6.2.4向量的数量积（1）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦向量的数量积，从类比数的运算引入，结合物理功公式建立直观认知，衔接向量线性运算基础，通过问题链搭建“概念引入-定义剖析-性质应用”的学习支架。 其亮点在于以问题驱动贯穿教学，通过向量夹角辨析、投影向量推导等环节培养数学思维，结合等边三角形数量积计算等实例强化应用。注重数学语言严谨性，助力学生发展抽象能力与逻辑推理，教师可直接用于课堂教学提升效率。

6.2.4 前面我们学习了向量的加、减、数乘等线性运算，类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘呢？如果能，那么向量的乘法该如何定义？ 回顾物理功的概念 θ S F W=|F||S|cosθ 这是一个标量（实数） 其中的是向量与向量的夹角 对研究向量简洁有什么启示？ 自主研读：P17~P19，完成同步知识梳理，记录疑问 向量的夹角： 已知两个非零向量，， 如图，是平面上的任意一点，作 ， ,则叫做向量与的夹角. 夹角：向量共首！！！ 问题1：向量夹角是怎样定义的？范围是？ 问：如图，向量 c、d 的夹角是否为？若不是，又是什么？ 夹角为: 向量的夹角： 已知两个非零向量，， 如图，是平面上的任意一点，作 ， ,则叫做向量与的夹角. 夹角：向量共首！！！ 问题1：向量夹角是怎样定义的？范围是？ 特殊情况 与同向 与垂直，记作 与反向 注意：1.向量的夹角可表示为<>； 2.向量夹角范围是. 问题2：数量积如何定义的？数量积的结果是什么量？ 已知两个非零向量与， 它们的夹角为θ， 数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即 ①数量积的结果为数量. ②零向量与任一向量的数量积为数 0. ③仅与向量的模及其夹角有关. 用途：1. 求数量积（如例9）；2. 求向量夹角（如例1） 问题3：两个非零向量数量积的符号由什么决定？ 仅由的正负决定 当= 0°时， cos ＝1，| ； 当为锐角时， ； 当为直角时， ； 当为钝角时， ； 当= 180°时， cos ＝－1， 【思考】 同向时，夹角为 0 “· ＞0”是“与夹角为锐角”的_______________条件 “· ＜0”是“与夹角为钝角”的______________条件 “· ＝0”是“ ”的_______________条件． 必要不充分条件 必要不充分条件 必要不充分条件 反向量，夹角为 π = 或 当与是非零向量时，“· ＝0”是“ ”的 _______________条件． 充要条件 问题4：试分析投影、投影向量 D A B C A1 B1 为向量在向量上的投影向量 O N M M1 O N M M1 θ O N M M1 θ M O N M1 θ =(| |cosθ) = =(| |cos) =-| |cos(π-θ) =(| |cos θ) 任意θ∈[0,π]，有=(| |cosθ) . 为向量在向量上的投影向量 为向量方向的单位向量 向量在向量上的投影向量 任意θ∈[0,π]，有=(| |cosθ) . 问题5：数量积有哪些性质？ 设与都是非零向量，θ为与的夹角. (1)垂直的条件： ⊥ ⇔ · =0. (2)当与同向时， · =| || |； 当与反向时， · = - | || |. (3)模长公式： · =| |2或| |= (4)夹角公式：cos θ=.  (5)| · |≤| || |. 要点概括整合 向量的数量积 向量数量积的定义 投影向量的概念 向量数量积的性质 1. 如图，等边三角形ABC中，边长为2，求： （1） 与 的数量积； 解答： （1） （2） A B C （2） 与 的数量积； 课堂检测 课堂检测 作业 课本P20 1，2，3 向量的数量积（1） 课堂归纳小结 2. 已知 ，则 与 的夹角为_______ $