专题05 反比例函数（期中知识清单，6知识&10题型&3方法清单）九年级数学上学期北师大版

专题05 反比例函数（6知识&10题型&3方法清单） 【清单01】反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 【清单02】确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【清单03】反比例函数的图象与性质 图象特征 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴 性质 表达式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 【清单04】反比例系数k的几何意义 反比例函数图象中有关图形的面积 S阴影＝|k| S四边形ABOC＝|k|　 S四边形ABCD＝S四边形PQMB 　S阴影＝S△AOB－S△AOD＝|k1|－|k2| S△ABM＝S△AOM＋S△BOM ＝OM·AM＋OM·BC＝|k|＋|k|＝|k| S△ABC＝S△ADC＋S△CDB＝CD·|yB－yA| S△ABC＝S△BCO＋S△COA＝CO·|xB－xA| 【清单05】反比例函数与一次函数综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 【清单06】反比例函数的实际应用 1.用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 2.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 3.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 【题型一】反比例函数的定义 【例1-1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项是正比例函数，故A选项是错误的； B选项满足反比例函数的定义，故B选项是正确的； C选项是正比例函数，故C选项是错误的； D选项为y是的反比例函数，而不是y是 x的反比例函数，故D选项是错误的； 故选：B． 【例1-2】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若函数是反比例函数，则m＝ ． 【答案】1 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：1． 【例1-3】（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据题意得：，解得． 故答案为． 【变式1-1】（24-25九年级上·山东东营·期中）已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴， ∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【详解】（1）解： 反比例函数为， 且， 解得：． （2）由（1）可知：． 当时，代入上式得： 点不在该反比例函数图象上． 【题型二】求反比例函数值 【例2】（24-25九年级上·广西贵港·期中）已知反比例函数，当时，函数的值为 ． 【答案】 【详解】解：把代入得，， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）一个盒子里有完全相同的四个小球，球上分别标上数字、2、3、4．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则点落在反比例的图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当， 当， 当， ， ∴数字、2、3、4组合中，点落在反比例的图象上的只有，， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中点落在反比例的图象上的有2种， ∴点落在反比例的图象上的概率为：， 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系内，有三点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：，，分别在三个不同的象限，点在第一象限，点在第二象限， 点一定在第四象限， 反比例函数的图象经过其中两点， 反比例函数的图象经过，， ， ， 故答案为：． 【题型三】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例3】（24-25九年级上·广西梧州·期中）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同， ∵反比例函数的图象经过点， ∴在该反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为2， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川成都·期中）下列命题： ①在函数：中，y随x增大而减小的有3个函数； ②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； ③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形； ④已知数据的方差为，则数据的方差为． 其中是真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①在函数：中，y随x增大而减小的有，共2个，故不正确，是假命题； ②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题； ③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不正确，是假命题； ④已知数据的方差为，则数据的方差为，故不正确，是假命题． 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知点的坐标为，当时，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：由函数图象的对称性可知，点与点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴， 由函数图象可知，当时，或， 故答案为：或． 【变式3-3】（24-25九年级上·广西贵港·期中）（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【详解】（1）解：当时：， ； 如图： 故答案为：0； （2）解：如图， ①当时，随增大而减小； ②， 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到； ③的图象关于原点对称， 的图象关于对称． 故答案为：减小；下，1；； （3）解：把，代入函数得： ，， ∵， ． 【题型四】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【例4】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图象可知，反比例函数在二、四象限， ， 的值可能是， 故选：C． 【变式4-1】（24-25九年级上·江苏南通·期中）若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：B． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是 【答案】 【详解】解：因为反比例函数的图象在第二、四象限， 所以， 解得． 故答案为：． 【变式4-3】（23-24九年级下·重庆·期中）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵函数图象位于第二、四象限， ∴； 故答案为：． 【题型五】反比例函数增减性 【例5-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，有， 反比例函数图象在二、四象限， ， 解得， 故选：D． 【变式5-1】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）若反比例函数的图象经过点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数在第二，第四象限内，随着x的增大而增大， ∵点都在第四象限，且， ∴， 故选：B 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限内随着的增大而减小， ∵和都在反比例函数图象上，且， ∴， ∵在反比例函数图象上，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式5-3】（24-25九年级上·广西南宁·期中）函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：函数的图象在每个象限内随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 【题型六】已知比例系数求特殊图形的面积 【例6】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则的面积为（    ）    A．4 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点， ∴点D坐标为， ∴，即反比例函数的解析式为， ∴， ∴． 故选：B． 【变式6-1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）学习完函数的有关知识之后，小刚对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出了如图（1）所示的函数的图象，并对该函数的性质进行了探究． ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数图象与轴没有交点； ③若是该函数图象上的两点，则当时，一定有； ④如图（2），若是该函数图象上的一个动点，是直线上的一个动点，过点作轴于点，连接，则． 则上面小刚推断的①②③④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【详解】解：①由分式的性质知，，即，故①正确，符合题意； ②对于， ∵，故函数，即该函数图象与轴没有交点，故②正确，符合题意； ③当在图象的两个分支时，当时，，故③不正确，不符合题意； ④将轴向左平移3个单位，如下图， 连接，则和面积相等，均为，故④正确，符合题意； 故选：B． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于 ． 【答案】6 【详解】解：∵四边形是矩形，F是的中点， ∴可设，则，又E点在抛物线上，则， ∵F在抛物线上， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 即 故答案为：． 【题型七】根据图形面积求比例系数 【例7-1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，反比例函数第二象限的图象上一点A分别向x轴y轴作垂线，垂线与坐标轴围成的矩形的面积为4，k的值为（   ）． A．－8 B．8 C．－4 D．4 【答案】C 【详解】解：设，则， 矩形的面积为4， ， ， 反比例函数的图象经过第二象限， ， ． 故选：C． 【例7-2】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，若点为的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点的坐标是，则点的坐标为， 矩形的面积为， ， ， 把点的坐标代入函数解析式，得， ， 故选：B． 【例7-3】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，菱形的周长与面积都是20，反比例函数的图象经过菱形顶点，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】解：∵ 菱形的周长是， ∴ 菱形的边长， 又∵ 菱形面积是，设点到轴的距离为（即高），以为底， ∴，，， 在中，，，根据勾股定理， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， 设反比例函数解析式为，把代入得，， ∴ 反比例函数的解析式为， 故答案为： ． 【例7-4】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，的边与反比例函数 的图象分别相交于点 A，C，连接，若，且的面积为6，则k的值为      【答案】 【详解】解：过点作轴于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 A，C在反比例函数 的图象上，轴， ∴， ∴， ∴的面积， ∴； 故答案为：. 【变式7-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点都是双曲线上的点，连接并延长交轴于点，已知的面积为，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作于点D． ∵， ∵， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴点， ∴， ∴，则， ∴， 解得． 故选：D． 【变式7-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形，双曲线分别交、于、两点，已知，，且，则的值为 ． 【答案】12 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴设F点坐标为，点E的坐标为， ，解得， 点坐标为， 则， 整理得：， 解得或(不合题意，舍去)， ， ∵双曲线分别交、于、两点， ， 故答案为：12． 【变式7-3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，在x轴上，平行四边形的面积为6，则 ． 【答案】10 【详解】解：∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴设，， ∵平行四边形且轴， ∴，， ∴平行四边形的边上高为b，面积为6， ∴，解得：． 故答案为10． 【变式7-4】（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，平行四边形中，点在轴正半轴上，点在反比例函数的图象上，且轴，，的延长线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：设点坐标为，则，， ∵在平行四边形中， ∴，， 平行于轴， ． ，， ， ， ， ． 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：4． 【变式7-5】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：设P点坐标为， ∵点E，F分别是直线与，的交点， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型八】实际问题与反比例函数 【例8】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， ∴； （2）当时，； 答：整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为． 【变式8-1】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在初二物理的学习中，我们知道压强，压力，受力面积满足公式． (1)当F为定值时，如图所示的图象能够正确反映p与S之间函数关系的图象是______（填序号）； (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； （2）解：把，代入， 得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 【变式8-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？ 【详解】（1）解：设段所在的反比例函数关系式为， ∵， ∴， 解得：， ∵出口点到的距离为米， ∴， ∴段所在的反比例函数关系式为； （2）解：∵， 当时，， ∴点到轴的距离长为米； （3）解：∵距水面的高度不高于米， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴到的距离至少米． 【题型九】反比例函数与几何综合 【例9】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)若，在图象上，且，则 ； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象的一支位于第一象限 ∴反比例函数的另一支在第三象限， 在每个象限内，随的增大而减小， ∴，在图象上，且， 故答案为：． （2）设点的坐标为，其中，， ∵点在该反比例函数位于第一象限的图象上，点与点关于轴对称，点与点关于原点对称， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵点在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴，解得：． 【变式9-1】（24-25九年级上·河北衡水·期中）项目式学习 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ． 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）如图2，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且，点落在弯道外侧上时，矩形恰好不能通过该弯道．若，要使矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值． 任务三：成果迁移 （3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点，弯道内侧的顶点在射线上，两边分别与轴，轴平行，．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，） 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解法一、如图3（1），设与相交于点，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴根据实际情况可得：的最大整数值为． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点， 根据题意得： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴根据实际情况可得：的最大整数值为． （3）如图4，过点作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 如图所示，延长交轴于点，则，且， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的最大整数值为． 【变式9-2】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知反比例函数图象如图所示，P，Q为该图象上两点，其中P的坐标为， (1)k的值； (2)若的面积是S，设Q的横坐标为t，写出S与t的函数关系式； (3)若x轴上有一点，使得．则______．（用含m的代数式表示） (4)根据以上信息，求出满足（3）条件下的点H的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，； （2）解：过点作轴于点，轴于点， 由比例函数k的几何意义可得：， ∴ ， ∴， ∴； （3）解：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解：过点作交轴于点M， 设直线， 代入得，， ∴， ∴直线表达式为， 设直线， 代入得，， 解得：， 直线表达式为：， 当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 整理得，， ∴， ∴； 由（3）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【变式9-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 【详解】（1）解：∵点纵坐标为，点在上， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴； （2）∵轴，点纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 又∵点在上， ∴点的横坐标为 ∴， ∵，， ∴是的中点， ∴ ∵轴 ∴， ∴当与相似，只有一种情况 ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） （3）解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 【题型十】反比例函数与一次函数综合 【例10-1】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【例10-2】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 【例10-3】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出的解集； (3)求的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图像上， ，， 反比例函数的解析式为：， 在反比函数上， ， ， 将点代入一次函数中，得， 解得， 所以一次函数的表达式为：； （2）， ， 根据图像，得或； （3）把代入得，， 设点为与轴的交点，则， ， 【变式10-1】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 【变式10-2】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点． ①当时，求点的坐标； ②存在以为底边的等腰三角形吗？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把点代入得，，解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：①设， 平行于轴， ， ， ， ，解得， ， 点的纵坐标为， 把代入得，解得， 点的坐标为； ②存在，．理由如下： 在中，当时，， ∴， 设直线表达式为， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∵以为底边的等腰三角形， ∴点C横坐标为， ∵点坐标为， ∴， 整理得：， ， ∴， 解得（舍去），， 此时． 【变式10-3】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 【详解】（1）解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数表达式为， ，得， ， 将点和点代入得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小， 设，代入得， 解得， 令，得 ； （3）解：如图，过作轴于，过作轴于，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵在的图象上， ∴，即， 解得：，， ∴或. 【变式10-4】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，的最大值为　　　． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【详解】（1）点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 ；     故答案为： （2）①当时， 故答案为：；    ②如图所示，    ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: 4； （3）①根据题意可得代入 中，可以得到， 即 ， 由可知函数在时,取得最大值为， ∴当时,,即取得最大值， ， ∴在取得最大值时，矩形的对角线长为 ②∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 【变式10-5】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． (1)求m，b的值； (2)设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度后，与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形是平行四边形，求a的值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点B的坐标为， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设， ∵轴交反比例函数的图象于点D， ∴． ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 联立， 解得：或， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵将直线向下平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 由（2）可知， ∴直线的解析式为． 联立，解得：， ∴． ∵平移后的直线与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E， ∴． ∵四边形是平行四边形，，， ∴，即． ∵点E在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍），， ∴a的值为3． 【变式10-6】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点，其中a，b满足． (1)直接写出k，n的值及点A的坐标； (2)点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接，四边形的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由； (3)点P是x轴负半轴上一点，以为边向线段右侧作等边，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴一次函数的解析式为， 当时，，解得：， ∴， 把点代入，得：，解得：， ∴， 把代入得：，解得：； ∴； （2）解：四边形的面积可以为12． 如图：过点A作轴交CD于F，过点B作轴交于G， 由题意得：，直线的解析式为， 设直线直线的解析式为，即，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 当时，点D在的左侧， 则 ， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴此时无解； 当时，点D在的右侧， 则 ， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴； （3）解：①当与x轴不垂直，如图：过点P作轴，过点B作轴，过点F作，过点P作于点H，过点H作轴于点K， ∵点F在双曲线关于x轴对称的图象上， ∴设，则， ∴，， 设，则， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． ②当轴，交x轴于点Q，此时， ∴， ∴ , 综上所述：点P的坐标为或 【题型一】同一象限内运用k的几何意义 1．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为3． 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为1，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得，的面积， 即， 解得，， 由于函数图象位于第一、三象限， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 【详解】解：如图：连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【详解】解：设点A的坐标为，则，，， ∵是的中位线， ∴，， ∵的面积为3，， ∴，即， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 【题型二】两个象限内运用k的几何意义 6．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，如图， ， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点C、A在反比例函数上， ， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 即， 即， 或（舍去）， ，， ． 故选：B． 7．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：，则， 设， ∴， 将代入反比例函数得：，即， 又∵，即为直角三角形， ∴． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，点，在双曲线上，连接．若，则k的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，连接． ∵点，在双曲线上， ∴，即， ∴点，， 则， ∵， ∴， 即， 解得：或6， ∵双曲线位于第二，四象限内， ∴， ∴． 故答案为： 9．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【题型三】双反比例函数中运用k的几何意义 10．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是双曲线和双曲线的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， 设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， 设点的坐标为， 的解析式为， ， 则， ， 故选：C． 11．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的平行线交的图像于点，连接交于点，若点是的中点，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：连接，过点B作于点E， ∵点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点B是反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， 故选：B． ． 12．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是7，则k的值为 ． 【答案】12 【详解】解：∵双曲线在第一象限， ∴， 延长线段，交y轴于点E， ∵轴 ∴轴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上， ∴， 同理， ∵， ∴． 故答案为：12． 13．（24-25九年级上·广西南宁·期中）反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由于轴，设点坐标是，点坐标是，即纵坐标相同， 那么， 即， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作轴交于，过点作轴交于 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵点，分别在函数与函数的图象上， ∴， ∴ ∵的面积为，则 故答案为：． 15．（24-25九年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则的值为 . 【答案】 【详解】解：轴， 、的纵坐标相同， 不妨设，， ， ， ． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，点A，B分别是反比例函数和图象上的点，且轴，连接．若的面积是4，则k的值为 ． 【答案】6 【详解】解：如图：设与y轴的交点， ∵轴平行， ∴，，，， ∵的面积是4， ∴，即，解得：． 故答案为6． 17．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 【答案】 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 反比例函数（6知识&10题型&3方法清单） 【清单01】反比例函数的概念 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 【清单02】确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【清单03】反比例函数的图象与性质 图象特征 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴 性质 表达式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 【清单04】反比例系数k的几何意义 反比例函数图象中有关图形的面积 S阴影＝|k| S四边形ABOC＝|k|　 S四边形ABCD＝S四边形PQMB 　S阴影＝S△AOB－S△AOD＝|k1|－|k2| S△ABM＝S△AOM＋S△BOM ＝OM·AM＋OM·BC＝|k|＋|k|＝|k| S△ABC＝S△ADC＋S△CDB＝CD·|yB－yA| S△ABC＝S△BCO＋S△COA＝CO·|xB－xA| 【清单05】反比例函数与一次函数综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。 针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 【清单06】反比例函数的实际应用 1.用反比例函数解决实际问题的步骤 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 2.与实际情境结合的分段函数问题 (1)通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 (2)写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 3.跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 【题型一】反比例函数的定义 【例1-1】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若函数是反比例函数，则m＝ ． 【例1-3】（24-25九年级上·云南昆明·期中）已知、在同一个反比例函数的图象上，则m的值为 ． 【变式1-1】（24-25九年级上·山东东营·期中）已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖南常德·期中）已知函数为反比例函数． (1)求的值． (2)判断点是否在该反比例函数图象上． 【题型二】求反比例函数值 【例2】（24-25九年级上·广西贵港·期中）已知反比例函数，当时，函数的值为 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）一个盒子里有完全相同的四个小球，球上分别标上数字、2、3、4．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则点落在反比例的图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系内，有三点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为 ． 【题型三】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例3】（24-25九年级上·广西梧州·期中）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川成都·期中）下列命题： ①在函数：中，y随x增大而减小的有3个函数； ②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； ③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形； ④已知数据的方差为，则数据的方差为． 其中是真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，已知点的坐标为，当时，则的取值范围是 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·广西贵港·期中）（综合与实践）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中_____； x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而_____；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向_____平移_____一个单位长度而得到； ③函数的图象关于点_____成中心对称．（填点的坐标） (3)设、是函数的图象上的两点，且，试求的值． 【题型四】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【例4】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·江苏南通·期中）若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是 【变式4-3】（23-24九年级下·重庆·期中）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 ． 【题型五】反比例函数增减性 【例5-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）若反比例函数的图象经过点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25九年级上·广西南宁·期中）函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【题型六】已知比例系数求特殊图形的面积 【例6】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则的面积为（    ）    A．4 B．3 C．2.5 D．2 【变式6-1】（24-25九年级上·山东淄博·期中）学习完函数的有关知识之后，小刚对函数产生了浓厚的兴趣，他利用绘图软件画出了如图（1）所示的函数的图象，并对该函数的性质进行了探究． ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数图象与轴没有交点； ③若是该函数图象上的两点，则当时，一定有； ④如图（2），若是该函数图象上的一个动点，是直线上的一个动点，过点作轴于点，连接，则． 则上面小刚推断的①②③④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于 ． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖南张家界·期中）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【题型七】根据图形面积求比例系数 【例7-1】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，反比例函数第二象限的图象上一点A分别向x轴y轴作垂线，垂线与坐标轴围成的矩形的面积为4，k的值为（   ）． A．－8 B．8 C．－4 D．4 【例7-2】（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，矩形的面积为，对角线与双曲线相交于点，若点为的中点，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【例7-3】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，菱形的周长与面积都是20，反比例函数的图象经过菱形顶点，则反比例函数的解析式为 ． 【例7-4】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，的边与反比例函数 的图象分别相交于点 A，C，连接，若，且的面积为6，则k的值为      【变式7-1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点都是双曲线上的点，连接并延长交轴于点，已知的面积为，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形，双曲线分别交、于、两点，已知，，且，则的值为 ． 【变式7-3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，在x轴上，平行四边形的面积为6，则 ． 【变式7-4】（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，平行四边形中，点在轴正半轴上，点在反比例函数的图象上，且轴，，的延长线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为 ． 【变式7-5】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【题型八】实际问题与反比例函数 【例8】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 【变式8-1】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在初二物理的学习中，我们知道压强，压力，受力面积满足公式． (1)当F为定值时，如图所示的图象能够正确反映p与S之间函数关系的图象是______（填序号）； (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【变式8-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为6米，宽为1米，出口点到的距离为4米，求： (1)段所在的反比例函数关系式是什么？ (2)点到轴的距离长是多少？ (3)若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于3米，则到的距离至少多少米？ 【题型九】反比例函数与几何综合 【例9】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)若，在图象上，且，则 ； (2)点在反比例函数的图象上，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点，若的面积为，求k的值． 【变式9-1】（24-25九年级上·河北衡水·期中）项目式学习 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ． 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）如图2，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且，点落在弯道外侧上时，矩形恰好不能通过该弯道．若，要使矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值． 任务三：成果迁移 （3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点，弯道内侧的顶点在射线上，两边分别与轴，轴平行，．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，） 【变式9-2】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）已知反比例函数图象如图所示，P，Q为该图象上两点，其中P的坐标为， (1)k的值； (2)若的面积是S，设Q的横坐标为t，写出S与t的函数关系式； (3)若x轴上有一点，使得．则______．（用含m的代数式表示） (4)根据以上信息，求出满足（3）条件下的点H的坐标． 【变式9-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 【题型十】反比例函数与一次函数综合 【例10-1】（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【例10-2】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【例10-3】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，直线与反比例函数的图像相交于两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出的解集； (3)求的面积． 【变式10-1】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【变式10-2】（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点．已知点坐标为，点坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图象于点． ①当时，求点的坐标； ②存在以为底边的等腰三角形吗？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式10-3】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 【变式10-4】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，的最大值为　　　． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【变式10-5】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点B的坐标为． (1)求m，b的值； (2)设P是线段上一点，过点P作轴交反比例函数的图象于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将直线向下平移个单位长度后，与射线交于点F，与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，若四边形是平行四边形，求a的值． 【变式10-6】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点，其中a，b满足． (1)直接写出k，n的值及点A的坐标； (2)点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接，四边形的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由； (3)点P是x轴负半轴上一点，以为边向线段右侧作等边，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标． 【题型一】同一象限内运用k的几何意义 1．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为1，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数，过点A作轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接交x轴于点D，若是的中位线，的面积为3，则k的值为（   ） A． B． C．6 D．12 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【题型二】两个象限内运用k的几何意义 6．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 8．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，点，在双曲线上，连接．若，则k的值是 ． 9．（24-25九年级上·河北衡水·期中）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为 ． 【题型三】双反比例函数中运用k的几何意义 10．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是双曲线和双曲线的图象，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，点是图像上任一点，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的平行线交的图像于点，连接交于点，若点是的中点，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是7，则k的值为 ． 13．（24-25九年级上·广西南宁·期中）反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，则的面积为 ． 14．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，点，分别在函数与函数的图象上，线段的中点在轴上，的面积为，则 ． 15．（24-25九年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则的值为 . 16．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，点A，B分别是反比例函数和图象上的点，且轴，连接．若的面积是4，则k的值为 ． 17．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $