精品解析：河南省濮阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测（10月）数学试题

濮阳市一高2024级高二上学期第一次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，解得或， 当，则，，满足，符合题意； 当，则，，两直线重合，不符合题意； 综上所述：等价于. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 2. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 3. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 4. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案. 【详解】, 可以看作点到点的距离之和， 作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值， 最小值为间的距离. 故选：D. 5. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解 【详解】设正方体内切球的球心为，则, , 因为MN是正方体内切球的一条直径， 所以，， 所以， 又点Р在正方体表面上运动， 所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为； 所以， 所以的取值范围为， 故选：B 6. 已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 7. 在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。 【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 8. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若，，三点不共线，平面外任一点，有，则，，，四点共面 B. 有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与共面定理可判断A，利用空间向量的坐标判断两法向量平行与否，从而判断B，利用向量共线与数量积的坐标表示可判断C，利用方向向量与法向量的关系求得线面角，从而判断D. 【详解】对A，由可得，， 即，所以，，，四点共面，A正确； 对B，由题，，所以，不共线， 故与不平行，B错误； 对C，当，共线时，则，且，解得， 若为钝角，则，解得且，C错误； 对D，由，所以与所成角为，D正确； 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，截距相等的直线可用方程，当截距是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为； 当时，方程可整理为；故D正确. 故选：BD. 11. 如图，直三棱柱所有棱长均为，，，，分别在棱，上，（不与端点重合）且，，分别为，中点，则（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形 C. 在内部（含边界），，则到棱距离的最小值为 D. 若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直三棱柱性质以及线面平行判定定理可判断A正确，易知当分别为棱，的中点时截面为为矩形，即B错误；易知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内的部分，可判断C正确，作出点关于平面和的对称点，再利用余弦定理可得D正确. 【详解】对于A，如下图所示： 由可得，由三棱柱性质可得，因此可得， 因为平面，平面， 所以平面，即可知A正确； 对于B，由可知，结合A选项可知， 当分别为棱，的中点时，满足，如下图所示： 结合直棱柱性质可知，此时过，，三点的平面截三棱柱所得截面为，为矩形；即B错误； 对于C，易知，又， 所以在直角三角形中，，可得； 因此可得的轨迹是以为圆心，为半径的圆在内的部分，即圆弧；如下图所示： 又是边长为4的正三角形，取为的中点，所以到的距离为， 因此可得当为圆弧的中点时，到棱距离的最小值为，即C正确； 对于D，取点关于平面和的对称点分别为， 连接与平面和的交点分别为，时，周长的最小，如下图所示： 易知，， 由余弦定理可得， 因此周长的最小值为，即D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_______________ 【答案】或. 【解析】 【分析】 分截距为0以及截距不为0两种情况分别求解即可. 【详解】当截距为0时,满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为,则,故,化简得. 当截距不为0时,设直线方程为,则.故,化简可得. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了根据直线的截距关系式求解直线方程的问题,需要注意分截距为0与不为0两种情况进行求解.属于基础题. 13. 已知平面向量，，若向量在向量方向上的投影向量的模为，则_____. 【答案】5或 【解析】 【分析】根据向量线性运算求出的坐标，再根据投影向量的概念即可求出答案. 【详解】由题意可得， 故向量在向量上的投影向量的模长为， 由题意可得，解得或. 故答案为：5或. 14. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ____________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点F轨迹为（除外），并得到为二面角的平面角，则，结合菱形性质求出的三边长，得到轨迹长度. 【详解】取的中点，连接， 因为菱形的边长为2，， 所以，均为等边三角形， 故⊥，⊥，且， 为二面角的平面角，则， 故为等边三角形，， 又，平面， 所以⊥平面， 又E为的中点，取的中点，的中点， 连接，则，且， 因为平面，平面，所以平面， 同理得平面， 因为，平面， 故平面平面， 所以⊥平面， 故点F轨迹为（除外）， 故点F轨迹的长度为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二面角的定义证明出⊥平面和平面平面，从而有⊥平面，则其轨迹为（除外），再计算周长即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）若()∥()，求x，y的值； （2）若，且，求x的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【小问1详解】 ∵，， ∴，. 又()∥()， ∴，解得，. 【小问2详解】 由，得， ∴，∴，即，∴，解得. 16. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， ∵为的中点，∴且， 又，，则且， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）取的中点为，以为原点建系，求出平面的法向量，再根据向量夹角与线面角的关系即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，连接，因，则， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又面，则， 又，，，则，故，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为4的等边三角形，得， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即平面的一个法向量为； ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知直线的方程为：． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1） 直线的方程为： 提参整理可得：． 令，可得， 不论为何值，直线必过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点； （2）先令令，再表达出三角形面积，最后利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线的方程为． 令 则， 令．则， 直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积． 当且仅当，即时，三角形面积最小． 此时的方程为． 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【解析】 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 19. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，点在上，且，点是线段上的动点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量即可得到答案； （2）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到其表达式，结合换元法和基本不等式即可求出最值. 【小问1详解】 设.建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，， ， 异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设，，，， 当时，平面与平面重合， 当时，设平面的法向量为，则，令，则， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则可求得平面的一个法向量为， ， 令，则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 此时， 所以平面与平面夹角的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市一高2024级高二上学期第一次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 4. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（ ）． A. 3 B. C. D. 5. 已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 8. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若，，三点不共线，平面外任一点，有，则，，，四点共面 B. 有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程能表示平行轴的直线 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点的直线方程 11. 如图，直三棱柱所有棱长均为，，，，分别在棱，上，（不与端点重合）且，，分别为，中点，则（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形 C. 在内部（含边界），，则到棱距离的最小值为 D. 若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_______________ 13. 已知平面向量，，若向量在向量方向上的投影向量的模为，则_____. 14. 已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）若()∥()，求x，y的值； （2）若，且，求x的值. 16. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知直线的方程为：． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，点在上，且，点是线段上的动点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $