精品解析：四川省绵阳市绵阳南山中学实验学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

绵阳南山中学实验学校高2023级高三（上）10月月考试题数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则是的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知函数，直线与函数的图象相切，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数（，，）的部分图象如图中实线所示，圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列区间中，函数单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，方程有三个实根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 不确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则的最小值为4 C. 已知都是正数，且，则 D. 若且，则的取值范围为 11. 已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 若在上单调递增 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记等差数列的前项和为，若则__________. 13. 若，，则________. 14. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则函数的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，． （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 已知周期为的函数． （1）求函数的最大值及相应的x的值； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求实数m的取值范围． 17. 设函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）在平面直角坐标系中，已知点，定义点，（其中），记，．证明：（ⅰ）；（ⅱ）． 19. 已知函数，（）． （1）求在上的最小值； （2）证明：（ⅰ）在上存在极值点和零点；（ⅱ）对于（ⅰ）中的和，满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学实验学校高2023级高三（上）10月月考试题数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程求得集合，利用交集的意义求解即可. 【详解】由，可得，解得或或， 所以，又，所以. 故选：B. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数和余弦函数的诱导公式，结合特殊角的正切值和余弦值进行求解即可. 【详解】 ， 故选：A 3. 已知，，则是的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解出p和q对应x的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义即可求解． 【详解】因为，所以或，因为，所以，即， 因为真包含于或，即但， 所以是的必要不充分条件． 故选：B． 4. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为求即可. 【详解】因， 则由题意可得，. 故选：D 5. 已知函数，直线与函数的图象相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点坐标，对函数求导，根据导数的几何意义得到方程，根据切点既在曲线上又在直线上得到方程，两边取对数得到，联立方程，解出，结合即可解得. 【详解】设直线与函数相切于点， 因为，所以， 根据导数的几何意义有， 因为点在直线上，所以， 因为点在曲线上， 所以， 所以有， 所以，即，， 对两边取对数有，，即， 将代入，有，解得， 又因为，所以. 故选：B 6. 函数（，，）的部分图象如图中实线所示，圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列区间中，函数单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合图像求出点的坐标，进而求出函数周期，通过周期公式求解的值.再通过代点求解出的值，最后通过整体代换的方式求解函数的单调递减区间即可. 【详解】由于圆心为函数的对称中心，因此可得交点，关于点中心对称， 由此可得：，故，即. 又，因，所以. 由，得，又因，所以， 故，又因为， 令（），解得：（） 当时，得：函数的单调递减区间为. 故选：C 7. 已知函数，若，方程有三个实根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，且最小值为， 函数在单调递增，且，如图所示： 由图象可知，无论，还是，函数的图象与直线都不可能有三个交点，不符合题意； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则有， 函数在单调递增，且，如图所示： 要想函数的图象与直线可能有三个交点， 只需，即， 故选：D 8. 已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为且，等差数列的公差为且，进而根据累加法得，，进而整理得，故，即. 【详解】解：设等差数列的公差为，且，则， ∴， ∴， ∵为等差数列，∴，(且为公差) ∴， ∴，∵，∴. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. 数列为递减数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可求出等比数列的首项和公比，即可求出其通项公式以及前n项和公式，分别判断各选项，即可求得答案. 【详解】设正项等比数列公比为， 对于A，由题意得， 结合，解得或（舍去），故A正确； 对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确； 对于D，，则，故D正确， 故选：ACD． 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则的最小值为4 C. 已知都是正数，且，则 D. 若且，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式性质判断A；利用基本不等式的取等条件判断C；利用基本不等式求解B，由已知条件利用基本不等式得出不等关系，解不等式即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，又，所以．正确； 对于B， ，则， 当且仅当即时取等号，所以的最小值为4，正确； 对于C，因为都是正数，且，所以， 所以，所以，错误； 对于D，，当且仅当时取等号， 即，即，得到或（舍去）， 故的取值范围为，正确. 故选：ABD 11. 已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 若在上单调递增 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】应用赋值法计算求解得出判断A，B，应用已知关系式得出函数再结合导函数得出单调性判断C，应用赋值法结合等差数列通项公式计算判断D. 【详解】令，可得，所以，A选项正确； 令，可得，所以不成立，所以的定义域不是，B选项不正确； 因为，所以，， 因为，所以，，， 当时，，在上单调递增，C选项正确； 若，令，可得， 所以，所以为等差数列， 所以，则，D选项正确； 故选：B. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记等差数列的前项和为，若则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前项和公式求解即可. 【详解】由题意得，所以. 故答案为：. 13. 若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出，再结合二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 由二倍角的正弦公式得 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则函数的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过奇偶性得到，进而求得，再结合一元二次函数即可求解. 【详解】由题意可得： 解得， 令定义域为，由解析式可知其单调递减， 当时，，当时， 所以， 当时取“=”，的最大值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，． （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） 因为，所以， 即，， 所以是首项为，公差为1的等差数列， 故，即， 所以数列的通项公式为； （2） 【解析】 【分析】（1）借助等差数列定义计算即可得； （2）借助错位相减法计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，① ，② 由得， 则， 所以，. 16. 已知周期为的函数． （1）求函数的最大值及相应的x的值； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）当，时，函数取得最大值3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的余弦公式、正余弦二倍角公式、辅助角公式把原函数解析式化简成正弦型函数形式，最后利用正弦型函数的周期公式、最值性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数图象的变换性质得到的函数解析式，再结合零点定义进行求解即可. 【小问1详解】 ． 由，得到． 当，，即，时， 函数取得最大值，最大值为3； 【小问2详解】 函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 可得函数的图象， 再将函数向右平移个单位，得到的图象， ， 令得到，解得或，． 当时，或， 当时，或 当时，或． 要使在区间上有且仅有3个零点，． 17. 设函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在和上单调递增． 当时，在上单调递减，在和上单调递增． 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）先求导得，然后分、、、讨论，即可求解； （2）由题不等式恒成立等价于不等式在上恒成立，当时，不等式显然成立，当时，即在上恒成立，设，再利用导数求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 依题意得． ①当时，，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在和上单调递增． ②当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增． ③当时，在上恒成立，所以在上单调递增； ④当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增． 所以当时，在上单调递减，在和上单调递增． 当时，在上单调递减，在和上单调递增． 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增． 【小问2详解】 当时，不等式恒成立， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式显然成立，此时； 当时，即在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，注意到， 所以当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在时取到最小值为， 所以，所以， 综上，的取值范围为. 18. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）在平面直角坐标系中，已知点，定义点，（其中），记，．证明：（ⅰ）；（ⅱ）． 【答案】（1） （2）（ⅰ）由题意可知：，则，， 因为， 且，，所以，即 所以，． （ⅱ）由（ⅰ）问的证明可知： ． 因为，则，所以． 【解析】 【分析】（1）根据前项和与通项公式的关系进行求解即可； （2）（ⅰ）根据两角差的正切公式，结合正切函数的性质进行运算证明即可； （ⅱ）根据上一问的结论，结合特殊角的正切值进行求解即可. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时， ， 化简得：， 经检验得，时也满足，故． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 19. 已知函数，（）． （1）求在上的最小值； （2）证明：（ⅰ）在上存在极值点和零点；（ⅱ）对于（ⅰ）中的和，满足． 【答案】（1）0 （2）（ⅰ）证明： ，其中，， 则，，， 当时，，， 由知，成立， 所以在上无零点，即在上无极值点； 当时，令， 则在上单调递增，， 由知，， 所以使得，当时，，即单调递减， 所以； 当时，，即单调递增， 因为，所以，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 故，又因为， 所以存在使得， 所以在上存在唯一零点，得证； （ⅱ）证明： 由（ⅰ）知成立，下面证明． 由（ⅰ）知，所以， 因为在上单调递增，要证，只需要证明． 因为，所以， 由（ⅰ）知，得， 所以， 由（1）知，当时，，所以， 令，其中， 则恒成立， 所以在上单调递增，所以，即成立， 所以成立，即， 综上所述，得证． 【解析】 【分析】（1）求导后结合导数单调性计算即可得； （2）（ⅰ）求导后分、进行讨论可得其单调性，即可得其极值点，再结合零点存在性定理即可得证；（ⅱ）结合函数单调性，可将证明转化为证明，构造函数，利用导数研究单调性即可得. 【小问1详解】 ，，求导可得， 所以在上单调递增，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）略； （ⅱ）略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $