3.2.2 奇偶性【七大考点+九大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

3.2.2 奇偶性 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　函数奇偶性的定义 前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 知识点二　用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点三　奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 【例题详解】 题型一、判断函数的奇偶性 【例1】．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【跟踪训练2】．（25-26高一上·全国）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 题型二、由奇偶性求解析式 命题角度1　求对称区间上的解析式 【例2】．（2025高三·全国·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 命题角度2　构造方程组求解析式 【例3】．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【跟踪训练1】．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 . 题型三、由奇偶性求参数 【例4】．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·开学考试）设是偶函数，且定义域为，则 ． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 题型四、由函数奇偶性解不等式 【例5】．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）已知定义域为R的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 题型五、函数奇偶性对称性的应用 【例6】．（24-25高一上·广东汕头·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为 ． 【跟踪训练1】．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，，若，且时，恒成立，则不等式的解集是 . 【跟踪训练2】．（23-24高一上·山东·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 . 题型六：抽象函数的奇偶性 【例7】．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 【跟踪训练1】．（2025高三·全国·专题练习）已知连续函数对任意实数x恒有，当时，，，则在上的最大值是 【跟踪训练2】．（23-24高一上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论： ①； ②是上的偶函数， ③若，则； ④函数在上是减函数. 其中所有正确结论的序号是 . 题型七：函数奇偶性的综合问题 【例7】．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，解不等式 【跟踪训练1】．（22-23高一下·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 3．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·北京·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025高一上·全国·专题练习）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 10．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 12．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 13．（22-23高一下·海南海口·期末）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减 C．当时， D．的值域是 14．（23-24高一上·广东江门·期中）表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．的定义域为R； B．的值域为； C．是偶函数； D．的单调增区间为. 三、填空题 15．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 17．（25-26高一上·全国·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 18．（25-26高一上·全国·课前预习）已知分别为奇函数、偶函数，且，则 ． 19．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为 ． 四、解答题 20．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 21．（22-23高一上·四川广安·期中）函数为定义在R上的奇函数，当，    (1)求出的解析式 (2)作出的草图，并根据图象指出单调区间． 22．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式；判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (2)解不等式：； (3)若任意，不等式在恒成立，求实数的取值范围. 23．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 34．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 25．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 26．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　函数奇偶性的定义 前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 知识点二　用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点三　奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 【例题详解】 题型一、判断函数的奇偶性 【例1】．（2025高一·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·全国）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，对于函数定义域不对称的即为非奇非偶函数，再结合函数奇偶性的定义逐一判断（1）（5）题即可． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 题型二、由奇偶性求解析式 命题角度1　求对称区间上的解析式 【例2】．（2025高三·全国·专题练习）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质进行求解函数的表达式即可. 【详解】当时，则，得， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 故当时，. 故答案为: 【跟踪训练1】．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 【跟踪训练2】．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 命题角度2　构造方程组求解析式 【例3】．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 【跟踪训练1】．（2025高三·全国·专题练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 【跟踪训练2】．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用函数奇偶性的定义构造方程组，求出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为函数是奇函数，函数为偶函数，且①， 所以，，即②， 联立①②得，，故. 故答案为：. 题型三、由奇偶性求参数 【例4】．（25-26高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·开学考试）设是偶函数，且定义域为，则 ． 【答案】 【分析】由偶函数的定义域是关于原点对称求出，再结合求出即可. 【详解】因为是偶函数， 所以定义域关于原点对称，即，解得， 由得， 即，所以，，所以． 故答案为：. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，则常数的值分别为 ． 【答案】0，0 【分析】由求出，利用奇函数的定义即可求出的值. 【详解】由题意知，故． 由是奇函数知， 即， ∴，∴. 故答案为：0，0. 题型四、由函数奇偶性解不等式 【例5】．（2025高一·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由已知可得在上单调递增，结合奇函数的性质可求得不等式的解集. 【详解】因为对任意的，当时，都有成立， 所以在上单调递增，当，又， 所以由，可得， 又函数是定义在上的奇函数，当时， 由，可得，又由奇函数的性质可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·贵州黔西·阶段练习）已知定义域为R的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性化简不等式，然后利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得的取值范围. 【详解】因为是定义域为上的奇函数，且对于任意， 不等式恒成立， 所以，即， 又因为，所以在上是单调递减函数， 则有恒成立，即恒成立， 令，，函数开口向上，对称轴为， 则，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型五、函数奇偶性对称性的应用 【例6】．（24-25高一上·广东汕头·期中）设是定义在上的奇函数，对任意的；，满足：，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令，由题意在上单调递增， 又，所以为偶函数， 所以在上单调递减， 当时，由，可得，即， ， 当时，由，可得，即， 解得， 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，，若，且时，恒成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先根据可得的单调性，然后结合单调性可解不等式. 【详解】设，因为是定义在上的奇函数，所以， 所以为偶函数， 又，且时，恒成立， 所以在上为减函数， 又 ，可得，所以，得， 在为增函数，由，得， 又，可化为，即，所以，或， 即，或. 故答案为： 【跟踪训练2】．（23-24高一上·山东·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】4046 【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， 因为，， 所以. 故答案为：4046. 题型六：抽象函数的奇偶性 【例7】．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】通过赋值结合题干所给信息证明函数的奇偶性与单调性，最后再利用奇偶性与单调性解不等式. 【详解】令，得， 令，得，所以为定义在上的奇函数， 因为，令，得， 任取，则 ， 因为当时，，所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以不等式 . 故答案为： 【跟踪训练1】．（2025高三·全国·专题练习）已知连续函数对任意实数x恒有，当时，，，则在上的最大值是 【答案】6 【分析】用赋值法证明函数是奇函数，再证明其是减函数，计算出区间端点处函数值后可求最大值． 【详解】令得，则， 令，可得,所以， 所以是奇函数； 令，则， 因为当x0时，， 所以，即， 所以在，均递减， 因为是R上的连续函数，所以在R上递减； ，可得； 令，可得， ，，， 在上的最大值是6． 故答案为：6. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论： ①； ②是上的偶函数， ③若，则； ④函数在上是减函数. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】通过对分别赋值，逐个分析四个结论. 【详解】对于①，令，则，当时，，所以，所以，故①正确； 对于②，令，则，， 由当时，，所以，所以，得， 故②错误； 对于③，令，则，得， 令，则，得， 故③正确 对于④，设，则， 当时，，所以， 由已知得， 所以，故④正确. 故答案为：①③④ 题型七：函数奇偶性的综合问题 【例7】．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，解不等式 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，求出，然后令，即可得到的关系，即可得到函数的奇偶性； （2）令，即可得到，结合题意得到的正负，即可得到函数的单调性； （3）由题意求得，再由题中关系式得到不等式，结合（2）中结论得到二次不等式，即可解得的范围. 【详解】（1）令，则，解得， 令，即，则， 所以为奇函数. （2）令，则 ∵， ∴， ∵当时，， 即， ∴函数在上单调递减. （3）由， 由题设，即， 由（2）可知，即，得， ∴. 【跟踪训练1】．（22-23高一下·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； （2）任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 【跟踪训练2】．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为，由（1）知为定义在上的奇函数， 则，的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数为偶函数，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先由偶函数性质求，再求. 【详解】由函数为偶函数， 定义域为关于原点对称，所以， 所以符合题意，所以. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 3．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数性质可得，再利用计算即可得. 【详解】由是定义在上的奇函数，则，则， 则当时，，则. 故选：D. 4．（22-23高一上·北京·期中）若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，且在上为减函数，得出，即可求解. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以， 又因为时，有， 所以函数在上为单调递减函数，可得， 所以. 故选：D. 5．（25-26高一上·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数的奇偶性以及在上有单调性，且，判断函数在上单调递增，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 由，得，又在上有单调性， 所以在上有单调性，且为严格单调递增， 对于A：由，则，不正确； 对于B：由题意知，且，故，正确； 对于C：由于，，故，不正确； 对于D：由题意知，且，，所以，不正确； 故选：B． 6．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 7．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】若，则等价于，因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选：A. 8．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【详解】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 二、多选题 9．（2025高一上·全国·专题练习）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 【答案】ABD 【分析】A令；B令，再令；C利用单调性定义证明；D先求出，再根据抽象函数关系式化简，求证即可. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，∴， 令，则， ∴，为奇函数，故B正确； 对于C，令，则 ∵， ∴，即， 故为增函数，故C不正确； 对于D，令，则，∴， ∵，∴， 又奇函数为增函数，∴， ， 即，故D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由偶函数及在上是减函数，即可判断各项的正误. 【详解】为偶函数，且在上是减函数， 有，即，选项A正确； 有，即，选项B错误； 有，选项C错误； 有，选项D正确； 故选：AD 11．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 【答案】ABD 【分析】依题意，结合偶函数特征和单调性逐选项判断即可. 【详解】因为定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，， 所以区间上单调递增，， 对于A，区间上单调递减，，所以，故A正确； 对于B，若，则或，解得或，故B正确； 对于C，若，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 当，，当，， 所以若，则，故C错误； 对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，， 故D正确； 故选：ABD. 12．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 13．（22-23高一下·海南海口·期末）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减 C．当时， D．的值域是 【答案】ACD 【分析】对于A：根据偶函数的定义分析判断；对于B：整理可得，根据单调性的性质分析判断；对于C：代入运算分析判断；对于D：利用二次函数的值域结合不等式的性质运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为，可知的定义域为， 又因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B：因为， 且在上单调递增，所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C：当时，，故C正确； 对于选项D：因为，则，即， 可得，所以的值域是，故D正确； 故选：ACD. 14．（23-24高一上·广东江门·期中）表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．的定义域为R； B．的值域为； C．是偶函数； D．的单调增区间为. 【答案】AD 【分析】对A，由解析式判断；对B，举反例说明；对 C，举反例说明；对D，因为，只需考虑的情况，判断单调性得解. 【详解】对于A，的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，，， 所以不是偶函数，故C错误； 对于D，当时，，表示的小数部分， 作出函数图象如图所示：    所以的单调递增区间为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 15．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 17．（25-26高一上·全国·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知，再利用时，的解析式求出即可． 【详解】∵为偶函数， ∴， ∵当时，， ∴， 故． 故答案为：2． 18．（25-26高一上·全国·课前预习）已知分别为奇函数、偶函数，且，则 ． 【答案】/-6.5 【分析】利用奇函数和偶函数的性质，将原方程中的替换为，得到另一个方程，联立解出和，再代入计算的值. 【详解】因为①，所以②， ①+②得，，所以，则，所以， 所以． 故答案为： 19．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，对于任意正数都有，已知函数的图象关于点中心对称，若，则的解集为 ． 【答案】 【分析】变形后，令，则在上单调递增，又为奇函数，则为偶函数，故在上单调递减．又，则，分和两种情况，根据函数单调性，得到不等式的解集． 【详解】因为，所以， 令，则在上单调递增． 函数的图象关于点中心对称，则的图象关于原点对称， 即为奇函数，则为偶函数，故在上单调递减． ，则． 当时，，即，即，则； 当时，，即，即，则． 综上所述，． 故答案为： 四、解答题 20．（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 21．（22-23高一上·四川广安·期中）函数为定义在R上的奇函数，当，    (1)求出的解析式 (2)作出的草图，并根据图象指出单调区间． 【答案】(1) (2) 答案见解析. 【分析】（1）根据奇函数性质求解析式； （2）根据（1）的结论分段画出图象，根据图象可得单调区间. 【详解】（1）因为为定义在上的奇函数， 所以当时，，解得 当时，，，又， 所以，即，又时，， 所以 （2）如图，    的单调增区间为和，单调递减区间为. 22．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式；判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； (2)解不等式：； (3)若任意，不等式在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，证明见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合函数单调性的定义进行运算证明即可； （2）根据奇函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可； （3）根据函数的单调性，结合一次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，，则 又，则 在上单调递增 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）在上是奇函数且单调递增 由得 解得： 不等式的解集为. （3）由（1）知在上单调递增，又因为 问题转化为，即对任意恒成立 设 即解得或或 故的取值范围是或或. 23．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 34．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 25．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 26．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $