精品解析：河南省开封市集英中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

开封市集英中学2025—2026学年第一学期第一次月考 九年级数学试题 注：①考试时间100分钟，满分120分． ②所有试题的答案要写在答题卡上，否则不得分． ③考试结束只交答题卡，请将试题卷保存好，以备讲评时使用 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 已知关于x的一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程概念即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由一元二次方程可得二次项系数为、一次项系数为、常数项为， 故选：． 2. 把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴向左平移1个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练掌握图象的平移规律是解决问题的关键． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．求出判别式的符号，即可得出结论，掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 4. 若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 5. 二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表所示，根据表中的数据可知，下列说法中不正确的是（ ） x … 1 3 … y … 0 5 9 5 … A. 这个函数的图象顶点为 B. 抛物线与x轴的交点坐标为和 C. 这个函数的最大值为9 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，最值问题，对称问题，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，解题的关键是正确利用表格中的数据进行分析． 先由表格可得当和时的函数值相等，继而确定对称轴为直线，然后即可判断B，由表格可得，当时，y的值随x值的增大而增大，即可判断A、C、D． 【详解】解：由表格可得当和时的函数值相等， ∴对称轴为直线，由表格可得顶点为， 由表格可得，当时，y的值随x值的增大而增大， ∴抛物线开口向下， ∴这个函数的最大值为9， ∵时，，且对称轴为直线， ∴当时，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 故A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 6. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程． 【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为， ∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元 即2019年我国快递业务收入为亿元， ∴可列方程：， 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程． 7. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根， ∴22﹣4m+3m=0，m=4， ∴x2﹣8x+12=0， 解得x1=2，x2=6． ①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 所以它的周长是14． 故选B． 8. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函的图象与性质．由二次函数的解析式可得，开口向下，对称轴为，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：二次函数， 则，开口向下，对称轴为， 则函数图像上的点，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离分别为：1、0、， ∵ ∴， 故选：C 9. 若二次函数，在时，随的增大而减小，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 10. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象和性质，掌握它们的性质是解题的关键．根据二次函数图象开口方向可以判断出的符号，由对称轴的位置判断b的符号，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象可知，函数图形开口向下， ∴ ∴一次函数中随的增大而减小， ∵抛物线的对称轴直线在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数交于轴的正半轴， ∴一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若抛物线开口向下，且经过原点，则它的解析式是______．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线解析式的特征．根据开口向下，可得，且经过原点，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，且经过原点， ∴其解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一） 12. 抛物线与x轴交点个数为_____个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数． 先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义可得到抛物线与x轴的交点个数． 【详解】解：∵， ∴抛物线与x轴有2个交点． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则．根据一元二次方程有两个相等的实数根可知，即，即可解得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得； 故答案为：． 14. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 15. 如图，有一个横截面边缘为抛物线形的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度约为___________（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，解此题的关键是理解题意，求得相应的函数解析式，注意待定系数法的应用． 建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，，，，又由抛物线的顶点在轴上，即可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，继而求得这个隧道入口的最大高度． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，，，． 设抛物线的表达式为． 把，代入，得 解得 该抛物线的表达式为，则， 这个隧道入口的最大高度约为． 故答案为：． 三、解答题 16. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用因式分解法求一元二次方程，准确计算是解题的关键． （1）利用十字相乘法求解即可； （2）利用提公因式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 17. 已知二次函数． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）的值为； （2）的值为或； （3）的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）把代入解析式即可求解； （）把代入解析式，然后解方程即可； （）根据二次函数的性质的性质即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴的值为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，， ∴的值为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为． 18. 在等腰中，三边长分别为a、b、c，其中，若关于x的方程：有两个相等的实数根． （1）求b的值； （2）求的周长． 【答案】（1）2 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根，判别式求解即可，注意b是三角形的边，所以b>0； （2）分两种情况：当c=b时，当c=a时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∵b为的边，即b>0， ∴b=2； 【小问2详解】 解：当c=b=2时，a=5，b+c<a，所以三角形不存在， 当c=a=5时，的周长=a+b+c=5+2+5=12， 综上，的周长为12． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，求出b值是解题的关键． 19. 如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． 【答案】（1）米 （2）花圃的长为，宽为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键． （1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设花圃的宽AB长为x米，则长米， 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：；， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意． 答：花圃的长为，宽为． 20. 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程：，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为①， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 解决问题： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的（ ） A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．建模思想 （2）已知方程，若设，则原方程可化为______． （3）利用以上学习到的方法解方程：． 【答案】（1）B （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了换元法解高次方程． （1）根据换元法体现了数学的转化思想作答即可； （2）将代入原方程即可； （3）求解，进而求解即可． 【小问1详解】 解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想， 故选：B； 【小问2详解】 已知方程， 若设，则原方程可化为， 故答案为：； 【小问3详解】 ， ， 解得：． ∵， ∴或． 当时，， 此时，无解； 当时，， ， 解得：． 21. 党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求每天销售量的平均增长率． （2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润，最在利润是9 元 【解析】 【分析】（1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，列出二次函数求最值解题． 【小问1详解】 每天销售量的平均增长率为，根据题意得： 解得：，(不合题意，舍去) ∴每天销售量的平均增长率为 【小问2详解】 设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元， ∴ ∵ ∴当时， ∴将钥匙扣的销售价定为每件元时，每天可获得最大利润，最在利润是元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题，分析题意列出等量关系是解题的关键． 22. 如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． （1）求与的函数关系式； （2）足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：足球能越过人墙，能直接射进球门，理由如下： 由（1）得， 当时，， ∴足球能越过人墙， 当时， ∴足球能直接射进球门． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）设，根据函数图象过原点，求出a的值即可； （2）分别把和代入函数解析式求出y的值与2和比较即可． 【小问1详解】 解：依题意设， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴所求的函数关系式为； 【小问2详解】 略 23. 如图，抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式，可得点，，从而得到，再由结合二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把点、、代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴，交于点Q，     设直线的解析式为， 把、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是抛物线上的动点， ∴点，， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封市集英中学2025—2026学年第一学期第一次月考 九年级数学试题 注：①考试时间100分钟，满分120分． ②所有试题的答案要写在答题卡上，否则不得分． ③考试结束只交答题卡，请将试题卷保存好，以备讲评时使用 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 已知关于x的一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 把抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（       ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 或2 5. 二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表所示，根据表中的数据可知，下列说法中不正确的是（ ） x … 1 3 … y … 0 5 9 5 … A. 这个函数的图象顶点为 B. 抛物线与x轴的交点坐标为和 C. 这个函数的最大值为9 D. 当时，y的值随x值的增大而减小 6. 国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 7. 已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 8. 已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数，在时，随的增大而减小，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若抛物线开口向下，且经过原点，则它的解析式是______．（写一个即可） 12. 抛物线与x轴交点个数为_____个． 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 14. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是___________； 15. 如图，有一个横截面边缘为抛物线形的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度约为___________（结果精确到）． 三、解答题 16. 解下列方程 （1）； （2）． 17. 已知二次函数． （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，请直接写出的取值范围． 18. 在等腰中，三边长分别为a、b、c，其中，若关于x的方程：有两个相等的实数根． （1）求b的值； （2）求的周长． 19. 如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长； （2）若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． 20. 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程：，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为①， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 解决问题： （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的（ ） A．方程思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．建模思想 （2）已知方程，若设，则原方程可化为______． （3）利用以上学习到的方法解方程：． 21. 党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． （1）求每天销售量的平均增长率． （2）“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22. 如图，在某次足球比赛中，李强站在点处发出任意球，把球看作点，其运行轨迹的高度（）与水平距离（）满足二次函数关系，且当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米，此时防守队员站在李强前方米处组成人墙，防守队员的身高为米，对手球门与李强的水平距离为米，已知足球球门的高是米． （1）求与的函数关系式； （2）足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由． 23. 如图，抛物线经过点、、． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $