第二十一章 二次函数与反比例函数（举一反三讲义）数学沪科版九年级上册

第二十一章 二次函数与反比例函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【沪科版】 【培优篇】 10 【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】 10 【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】 12 【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】 13 【题型4 二次函数与几何变换】 14 【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】 14 【题型6 反比例函数图象上点的坐标特征】 15 【题型7 反比例函数的图像与性质的运用】 16 【题型8 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 17 【题型9 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 18 【题型10 反比例函数的应用】 20 【拔尖篇】 21 【题型11 利用二次函数的性质求最值】 21 【题型12 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】 22 【题型13 利用二次函数的性质比较大小】 22 【题型14 二次函数与一次函数图象的综合应用】 23 【题型15 二次函数的应用】 24 【题型16 二次函数中的存在性问题】 27 【题型17 反比例函数中的动点问题】 28 【题型18 反比例函数中的存在性问题】 30 【题型19 反比例函数中的定值、最值问题】 31 【题型20 反比例函数中的几何变换问题】 33 【题型21 反比例函数与其它知识的交互问题】 35 知识点1 二次函数的概念 1. 一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c ．自变量的取值范围是全体实数． 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0． 3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2 列二次函数关系式 1. 理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2. 分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3. 列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式． 知识点3 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 二次函数 的图象的画法 （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． （4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 3. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 知识点4 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 3. 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 知识点5 求二次函数的解析式 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 2. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 3. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 知识点6 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： （示意图） （示意图） 一元二次方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 知识点7 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点8 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤 （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 知识点9 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证 结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数 使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 3. 实际问题与二次函数的联系转化 实际问题 数学模型 转化 回归 （抛物线形实物与轨迹问题） （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 转化的关键 抛物线形运动轨迹问题 建立恰当的平面直角坐标系 ①能够根据实际距离准确地得出 点的坐标； ②选择运算简便的方法解决问题 知识点10 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 知识点11 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点12 反比例函数的图像与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点13 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点14 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 知识点15 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 【培优篇】 【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】 【例1】（2025·江西宜春·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式1-2】（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数图象如图所示，则函数图象可能是（    ） A．B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）二次函数（，，是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，错误的是（   ） A． B．若点，在该抛物线上，且在轴的下方，则 C．一定有两个不相等的实数根 D．（为实数） 【变式2-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，则下列说法：①；②；③抛物线一定经过点﹔④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤若 （其中）是抛物线上的两点，且，则．正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】 【例3】（2025·福建漳州·二模）已知抛物线与直线只有一个交点P，且点P在第一象限，若，则m的值可能是（   ） A． B． C．3 D．4 【变式3-1】若二次函数的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)和(-1，0)，则的值的变化范围是(　　) A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线上有且只有三个点到轴的距离等于，点在抛物线上，且点到轴的距离小于． （1） ． （2）的取值范围是 ． 【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为 ；点在抛物线上，若，则的取值范围为 ． 【题型4 二次函数与几何变换】 【例4】（24-25九年级下·广东梅州·期中）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若顶点在上，则m的值是（   ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【变式4-1】将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件 ． 【变式4-3】规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ． 【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】 【例5】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知二次函数，当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 【题型6 反比例函数图象上点的坐标特征】 【例6】已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝ ． 【变式6-1】已知反比例函数，在每一个象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（　　） A．1 B．-1 C．-6 D．6 【题型7 反比例函数的图像与性质的运用】 【例7】（2025·吉林长春·二模）已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【变式7-3】已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 【题型8 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 【例8】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在同一坐标系中，与的图象的大致位置不可能的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）函数与 在同一平面直角坐系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型9 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 【例9】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式9-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上一点，以为对角线作矩形，且点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．若矩形的面积为14，则k的值为 ． 【变式9-2】如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 【变式9-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过的中点M，与，分别相交于点D，E．连接并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，． (1)填空： ； (2)求的面积； (3)求证：四边形为平行四边形． 【题型10 反比例函数的应用】 【例10】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式10-1】（2025·安徽蚌埠·三模）图是新星幼儿园滑梯的侧面图，建立平面直角坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高，宽，出口点C到的距离为 ．若滑梯上有一个小球Q，Q的高度不高于，则Q到的距离至少为 ． 【变式10-2】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【变式10-3】在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【拔尖篇】 【题型11 利用二次函数的性质求最值】 【例11】（2025·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ． （2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是 ． 【变式11-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）定义：，若函数，则该函数的最小值为 ． 【变式11-2】（2025·安徽六安·一模）已知抛物线（）． （1）若抛物线经过点，则该抛物线的对称轴为 ； （2）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，则的最大值为 ． 【变式11-3】（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 【题型12 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】 【例12】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ； 【变式12-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 【变式12-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离．若，，则 ．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为 ． 【变式12-3】（2025·广西·一模）已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是 ． 【题型13 利用二次函数的性质比较大小】 【例13】（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式13-2】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）已知抛物线（a、b、c为常数，且）是由抛物线向右平移m个单位得到，若点都在抛物线上，则之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）将方程的两根记为、，方程的两根记为、，则、、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型14 二次函数与一次函数图象的综合应用】 【例14】（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数的图像为C． (1)用m表示图像C的顶点坐标； (2)证明：当时，图像C与x轴有两个交点； (3)记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【变式14-1】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C． (1)当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标． (2)嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值． (3)若． ①求该抛物线的函数表达式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式14-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围． 【变式14-3】（2025·广东汕尾·二模）【问题背景】 抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E． 【构建联系】 （1）填空：______，______，点E的坐标为______． （2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标． 【深入探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由． 【题型15 二次函数的应用】 【例15】（24-25九年级上·河南周口·期末）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． (2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 【变式15-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【变式15-2】（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【变式15-3】（2025·江西宜春·模拟预测）秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一． 某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求水管的长度， (2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与之间的水平距离， ②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？ 【题型16 二次函数中的存在性问题】 【例16】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【变式16-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式16-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式16-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型17 反比例函数中的动点问题】 【例17】如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图1，在菱形中，为边上一动点，于点，设．当点从点运动到点时，关于的函数图象如图2所示，则关于的函数表达式为 ． 【变式17-2】如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ． 【变式17-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点分别在轴、轴的正半轴上两点从点处同时出发，分别沿着和的方向运动个单位长度，运动到两点处同时停止运动，连接．其中均为常数且。 (1)求证：在运动过程中线段经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 (2)如图2，点与点关于原点对称．过点作双曲线为常数，与交于点，作直线＇与轴、轴分别交于两点，连接。 ①求证： ②若四边形是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； (3)当时，在（2）中②的条件下，延长交双曲线于，将直线沿轴向下平移经过点得到直线．结合图象，直接写出不等式的解集． 【题型18 反比例函数中的存在性问题】 【例18】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (3)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式18-1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【变式18-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式18-3】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【题型19 反比例函数中的定值、最值问题】 【例19】如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【变式19-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是 ． 【变式19-2】（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数 图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线 与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式19-3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型20 反比例函数中的几何变换问题】 【例20】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(1，1)、B(3，1)．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（　　） A． B．2 C． D． 【变式20-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在以为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴和轴的正半轴上，将反比例函数的图像向下平移个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点，且图像与边交于点，则的值是 ． 【变式20-2】（2025·湖北武汉·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点（点位于第三象限），且一次函数与轴、轴分别交于点． (1)当时，求线段的长； (2)将双曲线沿直线进行翻折，翻折后的图形与轴和轴分别相交于两点，若，求的值． 【变式20-3】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如图2，将直线向上平移，过y轴上的点G且经过反比例函数图象上的点，，过点E作轴于点M，连接，动点N为y轴上一点，若，请求出所有满足条件的N点的坐标． 【题型21 反比例函数与其它知识的交互问题】 【例21】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式21-1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过的中点和的中点，已知，则点的坐标为 ． 【变式21-2】（2025·广东深圳·三模）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为 ． 【变式21-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 二次函数与反比例函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【沪科版】 【培优篇】 10 【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】 10 【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】 14 【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】 20 【题型4 二次函数与几何变换】 24 【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】 26 【题型6 反比例函数图象上点的坐标特征】 29 【题型7 反比例函数的图像与性质的运用】 32 【题型8 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 35 【题型9 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 38 【题型10 反比例函数的应用】 44 【拔尖篇】 48 【题型11 利用二次函数的性质求最值】 48 【题型12 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】 51 【题型13 利用二次函数的性质比较大小】 55 【题型14 二次函数与一次函数图象的综合应用】 58 【题型15 二次函数的应用】 68 【题型16 二次函数中的存在性问题】 74 【题型17 反比例函数中的动点问题】 82 【题型18 反比例函数中的存在性问题】 89 【题型19 反比例函数中的定值、最值问题】 98 【题型20 反比例函数中的几何变换问题】 107 【题型21 反比例函数与其它知识的交互问题】 114 知识点1 二次函数的概念 1. 一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c ．自变量的取值范围是全体实数． 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0． 3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2 列二次函数关系式 1. 理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2. 分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3. 列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式． 知识点3 二次函数几种特殊形式的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， （，） ，时，； ，时， 2. 二次函数 的图象的画法 （1）列表：以为中心，对称选取x值，求出对应的函数值． （2）描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点． （4）在画二次函数的图象时，取的点越密集，画出的图象就越精确，但取点越多计算量就越大，故一般在顶点的两侧各取2~4个点即可．在连线时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线将各个点连接起来，两端无限延伸．画抛物线的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法画出二次函数图象的一侧，再利用对称性画另一侧． 3. 几种二次函数图象间的平移规律 例如：的图象是由的图象先向上平移3个单位长度得到的图象，再向右平移5个单位长度得到的．反之，由的图象先向下平移3个单位长度得到的图象，再向左平移5个单位长度得到的图象． 知识点4 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 1. 一般式与顶点式的转化 利用配方法，可以将二次函数的一般式转化成顶点式，其中，，所以二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为． 2. 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象和性质 符号 函数图像 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴右侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴右侧时，y随x的增大而减小 最值 当时, 当时, 3. 二次函数的图象特征与的符号关系 代数式（决定因素） 图像特征 符号判定 a(开口方向) 抛物线开口向上 抛物线开口向下 b(对称轴位置、a的正负) 对称轴在y轴右侧，即 a、b异号 对称轴在y轴左侧，即 a、b同号 c(抛物线与y轴交点位置) 交于原点 交于y轴正半轴 交于y轴负半轴 (与x轴交点个数) 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴没有交点 知识点5 求二次函数的解析式 1. 待定系数法 根据已知条件的特点，选择最合适的解析式形式，再将已知点坐标代入解析式，通过解方程(组)求得未知数的值，即可得到函数解析式． （1）一般式： 已知函数图象上任意三个点的坐标（三组x，y的值），可设解析式为． （2）顶点式： 已知抛物线顶点（，）、对称轴或最大（小）值，可设解析式为，特殊地，若抛物线顶点在原点，则，设其解析式为． （3）交点式： 已知抛物线与x轴的交点坐标为（，），（，），可设解析式为． 2. 平移 （1）将抛物线解析式化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规律进行平移． （2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以在求平移后的抛物线解析式时，通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，利用顶点式即可求出解析式． 3. 二次函数关于点或直线对称的解析式 若已知抛物线上点的坐标，可以利用待定系数法求其解析式．若已知某抛物线解析式，求其关于某直线或某点对称的抛物线的解析式，常用结论如下： （1）关于x轴对称的抛物线的解析式 关于x轴对称的抛物线的解析式：； 关于x轴对称的抛物线的解析式：． （2）关于y轴对称的抛物线的解析式 关于y轴对称的抛物线的解析式：； 关于y轴对称的抛物线的解析式：． （3）关于顶点对称的抛物线的解析式 关于顶点对称的抛物线的解析式：； 关于顶点对称的抛物线的解析式：． 知识点6 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： （示意图） （示意图） 一元二次方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 知识点7 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 知识点8 二次函数与一元二次不等式的关系 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤 （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 ， 没有实数根 不等式 的解集 的一切实数 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 知识点9 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证 结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k；若对二次函数 使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 3. 实际问题与二次函数的联系转化 实际问题 数学模型 转化 回归 （抛物线形实物与轨迹问题） （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 转化的关键 抛物线形运动轨迹问题 建立恰当的平面直角坐标系 ①能够根据实际距离准确地得出 点的坐标； ②选择运算简便的方法解决问题 知识点10 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 知识点11 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点12 反比例函数的图像与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点13 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点14 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 知识点15 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 【培优篇】 【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】 【例1】（2025·江西宜春·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据a、b的正负不同，则函数与函数的图象所在的象限也不同，针对a、b进行分类讨论，从而可以选出正确选项． 【详解】解：若，，则经过一、二、三象限，开口向上，对称轴为，在y轴右侧，故A正确、C错误； 若，，则经过二、三、四象限，开口向下，对称轴为，在y轴右侧，故B、D错误； 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得出a，b，c的大小是解题的关键． 先求出，，再判断一次函数图象即可． 【详解】∵二次函数图象开口向上， ∴； ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴； ∵与轴交点在负半轴， ∴．   对于一次函数，，，，故， ∴一次函数图象过二、三、四象限． 故选：D． 【变式1-2】（2025·安徽合肥·二模）已知同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数图象如图所示，则函数图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的性质，根据所给二次函数解析式可知，二次函数的图象过定点，据此可解决问题． 【详解】解：因为二次函数解析式为， 所以当时，， 则此二次函数的图象过定点， 显然只有D选项符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 【题型2 二次函数的图象与系数之间的关系】 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）二次函数图象的一部分如图所示，给出下列命题：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．其中正确的命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点情况以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线交于y轴的负半轴， ∴， ∴，①说法正确； ∵， ∴，②说法错误； ∵抛物线与x轴交于， ∴， ∴，③说法正确； ∵抛物线的对称轴是直线，且开口向上， ∴函数最小值为， ∴， ∴，④说法正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，⑤说法正确； 综上所述，正确的有①③④⑤． 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）二次函数（，，是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，错误的是（   ） A． B．若点，在该抛物线上，且在轴的下方，则 C．一定有两个不相等的实数根 D．（为实数） 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数图象来判断各项系数的正负，可判断选项A；根据可知点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远，即，故B正确；将一元二次方程的解转为二次函数与直线的交点问题，即可判断Ｃ；由抛物线开口向下，顶点坐标为，即得出，即有，即，故D错误． 【详解】解：由图象知，时，， ． 对称轴为直线， ∴， ∴， ，即，故A正确； ∵图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方， ∴，， ∴， ∴点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远． 该抛物线上的点在对称轴的左边离对称轴距离越远，点的纵坐标越小， ，故B正确； 根据图象可知，当时，抛物线与的图象有两个交点， 有两个不相等的实数根，故C正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为， ， ，即，故D错误． 故选：D． 【变式2-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围． 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， 时，， ， ， ， ， ∵， ，故②正确； ③设方程的两根为和， ∴， ， ∴，故③错误． ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ⑤点，在抛物线上， 当时，，解得， ∵， ∴，则⑤正确； 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，则下列说法：①；②；③抛物线一定经过点﹔④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤若 （其中）是抛物线上的两点，且，则．正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数的图象开口方向，与y轴交于点B及对称轴可判断①与②；③根据二次函数图象的开口方向、经过及对称轴可得出，，可得，可将化为，再代入二次函数解析式中验证即可判定；④利用一元二次方程根的判别式进行判断即可，⑤根据，分情况讨论即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交于点B， ∴， 又∵二次函数的图象与x轴交于点，其对称轴为， ∴， ∴， ①∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∴，故结论②正确， ∴， ③当时，， ∴抛物线一定经过点，即抛物线一定经过点，故结论③正确； ∵， ∴可化为：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 即关于x的方程有两个不相等的实数根，故结论④正确． ⑤∵抛物线二次函数的图象开口向下，其对称轴为， ∴当时，y的值随值的增大而增大； 当时，y的值随值的增大而减小， ∵，， 当时， 此时，此时， 当时，满足， 此时，， 当时，不满足舍去，故⑤正确， 综上所述，正确结论的个数是5个． 故选：D． 【题型3 根据二次函数的性质求字母取值范围】 【例3】（2025·福建漳州·二模）已知抛物线与直线只有一个交点P，且点P在第一象限，若，则m的值可能是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线与直线的交点问题，掌握二次方程判别式、函数图像的位置关系以及代数式的最值是解题的关键． 联立抛物线与直线方程，利用判别式求唯一交点条件，结合点在第一象限的坐标条件，推导与的关系，代入求值范围． 【详解】∵抛物线与直线只有一个交点 ∴方程只有一个解 ∴，交点的横坐标，纵坐标， ∴ ∵， ∴ ∵点在第一象限 ∴点横坐标，纵坐标 ∴ ∴ ∴ 代入得： ∴ 把代入得： 时有最小值是，时随的增大而增大 且时 ，，，中只有在范围内 的值可能是 故选：． 【变式3-1】若二次函数的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)和(-1，0)，则的值的变化范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入两点的坐标可得 ， ，所以 ，由抛物线的顶点在第一象限可得 且 ，可得 ，再根据、，可得S的变化范围． 【详解】将点(0，1)代入中 可得 将点(-1，0)代入中 可得 ∴ ∵二次函数图象的顶点在第一象限 ∴对称轴 且 ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：A． 【点睛】本题考查了二次函数的系数问题，掌握二次函数的性质以及各系数间的关系是解题的关键． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线上有且只有三个点到轴的距离等于，点在抛物线上，且点到轴的距离小于． （1） ． （2）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数顶点式，进行解答，即可． （1）根据抛物线上有且只有三个点到的距离等于，则为抛物线顶点到的距离，把抛物线化为顶点式，即可； （2）根据题意，则设点到轴的距离等于，即，得到，分类讨论：或时，确定的取值范围，即可． 【详解】解（1）∵抛物线上有且只有三个点到的距离等于， ∴为抛物线顶点到轴的距离， ∵， ∴抛物线的顶点位， ∴抛物线顶点到轴的距离为， ∴； （2）设点到轴的距离为 ∴ ∴ 当时，将代入 ∴； 当，把代入 ∴ ∵点到轴的距离小于 ∴ ∴ ∵时， ∴当时，；当时， ∴当时，的取值范围为 故答案为：（1）；（2）． 【变式3-3】（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为 ；点在抛物线上，若，则的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据数形结合求解． 将及点，代入抛物线，解得，即可得到t的值；根据确定对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围． 【详解】解：将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴； ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴， 解得， ∴，即， 当时，； 当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：2，． 【题型4 二次函数与几何变换】 【例4】（24-25九年级下·广东梅州·期中）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若顶点在上，则m的值是（   ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】B 【分析】本题是坐标规律题，考查了二次函数的应用，旋转的性质，解题关键是得出抛物线顶点坐标的规律．先求出抛物线与轴的交点，再根据旋转的性质，得出，，从而得出顶点坐标的规律：当为奇数时，的顶点坐标为，当为偶数时，的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，， ，， ， 由旋转的性质可知，， ，， 抛物线与轴的交点坐标分别为，， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为， 同理可得抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为…… 观察发现，当为奇数时，的顶点坐标为，当为偶数时，的顶点坐标为， 当时，的顶点坐标为， ， 故选：B． 【变式4-1】将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：; 由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：. 故选：A． 【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件 ． 【答案】且 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换．先写出平移后的抛物线解析式为，根据题意平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，则根据根的判别式的意义得到且，然后解不等式组得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数向上平移k个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点， ∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点， ∴且， 解得且， ∴k的取值范围为且． 故答案为：且． 【变式4-3】规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得． 【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， 函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与x轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在x轴上， ，得， 故k+1=0，解得k=-1， 故原函数的解析式为， 故它的“Y函数”解析式为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【题型5 二次函数与方程、不等式之间的关系】 【例5】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据图象可知当时，x的取值范围为，然后问题可求解． 【详解】解：设二次函数与x轴的另一个交点坐标为，则由抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，可知： ， ∴，即二次函数与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：当时，x的取值范围为， ∴满足不等式组的整数只有3一个； 故选：A． 【变式5-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:D． 【变式5-2】已知二次函数，当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出x=-3、x=0时y的值，就可顶点y的取值范围． 【详解】=， ∵1>0， ∴图象开口向上，当x=-1时，y有最小值-5， 当x=-3时，y=-1；当x=0时，y=-4， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的最值，二次函数的性质，已知自变量求函数值，解题中注意函数图象的对称轴在取值范围中，即函数存在最值，不要忽略． 【变式5-3】（2025·辽宁丹东·二模）抛物线与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为，请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与y轴交点坐标为；③；④若抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是；⑤不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确； ②当时，，即抛物线与y轴交点坐标为，故②错误； ③ 把A点坐标代入抛物线解析式，整理得∶ 再代入，整理得： 由已知抛物线与x轴有两个交点，则： ，整理得∶，即， ∵开口向上， ∴ ， ∴， 解得：， 而抛物线与轴负半轴相交， ∴， 解得：， ∴，故③正确； ④由抛物线的对称性，B点的坐标为， 当抛物线经过A点时，此时抛物线与线段有两个公共点， 当抛物线经过B点时， ∵其与线段恰有一个公共点， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， 即不等式的解作为函数的自变量的取值时，对应的函数值大于，故⑤错误； 故答案为：①③④． 【题型6 反比例函数图象上点的坐标特征】 【例6】已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝ ． 【答案】1 【分析】先根据反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝＝，y2＝＝，然后根据y1﹣y2＝4列出方程﹣＝4，解方程即可求出m的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝， ∵反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4）， ∴k＝﹣3×（﹣4）＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝， ∵反比例函数的图象经过点（2m，y1），（6m，y2）， ∴y1＝＝，y2＝＝， ∵y1﹣y2＝4， ∴﹣＝4， ∴m＝1， 经检验，m＝1是原方程的解． 故m的值是1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键． 【变式6-1】已知反比例函数，在每一个象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数性质求出，再根据，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，, ∴， A.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B.∵，∴点可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式6-2】如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点A（-1，1）是反比例函数图象上一点，求出k的值，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵点A（-1，1）是反比例函数图象上一点， ∴， A、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B、，点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； C、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； D、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上各点的坐标特征，即反比例函数图象上各点坐标符合，且k为定值． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（　　） A．1 B．-1 C．-6 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， 解得 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键． 【题型7 反比例函数的图像与性质的运用】 【例7】（2025·吉林长春·二模）已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的解析式和自变量的取值范围，确定函数值的符号，进而分析选项． 先明确反比例函数的比例系数为负，可知其图象在第二、四象限；再根据，确定点A在第二象限，点B在第四象限，进而得出,；最后根据和的符号分析各选项． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数，所以其图象位于第二、四象限． ∵和均在该函数图象上，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限． ∴． A选项：的正负无法确定，因为不知道和的具体数值，此选项不符合题意； B选项：，并非，此选项不符合题意； C选项：，此选项符合题意； D选项：的正负无法确定，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式7-1】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．解题的关键是掌握反比例函数的性质：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值可能为． 故选：A． 【变式7-2】反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 【变式7-3】已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．根据图象上点的坐标特征得到，，变形为，，由得到，即可得到，由，可得，再求解即可． 【详解】解：点，，，为反比例函数图象上的两点， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， 反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 故答案为2． 【题型8 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 【例8】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在同一坐标系中，与的图象的大致位置不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数以及正比例函数的性质，利用正比例函数以及反比例函数图象分布规律进而分析得出即可． 【详解】解：A、当正比例函数图象正确，则，则，故中，，则其图象分布在第二、四象限，故此选项符合题意； B、当正比例函数图象正确，则，则，故中，符号不确定，则其图象分布在第二、四象限或第一、三象限，故此选项不合题意； C、当正比例函数图象正确，则，则，故中，符号不确定，则其图象分布在第二、四象限或第一、三象限，故此选项不合题意； D、当正比例函数图象正确，则，则，故中，，则其图象分布在第二、四象限，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象所在象限判断a，b的正负，进而判断的正负，得出反比例函数图象应该所在的象限，逐项判断可得答案． 【详解】解：A，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； B，由一次函数图象在第二、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第一、三象限，而不是第二、四象限，不合题意； C，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，符合题意； D，由一次函数图象在第一、二、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； 故选C． 【变式8-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）函数与 在同一平面直角坐系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及正比例函数一次项系数的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：∵当时，的图象经过第一、第三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限， 当时，的图象经过第二、第四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【变式8-3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 【题型9 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 【例9】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 【变式9-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上一点，以为对角线作矩形，且点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．若矩形的面积为14，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与k的几何意义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质证明，故，因为矩形的面积为14，即，因为点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．进行列式计算，即可作答． 【详解】解：分别过点作轴，轴，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵轴，作轴， ∴， ∴， 即， ∵矩形的面积为14， 则， 即， ∴， ∵点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上． ∴， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． （1）过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E，则四边形、四边形、四边形都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形与的面积关系即可求得结果； （2）根据平行线间距离处处相等和同底等高的三角形面积相等即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E， ∵轴， ， ∴轴， 即， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， 由反比例函数比例系数k的几何意义知：，， ∴， ∵， ∴． （2）如图， ∵且两平行线间的距离处处相等， ∴ 【变式9-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过的中点M，与，分别相交于点D，E．连接并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，． (1)填空： ； (2)求的面积； (3)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)2 (2)3 (3)见详解 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的判定、面积的计算等，综合性强，难度适中． （1）设点，则点，则； （2）的面积的面积，即可求解； （3）确定直线的表达式为：，令，则，故点，即可求解． 【详解】（1）解：设点，则点， 则， 故答案为： 2 ； （2）解：连接， 则 的面积 的面积； （3）解：设点，则点， ∵点与点关于点对称，故点， 则点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得， 解得， 直线的表达式为：， 令，则， 故点， 故，而， 又 ∵， 故四边形为平行四边形． 【题型10 反比例函数的应用】 【例10】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 依据题意，的值即为乙醇质量，再根据图象即可确定甲瓶乙醇质量最多，丙瓶乙醇质量最少，乙、丁两瓶乙醇质量相同． 【详解】解：根据题意，可知的值即为乙醇质量， 描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 乙、丁两瓶乙醇质量相同． 点甲在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面， 甲瓶的的值最大，即乙醇质量最多，丙瓶的的值最小，即乙醇质量最少， 故答案为：甲． 【变式10-1】（2025·安徽蚌埠·三模）图是新星幼儿园滑梯的侧面图，建立平面直角坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高，宽，出口点C到的距离为 ．若滑梯上有一个小球Q，Q的高度不高于，则Q到的距离至少为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意可得反比例函数的解析式，再列不等式即可解答，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， 设反比例函数段的解析式为， ， ∴反比例函数段的解析式为 ， 的高度不高于3m，即 ， ， 解得， ， Q到的距离至少为． 故答案为：． 【变式10-2】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【变式10-3】在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x的值即可求解． 【详解】（1）解：设爆炸前空气中的浓度与时间之间的函数表达式为． 由题图，可知直线 过点、， ∴， 解得， ∴．此时自变量的取值范围是， ∵爆炸后空气中的浓度下降，且浓度与时间成反比例， ∴可设与之间的函数表达式为． 由题图，可知函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， 此时自变量的取值范围是； （2）解：在中，令，得， 解得， ∴撤离的最长时间为， ∴撤离的最慢速度为， 即他们至少要以的速度撤离才能在爆炸前逃生； （3）解：在中，令，解得， ∵， ∴矿工至少在爆炸后才能下井． 【拔尖篇】 【题型11 利用二次函数的性质求最值】 【例11】（2025·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ． （2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键。 （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求联立两函数解析式，求出两函数的交点坐标，设，，由函数图象可得，当时，在的上方，则，据此求解即可． 【详解】解：（1）把代入中，得，解得． 故答案为：1． （2）由（1）得抛物线的表达式为， 联立，解得，， 抛物线与直线的交点坐标为，． 设，，由函数图象可得，当时，在的上方， 当时，， 当时，PQ的最大值是． 故答案为：． 【变式11-1】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）定义：，若函数，则该函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质．分两种情况讨论：当，即时，当，即或时，并结合一次函数和二次函数的图象和性质解答，即可． 【详解】解：设，， ∵时，， 解得：，， 分两种情况讨论： 当，即时，， ∵，随的增大而减少， ∴当时，该函数的值最小，最小值为； ②当，即或时，， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，该函数的值最小，最小值为； 综上所述，该函数的最小值为． 故答案为：． 【变式11-2】（2025·安徽六安·一模）已知抛物线（）． （1）若抛物线经过点，则该抛物线的对称轴为 ； （2）若抛物线的对称轴为直线，点，在抛物线上，则的最大值为 ． 【答案】 直线 18 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． （1），将代入，得到a与b的关系，根据对称轴为即可求解； （2）根据对称轴为直线得到，得到．将和分别代入，得到，，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题知，将代入得：，则，所以抛物线的对称轴为直线； （2）因为抛物线的对称轴为直线，所以，则， 所以抛物线的表达式可表示为． 将和分别代入抛物线的表达式得： ，， 所以， 因为，所以，即， 所以的最大值为18． 故答案为：直线，18． 【变式11-3】（2025·安徽合肥·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 【答案】 和 0或 【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则可求出，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可分当时，当时，当时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解． 【详解】解：（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则有： ， 解得：， ∴函数的图象上的“半值点”的坐标是和， 故答案为和； （2）由题意得：， 整理得：， ∴，即， 此时可看作是n与m成二次函数关系， 即当时，n有最小值， ∵， ∴当时，则n的最小值为0，即，符合题意； 当时，此时n随m的增大而增大， ∴当时，n有最小值k，即，（此时方程无解）； 当时，此时n随m的增大而减小， ∴当时，n有最小值k，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：k的值为0或； 故答案为0或． 【题型12 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】 【例12】（24-25八年级上·江西景德镇·期末）已知关于的二次函数，其中为实数，当－2≤≤1时，的最小值为4，满足条件的m的值为 或 ； 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数的性质，正确理解二次函数的性质是本题解题的关键． 由题求得抛物线的对称轴为直线，分类讨论，，，根据函数的增减性，即可得出答案． 【详解】解：原式变形为， 对称轴为， 二次函数当时，有最小值为4， ①当时， 当时，有最小值为4， ， 解得：,(舍去)， ②当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去），（舍去）， ③当时， 当，有最小值为， 化简整理得， 解得：（舍去）， 满足条件的m的值为或． 故答案为：；． 【变式12-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，由，可得抛物线开口向上，当时，y取最小值为，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当时或当时，y取最大值，进而分当时，y取最大值，此时，即和当时，y取最大值，此时，即，分别进行计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线开口向上，当时，y取最小值为． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当时或当时，y取最大值． ①当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴（不合题意，舍去）或． ②当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴或（不合题意，舍去）． 综上，或． 故答案为：或． 【变式12-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）定义：平面内任意两点，，称为这两点之间的曼哈顿距离．若，，则 ．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，并且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的两点之间的距离，二次函数的极值，二次函数与一次函数的交点问题， 先根据定义解答①；再根据两个图象没有交点求出b的取值范围，然后说明当A，B两点的横坐标相等时，即时，取最小值1，接下来根据二次函数的性质讨论最小值，并求出答案． 【详解】解：根据题意，得； ∵抛物线与直线没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， 解得． 设点， ∴． ∵抛物线与直线没有交点，且的最小值是1， ∴当A，B两点的横坐标相等时，即时，取最小值1， ∴． 当时，， 解得或（舍去）． 所以． 故答案为：8；． 【变式12-3】（2025·广西·一模）已知抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值的差为2，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函效的性质、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．根据题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法即可求解． 【详解】解：， 抛物线对称轴为：直线，顶点坐标为． ， 抛物线开口向下． 当时，； 当时，． ①当，即时，如图1． 当时，， 当时，， ， 解得，（不合题意，舍去）； ②当，即时，如图2． 当时，， 当时，， ， 解得，（不合题意，舍去）； ③当，即时，如图3． 当时，最大值， 当时，， ， 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． 【题型13 利用二次函数的性质比较大小】 【例13】（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元一次不等式组、整式的加减的应用，由题意可得，，，结合，求出，从而即可得出，，计算出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线上有三点，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故选：B． 【变式13-1】二次函数的图像经过，，三点，且，，则，，的大小关系是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的增减性，对称轴和开口方向的问题，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．由题可知，对称轴为，进而分两种情况讨论：①；②，根据抛物线的增减性得出结论． 【详解】解：对称轴为， 当时， ，，， 与互为相反数， ，故A，B不正确，不符合题意； 同理当时，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 【变式13-2】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）已知抛物线（a、b、c为常数，且）是由抛物线向右平移m个单位得到，若点都在抛物线上，则之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用二次函数的平移规律可知，抛物线向右平移m个单位得到，结合题意得到，，，解得，，得出抛物线的图象开口向上，对称轴为，再比较点到抛物线对称轴的距离，即可得出之间的大小关系． 【详解】解：， ∴抛物线向右平移m个单位得到， ∴抛物线的解析式为， ∴，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴为， ∵点都在抛物线上，，，，且， ∴． 故选：A． 【变式13-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）将方程的两根记为、，方程的两根记为、，则、、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系以及数形结合的方法是解题的关键． 分别设 ，，两个方程的根即为两个二次函数与直线 的交点，画出图像，即可求解． 【详解】解：设 ，， 将两个函数画在同一个直角坐标系中，如图： ∵方程的两根记为、，方程的两根记为、， ∴由图可知： ． 故选C． 【题型14 二次函数与一次函数图象的综合应用】 【例14】（2025·江苏盐城·三模）已知二次函数的图像为C． (1)用m表示图像C的顶点坐标； (2)证明：当时，图像C与x轴有两个交点； (3)记一次函数（m是常数，，）的图像为线段，若图像C与线段（包含端点A、B）恰有一个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质，解决本题的关键是根据根据一次函数与二次函数的性质确定函数图像的交点． （1）把二次函数的解析式化成顶点坐标式，即可得到图像的顶点坐标为； （2）当时，可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可证当时，图像与轴有两个交点； （3）根据一次函数的解析式可知点的坐标为，点的坐标为，根据图像与线段恰有一个公共点，分或以及直线与二次函数联立有且只有一个交点三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：整理， 可得：， 图像的顶点坐标为； （2）解：当时， 可得：， ， 整理得：， 当时，， 方程有两个不相等的实数根， 图像与轴有两个交点； （3）解：一次函数（是常数，，）的图像为线段， 当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为． ①当时， 依题意，图像与线段恰有一个公共点， 如图， 当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， ∴； ②当时， ， 解得：； ③当一次函数与二次函数联立方程，得， 一元二次方程有且只有两个相等实数根时： 整理得， ， 解得，此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去）； 综上所述，或或时，图像与线段恰有一个公共点． 【变式14-1】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，以A为顶点的抛物线交直线：于另一点B，过点B作平行于x轴的直线，交该抛物线于另一点C． (1)当，时，求该抛物线与y轴的交点坐标． (2)嘉嘉说：k与m满足一次函数，请帮助嘉嘉求出a和b的值． (3)若． ①求该抛物线的函数表达式； ②在直线下方的抛物线上，是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)①；②点P的坐标为或或或 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为，求出当时的的值即可得解； （2）由抛物线解析式得出，将代入得出，即可得解； （3）①由题意可得抛物线的对称轴为直线，求出，再将、代入抛物线解析式计算即可得解；②由①可得：，，，根据并结合题意得出或，分别求解即可． 【详解】（1）解：当，时，抛物线的解析式为， 当时，，此时该抛物线与y轴的交点坐标为； （2）解：∵A为顶点的抛物线， ∴， 将代入得：， 即， ∵k与m满足一次函数， ∴，； （3）解：①∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 在中，当时，，即， 将、代入抛物线解析式可得：， 解得：或， 当时，，故不符合题意，舍去； 当时，， ∴抛物线的解析式为； ②由①可得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴或， 当时，，解得：或，此时或； 当时，，解得：或，此时或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式14-2】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知二次函数的图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求当时，y的最大值与最小值的差； (3)一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是a和b，且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． （1）利用待定系数法将点代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出，根据根与系数的关系可得出的值，然后根据，整理得出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ， ； （2）解：由（1）得，二次函数对称轴为，开口向上， ∴当时，的最大值为， y的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为； （3）解：由题意及（1）得， 整理得， 即， ∵一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和， ， 化简得， 即， 解得， ∴为方程的两个解， 又∵， ， 即， ， 综上所述，m的取值范围为． 【变式14-3】（2025·广东汕尾·二模）【问题背景】 抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E． 【构建联系】 （1）填空：______，______，点E的坐标为______． （2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标． 【深入探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；3； （2） （3）能，点N的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求出b、c的值，联立方程组，解方程组即可求出点E的坐标； （2）过点P作轴，交于Q，设，则，，根据，得，解方程即可求解； （3）过作轴于H，过C作轴于G，证明，得出，，则，根据待定系数法求出直线解析式，则，故线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，设且，则，然后分；；三种情况讨论，根据两点间距离公式构建关于x的方程求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：，2，； （2）过点P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时点P在x轴上，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， ∴； （3）令，解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作轴于H，过C作轴于G， ∵点B沿的方向平移个单位长度，得到点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式， 又直线解析式为， ∴， ∴线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移， ∵平移， ∴ 设且，则， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴； 综上，N的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，平移的性质，二次函数的图象与系数的关系，求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，解一元二次方程，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【题型15 二次函数的应用】 【例15】（24-25九年级上·河南周口·期末）如果将运动员的身体看作一点，那么运动员在跳水过程中的运动轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，在起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求y关于x的函数表达式． (2)在（1）的这次跳水动作中，结合以下两个信息，回答问题． 信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B时距水面的高度为，从到达最高点B开始计，则她到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，运动员甲能否成功完成此动作？ 【答案】(1) (2)运动员甲不能成功完成此动作 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）待定系数法求出解析式，即可； （2）先求出，再求出时的h值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，， ∴， ∴设函数表达式为， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：3.5，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， 即运动员甲在水面上无法完成此动作， ∴运动员甲不能成功完成此动作． 【变式15-1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解； （2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 【变式15-2】（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式15-3】（2025·江西宜春·模拟预测）秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一． 某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求水管的长度， (2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与之间的水平距离， ②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？ 【答案】(1)水管的长度为 (2)①景观射灯与之间的水平距离为；②水管要下降 【分析】该题考查了二次函数的应用． （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令求出y值，即可求解； （2）①把代入解析式，即可求解； ②求出降低水管后的水柱所在抛物线的解析式，然后代入求出y值，然后求出解答即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点N的坐标为，点B的坐标为， ∴设第一象限抛物线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴第一象限抛物线的解析式为． ∵当时，， ∴． 答：水管的长度为． （2）解：①当时，， ， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：景观射灯与间的水平距离为． ②设降低水管后，水柱所在的抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴． 当时，， ∴， 答：水管要下降． 【题型16 二次函数中的存在性问题】 【例16】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上， ，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【变式16-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在．当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了二次函数与平行四边形的存在性问题，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形的性质等知识点． （1）运用待定系数法即可求解； （2）设点，求出直线的函数表达式为，由平行四边形可得，用代数式表示，再由建立一元二次方程求解． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：存在．设点， ， ， 设直线， ∴ 解得： ∴直线的函数表达式为， 轴，如答案图所示， ， ， ∴要使以为顶点的四边形是平行四边形，只需使即可， 当点M在第一、二，三象限时，， 解得：； 当时，； 当时，， ； 当点M在第四象限时，，此时m无实数解． 综上所述，当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 【变式16-2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)有最大值，此时； (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解； （）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设解析式为且过，， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴， ∴设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由， 如图， ∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴或； 当时， ∴， 解得， ∴； 综上：点的坐标为或或或． 【变式16-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型17 反比例函数中的动点问题】 【例17】如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点C的坐标，根据点D的运动路线，分析得到k的取值范围公共部分是，再对选项进行分析即可得到答案．此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：∵等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，， ∴轴，轴， ∴点C的坐标为， 当点D在线段上运动时，点D的横坐标是1，纵坐标的范围为， 此时k的取值范围为， 当点D在线段上运动时，点D的纵坐标是2，横坐标的范围为， 此时k的取值范围为， ∴k的取值范围公共部分是， ∴点B是线段和的公共端点，点C是线段的端点， ∴和只会被经过一次， ∵，6不在在内， ∴图象L不可能经过两次， ∵，4在内，且不是线段和的端点， ∴图象L经过两次的是， 故选：C 【变式17-1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图1，在菱形中，为边上一动点，于点，设．当点从点运动到点时，关于的函数图象如图2所示，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 连接交于点O，过点C作于点G，连接，根据菱形的性质以及，可得到为定值，从而得到y关于x的函数是反比例函数关系，结合图2可得，，然后在中，利用勾股定理可得，从而得到，进而得到关于的函数图象过点，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点C作于点G，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为定值， ∴y关于x的函数是反比例函数关系， 根据题意得：当时，点E与点A重合，此时点F与点G重合， 当时，点E与点B重合，点F与点O重合， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴关于的函数图象过点， 设关于的函数表达式为， 把点代入得：， ∴关于的函数表达式为． 故答案为：． 【变式17-2】如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数的综合应用，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，作轴于，轴于，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设点坐标为），得出，，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定函数解析式． 【详解】解：如图，连接，作轴于，轴于， ∵点、点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 设点坐标为，则，， ∴点坐标为， ∵， ∴点在反比例函数（）图象上． 故答案为：（）． 【变式17-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点分别在轴、轴的正半轴上两点从点处同时出发，分别沿着和的方向运动个单位长度，运动到两点处同时停止运动，连接．其中均为常数且。 (1)求证：在运动过程中线段经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 (2)如图2，点与点关于原点对称．过点作双曲线为常数，与交于点，作直线＇与轴、轴分别交于两点，连接。 ①求证： ②若四边形是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； (3)当时，在（2）中②的条件下，延长交双曲线于，将直线沿轴向下平移经过点得到直线．结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析， (2)①见解析；② (3)当时，；当时， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与不等式的关系，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握并能够灵活运用相关知识，应用方程思想和分类讨论思想是解题关键． （1）运用待定系数法得出直线的解析式，得出点M的坐标即可； （2）①根据中心对称得出点的坐标，再求得点D的坐标，运用待定系数法可得直线的解析式； ②由平行四边形性质可得，即，建立方程求解即可； （3）先求得点G的坐标，再求得直线平移后的直线解析式，联立方程求得两个交点的横坐标即可求得答案． 【详解】（1）证明：由题意得：， 设直线的解析式为，则 解得：，则直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为，即线段经过一定点； （2）①证明：由（1）知：， ∵点与点关于原点对称． ∴， ∵双曲线为常数，经过点， ∴, ∵双曲线与交于点， ∴， 设直线的解析式为，则。 解得：，则直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 轴， 轴， ； ②解：四边形是平行四边形， ，即， 即； （3）解：由（2）②知，轴，， ∵将直线沿轴向下平移经过点得到直线， ∴，把的坐标代入得：， 解得：， 联立得：， 解得：， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【题型18 反比例函数中的存在性问题】 【例18】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (3)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形性质，利用函数图象解不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键． （1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （2）先联立直线和双曲线求得点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为，根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标． 【详解】（1）如图，连接，交x轴于点E，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入直线可得， 解得， 将代入反比例函数可得， 解得：； ∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2）联立， 解得：，， ∴， 由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为或； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 设P点坐标为， 则， ∴， ∵， 当P在A的左侧时，， ∴， ∴， 当P在A的右侧时，， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【变式18-1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 【变式18-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 【变式18-3】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的面积为； (3)，此时的周长最小为． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质． （）先求出，然后通过待定系数法即可求解； （）求出，过作轴于点，过作轴于点，由，然后求出即可； （）求出，如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，则有，根据两点之间线段最短可知即为所求，直线解析式为，当时，，从而得出，最后通过距离公式即可求出周长的最小值． 【详解】（1）解：∵直线图象上点的横坐标为， ∴， ∵点在双曲线图象上， ∴； （2）解：由（）得， ∴反比例解析式为， ∵双曲线上一点纵坐标为， ∴， 如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴， 如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点， ∴，， ∴根据两点之间线段最短可知即为所求， ∵， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 此时的周长最小为． 【题型19 反比例函数中的定值、最值问题】 【例19】如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由正方形的边长是3，得到点的横坐标和点的纵坐标为3，求得，，，根据三角形的面积列方程得到，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】正方形的边长是3， 点的横坐标和点的纵坐标为3， ，，， ，， 的面积为， ， 或（舍去）， ，， 作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值， ， ，， ， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【变式19-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论； ②当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形； ③任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值； ④过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值． 【详解】①如图，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点在函数图像上，点在函数图像上， 设，则， ∴， 又∵点的坐标是， 在中，， 当时，，， 此时，， ∴四边形可能是菱形， ∴①符合题意； ②由①得，当时，，， ∴， 此时， ∵点的坐标是， ∴轴， ∴， 由①知，四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形，但， ∴四边形不为正方形， ∴②不符合题意； ③由①得，当点的横坐标为时，，， ∴四边形的周长为：， 当点的横坐标为时，，则， ∴，， ∴四边形的周长为：， ∴四边形的周长不为定值， ∴③不符合题意； ④如图，过点作轴于点， 又∵， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形的面积为定值， ∴④符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟知反比例函数图像_上点的坐标特征． 【变式19-2】（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数 图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线 与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②是定值， 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）设 ，得到即可得到； （2）①根据题意得到，求出，得到，即可得到结论； ②是定值，由题得，继而得到，即，由（1）知，得到． 【详解】（1）解：设 ． 轴， ． ， ， ． ， ． （2）①证明：设 ． 点在直线上， ． ． 当时，， ． ． ． ． ②解：是定值． 设 ． 轴， ∴在中，， ，， ， ． ∴． 由（1）知， ． 【变式19-3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为． 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， ∵点B坐标为， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【题型20 反比例函数中的几何变换问题】 【例20】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(1，1)、B(3，1)．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分析图形可得，当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值，设PB＝a，则Q（k，1+a），根据四边形APQM是矩形，可得M（1，1+a），而M在y＝上，可得1+a＝k，根据AP＝MQ，可得2﹣a＝k﹣1，进而求出k的值，即可判断． 【详解】解：分析图形可知： 当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值， ∵P在y＝上且yP＝1， ∴P（k，1）， 设PB＝a，则Q（k，1+a）， ∵四边形APQM是矩形， ∴M（1，1+a）， 而M在y＝上， ∴1+a＝k， ∵AP＝MQ， ∴2﹣a＝k﹣1， 由， 解得， ∴0＜k≤2， ∴k＝不符合条件． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的结合，矩形的性质，解决本题的关键是正确理解题意，能够判断出当反比例函数图像和矩形在公共点M处时k取最大值． 【变式20-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在以为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴和轴的正半轴上，将反比例函数的图像向下平移个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点，且图像与边交于点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质． 设，，则对角线交点的坐标为，反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为，分别将，点的坐标代入上面解析式，即可求出，的代数式，再将的坐标代入即可求出点的横坐标，最后代入即可得出答案． 【详解】解：设，， 则对角线交点的坐标为， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， ∴， 解得：， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 设， 则， ， ， ． 故答案为： 【变式20-2】（2025·湖北武汉·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点（点位于第三象限），且一次函数与轴、轴分别交于点． (1)当时，求线段的长； (2)将双曲线沿直线进行翻折，翻折后的图形与轴和轴分别相交于两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，两点间距离公式，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出点坐标，然后求出一次函数图象与反比例函数图象的交点，再由两点间距离公式即可求解； （2）先确定是等腰直角三角形，设点Q的对应点为点，连接，由翻折得：，，可得，则，代入得，求出，则同理可得：，由建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为， 当时，， ， 联立方程组， 解得或， ， ； （2）解：如图，一次函数， 当； 当， 解得：， ∴， ∵， ∴， 设点Q的对应点为点，连接， 由翻折得：，， ∴， ∴， ∴， 代入得， ∴， ∴ 同理可得：， ∴， ∴， 解得：． 【变式20-3】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如图2，将直线向上平移，过y轴上的点G且经过反比例函数图象上的点，，过点E作轴于点M，连接，动点N为y轴上一点，若，请求出所有满足条件的N点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)点坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）求出B、C的坐标，根据列式求解即可； （3）求出，，则可得到直线的解析式为，进而可得，，证明，得到，则；连接，可证明，得到，则，故点即为点N的一个位置，在轴上取点满足，则此时，则满足题意． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 当时，， ， 将代入中，解得， ∴反比例函数的表达式为 （2）解：在中，当时，，当时，， ，， ∴； （3）解：在中，当时，， ， 当时，， ， 设直线为，将代入中，得， 直线的解析式为， 在中，当，， ∵轴， ， ∴， ∴， 又∵， ， 连接， ∵， ∴， ， ， 点即为点N的一个位置， 在轴上取点满足， 则此时， ∴满足题意， 综上，点坐标为或． 【题型21 反比例函数与其它知识的交互问题】 【例21】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 【变式21-1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过的中点和的中点，已知，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题是对反比例函数的综合考查，包括待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程，作出辅助线，表示出点C、D的坐标是解题的关键． 过点作于点，根据等边三角形的性质求出的长度，从而得到点的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式；再过点D作F于点，设，，根据等边三角形的性质表示出的长度，然后表示出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到的值，进而得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵点是等边的边的中点， ，， ，， ∴点C的坐标是 由 得：   ∴该双曲线所表示的函数解析式为 过点作于点，设，则， ∴点的坐标为 ∵点D是双曲线上的点， 由 ，得 即：   解得： ， (舍去)， ， ∵， ∴， ∴ ∴点的坐标为． 故答案为． 【变式21-2】（2025·广东深圳·三模）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，根据菱形的性质，得到为等边三角形，均为含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，旋转求出的长，得到为含30度角的直角三角形，求出的长，再利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，如图： ∵菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∵反比例函数经过其对角线的交点M，， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵将线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：12． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 【变式21-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)①4；②1，3 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数的图象和性质，求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）①利用待定系数法进行求解即可； ②过点D作轴于点M，根据条件证明，得出，然后利用点坐标列出方程组进行求解即可； （2）过点C作轴于点N，同（1）证明，得出对应边相等，然后列出，求解即可； （3）过点E作轴于点H，得出是等腰直角三角形，设，得出，得出即可求解． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ∴； 即的值为4； ②如图，过点D作轴于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴m，n的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点C作轴于点N， 同（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∵， ∴， 即当时，； （3）解：如图，过点E作轴于点H， 由（2）得，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵点G是的中点， ∴； ∵， ∴， ∵点在上， ∴， 整理得，， 故答案为：6． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$