精品解析：吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度上学期月考 高三数学试题 考试时间 2025/10/10 本试卷共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 6. 设函数，对都有，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设向量，则下列说法错误的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量只有一个，为 D. 若则 10. 已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（ ） A. 曲线为函数的图象 B. 曲线为函数的图象 C. 函数在区间上是增函数 D. 函数在区间上是减函数 11. 中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的．如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为．随着转动，以下说法正确的是（ ） A. 小平轮转2圈，大平轮转1圈 B. AB两点距离最大为18 C. AB两点距离最小为10 D. 若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数满足，则__________. 13. 直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 14. 已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值. 16. 已知函数（为常数，）． （1）当取何值时，函数为奇函数； （2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边， ，，且的面积为． （1）求； （2）若在边上，且线段平分，求线段的长度． 18. 已知函数（）． （1）求的单调区间； （2）若函数，是函数的两个零点，证明：． 19. 设函数 （1）求的单调性. （2）求证：当时，. （3）若函数在上有零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期月考 高三数学试题 考试时间 2025/10/10 本试卷共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A的补集，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由，得， 结合，得. 故选：A. 2. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行得到方程，求出或，从而得到答案. 【详解】因为，所以，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，得到，再结合在上的单调性，即可得到答案. 【详解】因为是定义域为的偶函数，可得， 又因为在上单调递减，且，所以， 所以. 故选：D. 4. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】由函数的解析式可得， 所求切线的斜率为．由于切点坐标为， 故切线方程为，即为． 故选：C． 5. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 【答案】B 【解析】 【分析】结合给定的函数模型利用对数的运算性质化简求解. 【详解】设训练及个单位的数据量所需时间分别为，， ， 所以训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的3倍. 故选：B 6. 设函数，对都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可得函数图象的对称中心，结合余弦曲线对称中心的性质求解即可. 【详解】由题意都有，可知函数的图象的对称中心为， 由函数可得， 解得，又， ，. 故选：A 7. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 8. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得只有1个整数解，利用导数分析函数的单调性，令，则的图象是一条过定点的直线，画出函数图象，结合图象分析即可求解. 【详解】因为，，所以， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，，且， 令，则的图象是一条过定点的直线， 当时，不符合题意； 则，如图，当的图象经过时， 直线的斜率分别为， 不等式只有1个整数解， 由图可知. 故选：. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设向量，则下列说法错误的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量只有一个，为 D. 若则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算，结合共线即可求解A，根据模长公式即可求解BD，根据单位向量的定义即可求解C. 【详解】对于A，若与的夹角为钝角，则需满足，解得，故A正确， 对于B，，当且仅当取到等号，故B错误， 对于C, 与共线的单位向量有两个，为，故C错误， 对于D,由得，解得，D正确， 故选：BC 10. 已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（ ） A. 曲线为函数的图象 B. 曲线为函数的图象 C. 函数在区间上是增函数 D. 函数在区间上是减函数 【答案】BD 【解析】 【分析】由导数正负与函数单调性关系明确两曲线所代表的函数图象即可判断AB；利用导数工具结合图象即可分析求解函数的单调性即可判断CD. 【详解】对于AB，因为时单调递增，时单调递减， 所以由图可知曲线M为函数的图象，曲线N为函数的图象， 故A错误，B正确； 对于CD，由图可知当时，时， 因为，所以当时，时， 所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 故C错误，D正确. 故选：BD 11. 中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的．如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为．随着转动，以下说法正确的是（ ） A. 小平轮转2圈，大平轮转1圈 B. AB两点距离最大为18 C. AB两点距离最小为10 D. 若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用每个轮转过的弧长是相等，可判断A，利用建立平面直角坐标系，借助转过角度为变量，可表示两个动点的坐标，从而用两点间距离来求最小值和最大值，即可判断BC，利用勾股定理可判断D． 【详解】对于A，单位时间内，三个平轮的弧长满足， 而大、中、小平轮和立轮的半径分别为， 因为小平轮转2圈，大平轮转1圈的弧长分别为， 满足，所以小平轮转2圈，大平轮正好转1圈，故A正确； 建立如图所示平面直角坐标系， 利用半径是倍关系，则转过的角度是一半的关系， 可设，则， 即， ， 令，， 当时，取得最小值， 当时，取得最大值为， 当时，取值为，不为最小值，故B正确．C错误； 对于D．立轮直径为2，小平轮直径为4．所以最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数除法的几何意义及模的求法求模长. 【详解】由题设. 故答案为： 13. 直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案. 【详解】由已知得：恒成立，则 ， ， 由得， 由于在区间 上恰有3个零点， 故，则， ， 则, 只有当时，不等式组有解，此时，故， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值. 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变形化简得，根据，令求解即可； （2）由，，所以当时取得最大值. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的最小正周期，对称轴方程为. 【小问2详解】 ，， 当，即时，，取得最大值， 所以在区间上的最大值为，此时. 16. 已知函数（为常数，）． （1）当取何值时，函数为奇函数； （2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可； （2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果. 【小问1详解】 若为奇函数，则， 即， ，，，解得：. 【小问2详解】 当时，，， ， 当时，，又在上单调递增， 当时，， 令，则方程在上有实根， 在上有实根，又在上单调递增， ，. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边， ，，且的面积为． （1）求； （2）若在边上，且线段平分，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的计算公式及面积公式化简可得解； （2）结合三角恒等变换及三角形面积可得边长，再根据等面积法可得角分线长度. 【小问1详解】 由已知，且三角形面积， 可知， 又， 则； 【小问2详解】 由已知， 结合诱导公式及二倍角公式可得， 又，，即， 所以，即， 所以， 则由正弦定理， 可得，， 所以， 即，，， 又线段平分， 所以, 又， 即， 则， 解得. 18. 已知函数（）． （1）求的单调区间； （2）若函数，是函数的两个零点，证明：． 【答案】（1）当时，单调递增区间为，无递减区间； 当时，单调递增区间为；单调递减区间为. （2）由已知可得，可得， 由可得，要证，即证， 即证，即证， 由题意可知，令，即证， 构造函数，其中，即证， ，所以，函数在上单调递增， 当时，，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分与两种情况，得到函数单调区间； （2）由已知条件可得，将所证不等式等价于证明不等式，令，构造函数，其中，利用导数证得即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， ①当时，，则在上单调递增； ②当时，若，则，若，则， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，单调递增区间为，无递减区间； 当时，单调递增区间为；单调递减区间为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 19. 设函数 （1）求的单调性. （2）求证：当时，. （3）若函数在上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在和上单调递增； （2）当时，. 令，则， 设，则， 时，，即在上为增函数， 所以，故在上为增函数， 所以，即成立， 故原不等式得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导函数求函数单调性即可； （2）构造新函数，利用导函数证明其单调性，从而证得不等式成立； （3）构造新函数，将原问题转化为函数在内有零点，分类讨论：当时，通过放缩法证得函数，没有零点，不合题意；当时，通过多次求导证明函数单调性，结合零点存在性定理求得在上有唯一零点，从而可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意，的定义域为，且， 设，则， 当时，，在上递增，则，即，所以在上递增； 当时，，在上递减，则，即，所以在上递增. 所以，在和上单调递增. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令， “函数在上有零点”等价于“函数在上有零点”， 设，则， 所以在上为增函数，因而，即. 故由，可得， 当时， ， 由（2）知，时，， 此时，函数在上没有零点，不合题意，故舍去. 当时，，求导得：， 设，则， 当时，恒成立，所以单调递增； 当时，设，则， 因为，，所以，单调递增， 又，，因此在上存在唯一的零点， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增， 又，，， 因此在上存在唯一的零点，且， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增. 又，，， 所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点. 所以，当时，函数在上有零点. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $