精品解析：河南省焦作市宁郭镇张庄初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

河南省2025－2026学年第一学期学业评估试卷九年级数学（北师大版） 1~2.4章 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 将一个关于x的一元二次方程化成一般形式后为，则其一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式可得答案． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程化成一般形式后为，则其一次项系数为． 故选：B 2. 如图，在菱形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分一组对角．根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ， 故选：D． 3. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．根据题意，把，代入方程，得到关于a，b的等式，化简即可求得结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ） A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 5. 如图是小文用配方法解一元二次方程的解答过程，其中最先开始出错的步骤是（ ） A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 根据配方法的步骤，逐步进行判断即可． 【详解】解：……第一步， ……第二步， ∴小文在第二步的时候，开始出现错误； 故选：B． 6. 在如图所示的平面直角坐标系中，正方形的边长为，边平行于x轴．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查平面直角坐标系中正方形的性质（边的平行与垂直关系、边长与坐标的关系）．解题关键是利用正方形对边平行、邻边垂直的性质推导坐标，易错点是混淆横纵坐标的变化方向或长度计算错误． 首先由轴且正方形边长为4，结合，求出A的横坐标和纵坐标（与B相同为1），得到．然后由正方形邻边，可知轴，因此D的横坐标与A相同为，纵坐标为A的纵坐标加边长，得到． 【详解】由题意得，A横坐标为，纵坐标为1，即． 又轴，D横坐标为，纵坐标为，即． 故选：A． 7. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式等于零列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 8. 如图，矩形中，，点P在上，，连接并延长，交的延长线于点Q，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，等边对等角，结合对顶角相等，两直线平行，内错角相等，得到，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵矩形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 小华在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题意是解答的关键．根据题意得到，进而解方程即可求解． 【详解】解：由题意，，即， 解得， ∵a为正数， ∴． 故选：C． 10. 如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理，连接，交于点，由菱形性质得，，，根据图可知，，，由勾股定理求出，当时，最小，即最小，最后由等面积法即可求解，读懂图象信息，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 根据图可知，，， ∴，， ∴， ∵同时运动， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题（每小题分，共分） 11. 请写出一个根为2的一元二次方程：__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出一个符合题意的一元二次方程，即可求解． 本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：依题意，有一个根为的一元二次方程可以是： 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，．若点是对角线的中点，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， 故答案为：． 13. 把一元二次方程化成的形式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，求代数式的值，先将化成，得出、的值，再代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，点E、F分别是线段上的动点，连接，若，，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，证明是等边三角形，证明，则，，如图，作于，则，，由勾股定理得，，，进而可求阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作于， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键． 15. 如图，把边长为的正方形纸片沿剪开，并将绕点旋转后，点的对应点为，点的对应点为点，当与交于点时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是分类讨论．利用正方形的性质得出，，，进而求出，分两种情况讨论：当将绕点顺时针旋转时，当将绕点逆时针旋转时，根据旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为， ，，， ， 如图，当将绕点顺时针旋转时，得到， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ； 如图，当将绕点逆时针旋转时，得到，则的延长线与的延长线交于点， 由旋转可得：，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可求解方程； （2）根据因式分解法可求解方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 17. 如图，数轴上有A，B两点（点A在点B左侧），对应的实数分别为和，且数轴的原点在线段AB上（不与点A，B重合）． （1）小华说：“实数一定是正数．”请判断他的说法是否正确，并说明理由； （2）若，求的值． 【答案】（1） 解：小华的说法正确， 理由：∵点A在原点的左侧，点B在原点的右侧， 当x为正数时，为负数，为正数，符合题意， 当x为负数时，为正数，不合题意， 当x为0时，和都是0，不合题意， ∴实数x一定是正数，小华的说法正确； （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，公式法解一元二次方程． （1）根据实数与数轴分类讨论判断即可； （2）根据数轴上两点的距离公式得到，再利用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴，即x的值为． 18. 已知四边形为正方形，点E在边上，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的垂线与相交于点F，与相交于点G，求证：． 【答案】（1） 如图： （2） 证明：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质和尺规作图，学会尺规作图是解决本题的关键． （1）以点B为圆心作弧，使弧能交于点E和点I，以点E为圆心，以大于长度为半径作弧，以点I为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧交于一点H，直线交线段于点F，此时； （2）根据正方形的性质和，可得和，可证进而即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程的根、整式的化简求值，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据题意，由列不等式求解即可； （2）根据方程的解的意义得到，然后化简所求代数式，进而代值求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵为方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O．有下列条件：①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形． （2）在（1）的条件下，若菱形的面积为24，，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：若选择①． ，， 四边形ABCD是平行四边形． ， 四边形ABCD是菱形． 若选择②． ，， 四边形ABCD是平行四边形． ， 四边形ABCD是菱形． （2）5． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、菱形的定义与性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于熟练掌握平行四边形和菱形的判定条件，利用菱形对角线的性质和面积公式建立边与对角线的关系，再通过勾股定理求解边长。 （1）若选择条件① ，根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由 且 可判定四边形 是平行四边形。又因为已知 ，根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以四边形 是菱形。若选择条件② ，根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由 且 可判定四边形 是平行四边形。再结合已知 ，依据菱形的定义，能得出四边形 是菱形。 （2）已知四边形 是菱形，根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，即 ， ， 。由菱形面积公式 菱形 ，已知面积和 的值，可求出 的长度，进而得到 的长度。在 中，利用勾股定理 求出菱形的边长。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形ABCD是菱形，， ，，， ，． 菱形ABCD的面积为24， ， ， ． 在中，， 菱形ABCD的边长为5． 21. 某校为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块矩形试验田，即如图所示的矩形．若试验田的一边靠墙，墙长，另三边用总长为的栅栏围成，栅栏安装过程不重叠，无损耗，围成的矩形试验田四周不能有空隙． （1）要围成矩形试验田的面积为，则求试验田边的长； （2）该校想要围成一个面积为的试验田，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）试验田边的长为 （2） 解：这一想法不能实现， 理由：设，则， 由题意，，整理得， 解得， 当时，，不合题意， 答：要围成一个面积为的试验田的想法不能实现． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设，则，根据列方程求解，舍去不合要求的解即可； （2）设，则，根据列方程求解，进而求出边的长，可知边的长大于墙长，不能实现． 【小问1详解】 解：设，则， 由题意，，整理得， 解得，， 当时，，不合题意， 当时，，符合题意， 答：试验田边的长为； 【小问2详解】 略 22. 四边形中，， （1）如图1，求证：四边形为矩形． （2）如图1，为延长线上一点，连分别为的中点，，求． （3）如图2，点为中点，将沿折叠到，点落点在，射线交边于，则________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角是的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）如图：延长至E，使得，连接，则，易证可得，再证明是的中位线，最后根据中位线的性质即可解答． （3）如图：连接，由矩形的性质、中点的定义、折叠的性质可得、，易证可得，进而得到；设，则、、、，再由勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：延长至E，使得，连接，则， ∵ ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴，即， ∵P为的中点， ∴是的中位线， ∴． 【小问3详解】 解：如图：连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵将沿折叠到，点落点在， ∴，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， 在中，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴，解得：． ∴． 23. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． 【问题情境】 在矩形中，点为边上一点，点为边上一点，连接，将四边形沿折叠，点，的对应点分别为，． 【特例探究】 （1）如图1，点与点重合，则四边形的形状为___________，请说明理由； （2）如图2，若点为的中点，，延长交于点．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，当点为的三等分点时，直接写出的值． 【答案】 （1）四边形为菱形． 理由如下： 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形． （2），理由如下： 如图，连接， 为的中点， ， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：， ，， 在和中， ， ． ． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据四边形是矩形，得出，即可得，由折叠的性质得：，，则，证出，，得四边形是平行四边形，又结合，即可证明平行四边形为菱形． （2）如图，连接，证明，即可解答． （3）根据题意，分两种情况：①若点为的三等分点，且，②若点 E为的三等分点，且，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：①若点为的三等分点，且，如图所示： ， ， 过点作于，如图所示， 则四边形为矩形， ， ， ， ∵将矩形沿折叠， ， ， ； ②若点E 为的三等分点，且，如图所示： ， 过点作于， 同理可得， ， 同理，由折叠可得， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的判定与性质，菱形的判定，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2025－2026学年第一学期学业评估试卷九年级数学（北师大版） 1~2.4章 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 将一个关于x的一元二次方程化成一般形式后为，则其一次项系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 如图，在菱形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. 3 C. D. 1 4. 如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ） A. 有三个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 5. 如图是小文用配方法解一元二次方程的解答过程，其中最先开始出错的步骤是（ ） A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 6. 在如图所示的平面直角坐标系中，正方形的边长为，边平行于x轴．若点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 8. 如图，矩形中，，点P在上，，连接并延长，交的延长线于点Q，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 小华在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图1，四边形是菱形，点以的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为，，两点之间的距离为，与的函数关系的图象如图所示，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题分，共分） 11. 请写出一个根为2的一元二次方程：__________ 12. 如图，在矩形中，，．若点是对角线的中点，则的长为__________． 13. 把一元二次方程化成的形式，则的值为______． 14. 如图，在菱形中，，点E、F分别是线段上的动点，连接，若，，则图中阴影部分的面积是__________． 15. 如图，把边长为的正方形纸片沿剪开，并将绕点旋转后，点的对应点为，点的对应点为点，当与交于点时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 17. 如图，数轴上有A，B两点（点A在点B左侧），对应的实数分别为和，且数轴的原点在线段AB上（不与点A，B重合）． （1）小华说：“实数一定是正数．”请判断他的说法是否正确，并说明理由； （2）若，求的值． 18. 已知四边形为正方形，点E在边上，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点B作的垂线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的垂线与相交于点F，与相交于点G，求证：． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为方程的一个根，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于点O．有下列条件：①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形． （2）在（1）的条件下，若菱形的面积为24，，求菱形的边长． 21. 某校为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块矩形试验田，即如图所示的矩形．若试验田的一边靠墙，墙长，另三边用总长为的栅栏围成，栅栏安装过程不重叠，无损耗，围成的矩形试验田四周不能有空隙． （1）要围成矩形试验田的面积为，则求试验田边的长； （2）该校想要围成一个面积为的试验田，这一想法能实现吗？请说明理由． 22. 四边形中，， （1）如图1，求证：四边形为矩形． （2）如图1，为延长线上一点，连分别为的中点，，求． （3）如图2，点为中点，将沿折叠到，点落点在，射线交边于，则________． 23. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． 【问题情境】 在矩形中，点为边上一点，点为边上一点，连接，将四边形沿折叠，点，的对应点分别为，． 【特例探究】 （1）如图1，点与点重合，则四边形的形状为___________，请说明理由； （2）如图2，若点为的中点，，延长交于点．求与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若，，，当点为的三等分点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $