精品解析：河南省南阳市第十九中学校三校区联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年10月九年级数学素质作业 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A 3、6、2、4 B. 4、6、5、10 C. 1、2、3、6 D. 25、20、4、5 4. 将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（     ） A. （x-3）2=-3                     B. （x-3）2=6                     C. （x-3）2=3                     D. （x-3）2=12 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A 0 B. C. D. 7. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A. 方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程 B. 若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0 C. 若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程 D. 若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是_________________ 12. 若是方程的一个根，则的值为______． 13. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为米，那么它的下部应设计为____米． 14. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________. 15. 如图，在中，于点D，点E在线段上，连接并延长交于点F，设． （1）若E为的中点，则___________； （2）若，则___________．（用含m、n的代数式表示） 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2） 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式） （2）求矩形木板的面积； （3）木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条． 19. 已知关于的方程． （1）若该方程一个根为，求的值及该方程的另一根． （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 20. 如图，在△ABC中，EFCD，DEBC． （1）求证：AF：FD＝AD：DB； （2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长． 21. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计纸盒 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。 问题解决 任务1 初步探究：折一个底面积为无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由 22. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 23. 阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．（要求：化未知数是，为一般形式）； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根与已知方程方程的两个根互为倒数；（要求：未知数是，化为一般形式）． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，直接写出关于的一元二次方程的两个实数根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月九年级数学素质作业 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，被开方数里含有能开得尽方的因数，故该选项不符合题意； C、，被开方数里含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、符合最简二次根式的条件，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列方程中，一定是一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程定义，熟练掌握一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义判定即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知：， 故一定是一元二次方程的是， 故选D． 3. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、5、10 C. 1、2、3、6 D. 25、20、4、5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据两内项之积等于两外项之积逐项分析即可． 【详解】解：A、，能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，符合题意； C、，能成比例，不符合题意； D、，能成比例，不符合题意； 故选：B． 4. 将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（     ） A. （x-3）2=-3                     B. （x-3）2=6                     C. （x-3）2=3                     D. （x-3）2=12 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：移项，得x2－6x＝－3， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方(－3)2，得 x2－6x＋(－3)2＝－3＋(－3)2， 即(x－3)2＝6． 故选B． 点睛：配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加、乘、除运算．根据二次根式加、乘、除运算法则计算即可作答． 【详解】解：A、，本项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，本项不符合题意； C、，本项符合题意； D、，本项不符合题意； 故选：C． 6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ， 故选：B． 7. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，再根据根的个数，求解判别式大于0即可解出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且 整理得：且 解得：且． 故选：C． 【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 8. 如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据篱笆的总长及的长，可得出的长，再利用长方形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：篱笆的总长为18米，的长为米， 的长为米． 根据题意得：． 故选：D． 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 故选：D． 10. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A. 方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程 B. 若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0 C. 若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程 D. 若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程 【答案】B 【解析】 【分析】通过解一元二次方程可对A进行判断；先解方程得到x1=2，x2=-，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用2m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断． 【详解】A. 解方程−3x+2=0得x1=1， x2=2，所以A选项的说法正确但不符合题意； B. 解方程得x1=2，x2=-，当−=2×2，4m+n=0；当−=×2，则m+n=0所以B选项的说法错误符合题意； C. 解方程得x1=2，x2=−，而m+n=0，则x2=1，所以C选项的说法正确但不符合题意； D. 解方程得x1=−m，x2=n，而2m+n=0，即n=−2m，所以x1=2x2，所以D选项的说法正确但不符合题意． 故本题选B． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的解，熟悉掌握上述知识点是解答本题关键. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是_________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到，进行求解即可．掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 12. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的方法．先利用一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 13. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为米，那么它的下部应设计为____米． 【答案】 【解析】 【分析】设雕像下部高为，则上部长为，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设雕像的下部高为，则上部长为，根据题意可得： ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于读懂题目列出方程． 14. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为________. 【答案】11 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x-1）=55， 整理，得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为11. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，在中，于点D，点E在线段上，连接并延长交于点F，设． （1）若E为的中点，则___________； （2）若，则___________．（用含m、n的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点D作交于M，利用平行线分线段成比例解题即可． 【详解】解：（1）过点D作交于M， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∴， （2）过点D作交于M， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，作辅助线构造平行线是解题的关键． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先根据完全平方公式及平方差公式进行计算，再化为最简二次根式，最后计算加减，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式） （2）求矩形木板的面积； （3）木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）正方形的边长等于面积的算术平方根； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可； （3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解． 【小问1详解】 解：正方形的边长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意知，， ， 即矩形木板的面积为； 【小问3详解】 解：，， 最多能截出的木条数量为：， 故答案为：4． 19. 已知关于的方程． （1）若该方程一个根为，求的值及该方程的另一根． （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）证明见详解； 【解析】 【分析】（1）将方程的根代入求解即可得到的值，再结合根与系数关系直接求解即可得到另一个根； （2）计算判别式结合完全平方公式即可得到证明； 【小问1详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； 【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握，判别式大于0一元二次方程有两个不相等的实数根． 20. 如图，在△ABC中，EFCD，DEBC． （1）求证：AF：FD＝AD：DB； （2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长． 【答案】（1）见详解；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EFCD得到AF：FD=AE：EC，由DEBC得到AE：EC=AD：DB，再进行等量代换即可求解； （2）根据比例的性质得到，根据（1）结论得到AF：FD=2:1，即可求出DF． 【详解】解：（1）证明：∵EFCD， ∴AF：FD=AE：EC， ∵DEBC， ∴AE：EC=AD：DB， ∴AF：FD＝AD：DB； （2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1， ∴， ∵AF：FD＝AD：DB， ∴AF：FD=2:1， ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理“两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题关键． 21. 根据以下素材，探索完成任务 如何设计纸盒 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。 问题解决 任务1 初步探究：折一个底面积为无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由 【答案】任务1：剪掉的正方形的边长为． 任务2：当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为． 【解析】 【分析】任务1：假设剪掉的正方形的边长为，根据长方形盒子的底面积为，得方程，解所列方程并检验可得； 任务2：侧面积有最大值，设剪掉的正方形边长为，盒子的侧面积为，利用长方形盒子的侧面积为：得出即可． 【详解】解：任务1：设剪掉的正方形的边长为， 则，即， 解得（不合题意，舍去），， 答：剪掉正方形的边长为． 任务2：侧面积有最大值． 理由如下： 设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则与的函数关系为：， 即， 即， ∴时，． 即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程和函数关系式是解决问题的关键． 22. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 23. 阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．（要求：化未知数是，为一般形式）； （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根与已知方程方程的两个根互为倒数；（要求：未知数是，化为一般形式）． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，直接写出关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】（1） （2） （3）2025或2026 【解析】 【分析】本题考查了利用“换元法”推导新的一元二次方程，以及一元二次方程根与方程结构的关系，解题的关键是根据新方程的根与原方程根的数量关系（如大1、互为倒数）设出换元式，将其转化为原方程的根代入原方程化简为一般形式；第三问需先整理方程结构，结合前两问中“根互为倒数的方程特征”求解． （1）根据“新根比原根大1”，设，则；将代入原方程，展开并化简为的一元二次方程一般形式； （2）根据“新根与原根互为倒数”，设（因原方程，根不为0，故），则；将代入原方程，两边乘消分母，化简为的一般形式； （3）先将方程整理为；结合（2）结论（原方程与的根互为倒数），利用原方程根为1和，得为原根的倒数，进而求解． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为， 则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：. 【小问2详解】 设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：. 【小问3详解】 ， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2025或2026. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $