精品解析：福建省莆田锦江中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

莆田锦江中学2025-2026学年上学期第一次月考 高三数学 一､单项选择题（木题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 7. 已知在上连续可导，为其导函数，且，则（ ） A. 2e B. C. 3 D. 8. 已知定义在R上的偶函数满足下列两个条件：①当时，；②当时，．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分､在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分，） 9. 在下列函数中，最小值是2的函数有（　　） A. B. C. D. 10. 已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. C. D. 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 既有极大值又有极小值 C. 若方程有4个根，则 D. 若，则 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为______. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间、最值． （3）设在上有两个零点，求的范围. 16. 药物临床试验是确认新药有效性和安全性必不可少的步骤，为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示： 2 3 4 5 6 55 20 6 3 1 若采用一元线性回归模型，已知一个经验回归方程为①；若采用一元非线性回归模型，可求得经验回归方程②. （1）求； （2）①与②哪个更适合作为关于的经验回归方程？请比较其决定系数的大小，并说明理由. 附：（i）参考数据：；在经验回归方程②中，； （ii）对于一组数据，决定系数. 17. 随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 女 50 合计 120 （1）完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联； （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 18. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 19. 已知定义在上的函数和，和分别为其导函数．若对任意，恒成立，则称为的“倍导函数”． （1）判断函数是否是的“2倍导函数”； （2）若函数是的“倍导函数”，求的取值范围； （3）已知函数，是偶函数，．若是的“1倍导函数”，证明：“”的充要条件是“是上的常值函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田锦江中学2025-2026学年上学期第一次月考 高三数学 一､单项选择题（木题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出对数型复合函数的定义域，化简集合B，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】由有意义，得，解得或， 则或，，而， 所以. 故选：A 2. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分及进行讨论从而去掉绝对值，当时可借助函数图象得解；当时可结合函数单调性得解. 【详解】当时，， 令，即，即， 画出与图象如下图所示： 故在时的解集为； 当时，， 由与均在上单调递增， 则在上单调递增， 又，故当时，； 综上所述：不等式的解集是. 故选：A. 3. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 4. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性得到内函数在区间上单调递减，且，进而求出a的范围. 【详解】函数是上的减函数， 欲使函数在区间上单调递增， 应有在区间上单调递减，且， 于是应有，即，解得. 故选：D. 5. 已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对任意满足得出的对称轴为直线，结合函数在上单调递减得出在上单调递增，根据对称性及单调性求解不等式即可． 【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线， 又函数在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：B． 6. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 7. 已知在上连续可导，为其导函数，且，则（ ） A. 2e B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，得出，求出，进而可求出结果. 【详解】由题意，，所以， 因此，所以， 故. 故选：B 【点睛】本题主要考查由导数的方法求参数，以及求函数值的问题，熟记导数的计算公式即可，属于基础题型. 8. 已知定义在R上的偶函数满足下列两个条件：①当时，；②当时，．若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求出函数在，，上的解析式，并作出函数在上图象，利用函数为偶函数，作出对应区间上的图象，结合图象即可求解. 【详解】因为时，； 又当时，，则 所以当时，； 当时，； 当时，； 作出函数在上图象，利用函数为偶函数，作出对应区间上的图象，如下所示： 要使函数有且仅有2个零点，也即函数与有两个不同的交点，结合图象可知：或， 所以实数的取值范围是， 故选：. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分､在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分，） 9. 在下列函数中，最小值是2的函数有（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A先由基本不等式可得，再判断当x＝1或时，等号成立，最后判断选项A正确；选项B先由基本不等式可得，再判断当时，等号成立，但，最后判断选项B不正确；选项C先由基本不等式可得，再判断当时，等号成立，显然不可能取到，最后判断选项C不正确；选项D先由基本不等式可得，再判断当x＝log32时，等号成立，最后判断选项D正确． 【详解】对于选项A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得，当且仅当，即x＝1或时，等号成立，故选项A正确； 对于选项B：∵，∴0＜＜1，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但是取不到1，所以等号不能成立，故选项B不正确； 对于选项C：由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确； 对于选项D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得，当且仅当，即x＝log32时，等号成立，故选项D正确． 故选：AD． 【点睛】本题考查基本不等式，是基础题. 10. 已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义推导出，进一步可推导出，结合函数周期性的定义可判断A选项；利用函数解析式以及函数周期性可判断BCD选项. 【详解】因为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以， 所以，所以的周期为，故A错误； 又当时，， 所以，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 既有极大值又有极小值 C. 若方程有4个根，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，可判定A正确；求得，得到函数的单调区间，结合极值点的概念，可判定B错误； 作出函数的图象，转化为和的图象有4个交点，可判定C正确；由函数的图象，得到的取值范围，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，由函数，可得其定义域为， 且， 当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值，所以B错误； 对于C中，由B项知，函数的最小值为， 当时，；当时，， 把的图象关于轴对称翻折到的左侧，即可得到的图象，如图所示， 方程有4个根等价于函数和的图象有4个交点， 可得，即实数的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由， 若，由图象可知，，或， 所以，所以D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】求使式子有意义的实数的集合即可. 【详解】要使函数解析式有意义， 则有，即， 解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，.函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件先得出函数的周期性与对称性，函数的对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 所以， 所以，即函数是以为周期的函数， 当时，，所以函数的图象是以为圆心，为半径的圆的一部分， 由函数的图象可知函数关于直线对称， 因为， 所以函数关于直线对称， 因为，，， 所以函数与函数在有一个交点， 因为，，，，， 所以函数与函数在上有两个交点， 当时，，，此时函数与函数无交点， 因为，所以时，函数与函数无交点， 综上，当时，函数与函数有三个交点， 根据对称性可知，函数与函数的交点关于直线对称， 作出函数与函数的图象如下图所示： 所以函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间、最值． （3）设在上有两个零点，求的范围. 【答案】（1）； （2）单调增区间为，单调减区间为；最大值为，最小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）由求出增区间，由求出减区间，再根据单调性求出最值即可； （3）根据函数的性质结合条件即可求出的范围. 【小问1详解】 由题意知，，，所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由得，当时，，所以函数在上的单调递增；当时，，所以函数在上的单调递减. 所以函数在上的单调增区间为，单调减区间为. 所以，又，， 所以. 【小问3详解】 在上有两个零点，即有两个不等根， 由（2）知. 16. 药物临床试验是确认新药有效性和安全性必不可少的步骤，为探究某药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度与代谢时间的相关数据，如下表所示： 2 3 4 5 6 55 20 6 3 1 若采用一元线性回归模型，已知一个经验回归方程为①；若采用一元非线性回归模型，可求得经验回归方程②. （1）求； （2）①与②哪个更适合作为关于的经验回归方程？请比较其决定系数的大小，并说明理由. 附：（i）参考数据：；在经验回归方程②中，； （ii）对于一组数据，决定系数. 【答案】（1）65 （2）②更适合作为关于的经验回归方程，理由如下： 在方程①中，经验回归方程为， 则， 所以， 在方程②中，， 决定系数， ①的决定系数小于②的决定系数， ②更适合作为关于的经验回归方程. 【解析】 【分析】（1）先求出，，再根据求解即可； （2）根据公式分别计算出两个方程的，进而结合决定系数公式判断即可. 【小问1详解】 由题意，，， 则. 【小问2详解】 略 17. 随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 女 50 合计 120 （1）完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联； （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表为： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 70 30 100 女 50 50 100 合计 120 80 200 有关联 （2）的分布列为： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意完成表格，然后利用公式计算的值进行分析即可； （2）根据题意先利用分层抽样的方法抽取男、女生人数，找出随机变量的值，计算出各值对应的概率，计算出数学期望值即可. 【小问1详解】 列联表为： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 70 30 100 女 50 50 100 合计 120 80 200 零假设为：是否经常借助AI技术与性别无关联． 根据表中数据，得: ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常借助AI技术与性别有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.005． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样， 男性抽取人数为，女性抽取人数为， 所以随机变量的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 18. 如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面ABCD的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 在直四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形， 得，由是棱的中点，得， 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，则，又平面， 所以平面. （2）； （3）3. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，再利用空间向量求出面面角的余弦值.. （3）利用空间向量的距离公式，结合锥体体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量为，而平面的一个法向量为， 因此， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知平面的法向量为，而点，则， 点到平面的距离为，又， 则点到直线距离， 因此的面积， 所以三棱锥的体积. 19. 已知定义在上的函数和，和分别为其导函数．若对任意，恒成立，则称为的“倍导函数”． （1）判断函数是否是的“2倍导函数”； （2）若函数是的“倍导函数”，求的取值范围； （3）已知函数，是偶函数，．若是的“1倍导函数”，证明：“”的充要条件是“是上的常值函数”． 【答案】（1）是的“2倍导函数”，理由如下： ，， 因为对,都有，所以， 故，是的“2倍导函数”； （2）； （3）证明： 证明充分性： 若为R上的常值函数，则存在常数，，， 由，故为偶函数， 由，得， 又为偶函数，故， 即，所以在R上恒成立， 故； 再证明必要性： 若，则，所以， 即为偶函数， 因为是的“1倍导函数”，所以， 因为，所以， 所以，即，， 所以， 综上，，故，恒成立， 所以为常值函数； 综上，“”的充要条件是“是上的常值函数. 【解析】 【分析】（1）函数求导后利用余弦函数的有界性推出，即得是的“2倍导函数”； （2）参变分离得到在上恒成立，令，故只需，求导，得到，从而得到结论； （3）先证明充分性，若为R上的常值函数，易得为偶函数，故，从而得到方程，求出；再证明必要性，先得到为偶函数，由题意得，因为，求导可得，，故恒成立，所以为常函数，从而得到结论. 【小问1详解】 是的“2倍导函数”，理由略； 【小问2详解】 ，， 因为函数是的“倍导函数”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，故只需， 其中 ， 因为，， 所以令，解得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，的取值范围是； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $