2.1认识实数学案讲义 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

本讲义聚焦实数概念及运算核心知识点，从有理数扩展到无理数，系统梳理相反数、绝对值、倒数等基础概念，再到无理数定义、实数与数轴对应关系、大小比较方法及列代数式，构建从概念到应用的完整学习支架。 通过数轴表示、正方形面积等几何直观培养抽象能力与空间观念，借助作差法比较大小、分类讨论提升推理意识与运算能力。题目结合蚂蚁爬行、图形拼接等实际情境，课中辅助分层教学，课后解析详尽助力查漏补缺，落实数学眼光、思维与语言的核心素养。

认识实数学案讲义 考点卡片 1．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 2．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）-a（a＜0） 3．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地就说a的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 4．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： ①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如而无理数只能写成无限不循环小数，比如 ②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如3，35等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π. 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数． 5．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x=±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 6．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 7．实数大小比较 实数大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 8．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 课堂巩固练习 一．选择题（共5小题） 1．在4，−2，3.14，3−27，这6个数中，无理数共有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是2和-1，则点C所对应的实数是（ ） A． B． C． D． 3．如图，点A，B为数轴上的两个点，分别表示的数为−5和0.5，则数轴上在点A，B之间表示整数的点有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 4．（如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为2，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD＝AE，则点E表示的数为（ ） A． B． C． D． 5．在1.414，π,,2−3，2.1010010001…（相邻两个1中间0的个数逐次加1）， 1.21，3−27中，无理数个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共6小题） 6．比较大小：3（填写“＜”或“＞”). 7．若一个无理数大于-3且小于1，则这个无理数是．（写出满足条件的一个即可） 8．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简：|a-1|-|b+1|=. 9．5−2的相反数是；绝对值是． 10. 已知数轴上A，B两点，且这两点间的距离为，若点A在数轴上表示的数为则点B表示的数为． 11．如图，在数轴上表示实数15的点可能是． 三．解答题（共4小题） 12．如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，这条边的另一个端点分别为数轴上的点A和点B． （1）点A表示的数为，点B表示的数为，线段AB的长度为； （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c． ①实数c的值为； ②若x是c的相反数，y2＝2，求x+y的值． 13．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： ∵19＞16，∴19＞4，∴19−4＞0， 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： （1）1−5和1−3； （2）和 14．数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为dm； （2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为，； （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为； 若a=一一求代数式|a+2|+|b|的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上表示对应的点．（保留作图痕迹） 15．（1）如果a，b互为相反数（a，b均不为0），c，d互为倒数，|m|＝2，求一的值． （2）若实数a，b满足|a|＝4，|b|＝6，且a-b＜0，求a+b的值． 学科网（北京）股份有限公司 课堂巩固练习 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 C D B B B 一．选择题（共5小题） 1．在4，3.14，3−27，这6个数中，无理数共有（ ） A．4个B．3个C．2个D．1个 【答案】C 【分析】无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数，如3，39等；②圆周率π;③构造的无限不循环小数，如2.01001000100001⋯（0的个数一次多一个）．根据无理数的定义进行求解即可． 解 ∴无理数有−2，，共2个，故选：C． 2．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是2和-1，则点C所对应的实数是（ ） A．1+2B．2+2C．D．【考点】实数与数轴． 【答案】D 【分析】根据两点关于中点对称，可得线段的中点，根据线段中点的性质，可得答案．【解答】解：设C点坐标为x， 由点B与点C关于点A对称，得AC＝AB，即， 解得． 故选：D． 3．如图，点A，B为数轴上的两个点，分别表示的数为−5和0.5，则数轴上在点A，B之间表示整数的点有（ ） A．2个B．3个C．4个D．无数个 【答案】B 求出是解本题的关键．先估算出判断出A、B两点之间表示的整数的点共有多少个即可． 【解答】解：点A，B为数轴上的两个点，分别表示的数为−5和0.5， ∴在−5和0.5之间共有-2，-1，0共3个整数． 故选：B． 4．如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为2，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD＝AE，则点E表示的数为（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】先根据正方形的面积公式求出AD，从而求出AE，最后再根据数轴上两点间的距离公式求出点E表示的数即可．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为3， ∵AD＝AE， ∵点A坐标为2， ∴点E表示的数为 故选：B． 5．在1.414，π,,2−3，2.1010010001…（相邻两个1中间0的个数逐次加1）， 1.21，中，无理数个数为（ ） A．2B．3C．4D．5 【答案】B 【分析】根据无理数定义逐个判断，即可解题． 【解答】解：无理数有π,2.1010010001⋯（相邻两个1中间0的个数逐次加1），共3个，故选：B． 二．填空题（共6小题） 6．比较大小：3＞7（填写“＜”或“＞”).【考点】实数大小比较． 【答案】见试题解答内容 【分析】将3转化为9，然后比较被开方数即可得到答案． 解且9＞7， 故答案为：＞． 7．若一个无理数大于-3且小于1，则这个无理数是-2（答案不唯一）．（写出满足条件的一个即可） 【答案】为答案不唯一）． 【分析】根据无理数的定义、大小举例即可． 【解答】解：大于-3且小于1的无理数可以是-2（答案不唯一）， 故答案为答案不唯一）． 8．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简：|a-1|-|b+1|＝a+b． 【答案】a+b． 【分析】观察数轴得出a和b的取值范围，然后进行化简即可． 【解答】解：由数轴得a＞1，b＜-1， ∴a-1＞0，b+1＜0， ∴|a-1|-|b+1|＝a-1+b+1＝a+b．故答案为：a+b． 9．的相反数是2-5；绝对值是5-2． 【答案】见试题解答内容 【分析】相反数就是在所求的数前面加“-”，就是该数的相反数；绝对值的求法：非负数的绝对值是它 本身，负数的绝对值是它的相反数．由此即可求解． 解的相反数是 故答案为：2−5；5−2． 10．已知数轴上A，B两点，且这两点间的距离为，若点A在数轴上表示 的数为则点B表示的数为72或−2． 【答案】见试题解答内容 【分析】设点B表示的数为x，由A、B两点之间的距离为，根据两点间的距离公式列出方程|x- 解方程即可． 【解答】解：设点B表示的数为x，由题意，得 则或所以或 故答案为或 11．如图，在数轴上表示实数15的点可能是M． 【答案】见试题解答内容 先对进行估算，再确定15是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题． 【解答】解：∵15≈3.87，, ∴15对应的点是M． 故答案为M． 三．解答题（共4小题） 12．如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，这条边的另一个端点分别为数轴上的点A和点B． （1）点A表示的数为点B表示的数为3，线段AB的长度为3+2； （2）一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c． ①实数c的值为； ②若x是c的相反数，y2＝2，求x+y的值． 【答案】（1）-2，3，3+2； （2） ②22-2或-2． 【分析】（1）先根据题意求出正方形的边长OA和OB，然后根据两点间的距离公式求出点A和点B表示的数即可； （2）①根据两点间的距离公式求出c即可； ②先求出x，再根据平方根的定义求出y，最后代入x+y求出答案即可．【解答】解：（1）由题意可知 ∴点A表示的数是-2，点B表示的数是3，∴AB=I3-(-2)I=I3+2I=3+2，故答案为：-2，3，3+2； （2）①由题意可知：AC＝2， 是c的相反数， ∵y2＝2， 当y=2时， ∴ x+y的值为22−2或-2． 13．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： （1）和 （2）和 （2） 【分析】（1）先求出然后根据即可得出答案； （2）先求出然后根据即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可知， （2）根据题意可知， 14．数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题 （1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为2dm； （2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为，； （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为5； 若求代数式|a+2|+|b|的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上表示对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）1-2，1+2； （3） （4），在数轴表示详见解答． 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据正方形的对角线的长为，再根据数轴表示数的方法进行计算即可； （3）面积为5的正方形的边长为5即可； （4）化简|a+2|+|b|代入计算结果为，再在数轴上表示即可． 【解答】解：（1）边长为1dm的小正方形的对角线长为故答案为： （2）由题意得，点A所表示的数为点B所表示的数为故答案为 （3）由题意可知，正方形的面积为5，因此边长为5，故答案为： （4） 在数轴表示如图所示： 15．（1）如果a，b互为相反数（a，b均不为0），c，d互为倒数，|m|＝2，求的值． （2）若实数a，b满足|a|＝4，|b|＝6，且a-b＜0，求a+b的值． 【答案】（1）-3或1； （2）10或2． 【分析】（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值； （2）根据已知可得a和b的值，分情况讨论可得a+b的值． 【解答】解：（1）由题意得即m=±2，当m＝2时， 原式当m＝-2时， 原式 （2）∵ |a|＝4，|b|＝6，∴a=±4，b=±6， ∵a-b＜0， ∴a＝4，b＝6或a＝-4，b＝6，当a＝4，b＝6时，a+b＝4+6＝10； 当a＝-4，b＝6时，a+b＝-4+6＝2；综上所述，a+b的值是10或2． 学科网（北京）股份有限公司 $