精品解析：天津市第五中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

数学学科试卷 一、选择题（每小题5分，共计45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则m与n相交 5. 设函数在上是偶函数，且在上单调递增，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长方体的体积是36，点E在棱上，且，则三棱锥E-BCD的体积是（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 12 7. 双曲线C：的离心率为，抛物线的准线与双曲线C的渐近线交于A，B点，若(O为坐标原点)的面积为2，则抛物线的方程为（ ） A B. C. D. 8. 设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则 A. 上单调递减 B. 上单调递减 C. 上单调递增 D. 上单调递增 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（每小题5分，共计30分） 10. 复数z满足（其中i为虚数单位），则______． 11. 在的展开式中，的系数是______.（用数字作答） 12. 已知直线将圆的面积平分，过点作圆C的切线，切点为N，则__________________. 13. 已知，，且，则的最小值为______． 14. 已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为________. 15. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为X，则随机变量X的期望为______. 三.解答题 （共计75分） 16. 设锐角的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，． （1）求B大小； （2）若，，求边长b及的面积． 17. 如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点． （Ⅰ）求证：∥平面 (Ⅱ)求证：平面平面; (Ⅲ)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为300?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由． 18. 已知椭圆左焦点为，右顶点为，离心率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为直线与椭圆交于另一点，是轴上一点，且满足，若直线的斜率为，求直线的方程. 19. 已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线与圆相切. （1）求椭圆的方程； （2）过点且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点. 20. 已知函数，， 其中是自然对数的底数. （1）求曲线在点处的切线方程; （2）设函数 ①讨论函数的单调性； ②若为整数，且当时，恒成立，求的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科试卷 一、选择题（每小题5分，共计45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得出集合，再根据交集和并集的定义即可判断. 【详解】由题意，所以，故AC错误，B正确； ，故D错误. 故选：B 2. 设，则“”是“” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可. 详解：求解不等式可得， 求解绝对值不等式可得或， 据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件. 本题选择A选项. 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 若随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性可计算概率. 【详解】因为，所以． 因为，所以，，所以A，D错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确． 故选：C． 4. 若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则m与n相交 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，根据线线平行和线面垂直的性质得到答案. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，若，，则与平行或异面，A错误； 对于B，若，，则与异面、平行或相交，B错误； 对于C，若，则存在直线，满足且， 若，则，而，则，C正确； 对于D，若，，则与相交或异面，D错误. 故选：C. 5. 设函数在上是偶函数，且在上单调递增，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为，根据函数的单调性与奇偶性即可比较大小． 【详解】因为 又因为在上是偶函数，且在上单调递增， 则在上单调递减， 所以 故选：A 6. 如图，长方体的体积是36，点E在棱上，且，则三棱锥E-BCD的体积是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】 由锥体的体积公式可得三棱锥的体积为，结合长方体的体积是36可得结果. 【详解】因为长方体的体积是36，点E在棱上，且， 所以， 三棱锥E-BCD的体积是 故选：B. 【点睛】本题主要考查柱体的体积与锥体的体积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 7. 双曲线C：的离心率为，抛物线的准线与双曲线C的渐近线交于A，B点，若(O为坐标原点)的面积为2，则抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率公式可求出，从而根据抛物线的准线方程为，可求出A，B点的坐标，然后根据即可求出的值. 【详解】因为双曲线C的离心率为，所以，即，所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 又因为抛物线的准线方程为，所以，所以, 所以，即，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：A. 8. 设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则 A. 上单调递减 B. 上单调递减 C. 上单调递增 D. 上单调递增 【答案】A 【解析】 【详解】，则，解得，即； 的图象向左平移个单位得函数的图象； 当时，，所以上单调递减. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件可得，利用三角形面积求出半焦距，再利用直角三角形性质，结合二倍角的正切求出即可得解. 【详解】由，得，而，的面积为， 则，， 令双曲线的半焦距为，则，即，直线方程为， ，而，则， 联立解得，所以双曲线的方程为. 故选：A 二.填空题（每小题5分，共计30分） 10. 复数z满足（其中i为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的计算方法即可求解. 【详解】∵，∴. 另解：. 故答案为：. 11. 在的展开式中，的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项公式，求得的项数后可得系数． 【详解】，令得，所以所求系数为． 故答案为：． 12. 已知直线将圆的面积平分，过点作圆C的切线，切点为N，则__________________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆的圆心和半径，由于直线将圆的面积平分，所以可得直线过圆心，从而可求出的值，再利用勾股定理求出的值. 【详解】由圆，即， 则圆心，半径为， 因为直线将圆的面积平分， 所以圆心在直线上， 则，解得，故， 则， 所以． 故答案为：. 13. 已知，，且，则的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】等式变形为，则根据基本不等式即可得到答案． 【详解】解：已知，，且． ，即：． 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为18． 故答案为：18． 14. 已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】 计算抛物线的准线和双曲线的渐近线，得到，，化简得到，得到离心率. 【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为， 则有，，，，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 15. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为X，则随机变量X的期望为______. 【答案】 ①. 0.38 ②. 0.9 【解析】 【分析】分为只有甲合格，只有乙合格，只有丙合格，3种情况，根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出3种情况的概率，相加即可求得第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；根据已知可求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，因为概率相同，可以把它们看成3次重复试验发生次的概率，然后根据二项分布期望公式直接求解． 【详解】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，， 设表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则 ； 经过前后两次烧制后，甲合格的概率为，乙合格的概率为，丙合格的概率为， 则每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为， 所以，所以． 故答案为：0.38；0.9． 三.解答题 （共计75分） 16. 设锐角的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，． （1）求B的大小； （2）若，，求边长b及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得. （2）利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积. 【小问1详解】 由以及正弦定理，得， 因为，所以，又因为B为锐角，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，可得，解得． . 17. 如图，在直三棱柱中，，点分别为棱的中点． （Ⅰ）求证：∥平面 (Ⅱ)求证：平面平面; (Ⅲ)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为300?如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1. 【解析】 【分析】(1) 方法一：取中点为,连结,，要证平面，即证：,；方法二：以为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，又因为,即可得证.(2)方法一：要证平面平面，转证平面即证；方法二：分别求出两个平面的法向量即可得证.(3)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可得到结果. 【详解】方法一：(1)取中点为,连结, 由且, 又点为中点，所以 , 又因为分别为,中点,所以 , 所以, 所以共面于平面 , 因为,分别为中点, 所以, 平面, 平面, 所以平面 . 方法二：在直三棱柱中，平面 又因为, 以原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由题意得,. 所以,, 设平面的法向量为，则 ，即, 令，得, 于是 , 又因为, 所以 , 又因为平面， 所以平面 . （2）方法一：在直棱柱中，平面, 因为 ，所以, 又因为， 且, 所以平面 , 平面，所以, 又，四边形为正方形, 所以 , 又，所以, 又， 且, 所以平面 , 又平面, 所以平面平面 . 方法二：设平面的法向量为，, ，即 , 令，得, 于是 , , 即，所以平面平面. （3）设直线与平面所成角为，则, 设，则 , , 所以 , 解得或（舍）, 所以点存在，即的中点，. 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 18. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，是轴上一点，且满足，若直线的斜率为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的值，求出这两个量的值，可求得的值，进而可得出椭圆的方程； （2）求出点、的坐标，根据可得出关于的方程，结合可求得的值，进而可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：由题意可得，解得，，所以，， 所以，椭圆方程为. 【小问2详解】 解：设直线的方程为，设点， 联立可得， 则为方程的一根， 所以，，可得，则， 即点， 由，得，所以，直线方程为， 在直线的方程中，令可得，即点， 所以，，即， 解得或， 因为，解得或， 所以，直线的方程为或. 19. 已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线与圆相切. （1）求椭圆的方程； （2）过点且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而得到，，再结合直线与圆的位置关系求解即可； （2）设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得，再由、两点关于轴对称，得到直线的方程，令，求得的表达式，代入即可求证． 【小问1详解】 由题意知，离心率，即， 则，即，则， 由圆，则圆心为，半径为， 过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线方程为，即， 由于此直线与圆相切， 则，解得，则，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由题意设直线l的方程为， 由，得， 设，，则，， 因为、两点关于轴对称，所以， 直线的方程为， 令得： ， 所以直线与轴交于定点． 20. 已知函数，， 其中是自然对数的底数. （1）求曲线在点处的切线方程; （2）设函数 ①讨论函数的单调性； ②若为整数，且当时，恒成立，求的最大值； 【答案】（1）； （2）①答案见解析；②2. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）①求出函数的导数，按分类求出函数的单调性；②由给定恒成立的不等式分离参数，构造函数，利用导数求出函数在上的最小值所在区间即可. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ①函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. ②当时，函数，求导得， 当时，不等式， 令，，求导得， 由①知，函数在上单调递增，而， 函数在上存在唯一零点，即在上存在唯一的零点， 显然，且，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数的最小值为，则， 所以整数的最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $