6.4.3.1余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦余弦定理及推论，以1752年拉朗德与拉卡伊测量月亮距离的历史案例和石家庄电视塔高度、千岛湖两岛距离等现实问题导入，搭建“实际问题—解斜三角形—余弦定理”的学习支架，衔接知识脉络。 其亮点在于融合数学史与现实情境，通过向量法证明培养推理能力，例题涵盖已知两边夹角求边、三边求角、判断三角形形状等类型。结合数学眼光观察现实、数学思维推理证明、数学语言表达应用，学生能理解数学价值，教师可提升教学效率与学生参与度。

1752年，20岁的拉朗德来到柏林（地理位置：东经13.40°，北纬52.52°），当时，他的老师拉卡伊正在非洲南端的好望角（地理位置：东经18.47°，南纬34.36°）。这两个地方经度相差5°，纬度相差86.88°。他们同时在这两个地方进行观测，首次用三角法来精确测定月亮的距离。 石家庄电视塔 如何测量不能到达底部的建筑物的高度？ 千岛湖 如何测量两岛间距离？ 解斜三角形 余弦定理 正弦定理 自主研读：P42~P43，记录疑问 小组交流 问题1：利用向量证明余弦定理过程中，是如何出现角的余弦的？ 向量运算中出现角的方法：构造出数量积！ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2＝ b2＝ c2＝ b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 余弦定理 cos A＝ cos B＝ cos C＝ 推 论 已知三边求角 问题2：余弦定理及推论有何特点、作用？ 已知两边及夹角，求第三边 三角形的三条边与其中的一个角之间的关系 例1.(1)(教材P43例5改编)在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝ ，c＝ ，B＝30°，求a的值. 解：（1）由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A （2）由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， (3)在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________. 解：由余弦定理得 49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°， 整理得AC2＋5AC－24＝0， 解得AC＝3或AC＝－8(舍去). 例2.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小. 解：∵a>c>b，∴A为最大角. 由余弦定理的推论，得 又∵0°<A<180°，∴A＝120°， ∴最大角A为120°. 例3：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若(a＋c－b)(a＋c＋b)＝ac，则B的大小为 ∵(a＋c－b)(a＋c＋b)＝(a＋c)2－b2＝a2＋c2－b2＋2ac＝ac ∴a2＋c2－b2＝－ac， 例4：已知钝角三角形三边分别是k，k+2，k+4.则实数k的取值范围是____________ 判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2； 1.知识清单： (1)余弦定理及推论. (2)余弦定理解决的几类问题. 2.方法归纳：化归转化、数形结合. 3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件. 课堂检测 课本：P44 练习 1，2，3 作业 大本同步：P38 4 P39 典例1 6．4.3 余弦定理 ＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3， 所以a＝. 得()2＝a2＋()2－2a××cos 30°， 即a2－3a＋10＝0，解得a＝或a＝2. cos A＝＝＝－. A. B. C. D. 则cos B＝＝－. 又B∈(0，π)，∴B＝. 课堂归纳小结 $