精品解析：山东省潍坊市诸城市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

初三数学国庆学情检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 三个点确定一个圆 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键． 根据垂径定理判断选项A、B；根据圆心角、弧、弦的关系判断选项C；根据不在同一条直线上的三点确定一个圆判断选项D． 【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦，故本选项正确； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误； D、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； 故选：A． 2. 如图，从热气球看一面墙顶部的仰角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查仰角的定义．根据仰角是向上看的视线与水平线的夹角进行判断即可． 【详解】解：从热气球看一面墙顶部的仰角是， 故选：C． 3. 如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】作OM⊥CD，连接OC，先求得半径和OP，根据等腰直角三角形的性质求得OM，再根据勾股定理求得CM，结合垂径定理即可求得CD， 【详解】解：∵，， ∴AB=12，AO=6， ∴PO=2， 作OM⊥CD，连接OC， ∵， ∴∠AOM=45°，△MOP为等腰直角三角形， ∴， 在Rt△OCM中根据勾股定理 ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理等．注意垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 4. 是中的两条弦，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据弦和弧之间关系和三角形三边关系即可求证． 【详解】解：如图，取的中点E，则． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查弦和弧之间关系和三角形三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握弦和弧之间关系和三角形三边关系． 5. 如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】，AD是的平分线 ，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一） 是BC的垂直平分线 是AC的垂直平分线 点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径 外接圆的面积为 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 6. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据矩形的性质得到，得到（米），求得米，得到米，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵扶梯的坡比为， ∴， ∴（米）， ∴米， ∵滑梯的坡比为， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：滑梯的长为米． 故选：B． 7. 如图，中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆周角定理及其推论、等腰三角形判定与性质、圆内接四边形性质、相似三角形的判定与性质等知识，先由直径所对的圆周角是直角，再由等腰三角形三线合一得到，根据圆内接四边形性质得到，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案，熟练掌握圆的性质及相似三角形性质求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 为的直径， ，即， 在中，， 则， 四边形是的内接四边形， ， 在中，， ， ， ， 即，解得， 故选：B． 8. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可； 【详解】如图，延长AD，BC，二线交于点E， ∵∠B=90°，∠BCD=120°， ∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°， ∴∠ADC=∠EDC= 90°， 在Rt△CDE中， tan30°=， ∴DE==， 在Rt△ABE中， sin30°=， ∴AB==4， ∴AD=AE-DE=, 故选C 【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数值计算是解题的关键． 9. 如图，在中，，过点A作于点D，．若E、F分别为、的中点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形中位线定理，由等腰直角三角形的性质求出，由锐角的正弦求出，由三角形中位线定理求出． 【详解】解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，，，是等边三角形．如图，将四边形折叠，使D与C重合，为折痕，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由含角的直角三角形的性质和勾股定理求得的值，再由等边三角形的性质证得，然后由折叠的性质知，设，由勾股定理求出的长，最后由锐角三角函数的定义即可得出结果． 【详解】解：设， ∵中，，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在半径为的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为____________． 【答案】90°或270° 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知， 的弦与弦的端点两条长为1半径的围成的三角形是直角三角形． 【详解】解：由题意可知：半径 ，弦长为 ， 根据勾股定理的逆定理可知：所对的角为直角． ∴长度等于 的弦所对的圆心角为90°， ∵长度等于 的弦所对的弧有优弧、劣弧， 长度等于 的弦所对的弧的度数为 或者 故答案为： 或者 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；涉及勾股定理的逆定理、分类讨论的思想． 12. 在中，若，则∠C的度数是_________ 【答案】##度 【解析】 【分析】根据非负性，求出，进而求出，根据三角形内角和，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值的非负性以及三角形的内角和．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 13. 如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标． 【详解】的坐标分别是 轴 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键． 14. 如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称最短路线问题，垂径定理，直角三角形的性质，确定点的位置是解答本题的关键．连接，，，作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长， 根据圆周角定理可求得的度数， 根据垂径定理得 ， 得到的度数， 进而得到、的度数， 过点作交于点，利用勾股定理解直角三角形即可求得的长，即可得解． 【详解】解：如图， 连接，，， 作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． ， ， 为弧的中点， ， 根据垂径定理得 ， ， ， ， ， ， 过点作交于点， ， ， ，即的最小值为． 故答案为： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为_________． 【答案】2． 【解析】 【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC=，可求OA=2，OD=，在Rt△AOD中，由勾股定理，可证△OAC∽△DAO，由相似三角形性质可求即可． 【详解】解：过O作OE⊥AB于C， ∵AB为弦， ∴AC=BC=， ∵直线与相交于A，B两点， ∴当y=0时，，解得x=-2， ∴OA=2， ∴当x=0时，， ∴OD=， 在Rt△AOD中，由勾股定理， ∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD， ∴△OAC∽△DAO， 即， ∴AB=2AC=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键． 16. 某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，，为上一点，，． （1）求的长；（2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据，可设，得，再由勾股定理列出的方程求得，进而由勾股定理求； （2）过点作于点，解直角三角形求得与，进而求得结果． 【详解】解：（1）∵，可设，得， ∵， ∴， 解得，（舍去），或， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点作于点， ∵，可设，则， ∵， ∴， 解得，（舍），或， ∴， ∴． 【点睛】考核知识点：解直角三角形.理解三角函数的定义是关键. 19. 如图，在中，C，D是直径上的两点，且，交于C、D，点E，G，F，H在上． （1）若，求半径； （2）求证：； （3）若C，D分别为的中点，则成立吗？请说明理由． 【答案】（1）5 （2） 如图1，在（1）基础上连接， ∵， ∴． ∵， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴； （3） 成立，理由如下： ∵C，D分别为的中点， ∴， ∴ ∴， 同理， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理即可求得； （2）通过证得，得到，即可根据圆心角、弧、弦的关系得到结论； （3）根据含30度角的直角三角形的性质求得，同理，进一步得到，即可根据圆心角、弧、弦的关系得到． 【小问1详解】 如图1，连接， 设半径为r， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴半径为5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形全等的判断和性质，勾股定理的应用等，作出辅助性构建直角三角形是解题的关键． 20. 根据以下材料，完成问题解决． 利用光的反射定律测量建筑物的高度 背景 如图，当光线入射到平面镜表面时，反射角等于入射角，这是光的反射定律．该定律作为光学领域基础理论，在生活中有着广泛应用．某校实践小组利用此定律及相关数学知识，巧妙测量建筑物的高度，将抽象的理论转化为解决生活问题的有效工具． 工具 激光发射器、平面镜、皮尺、测角仪 步骤 如图，实践小组操作如下： （1）在地面某处放置一个激光发射器，在山坡的中点处放一面镜子； （2）从激光发射器向处发射一束激光，使得反射光线照射到建筑物的顶端处，记此时激光发射器的位置为点； （3）测量山坡底部点到点的距离、光线与地面的夹角． 数据 已知数据：山坡的坡度，山坡上面的平地，米； 测量数据：米，； 参考数据：，，． 问题解决 问题一 求从点观测点的仰角． 问题二 求建筑物的高度． 【答案】问题一：； 问题二：教学楼的高度为米． 【解析】 【分析】问题一、根据坡度为，可知，根据入射角等于反射角可得：，从而可以求出从点观测点的仰角为； 问题二、过点作于点，过点作于点，延长交于点，根据问题一可知是等腰直角三角形，根据的正切求出米，利用可证，根据全等三角形的性质可得：米，根据矩形的性质可以求出米，米，再利用的正切求出的长度即可． 【详解】问题一、解：如下图所示，过点作， 则有， 坡度，即， ， ， ， ， 入射角等于反射角， ， ， 从点观测点的仰角为； 问题二、解：如下图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 解得：（米）， 点是的中点， ， 又，， 在和中，， ， （米）， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形为矩形， （米），（米）， 在中，， ， 解得：（米）， 教学楼的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是根据坡度判断是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质计算出边的长度． 21. 【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）． 【探究活动】如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由． 【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求． 【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，） 【答案】探究活动：，；初步应用：；综合应用：楼高度约为． 【解析】 【分析】探究活动：由锐角三角函数可得，可得解； 初步应用：将数值代入可求解； 综合应用：由锐角三角函数即可求解． 【详解】解：探究活动：如图，过点C作直径，连接， ∴，， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， 故答案为：，； 初步应用： ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 综合应用： 如图， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴，， 设楼，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴楼高度约为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，读懂材料，并能熟练运用结论是解题的关键． 22. 如图（1），内接于，，点在劣弧上运动．过点作，交延长线于，连接． （1）求证：． （2）求证： （3）当点运动到什么位置时，？请画出图，进行探索和证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵都是所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． （3） 解：点D运动到中点时，． 画图如下： 证明如下： ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由可得；由都是所对的圆周角得；又等边对等角可得，再运用等量代换即可证明结论； （2）先证明得，即． （3）点D运动到中点时，．由得；由得；又可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学国庆学情检测 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦相等 D. 三个点确定一个圆 2. 如图，从热气球看一面墙顶部的仰角是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 12 4. 是中的两条弦，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（ ）米 A. B. C. D. 7. 如图，中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图，在中，，过点A作于点D，．若E、F分别为、的中点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 10. 如图，在中，，，是等边三角形．如图，将四边形折叠，使D与C重合，为折痕，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在半径为的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为____________． 12. 在中，若，则∠C的度数是_________ 13. 如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____． 14. 如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为_________． 16. 某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离________． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，为上一点，，． （1）求的长；（2）求的值． 19. 如图，在中，C，D是直径上的两点，且，交于C、D，点E，G，F，H在上． （1）若，求半径； （2）求证：； （3）若C，D分别为的中点，则成立吗？请说明理由． 20. 根据以下材料，完成问题解决． 利用光的反射定律测量建筑物的高度 背景 如图，当光线入射到平面镜表面时，反射角等于入射角，这是光的反射定律．该定律作为光学领域基础理论，在生活中有着广泛应用．某校实践小组利用此定律及相关数学知识，巧妙测量建筑物的高度，将抽象的理论转化为解决生活问题的有效工具． 工具 激光发射器、平面镜、皮尺、测角仪 步骤 如图，实践小组操作如下： （1）在地面某处放置一个激光发射器，在山坡的中点处放一面镜子； （2）从激光发射器向处发射一束激光，使得反射光线照射到建筑物的顶端处，记此时激光发射器的位置为点； （3）测量山坡底部点到点的距离、光线与地面的夹角． 数据 已知数据：山坡的坡度，山坡上面的平地，米； 测量数据：米，； 参考数据：，，． 问题解决 问题一 求从点观测点的仰角． 问题二 求建筑物的高度． 21. 【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）． 【探究活动】如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由． 【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求． 【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为，点处的俯角为，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，） 22. 如图（1），内接于，，点在劣弧上运动．过点作，交延长线于，连接． （1）求证：． （2）求证： （3）当点运动到什么位置时，？请画出图，进行探索和证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $