≤1x2×…x(n-1) 因此n<1×2xx(n-）,故矛盾 所以当n之4时不存在“完全集”A, 综上：“完全集”4为礼2,3列 【小问3详解】 略 第13页/供18页 6学科网列组卷网 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理 解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的： ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办 事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决 17.设函数f()=+(1-a)x+a-2(aeR) （4)若a=-2,求()<0的解集 (2)若不等式f()≥-2对一切实数x恒成立，求口的取值范围， (3)解关于x的不等式：f(x)水a-1 【答案】(1)R (3) 当a<-时，原不等式的解聚为>1或<一己 当a=l时，原不等式的解集为{r≠： 当-1<a<0时，原不等式的解集为x> a或x<l}: 当a=0时，原不等式的解集为{xx< 当a>0时，原不等式的解集为 【解析】 【分析】(1)将a=-2代入，根据图象的开口方向，以及△<0，即可求得不等式的解集； (2)根据题意，转化为 xeR,x2+(1-ax+a之0恒成立，分a=0与a≠0，两种情况讨论，结合二 第14页/共18页 6学科网列组卷网 次函数的性质，列出不等式（组），即可求解： (3)将原式化为+1-a)x-1<0,分a=0,a>0,a<0三种情况讨论，结合一元二次不等式的 解法，即可得到结果。 【小问1详解】 由函数(x)=r2+1-a)x+a-2(a∈R) 若a=-2,可得/(x)=-2x2+3x-4 又由f()<0,即不等式-2x2+3x-4<0,即22-3x+4>0, 因为4=32-4×2×4<0 且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式2x2-3x+4>0的解集为R,即f()<0的解集为R 【小问2详解】 由f(x)≥-2对一切实数x恒成立，等价于xeR,x+1-a)x+a≥0恒成立， 当a=0时，不等式可化为x之0，不满足题意. a>0 a>0 当a≠0时，则满足△≤0，即3a2+2a-120.解得a≥ 所以a的取值范围是5，+o） 【小问3详解】 依题意，f()Ka-l等价于ar+(1-a)x-1<0 当a=0时，不等式可化为x<1,所以不等式的解集为x|x<号 <1 当a>0时，不等式可化为(r+l)(x-1)<0,此时a, 第15页/供18页 6学科网组卷网 以不小 当40 ax+1)(x-1)<0 时，不等式化为 1 =1 ①当a=-l时，a,不等式的解集为{xr≠： 1 回当一1<a<0时，a,不等式的解集为在x> >1 a或x<1}: 11 @当a<-时，。1.不式的解集>1度<寻。 综，当a<-时，原不等式的解集为>1或<。 当a=-l时，原不等式的解集为{xK≠， 当-1<a<0时，原不等式的解集为xx>a或x<1: 当a=0时，原不等式的解集为xr< 18(1)已知x>0:y>0,x+2y=1,证明： 〔++5 (2)证明：当0<a≤1,0<bs1时，有b-l≥a- 【答案】(1)证明：x>0y>0x+2y=1 +24+20 第16页/供18页 6学科网命组卷网 +到1225 当组仅当立，即少-子，= 2时，等号成立， （+25 (2)证明：因为0<a≤1,0<b≤1， 所以0<a≤1.0<B≤1，即1-a20,1-b≥0 所以(ah-0-(a-=(ab2-2ab+1-(a-2ab+b2） =d6-d2-b2-1=(1-a2)-b2）≥0，当且仅当a=1或b=l时取等号， 所以(ab-≥(a-,则lab-l≥a-b 【解析】 【分析】(1)利用“1”的代换及基本不等式计算可得： (2)依题意1-a2≥0,1-b≥0，再计算(ab--(a-b,即可得证 【详解】(1)略： (2)略 19.某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量经测算，企业拟安 装一种使用寿命为4年的污水净化设备这种净水设备的购置费（单位：万元)与设备的占地面积x(单位： 平方米)成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面 积x之间的函数关系 +5r>0 C(x)=20 ，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计 为少（单位：万元）· 第17页/共18页 命学科网命组卷网 (1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围： (2)设备占地面积x为多少时，V的值最小？ [11,20] 【答案】(1) (2)设备占地面积为 5m2 时，y的值最小 【解析】 【分析】(1)由题意得 y=0.2x+80 45>0) ,解不等式y≤7.2即可得解 (2)将卫=02x+ 80 变形为”45+80 (x>0) -1 x+5 5x+5,再利用基本不等式即可求解 【小问1详解】 (x>0) 由题意 y=0.2x+80 x+5 令y≤7.2即 .2x+80≤7 x+5 7.2,整理得r2-31x+220≤0即(x-11(x-20)≤0， 所以解得11≤x≤20」 所以设备占地面积x的取值范围为山，20] 【小问2详解】 x+55x+5 x+5x80-1=216-1=7, =0.2x+0=+0-1之25x15 x+580 当且仅当5x+5即x=15时等号成立， 所以设备占地面积为 5m2 时，y的值最小 第18页/供18页 望城六中高一10月月考数学试题卷 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. （2025·北京） 2. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人 A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 （2025·北京） 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 15 8. 若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题 9. 设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 是的环 B. 若，则存在的一个环，含有8个元素 C. 若，则存在的一个环，含有4个元素且 D. 若，则存在的一个环，含有7个元素且 10. 若，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 的最小值是16 C. 的最大值是 D. 三、填空题 12. 集合，，且，则实数可取值组成的集合为_________ 13. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_________. 14. 已知关于的方程有两个实根，满足，则实数______. 四、解答题 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的必要条件，求a的取值范围． 16. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； （3）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 17. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：． 18. （1）已知，，，证明：； （2）证明：当，时，有. 19. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $