专题3.1 列代数式表示数量关系 易错重难点培优同步讲义　　2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

3.1 列代数式表示数量关系 【题型1】代数式的识别与判断 1.核心知识点总结 -代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数（如）或一个字母（如）也是代数式。 -代数式中不含“”“”“”“”等等式或不等式符号，含有这些符号的式子（如、）不是代数式。 2.高频考点梳理 -直接判断给定式子是否为代数式，如区分“”（是）与“”（不是）。 -统计一组式子中代数式的个数，常结合等式、不等式、含单位的式子（如“米”需判断：“”是代数式，“米”中“”是代数式，整体表述需加括号时式子本身仍需识别）。 3.易错点警示 -误将等式（如)、不等式(如)归为代数式，忽略“不含等号、不等号”的核心特征。 -认为含单位的式子(如“小时”)不是代数式，实际“”是代数式，单位仅为补充说明，不影响式子本身的代数式属性。 4.解题技巧拆解 -第一步：观察式子中是否含“”“”“”“”，若有则直接排除。 -第二步：若不含上述符号，再判断是否为单独的数、字母，或由运算符号连接的数与字母，符合则为代数式。 【例题1】．（2024-2025•济宁期末）下列各式中，是代数式的是（　　） A．3x+y B．n+2＞3 C． D．5.89≈5.9 【变式题1-1】．（2024-2025•天元区期末）李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为﹣4； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（　　） A．x2+4x2y2+5 B．4x5﹣4x2y2+5 C．3x3﹣4xy3﹣5 D．﹣2x3﹣4xy3+5 【变式题1-2】．（2024-2025•隆阳区期末）下列式子是代数式的是（　　） ①x+1＝7；②5t；③x+1≠0；④x﹣5≥0． A．① B．② C．③ D．④ 【变式题1-3】．（2024-2025•通道县期末）下列各式中，代数式的个数是（　　） ①；②26+38；③ab＝ba；④；⑤2a﹣1；⑥a；⑦；⑧5n+2． A．5 B．6 C．7 D．8 【题型2】代数式的规范书写 1.核心知识点总结 -数字与字母、字母与字母相乘时，“”可省略或写作“”，如“”写作“”或“”；数字与数字相乘仍用“”，如“”不能写作“”。 -带分数与字母相乘时，需将带分数化为假分数，如“”写作“”。 -含有除法运算时，用分数表示，如“”写作“”()。 -代数式后带单位时，若代数式为和差形式，需给代数式加括号，如“元”，积商形式可直接加单位(如“千克”)。 2.高频考点梳理 -修改不规范的代数式，如将“”改为“”、“”改为“”。 -判断选项中符合书写规范的代数式，常考数字与字母的顺序(如“”错误，应为“”)、除法的表示形式。 3.易错点警示 -带分数直接与字母相乘，如误写“”，未化为假分数“”。 -除法仍用“”表示，忽略“分数形式”的要求；或代数式为和差时带单位不加括号，如“元”(错误)，应为“元”。 4.解题技巧拆解 -对照“乘号省略、数字在前、带分数化假分数、除法写分数、单位括号”5条规则，逐一检查代数式。 -遇到不规范书写时，按“先改运算符号(→省略/，→分数)，再调顺序(数字在前)，最后处理带分数和单位”的步骤修改。 【例题2】．（2024-2025•林州市期末）下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C．xy÷3 D．x×y 【变式题2-1】．（2024-2025•莱州市期末）下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A．a9 B．x﹣3元 C． D． 【变式题2-2】．（2024-2025•榆中县期末）下列式子中，符合代数式书写格式的是（　　） A．a÷c B．a×5 C． D． 【变式题2-3】．（2024-2025•南岗区校级月考）在式子0.5xy+1，2÷x，（x+y），a3，﹣8a2中，符合代数式书写要求的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3】用字母表示简单数量关系 1.核心知识点总结 -用字母表示数时，需抓住关键词确定运算关系：“和”对应加法(如“与的和”为)、“差”对应减法(如“比大”为)、“倍”对应乘法(如“的倍”为)、“商”对应除法(如“除以”为)。 -同一问题中，相同字母表示相同量，不同量用不同字母表示(如用表示苹果单价，表示购买数量)。 2.高频考点梳理 -根据文字描述列代数式，如“比的倍少的数”为、“与的差的倍”为。 -结合简单生活场景列代数式，如“每支笔元，买支的总价”为。 3.易错点警示 -混淆“比的倍少”与“比少的倍”，前者为，后者为，忽略运算顺序。 -漏写“倍”中的“”，如“的倍”误写为“倍”，实际应为“”(可简化为)，但需明确“倍”的数量关系。 4.解题技巧拆解 -第一步：圈出文字中的关键词(如“倍”“多”“少”“和”“差”)，确定核心运算。 -第二步：按“先读先写、先低级运算后高级运算”的原则，若有括号需求(如“差的几倍”)，先列括号内的差，再乘倍数。 【例题3】．（2024-2025•海淀区校级月考）一种商品成本为a元，按成本增加23%定价，售出60件，可盈利 　 　 元（用含a的式子表示）． 【变式题3-1】．（2024-2025•富平县期末）某产品的成本价为a元/件，销售价比成本价增加了14%，现因库存积压，按销售价的八折出售，那么该产品的实际售价为　 　 元/件．（用含a的代数式表示） 【变式题3-2】．（2024-2025•石家庄期末）用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【变式题3-3】．（2024-2025•威海期末）如图是由连续的奇数1，3，5，7，…排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（　　） A．3x+1 B．3x+2 C．4x+1 D．4x+2 【题型4】代数式的实际意义解读 1.核心知识点总结 -代数式的实际意义需结合生活场景(如购物、行程、几何)，将字母与具体量对应，运算关系与实际行为对应(如“”可表示“千克苹果，每千克元的总价”)。 -同一代数式可赋予多种实际意义，只要符合运算关系即可(如“”可表示“长、宽的长方形周长”，也可表示“件单价为元的商品总价”)。 2.高频考点梳理 -解读给定代数式的实际意义，如解释“”()：“与的差的一半，可表示‘两个数、，较大数比小数多的部分的一半’”。 -根据实际意义判断对应的代数式，如“购买千克单价为元的香蕉，找回元”，匹配代数式“”。 3.易错点警示 -解读时混淆运算顺序，如将“”误读为“的平方与的平方的和”(实际是“与的和的平方”，区别于“”)。 -赋予的意义与运算关系不符，如将“”解释为“千克苹果和千克梨，苹果元/千克，梨元/千克的总价”(正确)，误解释为“与的差”(错误)。 4.解题技巧拆解 -第一步：分析代数式的运算结构(如“”是“的倍加”)。 -第二步：选择熟悉的生活场景(购物、行程、几何等)，将字母对应具体量(如表示数量，表示固定费用)，运算对应实际行为(如“”表示“件商品，每件元的费用”，“”表示“额外元运费”)。 【例题4】．（2024-2025•广汉市期末）甲、乙同学关于“代数式2（x+y）”的意义叙述，判断正确的是（　　） 甲：x的2倍与y的和； 乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【变式题4-1】．（2024-2025•宁乡市期末）下列代数式用自然语言表示正确的是（　　） A．（x+y）2表示x与y平方的和 B．x2+y2表示x与y和的平方 C．表示a与b的倒数和 D．表示c与a，b的积的商 【变式题4-2】．（2024-2025•平城区期末）代数式（a﹣b）2的意义是（　　） A．a，b两数的平方差 B．a与b的差的平方 C．a与b的平方的差 D．b，a两数的平方差 【变式题4-3】．（2024-2025•西峡县期末）买一个足球需要x元，买一个篮球需要y元，则（2x+3y）元表示的实际意义为（　　） A．买3个足球和2个篮球需要的钱 B．买2个足球和3个篮球需要的钱 C．买3个足球比买2个篮球多花多少钱 D．买2个足球比买3个篮球多花多少钱 【题型5】列代数式表示数字问题 1.核心知识点总结 -多位数的表示：若十位数字为、个位数字为，两位数表示为(十位数字个位数字)；若百位数字为、十位为、个位为，三位数表示为。 -连续数的表示：连续整数可表示为、、(为整数)；连续奇数可表示为、(为整数)；连续偶数可表示为、(为整数)。 2.高频考点梳理 -用字母表示两位数、三位数，如“十位数字为，个位数字比十位数字大，两位数表示为”。 -表示连续数的和、差、倍，如“三个连续偶数的和为”。 3.易错点警示 -将多位数写成字母相乘的形式，如将“十位、个位的两位数”误写为“”(实际是，“”表示)。 -表示连续奇数/偶数时，忽略“间隔”的特征，如将连续奇数误写为、(实际应为、)。 4.解题技巧拆解 -表示多位数：明确“数位权重”(十位、百位)，先写每位数字对应的加权值，再相加。 -表示连续数：先确定中间数为，根据“连续整数间隔、奇数/偶数间隔”，写出前后数，再列代数式。 【例题5】．（2024-2025•和田地区期末）一个两位数M，个位上的数字为a，十位上的数字为b，若把个位与十位上的数字交换位置得到一个新两位数N，则M﹣N的值为（　　） A．20 B．a+2b C．9b﹣9a D．9a﹣9b 【变式题5-1】．（2024-2025•新邵县期末）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为（　　） A．ab B．a+b C．10a+b D．10b+a 【变式题5-2】．（2024-2025•无棣县期末）我们常用表示一个十位数字为a、个位数字为b的两位数，即用代数式10a+b表示，类似的，请你用代数式表示四位数　 　 ． 【变式题5-3】．（2024-2025•白河县期末）一个三位数，它的个位数字是a，十位数字是个位数字的2倍多1，百位数字比个位数字大4． （1）用含a的式子表示这个三位数是 　 　 ； （2）若交换个位数字和百位数字，其余不变，则新得到的三位数比原来的三位数减少了多少？ 【题型6】列代数式表示销售问题(提升) 1.核心知识点总结 -销售问题核心关系：现价原价折扣(如折表示折扣为)、利润售价进价、总价单价数量、提价/降价后价格原价百分比(提价用“”，降价用“”)。 -常见场景：原价元，先提价再降价，现价为；买件商品，单价元，满减规则“满减”，总价为(表示向下取整)。 2.高频考点梳理 -结合提价、降价、折扣列代数式，如“原价元，先降价，再打折，现价为”。 -结合满减、买赠列代数式，如“单价元，买送，买件的总价为(买件送件)”。 3.易错点警示 -提价/降价的基数混淆，如“原价元，先提价(变为元)，再降价”，误算为元(实际为元)，忽略第二次降价的基数是提价后的价格。 -满减规则漏算，如“满减”，买件单价元的商品(总价元)，误算为元(实际满减，仅减次，为元)。 4.解题技巧拆解 -分步分析：按“原价→第一次价格变化(提价/降价/折扣)→第二次价格变化→最终价格”的步骤，每一步明确基数和运算关系，用括号区分运算顺序。 -满减/买赠问题：先计算总价(单价数量)，再根据规则计算优惠金额(如满减算次数、买赠算实际需付款数量)，最后用总价减优惠金额。 【例题6】．（2024-2025•任城区期末）某商店去年12月份利润为a元，今年1月份利润预计比去年12月份增加50%还多1000元，则今年1月份利润预计为（　　） A．50%（a+1000）元 B．（50%a+1000）元 C．（150%a+1000）元 D．150%（a+1000）元 【变式题6-1】．（2025春•瑶海区校级期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了2a%，3月份的利润比2月份的利润下降了a%，则该公司3月份比1月份利润增长了（　　） A．a% B．1﹣2a% C．（1+a%）a% D．（1﹣2a%）a% 【变式题6-2】．（2024-2025•闵行区期末）一台电脑原价a元（4000＜a＜5000），先参加双十一活动满4000减500，再享受政府补贴降价，那么这台电脑的实际售价为 　 　 元（用含有a的代数式表示）． 【变式题6-3】．（2024-2025•思明区校级期末）“双十一”来临，某商场举办购物优惠活动，其优惠规则如下：当顾客的应付金额超过某固定金额时，超过部分给予一固定折扣．以下为部分应付金额与实付金额的对照表： 应付金额m（元） 100 200 300 400 500 600 实付金额n（元） 100 200 290 370 450 530 试写出当超过该固定金额时，n＝ 　 　 .（用含m的代数式表示） 【题型7】列代数式表示行程问题(提升) 1.核心知识点总结 -行程问题核心公式：路程速度时间()，变形为“时间路程速度”()、“速度路程时间”()。 -特殊场景：顺水速度静水速度水流速度()；逆水速度静水速度水流速度()；相遇问题中，总路程甲路程乙路程()；追及问题中，路程差速度差时间()。 2.高频考点梳理 -列代数式表示时间、速度，如“甲乙两地相距千米，船静水速度为千米/时，水流速度为千米/时，顺水航行时间为小时”。 -结合相遇、追及列代数式，如“甲速度千米/时，乙速度千米/时，同时从相距千米的两地相向而行，小时后两人相距千米()”。 3.易错点警示 -顺水/逆水速度混淆，误将逆水速度写为，忽略“逆水需减水流速度”。 -相遇问题中漏算“相距距离”的两种情况(未相遇时相距，相遇后相距)，未注明时间范围。 4.解题技巧拆解 -第一步：明确问题类型(普通行程、顺水逆水、相遇追及)，确定核心公式。 -第二步：区分“已知量”和“未知量”，将未知量用字母表示，代入公式推导代数式(如求时间，用“时间路程速度”，路程和速度用已知量或字母表示)。 -第三步：相遇/追及问题需注明时间范围(如“未相遇时”“相遇后”)，避免代数式歧义。 【例题7】．（2024-2025•环翠区期末）小丽家和小明家到学校的路程都是3m，其中小丽家走的是平路骑车速度是2v km/h．小明家需要走1km的上坡路，2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h，那么小丽比小明在路上花费的时间（　　）h． A．相同 B．少 C．多 D．不确定 【变式题7-1】．（2024-2025•兰山区期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡．已知小明上坡平均速度为x，下坡平均速度为y（x≠y），在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（　　） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【变式题7-2】．（2024-2025•松山区期中）两车同时、同地、同向出发，快车行驶速度是x km/h，慢车行驶速度是y km/h，3h后两车相距列式可以表示为 　 　 km． 【变式题7-3】．（2024-2025•石家庄校级开学）甲、乙两地相距s km，汽车从甲地到乙地以每小时行驶v km的速度行驶，可按时到达，若每小时多行驶a km，则汽车可提前几小时到达？ 【题型8】列代数式表示几何图形问题(提升) 1.核心知识点总结 -常见图形公式：长方形周长、面积；正方形周长、面积；圆周长、面积；正方体体积；长方体体积(、、为长宽高)。 -图形变化场景：正方形边长，剪去个边长为的小正方形(四角)，折成无盖长方体，高为，底面边长为，体积为；圆环面积外圆面积内圆面积(为外圆半径，为内圆半径)。 2.高频考点梳理 -结合图形面积、周长、体积列代数式，如“长方形长为，宽为，面积为”。 -结合图形拼接/裁剪列代数式，如“两个半径为的圆拼接成一个圆柱(底面半径，高)，体积为”。 3.易错点警示 -图形变化后边长/半径计算错误，如“正方形边长，剪去小正方形边长，折成无盖长方体”，误将底面边长写为(实际为，因为左右/上下各剪去)。 -混淆周长与面积公式，如“圆的面积”误写为(实际为，是周长)。 4.解题技巧拆解 -第一步：明确原始图形的公式(如面积、周长)，标注已知边长/半径/高(用字母表示)。 -第二步：分析图形变化(裁剪、拼接、折叠)，确定变化后图形的关键量(如无盖长方体的高剪去小正方形的边长)。 -第三步：将变化后的关键量代入公式，推导代数式(如无盖长方体体积底面积高)。 【例题8】．（2024-2025•滦南县期末）下列选项中，能用2a+6表示的是（　　） A．整条线段的长度 B．整条线段的长度 C．这个长方形的周长 D．这个图形的面积 【变式题8-1】．（2024-2025•龙岗区校级期末）完全相同的6个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为a，b的大长方形，则图中阴影部分的周长是 　 　 ．（用含a，b的式子表示） 【变式题8-2】．（2024-2025•凤阳县期末）如图所示是一个长方形． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S； （2）若x＝3，求S的值． 【变式题8-3】．（2024-2025•和田地区期末）如图，四边形ABCD和ECGF都是正方形，且它们的边长分别为a，b，则阴影部分的面积S为　 　 ．（结果要求化简） 【题型9】正比例关系的判断与代数式表示(提升) 1.核心知识点总结 -正比例关系定义：两个相关联的量、，若(为定值，且)，则与成正比例关系，代数式表示为。 -常见正比例场景：速度一定时，路程与时间(，为定值)；单价一定时，总价与数量(总价单价数量，单价为定值)；圆的周长与半径(，为定值)。 2.高频考点梳理 -判断两个量是否成正比例，如“长方形的长一定，面积与宽”(成正比例，，为定值)、“人的年龄与身高”(不成正比例，比值非定值)。 -根据正比例关系列代数式，如“与成正比例，且时，代数式为”。 3.易错点警示 -误认为“有倍数关系就是正比例”，如“长方形的周长与长”(，若为定值，，比值，非定值，不成正比例)。 -忽略“”的条件，如“”()，虽比值为，但恒为，不满足“两个量都变化”的要求，不成正比例。 4.解题技巧拆解 -第一步：判断两个量是否相关联(一个量变化，另一个量是否随之变化)。 -第二步：计算两个量的比值，若比值为定值(非)，则成正比例，列代数式(为定值)；若比值非定值，则不成正比例。 【例题9】．（2024-2025•威县校级开学）下面各项中，两种量不成正比例关系的是（　　） A．单价一定，总价和数量 B．圆柱体底面积一定，体积和高 C．长方形的长一定，面积和宽 D．工作总量一定，工作效率与工作时间 【变式题9-1】．（2024-2025•东港区校级开学）当a（a≠0）一定时，下面式子中x和y成正比例的是（　　） A．xy÷a＝1 B．xy C．a÷x＝y D．a+x＝y 【变式题9-2】．（2024•莲池区校级开学）下列结论能作为a与b成正比例的有①a×b＝c，c一定；②a÷b＝c，c一定；③c÷a＝b，c一定；④a÷c＝b，c一定．（　　） A．①②③ B．①③ C．②④ D．② 【变式题9-3】．（2024•市南区开学）关于正比例的判断，有以下四种说法： （1）订同一种杂志的钱数和份数成正比例． （2）正方形的面积和它的边长成正比例． （3）八小时内，工人做零件的个数和做每个零件所用时间成正比例． （4）平行四边形的面积与和它等底等高的三角形的面积成正比例． 说法正确的是（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（4） 【题型10】反比例关系的判断与代数式表示(提升) 1.核心知识点总结 -反比例关系定义：两个相关联的量、，若(为定值，且)，则与成反比例关系，代数式表示为()。 -常见反比例场景：路程一定时，速度与时间(，为定值)；面积一定时，长方形的长与宽(，为定值)；总工作量一定时，工作效率与工作时间(效率时间总工作量，总工作量为定值)。 2.高频考点梳理 -判断两个量是否成反比例，如“圆柱体积一定，底面积与高”(成反比例，，为定值)、“圆的面积与半径”(不成反比例，，乘积非定值)。 -根据反比例关系列代数式，如“与成反比例，且时，代数式为”。 3.易错点警示 -混淆正比例与反比例，如“速度一定时，路程与时间”(正比例)误判为反比例，忽略“比值一定”与“乘积一定”的区别。 -忽略“”和“”的条件，如“”(或)，不满足“乘积为非定值”，不成反比例。 4.解题技巧拆解 -第一步：判断两个量是否相关联(一个量变化，另一个量随之变化)。 -第二步：计算两个量的乘积，若乘积为定值(非)，则成反比例，列代数式(为定值，)；若乘积非定值，则不成反比例。 【例题10】．（2024-2025•海门区期末）下列各对相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B．社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 C．圆柱的体积为6m3，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 【变式题10-1】．（2024-2025•无棣县期末）下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（　　） A．被减数一定，减数和差 B．练习本的单价一定，购买的本数和总价 C．路程一定，速度和时间 D．球的半径和它的表面积 【变式题10-2】．（2024-2025•北林区校级期末）在a×b＝c中（a，b，c均不为0），当b一定时，a和c成　 　 比例；当c一定时，a和b成　 　 比例． 【变式题10-3】．（2024-2025•文水县期末）已知x和y成反比例关系，当x＝3时，；当x＝5时，y的值为 　 　 ． 【题型11】代数式表示数式规律(培优) 1.核心知识点总结 -数式规律分析方法：分“符号规律”“分子规律”“分母规律”“指数规律”四部分拆解，常用“”(为正整数，对应第项)表示序号。 -常见规律类型：符号规律(如表示第项为负，表示第项为正)；分子/分母规律(如分子为，分母为，对应序列)；指数规律(如，对应序列)。 2.高频考点梳理 -已知数序列，写出第项的代数式，如“”，符号，绝对值，代数式为。 -已知代数式序列，写出第项，如“”，系数符号，系数绝对值，次数，代数式为。 3.易错点警示 -符号规律遗漏，如“”，误写为(未加符号)，实际应为。 -起始项的验证错误，如“第项为，第项为，第项为”，误写为(时为，错误)，实际应为(时为，正确)。 4.解题技巧拆解 -第一步：列出前项，标注序号。 -第二步：分别分析符号(用或表示)、数字部分(分子、分母、系数、指数)的规律，用表示数字部分。 -第三步：组合符号与数字部分，写出第项代数式，代入验证是否符合原序列。 【例题11】．（2024-2025•陕州区期末）在月历上，某些数满足一定的规律，某月的月历如图所示，任意选择其中含4个数的涂色方框部分，设左上角的数为a，则下列叙述正确的是（　　） A．右上角的数为a﹣1 B．左下角的数为a+8 C．右下角的数为a+7 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【变式题11-1】．（2024-2025•牟平区期末）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7 C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【变式题11-2】．（2024-2025•拱墅区期末）我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中用“”来表示代数式，观察其中的规律，则“”表示的代数式是（　　） A． B． C． D． 【变式题11-3】．（2024-2025•潞城区期末）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设左下角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　） A．左上角的数字为a+1 B．右上角的数字为a+7 C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个数的和一定是4的倍数 【题型12】代数式表示图形规律(培优) 1.核心知识点总结 -图形规律分析方法：先统计“图形序号”与“图形中元素个数”的对应关系(如时，时，时)，再分析与的数量关系(常为线性关系，或二次关系)。 -常见图形类型：小三角形个数、小正方形个数、火柴棒根数、点阵点数，如“第个图形用根火柴棒”(时根，时根，差为)。 2.高频考点梳理 -根据图形序列，写出第个图形的元素个数代数式，如“第个图形个点，第个个点，第个个点”，差为，代数式为。 -结合图形面积/周长变化，写出第个图形的面积/周长代数式，如“第个正方形，边长为，面积为，周长为”。 3.易错点警示 -元素个数统计错误，如“第个图形由层小正方形组成，每层个”，误算为个(实际为个)，漏算“层”与“每层个数”的乘积。 -规律增量判断错误，如“第个图形根火柴，第个根，第个根”，误判增量为，代数式为(时，正确；时，正确)，但忽略“是否为统一增量”，需验证时(，正确)。 4.解题技巧拆解 -第一步：统计前个图形的元素个数()，计算相邻两项的差()。 -第二步：若差为定值(如均为)，则为线性规律，代入和，解出、。 -第三步：若差不为定值，考虑二次规律()，代入组解出、、，最后验证是否符合。 【例题12】．（2024-2025•凤阳县一模）如图，用5个实心圆圈，5个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串；相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 　 　 　 　 　 　 （1）把表格补充完整： （2）设圆环串由x个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数 　 　 个（用含x的代数式表示）； （3）如果圆环串由这样的圆环18个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 【变式题12-1】．（2024-2025•五华区一模）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的顺序：a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z，将这26个英文字母依次对应自然数1，2，3，⋯，26． 密文 密文与明文之间的关系 明文 7 18 38 19 30 17 50 当密文中的数字x为奇数时，明文对应的序号为x+1； 当密文中的数字x为偶数时，明文对应的序号为． ？ 将密文破译成用英文字母表示的明文，则明文对应的学科是（　　） A．语文 B．历史 C．英语 D．物理 【变式题12-2】．（2024-2025•常州期末）如图，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图中所有圆的周长的和是（　　） A．πa B．6πa C．10πa D．20πa 【变式题12-3】．（2024-2025•北林区校级期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得： （1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成　 　 个细胞； （2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成　 　 个细胞； （3）这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成　 　 个细胞． 【题型13】列代数式表示分段计费问题(培优) 1.核心知识点总结 -分段计费的逻辑：根据“计费量的范围”分区间，不同区间对应不同计费标准，总费用为各区间费用之和，需用“分段代数式”表示(标注区间范围)。 -常见场景：电费阶梯计费(如千瓦时，元/千瓦时；千瓦时，)；出租车计费(起步价元/公里，超过公里后元/公里，总费用为，)。 2.高频考点梳理 -列分段代数式表示总费用，如“水费：不超过吨，元/吨；超过吨，超过部分元/吨”，总费用为： (为用水量)。 -根据分段代数式计算具体费用，如“吨水费，代入元”。 3.易错点警示 -区间范围遗漏或错误，如“电费千瓦时”误写为“”，导致重复计费(千瓦时应归为第一区间)。 -总费用计算时漏算“基础区间费用”，如“吨水费”，误算为元（实际为元），漏算前吨的费用。 4.解题技巧拆解 -第一步：明确“计费量”（如用电量、用水量、里程）和“分段标准”（如千瓦时、吨、公里）。 -第二步：按分段标准划分区间，写出每个区间的计费公式（基础费用超出部分费用）。 -第三步：用大括号标注每个区间的计费量范围，形成分段代数式，计算时先判断计费量属于哪个区间，再代入对应公式。 【例题13】．（2024-2025•临澧县期末）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+2）元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（　　） A．25a元 B．（25a+10）元 C．（25a+50）元 D．（20a+10）元 【变式题13-1】．（2024-2025•江都区期末）自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家10月用水量为a（a＞5）立方米，则水费是 　 　 元．（用含a的代数式表示，并化简） 【变式题13-2】．（2024-2025•福州期末）连江县居民生活用电采用阶梯计价收费：月用电量0～230度，单价0.5元/度；月用电量231～420度，单价0.55元/度（即超过230度且不超过420度部分按0.55元/度收费）；月用电量420度以上，单价0.8元/度（即超过420度部分按0.8元/度收费），某家庭上月用电量为a度（230＜a＜420），则应缴电费（　　）元． A．0.5a B．0.55a C．0.5a+11.5 D．0.55a﹣11.5 【变式题13-3】．（2024-2025•云岩区期末）贵阳市电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如表．小星家在2024年累计年用电量为a度，则他家应缴电费（　　） 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 0.46 超过3000度但不超过4700度的部分 0.5 超过4700度的部分 0.76 A．0.46a元 B．（0.5a﹣120）元 C．（0.76a﹣1342）元 D．无法确定 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（　　） A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2 2．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 3．下列各式最符合代数式书写规范的是（　　） A．2n B． C．3x﹣1个 D．a×3 4．若a是最小的正整数，b是最大的负整数，则a，b两数之和为（　　） A．0 B．2 C．1 D．﹣1 5．某班共有x个学生，其中女生人数占45%，则男生人数是（　　） A．45%x B． C．（1﹣45%）x D． 二．填空题（共5小题） 6．有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是 　 　 cm（用含n的式子表示）． 7．用代数式表示“m与n和的平方”：　 　 ． 8．用代数式表示：x减去y的平方的差　 　 ． 9．王亮从1月5日开始读一部小说，如果他每天读80页，到1月9日读完；如果他每天读90页，到1月8日读完．为了不影响正常学习，王亮准备减少每天的阅读量，并决定分a天读完，这样每天都读a页便刚好全部读完．这部小说共有　 　 页． 10．小红妈妈去市场买了a斤苹果和y斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费 　 　 元（用含a，y的代数式表示）． 三．解答题（共8小题） 11．某班男生有a人，女生有b人（a、b都不等于0），把一包棒棒糖平均分给男生，每人分4个，如果把这包糖平均分给女生，每人分　 　 个． 12．三个连续奇数，中间的一个数是x，则这三个奇数的和是　 　 ． 13．在罗山县某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． （1）用含m、n的代数式表示该广场的面积S； （2）若m、n满足（m﹣6）2+|n﹣8|＝0，求出该广场的面积． 14．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）． （1）用含x的代数式表示AF的长为　 　 米； （2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式） 15．购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，这两款空调的部分基本信息如下： 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/（kW•h） 2 1级 5200 860 2 3级 4800 1060 如果电价是0.5元/（kW•h），设空调的使用年数为t． （1）1级能效空调的综合费用为　 　 ；3级能效空调的综合费用为　 　 ． （2）请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低？ 16．小芳房间的窗户如图所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）． （1）窗户的面积是多少？ （2）装饰物所占的面积是多少？ （3）窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？（结果保留π，窗框面积忽略不计） 17．如图是某校田径运动场的平面图，运动场跑道由直跑道和半环形跑道组成，最中间长方形的长为am，环形跑道内侧半圆的半径为rm，跑道宽为cm． （1）用含有a，r的代数式表示跑道内侧的周长为　 　 m； （2）用含有a，r，c的代数式表示跑道外侧的周长为　 　 m； （3）用含有a，r，c的代数式表示跑道的面积为　 　 m2． 18．如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成．大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是a，露台的宽度为b，阳台的宽度是露台宽度的． （1）用含a，b的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； （2）若5a＝3（3a﹣b），S露台＝m•S阳台，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 列代数式表示数量关系 【题型1】代数式的识别与判断 1.核心知识点总结 -代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数（如）或一个字母（如）也是代数式。 -代数式中不含“”“”“”“”等等式或不等式符号，含有这些符号的式子（如、）不是代数式。 2.高频考点梳理 -直接判断给定式子是否为代数式，如区分“”（是）与“”（不是）。 -统计一组式子中代数式的个数，常结合等式、不等式、含单位的式子（如“米”需判断：“”是代数式，“米”中“”是代数式，整体表述需加括号时式子本身仍需识别）。 3.易错点警示 -误将等式（如)、不等式(如)归为代数式，忽略“不含等号、不等号”的核心特征。 -认为含单位的式子(如“小时”)不是代数式，实际“”是代数式，单位仅为补充说明，不影响式子本身的代数式属性。 4.解题技巧拆解 -第一步：观察式子中是否含“”“”“”“”，若有则直接排除。 -第二步：若不含上述符号，再判断是否为单独的数、字母，或由运算符号连接的数与字母，符合则为代数式。 【例题1】．（2024-2025•济宁期末）下列各式中，是代数式的是（　　） A．3x+y B．n+2＞3 C． D．5.89≈5.9 【答案】A 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：A．3x+y，是代数式； B．n+2＞3，是不等式，不是代数式； C．，是等式，不是代数式； D．5.89≈5.9，是不等式，不是代数式． 故选：A． 【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义． 【变式题1-1】．（2024-2025•天元区期末）李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为﹣4； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（　　） A．x2+4x2y2+5 B．4x5﹣4x2y2+5 C．3x3﹣4xy3﹣5 D．﹣2x3﹣4xy3+5 【答案】D 【分析】根据多项式的相关概念逐项判断即可得解． 【解答】解：A、选项式子是一个四次三项式，高次项系数为4，常数项是5，故不符合题意； B、选项式子是一个五次三项式，故不符合题意； C、选项式子是一个四次三项式，高次项系数为﹣4，常数项是﹣5，故不符合题意； D、选项式子是一个四次三项式，高次项系数为﹣4，常数项是5，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了代数式，掌握代数式的运算法则是关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•隆阳区期末）下列式子是代数式的是（　　） ①x+1＝7；②5t；③x+1≠0；④x﹣5≥0． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：式子5t，符合代数式的定义，是代数式； 式子x+1＝7是等式，不是代数式； 式子x+1≠0，x﹣5≥0是不等式，不是代数式． 故代数式有②． 故选：B． 【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义． 【变式题1-3】．（2024-2025•通道县期末）下列各式中，代数式的个数是（　　） ①；②26+38；③ab＝ba；④；⑤2a﹣1；⑥a；⑦；⑧5n+2． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：式子，26+38，，2a﹣1，a，，5n+2，符合代数式的定义，是代数式； 式子ab＝ba，是等式，不是代数式． 故代数式有7个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义． 【题型2】代数式的规范书写 1.核心知识点总结 -数字与字母、字母与字母相乘时，“”可省略或写作“”，如“”写作“”或“”；数字与数字相乘仍用“”，如“”不能写作“”。 -带分数与字母相乘时，需将带分数化为假分数，如“”写作“”。 -含有除法运算时，用分数表示，如“”写作“”()。 -代数式后带单位时，若代数式为和差形式，需给代数式加括号，如“元”，积商形式可直接加单位(如“千克”)。 2.高频考点梳理 -修改不规范的代数式，如将“”改为“”、“”改为“”。 -判断选项中符合书写规范的代数式，常考数字与字母的顺序(如“”错误，应为“”)、除法的表示形式。 3.易错点警示 -带分数直接与字母相乘，如误写“”，未化为假分数“”。 -除法仍用“”表示，忽略“分数形式”的要求；或代数式为和差时带单位不加括号，如“元”(错误)，应为“元”。 4.解题技巧拆解 -对照“乘号省略、数字在前、带分数化假分数、除法写分数、单位括号”5条规则，逐一检查代数式。 -遇到不规范书写时，按“先改运算符号(→省略/，→分数)，再调顺序(数字在前)，最后处理带分数和单位”的步骤修改。 【例题2】．（2024-2025•林州市期末）下列式子中，符合代数式书写的是（　　） A． B． C．xy÷3 D．x×y 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规则分别判断即可． 【解答】解：（A）该代数式的书写符合要求， ∴A符合题意； （B）带分数应写成假分数的形式， ∴B不符合题意； （C）除法运算要写成分数的形式， ∴C不符合题意； （D）字母与字母相乘时，乘号一般要省略， ∴D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查代数式，掌握代数式的一般书写规则是本题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•莱州市期末）下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A．a9 B．x﹣3元 C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式的书写要求判断各项得出答案即可． 【解答】解：A、a9应该写成9a，故选项不符合题意； B、x﹣3元应该写成（x﹣3）元，故选项不符合题意； C、符合代数式书写要求，故选项符合题意； D、带分数要写成假分数，故选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【变式题2-2】．（2024-2025•榆中县期末）下列式子中，符合代数式书写格式的是（　　） A．a÷c B．a×5 C． D． 【答案】C 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：A、正确的书写格式是，原书写错误，故此选项不符合题意； B、正确的书写格式是5a，原书写错误，故此选项不符合题意； C、原书写是正确，故此选项符合题意； D、正确的书写格式是x，原书写错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【变式题2-3】．（2024-2025•南岗区校级月考）在式子0.5xy+1，2÷x，（x+y），a3，﹣8a2中，符合代数式书写要求的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式． 【解答】解：2÷x应写为，﹣8a2应写为， ∴符合代数式书写要求的有三个， 故选：C． 【点评】本题考查了代数式的相关知识，解题关键在于熟记该定义． 【题型3】用字母表示简单数量关系 1.核心知识点总结 -用字母表示数时，需抓住关键词确定运算关系：“和”对应加法(如“与的和”为)、“差”对应减法(如“比大”为)、“倍”对应乘法(如“的倍”为)、“商”对应除法(如“除以”为)。 -同一问题中，相同字母表示相同量，不同量用不同字母表示(如用表示苹果单价，表示购买数量)。 2.高频考点梳理 -根据文字描述列代数式，如“比的倍少的数”为、“与的差的倍”为。 -结合简单生活场景列代数式，如“每支笔元，买支的总价”为。 3.易错点警示 -混淆“比的倍少”与“比少的倍”，前者为，后者为，忽略运算顺序。 -漏写“倍”中的“”，如“的倍”误写为“倍”，实际应为“”(可简化为)，但需明确“倍”的数量关系。 4.解题技巧拆解 -第一步：圈出文字中的关键词(如“倍”“多”“少”“和”“差”)，确定核心运算。 -第二步：按“先读先写、先低级运算后高级运算”的原则，若有括号需求(如“差的几倍”)，先列括号内的差，再乘倍数。 【例题3】．（2024-2025•海淀区校级月考）一种商品成本为a元，按成本增加23%定价，售出60件，可盈利 　13.8a　 元（用含a的式子表示）． 【答案】13.8a 【分析】根据每件的盈利×销售件数列代数式并化简即可． 【解答】解：23%a×60＝13.8a（元）， ∴可盈利13.8a元． 故答案为：13.8a． 【点评】本题考查列代数式，根据题意列代数式即可． 【变式题3-1】．（2024-2025•富平县期末）某产品的成本价为a元/件，销售价比成本价增加了14%，现因库存积压，按销售价的八折出售，那么该产品的实际售价为　0.8（1+14%）a　 元/件．（用含a的代数式表示） 【答案】0.8（1+14%）a． 【分析】每台实际售价＝销售价×80%．根据等量关系直接列出代数式即可． 【解答】解：∵产品的成本价为a元，销售价比成本价增加了14%， ∴产品销售价为：（1+14%）a元， ∵因库存积压，按销售价的八折出售， ∴产品的实际售价为：0.8（1+14%）a元． 故答案为：0.8（1+14%）a． 【点评】本题考查了列代数式，找到等量关系是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•石家庄期末）用代数式表示“a的2倍与3的和”，下列表示正确的是（　　） A．2a﹣3 B．2a+3 C．2（a﹣3） D．2（a+3） 【答案】B 【分析】a的2倍就是2a，与3的和就是2a+3，根据题目中的运算顺序就可以列出式子，从而得出结论． 【解答】解：a的2倍就是：2a， a的2倍与3的和就是：2a与3的和，可表示为：2a+3． 故选：B． 【点评】本题考查了数量之间的和差倍的关系．本题是一道列代数式的文字题，解答时理清关系的运算顺序是解答的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•威海期末）如图是由连续的奇数1，3，5，7，…排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列中间的数为x，则这四个数的和为（　　） A．3x+1 B．3x+2 C．4x+1 D．4x+2 【答案】D 【分析】根据同一列中相邻两数差10，同一行中相邻两数差2，列式即可． 【解答】解：设竖列中间的数为x， 则上面的数为：x﹣10， 下面的数为：x+10， 其右侧的数为：x+2， 则这四个数的和为：x﹣10+x+10+x+2+x＝4x+2， 故选：D． 【点评】本题考查列代数式，理解题意是关键． 【题型4】代数式的实际意义解读 1.核心知识点总结 -代数式的实际意义需结合生活场景(如购物、行程、几何)，将字母与具体量对应，运算关系与实际行为对应(如“”可表示“千克苹果，每千克元的总价”)。 -同一代数式可赋予多种实际意义，只要符合运算关系即可(如“”可表示“长、宽的长方形周长”，也可表示“件单价为元的商品总价”)。 2.高频考点梳理 -解读给定代数式的实际意义，如解释“”()：“与的差的一半，可表示‘两个数、，较大数比小数多的部分的一半’”。 -根据实际意义判断对应的代数式，如“购买千克单价为元的香蕉，找回元”，匹配代数式“”。 3.易错点警示 -解读时混淆运算顺序，如将“”误读为“的平方与的平方的和”(实际是“与的和的平方”，区别于“”)。 -赋予的意义与运算关系不符，如将“”解释为“千克苹果和千克梨，苹果元/千克，梨元/千克的总价”(正确)，误解释为“与的差”(错误)。 4.解题技巧拆解 -第一步：分析代数式的运算结构(如“”是“的倍加”)。 -第二步：选择熟悉的生活场景(购物、行程、几何等)，将字母对应具体量(如表示数量，表示固定费用)，运算对应实际行为(如“”表示“件商品，每件元的费用”，“”表示“额外元运费”)。 【例题4】．（2024-2025•广汉市期末）甲、乙同学关于“代数式2（x+y）”的意义叙述，判断正确的是（　　） 甲：x的2倍与y的和； 乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费． A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】B 【分析】按照代数式的意义和运算顺序判断即可． 【解答】解：代数式2（x+y）的意义是x与y的和的2倍， 甲：x的2倍与y的和，说法错误； 乙：苹果每千克x元，香蕉每千克y元，苹果和香蕉各买2千克的总花费，说法正确； 故选：B． 【点评】本题考查了代数式，熟练掌握代数式的运算顺序是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•宁乡市期末）下列代数式用自然语言表示正确的是（　　） A．（x+y）2表示x与y平方的和 B．x2+y2表示x与y和的平方 C．表示a与b的倒数和 D．表示c与a，b的积的商 【答案】D 【分析】根据题目中的四个选项逐一用自然语言进行表述即可得出答案． 【解答】解：（x+y）2表示x与y的平方和，故选项A不正确； x2+y2表示x与y的平方和，故选项B不正确； 表示a与b和的倒数，故选项C不正确； 表示c与a，b的积的商，故选项D正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了列代数式，理解代数式中各个部分之间的运算关系是解答此题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•平城区期末）代数式（a﹣b）2的意义是（　　） A．a，b两数的平方差 B．a与b的差的平方 C．a与b的平方的差 D．b，a两数的平方差 【答案】B 【分析】将代数式用语言叙述出来即可． 【解答】解：代数式（a﹣b）2的意义是a与b的差的平方． 故选：B． 【点评】本题考查代数式，掌握用语言叙述代数式的方法是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•西峡县期末）买一个足球需要x元，买一个篮球需要y元，则（2x+3y）元表示的实际意义为（　　） A．买3个足球和2个篮球需要的钱 B．买2个足球和3个篮球需要的钱 C．买3个足球比买2个篮球多花多少钱 D．买2个足球比买3个篮球多花多少钱 【答案】B 【分析】根据题意可知2个足球需2x元，买3个篮球需3y元，即可解答． 【解答】解：根据题意可知，（2x+3y）表示的是买2个篮球和3个足球共需多少元． 故选：B． 【点评】本题考查了代数式，掌握代数式的意义是关键． 【题型5】列代数式表示数字问题 1.核心知识点总结 -多位数的表示：若十位数字为、个位数字为，两位数表示为(十位数字个位数字)；若百位数字为、十位为、个位为，三位数表示为。 -连续数的表示：连续整数可表示为、、(为整数)；连续奇数可表示为、(为整数)；连续偶数可表示为、(为整数)。 2.高频考点梳理 -用字母表示两位数、三位数，如“十位数字为，个位数字比十位数字大，两位数表示为”。 -表示连续数的和、差、倍，如“三个连续偶数的和为”。 3.易错点警示 -将多位数写成字母相乘的形式，如将“十位、个位的两位数”误写为“”(实际是，“”表示)。 -表示连续奇数/偶数时，忽略“间隔”的特征，如将连续奇数误写为、(实际应为、)。 4.解题技巧拆解 -表示多位数：明确“数位权重”(十位、百位)，先写每位数字对应的加权值，再相加。 -表示连续数：先确定中间数为，根据“连续整数间隔、奇数/偶数间隔”，写出前后数，再列代数式。 【例题5】．（2024-2025•和田地区期末）一个两位数M，个位上的数字为a，十位上的数字为b，若把个位与十位上的数字交换位置得到一个新两位数N，则M﹣N的值为（　　） A．20 B．a+2b C．9b﹣9a D．9a﹣9b 【答案】C 【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出M和N，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， M＝10b+a，N＝10a+b， ∴M﹣N ＝（10b+a）﹣（10a+b） ＝10b+a﹣10a﹣b ＝9b﹣9a． 故选：C． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【变式题5-1】．（2024-2025•新邵县期末）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为（　　） A．ab B．a+b C．10a+b D．10b+a 【答案】D 【分析】两位数＝10×十位数字+个位数字． 【解答】解：这个两位数可表示为：10b+a． 故选：D． 【点评】此题考查列代数式问题，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 【变式题5-2】．（2024-2025•无棣县期末）我们常用表示一个十位数字为a、个位数字为b的两位数，即用代数式10a+b表示，类似的，请你用代数式表示四位数　1000a+100b+10c+d　 ． 【答案】1000a+100b+10c+d． 【分析】根据“四位数字的表示方法＝千位数字×1000+百位数字×100+十位数字×10+个位数字”作答即可． 【解答】解：由题意可得， ∴， 故答案为：1000a+100b+10c+d． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【变式题5-3】．（2024-2025•白河县期末）一个三位数，它的个位数字是a，十位数字是个位数字的2倍多1，百位数字比个位数字大4． （1）用含a的式子表示这个三位数是 　（121a+410）　 ； （2）若交换个位数字和百位数字，其余不变，则新得到的三位数比原来的三位数减少了多少？ 【答案】（1）（121a+410）； （2）新得到的三位数比原来的三位数减少了396． 【分析】（1）根据题意，运用字母表示数即可求解； （2）运用整式的加减运算法则计算即可． 【解答】解：（1）根据题意，运用字母表示数可得：个位数字是a， 十位数字是个位数字的2倍多1，则十位数字为：2a+1， 百位数字比个位数字大4，则百位数字为：a+4， ∴这个三位数字表示为：a+10（2a+1）+100（a+4）， 整理得121a+410， 故答案为：（121a+410）； （2）新数字为：a+4+10（2a+1）+100a， 整理得121a+14， ∴121a+410﹣121a﹣14＝396， ∴新得到的三位数比原来的三位数减少了396． 【点评】本题主要考查代数式的运用，掌握代数式表示数或数量关系的方法是关键． 【题型6】列代数式表示销售问题(提升) 1.核心知识点总结 -销售问题核心关系：现价原价折扣(如折表示折扣为)、利润售价进价、总价单价数量、提价/降价后价格原价百分比(提价用“”，降价用“”)。 -常见场景：原价元，先提价再降价，现价为；买件商品，单价元，满减规则“满减”，总价为(表示向下取整)。 2.高频考点梳理 -结合提价、降价、折扣列代数式，如“原价元，先降价，再打折，现价为”。 -结合满减、买赠列代数式，如“单价元，买送，买件的总价为(买件送件)”。 3.易错点警示 -提价/降价的基数混淆，如“原价元，先提价(变为元)，再降价”，误算为元(实际为元)，忽略第二次降价的基数是提价后的价格。 -满减规则漏算，如“满减”，买件单价元的商品(总价元)，误算为元(实际满减，仅减次，为元)。 4.解题技巧拆解 -分步分析：按“原价→第一次价格变化(提价/降价/折扣)→第二次价格变化→最终价格”的步骤，每一步明确基数和运算关系，用括号区分运算顺序。 -满减/买赠问题：先计算总价(单价数量)，再根据规则计算优惠金额(如满减算次数、买赠算实际需付款数量)，最后用总价减优惠金额。 【例题6】．（2024-2025•任城区期末）某商店去年12月份利润为a元，今年1月份利润预计比去年12月份增加50%还多1000元，则今年1月份利润预计为（　　） A．50%（a+1000）元 B．（50%a+1000）元 C．（150%a+1000）元 D．150%（a+1000）元 【答案】C 【分析】根据题意和题目中的数据，可以用a的代数式表示出今年1月份利润． 【解答】解：由题意可得， 今年的利润为：a（1+50%）+1000＝（150%a+1000）元， 故选：C． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【变式题6-1】．（2025春•瑶海区校级期末）某公司2025年2月份的利润比1月份的利润增长了2a%，3月份的利润比2月份的利润下降了a%，则该公司3月份比1月份利润增长了（　　） A．a% B．1﹣2a% C．（1+a%）a% D．（1﹣2a%）a% 【答案】D 【分析】设1月份的利润为m，2月份的利润比1月份的利润增长了2a%，则2月份的利润为m（1+2a%）；3月份的利润比2月份的利润下降了a%，则3月份的利润为m（1+2a%）（1﹣a%），进而可计算出该公司3月份比1月份利润增长了多少． 【解答】解：设1月份的利润为m， ∵2月份的利润比1月份的利润增长了2a%， ∴2月份的利润为m（1+2a%）； ∵3月份的利润比2月份的利润下降了a%， ∴3月份的利润为m（1+2a%）（1﹣a%）； [m（1+2a%）（1﹣a%）﹣m]÷m＝a%﹣2a%•a%＝（1﹣2a%）a%． ∴该公司3月份比1月份利润增长（1﹣2a%）a%． 故选：D． 【点评】本题考查了列代数式，熟练掌握利润的增长与利润的下降是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 【变式题6-2】．（2024-2025•闵行区期末）一台电脑原价a元（4000＜a＜5000），先参加双十一活动满4000减500，再享受政府补贴降价，那么这台电脑的实际售价为 　（a﹣400）　 元（用含有a的代数式表示）． 【答案】（a﹣400）． 【分析】实际售价＝（原件﹣500）×（1），据此求解即可． 【解答】解：这台电脑的实际售价为（a﹣500）×（1） （a﹣500） ＝（a﹣400）元， 故答案为：（a﹣400）． 【点评】此题主要考查了列代数式，正确理解题意得出降价后价格是解题关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•思明区校级期末）“双十一”来临，某商场举办购物优惠活动，其优惠规则如下：当顾客的应付金额超过某固定金额时，超过部分给予一固定折扣．以下为部分应付金额与实付金额的对照表： 应付金额m（元） 100 200 300 400 500 600 实付金额n（元） 100 200 290 370 450 530 试写出当超过该固定金额时，n＝ 　0.8m+50　 .（用含m的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 【分析】设某固定金额为x元，折扣率为y，根据表中信息列出关于x、y的方程组，求出固定金额及折扣率，继而可得答案． 【解答】解：设某固定金额为x元，折扣率为y， 根据题意得， 解得， 所以当超过该固定金额时，n＝250+0.8（m﹣250） ＝0.8m+50， 故答案为：0.8m+50． 【点评】本题主要考查列代数式及方程组的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程组求出折扣率及固定金额． 【题型7】列代数式表示行程问题(提升) 1.核心知识点总结 -行程问题核心公式：路程速度时间()，变形为“时间路程速度”()、“速度路程时间”()。 -特殊场景：顺水速度静水速度水流速度()；逆水速度静水速度水流速度()；相遇问题中，总路程甲路程乙路程()；追及问题中，路程差速度差时间()。 2.高频考点梳理 -列代数式表示时间、速度，如“甲乙两地相距千米，船静水速度为千米/时，水流速度为千米/时，顺水航行时间为小时”。 -结合相遇、追及列代数式，如“甲速度千米/时，乙速度千米/时，同时从相距千米的两地相向而行，小时后两人相距千米()”。 3.易错点警示 -顺水/逆水速度混淆，误将逆水速度写为，忽略“逆水需减水流速度”。 -相遇问题中漏算“相距距离”的两种情况(未相遇时相距，相遇后相距)，未注明时间范围。 4.解题技巧拆解 -第一步：明确问题类型(普通行程、顺水逆水、相遇追及)，确定核心公式。 -第二步：区分“已知量”和“未知量”，将未知量用字母表示，代入公式推导代数式(如求时间，用“时间路程速度”，路程和速度用已知量或字母表示)。 -第三步：相遇/追及问题需注明时间范围(如“未相遇时”“相遇后”)，避免代数式歧义。 【例题7】．（2024-2025•环翠区期末）小丽家和小明家到学校的路程都是3m，其中小丽家走的是平路骑车速度是2v km/h．小明家需要走1km的上坡路，2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h，那么小丽比小明在路上花费的时间（　　）h． A．相同 B．少 C．多 D．不确定 【答案】B 【分析】用合适的分式表示出来． 【解答】解：由条件可知总时间为：； 小丽花费的时间为：， ∴． ∴小丽比小明在路上花费的时间少． 故选：B． 【点评】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意． 【变式题7-1】．（2024-2025•兰山区期末）有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡．已知小明上坡平均速度为x，下坡平均速度为y（x≠y），在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（　　） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可． 【解答】解：由题意：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡．已知小明上坡平均速度为x，下坡平均速度为y（x≠y），在平坦的道路上的平均速度为， 设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵x≠y， ∴﹣（x﹣y）2＜0， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即t1﹣t2＜0， ∴t1＜t2， ∴①路用时较小． 故选：A． 【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是准确进行分式运算． 【变式题7-2】．（2024-2025•松山区期中）两车同时、同地、同向出发，快车行驶速度是x km/h，慢车行驶速度是y km/h，3h后两车相距列式可以表示为 　3（x﹣y）　 km． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意和题目中的数据，可以用含x、y的代数式表示出3h后两车相距的距离． 【解答】解：由题意可得， 3h后两车相距列式可以表示为：3（x﹣y）km， 故答案为：3（x﹣y）． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【变式题7-3】．（2024-2025•石家庄校级开学）甲、乙两地相距s km，汽车从甲地到乙地以每小时行驶v km的速度行驶，可按时到达，若每小时多行驶a km，则汽车可提前几小时到达？ 【答案】汽车可提前小时到达． 【分析】提前的时间＝原计划所用时间﹣实际所用时间，把相关数值代入即可． 【解答】解：根据提前的时间＝原计划所用时间﹣实际所用时间可得： 原计划所用时间为小时， 实际所用时间为小时， 故实际比计划提前小时到达． 答：汽车可提前小时到达． 【点评】本题考查列代数式，理解题意是关键． 【题型8】列代数式表示几何图形问题(提升) 1.核心知识点总结 -常见图形公式：长方形周长、面积；正方形周长、面积；圆周长、面积；正方体体积；长方体体积(、、为长宽高)。 -图形变化场景：正方形边长，剪去个边长为的小正方形(四角)，折成无盖长方体，高为，底面边长为，体积为；圆环面积外圆面积内圆面积(为外圆半径，为内圆半径)。 2.高频考点梳理 -结合图形面积、周长、体积列代数式，如“长方形长为，宽为，面积为”。 -结合图形拼接/裁剪列代数式，如“两个半径为的圆拼接成一个圆柱(底面半径，高)，体积为”。 3.易错点警示 -图形变化后边长/半径计算错误，如“正方形边长，剪去小正方形边长，折成无盖长方体”，误将底面边长写为(实际为，因为左右/上下各剪去)。 -混淆周长与面积公式，如“圆的面积”误写为(实际为，是周长)。 4.解题技巧拆解 -第一步：明确原始图形的公式(如面积、周长)，标注已知边长/半径/高(用字母表示)。 -第二步：分析图形变化(裁剪、拼接、折叠)，确定变化后图形的关键量(如无盖长方体的高剪去小正方形的边长)。 -第三步：将变化后的关键量代入公式，推导代数式(如无盖长方体体积底面积高)。 【例题8】．（2024-2025•滦南县期末）下列选项中，能用2a+6表示的是（　　） A．整条线段的长度 B．整条线段的长度 C．这个长方形的周长 D．这个图形的面积 【答案】C 【分析】分别计算各选项的结果，化简即可判断． 【解答】解：A、整条线段的长度为2+a+6＝a+8，故不合题意； B、整条线段的长度为a+6+6＝a+12，故不合题意； C、这个长方形的周长为2（a+3）＝2a+6，故符合题意； D、这个图形的面积为a×（2+6）＝8a，故不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握线段的长度和图形的周长、面积计算方法． 【变式题8-1】．（2024-2025•龙岗区校级期末）完全相同的6个小长方形如图所示放置，形成了两边长分别为a，b的大长方形，则图中阴影部分的周长是 　4a　 ．（用含a，b的式子表示） 【答案】4a． 【分析】阴影部分的周长等于两个阴影部分长方形周长之和，分别设小长方形长和宽为未知数，利用公式长方形的周长＝2×（长+宽）列式并化简即可． 【解答】解：设空白小长方形的长和宽分别是m和n（m＞n），那么m+3n＝b， 阴影部分的周长为2×3n+2（a﹣m）+2m+2（a﹣3n）＝4a， 故答案为：4a． 【点评】本题考查列代数式，掌握长方形的周长公式是本题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•凤阳县期末）如图所示是一个长方形． （1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S； （2）若x＝3，求S的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图形可知：阴影部分的面积可用长方形的面积减去两个直角三角形的面积． 【解答】解：（1）由图形可知：S＝4×84×84（4﹣x） ＝16﹣8+2x ＝（8+2x）cm2． 另解：大三角形面积为：4×8＝16cm2， 小直角三角形的面积为：（8﹣4）×（4﹣x）＝（8﹣2x）cm2， ∴S＝8×4﹣16﹣（8﹣2x）＝（8+2x）cm2． （2）将x＝3代入上式，S＝8+2×3＝14cm2． 【点评】本题考查列代数式求值，涉及长方形的面积公式，三角形面积公式，代数式求值等问题． 【变式题8-3】．（2024-2025•和田地区期末）如图，四边形ABCD和ECGF都是正方形，且它们的边长分别为a，b，则阴影部分的面积S为　　 ．（结果要求化简） 【答案】． 【分析】根据图形可知：阴影部分的面积S＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BGF，然后代入数据计算即可． 【解答】解：由图可得， 阴影部分的面积为： ＝a2+b2a2abb2 ， 故答案为：． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【题型9】正比例关系的判断与代数式表示(提升) 1.核心知识点总结 -正比例关系定义：两个相关联的量、，若(为定值，且)，则与成正比例关系，代数式表示为。 -常见正比例场景：速度一定时，路程与时间(，为定值)；单价一定时，总价与数量(总价单价数量，单价为定值)；圆的周长与半径(，为定值)。 2.高频考点梳理 -判断两个量是否成正比例，如“长方形的长一定，面积与宽”(成正比例，，为定值)、“人的年龄与身高”(不成正比例，比值非定值)。 -根据正比例关系列代数式，如“与成正比例，且时，代数式为”。 3.易错点警示 -误认为“有倍数关系就是正比例”，如“长方形的周长与长”(，若为定值，，比值，非定值，不成正比例)。 -忽略“”的条件，如“”()，虽比值为，但恒为，不满足“两个量都变化”的要求，不成正比例。 4.解题技巧拆解 -第一步：判断两个量是否相关联(一个量变化，另一个量是否随之变化)。 -第二步：计算两个量的比值，若比值为定值(非)，则成正比例，列代数式(为定值)；若比值非定值，则不成正比例。 【例题9】．（2024-2025•威县校级开学）下面各项中，两种量不成正比例关系的是（　　） A．单价一定，总价和数量 B．圆柱体底面积一定，体积和高 C．长方形的长一定，面积和宽 D．工作总量一定，工作效率与工作时间 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫成正比例的量，它们的关系叫正比例关系，据此逐项分析即可求解． 【解答】解：根据正比例关系定义逐项分析判断如下： A、单价×数量＝总价，所以总价÷数量＝单价， 故当单价一定，即总价与数量的比值一定，所以总价和数量成正比例，不符合题意； B、圆柱的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积÷高＝底面积， 故当底面积一定，即圆柱的体积与高的比值一定，所以圆柱体的体积和高成正比例，不符合题意； C、长方形的面积＝长×宽，所以长方形的长＝长方形的面积÷宽， 故当长方形的长一定，即长方形的面积与宽的比值一定，所以长方形的面积和宽成正比例，不符合题意； D、工作效率×工作时间＝工作总量， 故当工作总量一定，即工作效率与工作时间的乘积一定，所以工作效率与工作时间不成正比例．符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了正比例的意义和辨识．熟练掌握该知识点是关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•东港区校级开学）当a（a≠0）一定时，下面式子中x和y成正比例的是（　　） A．xy÷a＝1 B．xy C．a÷x＝y D．a+x＝y 【答案】B 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例． 【解答】解：A、xy÷a＝1，xy＝a，即积一定，所以x和y成反比例，故此选项不符合题意； B、xy，即，即商一定，所以x和y成正比例，故此选项符合题意； C、a÷x＝y，xy＝a，即积一定，所以x和y成反比例，故此选项不符合题意； D、a+x＝y，即y﹣x＝a，差一定，不成比例，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了辨识成正比例的量与成反比例的量，要求学生能够掌握． 【变式题9-2】．（2024•莲池区校级开学）下列结论能作为a与b成正比例的有①a×b＝c，c一定；②a÷b＝c，c一定；③c÷a＝b，c一定；④a÷c＝b，c一定．（　　） A．①②③ B．①③ C．②④ D．② 【答案】C 【分析】判断a与b是否成正比例，需满足a与b的比值为定值，即（k为常数），逐一分析各结论是否符合该定义． 【解答】解：①a×b＝c，c一定，a与b的乘积为定值，不符合正比例关系； ②a÷b＝c，c一定，a与b的比值为定值，符合正比例定义； ③c÷a＝b，c一定，即，变形为a×b＝c，a与b的乘积为定值，不符合正比例关系； ④a÷c＝b，c一定，即a÷b＝c，a与b的比值为定值，符合正比例定义； 综上，正确的结论为②和④， 故选：C． 【点评】本题考查正比例关系的判断，熟练掌握正比例函数的意义是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024•市南区开学）关于正比例的判断，有以下四种说法： （1）订同一种杂志的钱数和份数成正比例． （2）正方形的面积和它的边长成正比例． （3）八小时内，工人做零件的个数和做每个零件所用时间成正比例． （4）平行四边形的面积与和它等底等高的三角形的面积成正比例． 说法正确的是（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（4） 【答案】D 【分析】（1）找出订同一份杂志的钱数和份数这两种相关联的量与每份杂志的钱数（即单价）有什么样的相等关系，再根据正比例的意义判断即可． （2）回忆一下正比例的面积，再根据正比例的意义，可得出答案． （3）找出工人做零件的个数和做每个零件所用时间与八小时之间有什么样的相等关系，再根据正比例的意义判断即可． （4）找出平行四边形的面积与和它等底等高的三角形的面积之间有什么样的相等关系，再根据正比例的意义判断即可． 【解答】解：（1）每份杂志的钱数（即单价）， 已知每份杂志的钱数（即单价）一定，就是杂志的钱数和份数的比值一定，所以订同一份杂志的钱数和份数成正比例． （2）正方形的面积＝边长×边长，推出边长， 边长不一定，就是正方形的面积和它的边长的比值不一定，所以正方形的面积和它的边长不成正比例． （3）工人做零件的个数×每个零件所用的时间＝总时间， 8是固定值（一定），就是工人所做每个零件的个数和做每个零件所用时间的乘积为总时间，所以工人所做零件的个数和做每个零件所用时间成反比例． （4）2， 2是固定值（一定），就是平行四边形的面积与和它等底等高的三角形的面积的比值是一定的，所以平行四边形的面积与和它等底等高的三角形的面积成正比例． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正比例，解此题关键是找出各题中有什么样的等量关系，再据乘积或商一定判定成正反比例即可． 【题型10】反比例关系的判断与代数式表示(提升) 1.核心知识点总结 -反比例关系定义：两个相关联的量、，若(为定值，且)，则与成反比例关系，代数式表示为()。 -常见反比例场景：路程一定时，速度与时间(，为定值)；面积一定时，长方形的长与宽(，为定值)；总工作量一定时，工作效率与工作时间(效率时间总工作量，总工作量为定值)。 2.高频考点梳理 -判断两个量是否成反比例，如“圆柱体积一定，底面积与高”(成反比例，，为定值)、“圆的面积与半径”(不成反比例，，乘积非定值)。 -根据反比例关系列代数式，如“与成反比例，且时，代数式为”。 3.易错点警示 -混淆正比例与反比例，如“速度一定时，路程与时间”(正比例)误判为反比例，忽略“比值一定”与“乘积一定”的区别。 -忽略“”和“”的条件，如“”(或)，不满足“乘积为非定值”，不成反比例。 4.解题技巧拆解 -第一步：判断两个量是否相关联(一个量变化，另一个量随之变化)。 -第二步：计算两个量的乘积，若乘积为定值(非)，则成反比例，列代数式(为定值，)；若乘积非定值，则不成反比例。 【例题10】．（2024-2025•海门区期末）下列各对相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B．社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 C．圆柱的体积为6m3，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 【答案】D 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例．由此逐项判断即可． 【解答】解：A、车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数成反比例，故本选项不符合题意； B、社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数成反比例，故本选项不符合题意； C、圆柱的体积为6m3，圆柱的底面积与高成反比例，故本选项不符合题意； D、计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额不成反比例，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了反比例的定义，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 【变式题10-1】．（2024-2025•无棣县期末）下面每个选项中的两种量成反比例关系的是（　　） A．被减数一定，减数和差 B．练习本的单价一定，购买的本数和总价 C．路程一定，速度和时间 D．球的半径和它的表面积 【答案】C 【分析】根据成反比例的定义“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量”求解即可得到答案． 【解答】解：根据反比例定义逐项分析判断如下； A、被减数一定，减数和差的和一定，不成反比例关系，不符合题意； B、练习本的单价一定，购买的总价与本数的比值一定，成正比例关系，不符合题意； C、路程一定，速度和时间的积一定，成反比例关系，符合题意； D、球的半径和它的表面积不成反比例关系，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查两种量成反比例关系，读懂题意，熟练掌握反比例是关键． 【变式题10-2】．（2024-2025•北林区校级期末）在a×b＝c中（a，b，c均不为0），当b一定时，a和c成　正　 比例；当c一定时，a和b成　反　 比例． 【答案】正；反． 【分析】对于两个量，若它们的乘积一定，那么这两个量成反比例，若它们的商一定，则这两个量成正比例，据此可得答案． 【解答】解：根据题意可知，a和c成正比例，a和b成反比例． 故答案为：正；反． 【点评】本题考查了反比例，掌握反比例定义是关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•文水县期末）已知x和y成反比例关系，当x＝3时，；当x＝5时，y的值为 　0.9　 ． 【答案】0.9． 【分析】x和y成反比例关系，它们的积一定，先求出积，再求出y的值． 【解答】解：34.5， 4.5÷5＝0.9， 故答案为：0.9． 【点评】本题考查了反比例，解题的是根据反比例的定义来列式计算． 【题型11】代数式表示数式规律(培优) 1.核心知识点总结 -数式规律分析方法：分“符号规律”“分子规律”“分母规律”“指数规律”四部分拆解，常用“”(为正整数，对应第项)表示序号。 -常见规律类型：符号规律(如表示第项为负，表示第项为正)；分子/分母规律(如分子为，分母为，对应序列)；指数规律(如，对应序列)。 2.高频考点梳理 -已知数序列，写出第项的代数式，如“”，符号，绝对值，代数式为。 -已知代数式序列，写出第项，如“”，系数符号，系数绝对值，次数，代数式为。 3.易错点警示 -符号规律遗漏，如“”，误写为(未加符号)，实际应为。 -起始项的验证错误，如“第项为，第项为，第项为”，误写为(时为，错误)，实际应为(时为，正确)。 4.解题技巧拆解 -第一步：列出前项，标注序号。 -第二步：分别分析符号(用或表示)、数字部分(分子、分母、系数、指数)的规律，用表示数字部分。 -第三步：组合符号与数字部分，写出第项代数式，代入验证是否符合原序列。 【例题11】．（2024-2025•陕州区期末）在月历上，某些数满足一定的规律，某月的月历如图所示，任意选择其中含4个数的涂色方框部分，设左上角的数为a，则下列叙述正确的是（　　） A．右上角的数为a﹣1 B．左下角的数为a+8 C．右下角的数为a+7 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据月历特点上下相差7，左右相差1的特点即可得解． 【解答】解：当左上角的数为a时， A、右上角的数为a+1，不符合题意； B、左下角的数为a+7，不符合题意； C、右下角的数为a+8，不符合题意； D、∵a+（a+1）+（a+7）+（a+8）＝4a+16＝4（a+4）， ∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了整式的加法，代数式的应用，熟练掌握其月历规律是解决此题的关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•牟平区期末）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7 C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【解答】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为a﹣1，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为a+6，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为a+7，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：a﹣1+a+a+6+a+7＝4a+12＝4（a+3），结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点评】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 【变式题11-2】．（2024-2025•拱墅区期末）我国在清朝学堂的课本《代微积拾级》中用“”来表示代数式，观察其中的规律，则“”表示的代数式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意即可得出答案． 【解答】解：由题意可得， 原式表示． 故选：C． 【点评】本题主要考查列代数式，理解题意是解题的关键． 【变式题11-3】．（2024-2025•潞城区期末）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设左下角的数字为a，则下列叙述中正确的是（　　） A．左上角的数字为a+1 B．右上角的数字为a+7 C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个数的和一定是4的倍数 【答案】D 【分析】根据题意，可以用含a的代数式表示出各个位置上的数字，然后即可判断A、B、C，再将四个数相加，即可判断D． 【解答】解：由图可得， 左下角的数为a，则右上角的数字为a﹣6，左上角的数字为a﹣7，右下角的数字为a+1，故选项A、B、C均不符合题意， a+（a﹣6）+（a﹣7）+（a+1） ＝4a﹣12 ＝4（a﹣3）， ∴方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【题型12】代数式表示图形规律(培优) 1.核心知识点总结 -图形规律分析方法：先统计“图形序号”与“图形中元素个数”的对应关系(如时，时，时)，再分析与的数量关系(常为线性关系，或二次关系)。 -常见图形类型：小三角形个数、小正方形个数、火柴棒根数、点阵点数，如“第个图形用根火柴棒”(时根，时根，差为)。 2.高频考点梳理 -根据图形序列，写出第个图形的元素个数代数式，如“第个图形个点，第个个点，第个个点”，差为，代数式为。 -结合图形面积/周长变化，写出第个图形的面积/周长代数式，如“第个正方形，边长为，面积为，周长为”。 3.易错点警示 -元素个数统计错误，如“第个图形由层小正方形组成，每层个”，误算为个(实际为个)，漏算“层”与“每层个数”的乘积。 -规律增量判断错误，如“第个图形根火柴，第个根，第个根”，误判增量为，代数式为(时，正确；时，正确)，但忽略“是否为统一增量”，需验证时(，正确)。 4.解题技巧拆解 -第一步：统计前个图形的元素个数()，计算相邻两项的差()。 -第二步：若差为定值(如均为)，则为线性规律，代入和，解出、。 -第三步：若差不为定值，考虑二次规律()，代入组解出、、，最后验证是否符合。 【例题12】．（2024-2025•凤阳县一模）如图，用5个实心圆圈，5个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串；相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 　37　 　46　 　55　 （1）把表格补充完整： （2）设圆环串由x个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数 　（9x+1）　 个（用含x的代数式表示）； （3）如果圆环串由这样的圆环18个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 【答案】（1）表格补充完整见解析；（2）（9x+1）；（3）实心圆圈和空心圆圈的总数有9×18+1＝163个，空心圆圈有81个． 【分析】（1）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （2）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （3）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个，由（2）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数． 【解答】解：（1）表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 37 46 55 （2）∵每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个， ∴当圆环串由x个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为（9x+1）个， 故答案为：（9x+1）； （3）当x＝18时，实心圆圈和空心圆圈的总数有9×18+1＝163个， ∵围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个， ∴空心圆圈有个． 【点评】本题考查了图形类变化规律，根据图形，找到数字间的运算规律是解题的关键． 【变式题12-1】．（2024-2025•五华区一模）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．英语字母表中字母的顺序：a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z，将这26个英文字母依次对应自然数1，2，3，⋯，26． 密文 密文与明文之间的关系 明文 7 18 38 19 30 17 50 当密文中的数字x为奇数时，明文对应的序号为x+1； 当密文中的数字x为偶数时，明文对应的序号为． ？ 将密文破译成用英文字母表示的明文，则明文对应的学科是（　　） A．语文 B．历史 C．英语 D．物理 【答案】B 【分析】根据题中所给密文与明文之间的对应关系即可解决问题． 【解答】解：根据题中所给密文与明文之间的对应关系可得： 当“密文”为7时，7+1＝8， 所以“密文”数字7对应的“明文”为“h”； 同理可得，“密文”数字18对应的“明文”为“i”； “密文”数字38对应的“明文”为“s”； “密文”数字19对应的“明文”为“t”； “密文”数字30对应的“明文”为“o”； “密文”数字17对应的“明文”为“r”； “密文”数字50对应的“明文”为“y”； 所以“明文”为history即历史． 故选：B． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律．发现规律是关键． 【变式题12-2】．（2024-2025•常州期末）如图，正方形的边长均是a，以图①、②、③呈现的规律类推，图中所有圆的周长的和是（　　） A．πa B．6πa C．10πa D．20πa 【答案】B 【分析】先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算周长和． 【解答】解：根据图形发现： 第一个图中，圆的周长为πa； 第二个图中，所有圆的周长之和是2πa； 以此类推，则第3个图中所有圆的周长之和为3πa： 所以图中所有圆的周长的和是：πa+2πa+3πa＝6πa． 故选：B． 【点评】本题考查了列代数式，观察图形，即可发现这些图中，每一个图中的所有的圆周长和的规律． 【变式题12-3】．（2024-2025•北林区校级期中）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得： （1）这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成　16　 个细胞； （2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成　64　 个细胞； （3）这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后可分裂成　22n　 个细胞． 【答案】16；64，22n． 【分析】根据图形可知其规律为n小时是22n． 【解答】解：（1）第四个30分钟后可分裂成24＝16； 故答案为：16； （2）经过3小时后可分裂成22×3＝26＝64； 故答案为：64； （3）经过n（n为正整数）小时后可分裂成22n． 故答案为：22n． 【点评】主要考查从图示或数据中寻找规律的能力，正确找到规律是解题关键． 【题型13】列代数式表示分段计费问题(培优) 1.核心知识点总结 -分段计费的逻辑：根据“计费量的范围”分区间，不同区间对应不同计费标准，总费用为各区间费用之和，需用“分段代数式”表示(标注区间范围)。 -常见场景：电费阶梯计费(如千瓦时，元/千瓦时；千瓦时，)；出租车计费(起步价元/公里，超过公里后元/公里，总费用为，)。 2.高频考点梳理 -列分段代数式表示总费用，如“水费：不超过吨，元/吨；超过吨，超过部分元/吨”，总费用为： (为用水量)。 -根据分段代数式计算具体费用，如“吨水费，代入元”。 3.易错点警示 -区间范围遗漏或错误，如“电费千瓦时”误写为“”，导致重复计费(千瓦时应归为第一区间)。 -总费用计算时漏算“基础区间费用”，如“吨水费”，误算为元（实际为元），漏算前吨的费用。 4.解题技巧拆解 -第一步：明确“计费量”（如用电量、用水量、里程）和“分段标准”（如千瓦时、吨、公里）。 -第二步：按分段标准划分区间，写出每个区间的计费公式（基础费用超出部分费用）。 -第三步：用大括号标注每个区间的计费量范围，形成分段代数式，计算时先判断计费量属于哪个区间，再代入对应公式。 【例题13】．（2024-2025•临澧县期末）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+2）元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（　　） A．25a元 B．（25a+10）元 C．（25a+50）元 D．（20a+10）元 【答案】B 【分析】分别求出前20方和超过20方部分的水费，再求和就能表示出总的水费了． 【解答】解：20a+（a+2）（25﹣20） ＝20a+5a+10 ＝（25a+10）（元）， 故选：B． 【点评】此题考查了列代数式解决分段消费实际问题的能力，关键是能根据题意分别表示出各段的水费． 【变式题13-1】．（2024-2025•江都区期末）自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家10月用水量为a（a＞5）立方米，则水费是 　（2a﹣1）　 元．（用含a的代数式表示，并化简） 【答案】（2a﹣1）． 【分析】根据题意，可以列出算式1.8×5+（a﹣5）×2，然后计算即可． 【解答】解：由题意可得， 小颖家10月份的水费为：1.8×5+（a﹣5）×2 ＝9+2a﹣10 ＝（2a﹣1）元， 故答案为：（2a﹣1）． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 【变式题13-2】．（2024-2025•福州期末）连江县居民生活用电采用阶梯计价收费：月用电量0～230度，单价0.5元/度；月用电量231～420度，单价0.55元/度（即超过230度且不超过420度部分按0.55元/度收费）；月用电量420度以上，单价0.8元/度（即超过420度部分按0.8元/度收费），某家庭上月用电量为a度（230＜a＜420），则应缴电费（　　）元． A．0.5a B．0.55a C．0.5a+11.5 D．0.55a﹣11.5 【答案】D 【分析】由题意可知：该家庭用电量介于230度到420度之间，因此应按照0.55元/度的价格计算超过230度部分的电费，两者求和即可． 【解答】解：由题意可知：该家庭用电量介于230度到420度之间， 因此应按照0.55元/度的价格计算超过230度部分的电费． 前230度的电费：230×0.5＝115（元）． 超过230度的电费：（ a﹣230）×0.55＝（0.55a﹣126.5）（元）． 该家庭应缴电费为：115+（0.55a﹣126.5）＝（0.55a﹣11.5）元． 故选：D． 【点评】本题考查列代数式，正确读懂题意是解题关键． 【变式题13-3】．（2024-2025•云岩区期末）贵阳市电费根据年用电量实行阶梯式收费，收费标准如表．小星家在2024年累计年用电量为a度，则他家应缴电费（　　） 年用电量（度） 对应电价（元/度） 3000度及以下 0.46 超过3000度但不超过4700度的部分 0.5 超过4700度的部分 0.76 A．0.46a元 B．（0.5a﹣120）元 C．（0.76a﹣1342）元 D．无法确定 【答案】D 【分析】根据所给收费标准，分别求出不同电量下的应缴电费，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 当a≤3000时，电费为0.46a元； 当3000＜a≤4700时，电费为：0.46×3000+0.5×（a﹣3000）＝（0.5a﹣120）元； 当a＞4700时，电费为：0.46×3000+0.5×（4700﹣3000）+0.76×（a﹣4700）＝（0.76a﹣1342）元， 所以应缴电费无法确定． 故选：D． 【点评】本题主要考查了列代数式，能根据a的不同取值范围分别表示出应缴的电费是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 C A B A C 一．选择题（共5小题） 1．用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（　　） A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2 【答案】C 【分析】先求倍数，然后求差，再求平方． 【解答】解：依题意得：（2a﹣b）2． 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式的知识，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． 2．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 【答案】A 【分析】根据图形，可以用代数式表示出图中阴影部分的面积，本题得以解决． 【解答】解：由图可得， 图中阴影部分的面积为：x2+3x+2×3＝x2+3x+6，故选项A符合题意， x（x+3）+2×3＝x（x+3）+6，故选项B不符合题意， 3（x+2）+x2，故选项C不符合题意， （x+3）（x+2）﹣2x，故选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 3．下列各式最符合代数式书写规范的是（　　） A．2n B． C．3x﹣1个 D．a×3 【答案】B 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解；A、应表示为n，故A错误； B、两个字母相除表示为分式的形式，故B正确； C、（3x﹣1）个，应加上括号，故C错误； D、把数写在字母的前面，故D错误， 故选：B． 【点评】本题考查了代数式，代数式的书写要求： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 4．若a是最小的正整数，b是最大的负整数，则a，b两数之和为（　　） A．0 B．2 C．1 D．﹣1 【答案】A 【分析】根据题意，得到a，b的值，从而求得两数之和． 【解答】解：∵a是最小的正整数， ∴a＝1， ∵b是最大的负整数， ∴b＝﹣1， ∴a+b＝1+（﹣1）＝0， ∴a，b两数之和为0． 故选：A． 【点评】本题考查了列代数式，涉及到最小正整数，最大负整数的概念，正确理解题意，得到a，b的值是解题的关键． 5．某班共有x个学生，其中女生人数占45%，则男生人数是（　　） A．45%x B． C．（1﹣45%）x D． 【答案】C 【分析】根据男生人数＝全班人数×男生所占全班的百分比即可求出答案． 【解答】解：因为女生人数占45%， 所以男生占总数的（1﹣45%）， 该班的男生人数是（1﹣45%）x， 故选：C． 【点评】此题考查了列代数式；解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 二．填空题（共5小题） 6．有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则n个这种杯子叠放在一起高度是 　2n+8　 cm（用含n的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题目中的图形，可知每增加一个杯子，高度增加2cm，从而可以得到n个杯子叠在一起的高度． 【解答】解：由图可得，每增加一个杯子，高度增加2cm， 则n个这样的杯子叠放在一起高度是：10+2（n﹣1）＝（2n+8）（cm）． 故答案为：2n+8． 【点评】本题考查用代数式表示图形的规律，解答本题的关键是探究出规律，列出相应的代数式． 7．用代数式表示“m与n和的平方”：　（m+n）2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意即可列出相应的代数式，从而解答本题． 【解答】解：m与n和的平方为：（m+n）2 故答案为：（m+n）2． 【点评】本题考查列代数的知识，关键是看清题中的信息，不要把题意理解为m与n平方的和，造成解答错误． 8．用代数式表示：x减去y的平方的差　x﹣y2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意列出代数式解答即可． 【解答】解：y的平方即y2，则x减去y的平方的差就可以表示为：x﹣y2 故答案为：x﹣y2 【点评】此题考查列代数式，注意字母和数字相乘的简写方法． 9．王亮从1月5日开始读一部小说，如果他每天读80页，到1月9日读完；如果他每天读90页，到1月8日读完．为了不影响正常学习，王亮准备减少每天的阅读量，并决定分a天读完，这样每天都读a页便刚好全部读完．这部小说共有　324　 页． 【答案】324． 【分析】先根据1月5日到1月9日共有5天，每天读80页，求出书的页码范围；再根据1月5日到1月8日，每天读90页，求出书的页码范围，两个范围的公共部分就是这本书的范围；a天读a页，这本书共有a2页，在这个范围内找出一个自然数的平方． 【解答】解：∵80×4＝320（页），80×5＝400（页）， ∴这本书大于320页，小于等于400页， 由他每天读90页，到1月8日读完，同类可得这本书大于270页，小于等于360页， 故这本书的页数就在320～360页之间， 根据决定分a天读完，这样每天都读a页便刚好全部读完，知这本书的页码为一个完全平方数， ∵在320～360之间的完全平方数只有324， ∴这本书有324页； 故答案为：324． 【点评】本题考查了整数、小数的四则运算，解题关键是掌握整数、小数的四则运算并能运用求解． 10．小红妈妈去市场买了a斤苹果和y斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费 　（8a+5y）　 元（用含a，y的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】分别求出苹果和香蕉的费用，求和即可． 【解答】解：根据题意可得一共应付（8a+5y）元， 故答案为：（8a+5y）． 【点评】本题主要考查了列代数式，正确读懂题意是解题关键． 三．解答题（共8小题） 11．某班男生有a人，女生有b人（a、b都不等于0），把一包棒棒糖平均分给男生，每人分4个，如果把这包糖平均分给女生，每人分　（4a÷b）　 个． 【答案】（4a÷b）． 【分析】先计算出这包糖的总数为4a个，再除以女生的人数即可得解． 【解答】解：把一包棒棒糖平均分给男生，每人分4个，如果把这包糖平均分给女生，每人分（4a÷b）个， 故答案为：（4a÷b）． 【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解此题的关键． 12．三个连续奇数，中间的一个数是x，则这三个奇数的和是　3x　 ． 【答案】3x． 【分析】根据连续的两个奇数相差是2，则最小的奇数是x﹣2，最大的奇数是x+2，把这三个数相加即可求出它们的和． 【解答】解：因为中间的一个数是x， 所以最小的奇数是x﹣2， 最大的奇数是x+2， 则这三个奇数的和：x+2+x+x﹣2＝3x， 故答案是：3x． 【点评】本题考查列代数式．明确相邻的两个奇数相差是2，然后能熟练进行合并同类项是解题的关键． 13．在罗山县某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． （1）用含m、n的代数式表示该广场的面积S； （2）若m、n满足（m﹣6）2+|n﹣8|＝0，求出该广场的面积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由广场的面积等于大矩形面积减去小矩形面积表示出S即可； （2）利用非负数的性质求出m与n的值，代入S中计算即可得到结果． 【解答】解：（1）S＝2m×2n﹣m（2n﹣n﹣0.5n） ＝4mn﹣0.5mn ＝3.5mn； （2）由题意得m﹣6＝0，n﹣8＝0， ∴m＝6，n＝8， 代入，可得 原式＝3.5×6×8＝168． 【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）． （1）用含x的代数式表示AF的长为　4x　 米； （2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式） 【答案】（1）4x； （2）180﹣15x（米）． 【分析】（1）根据题意可得AF＝AG＝4x； （2）将DF、EC以外的线段用x表示出来，再用360减去所有线段的长再除以2可得DF的长度． 【解答】解；（1）设BG的长为2x米．则AG＝4x， ∵区域①是正方形， ∴AF＝AG＝4x， 故答案为：4x． （2）∵区域①是正方形， ∴AF＝AG＝GH＝FH＝4x米， ∴EH＝BG＝2x米，BE＝GH＝4x米， 则EF＝FH+EH＝6x米． ∵区域③是长方形， ∴DF＝CE，CD＝EF＝6x米， 则（米）． 【点评】本题考查了列代数式和整式的加减；熟练掌握以上知识点是关键． 15．购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，这两款空调的部分基本信息如下： 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/（kW•h） 2 1级 5200 860 2 3级 4800 1060 如果电价是0.5元/（kW•h），设空调的使用年数为t． （1）1级能效空调的综合费用为　5200+430t　 ；3级能效空调的综合费用为　4800+530t　 ． （2）请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低？ 【答案】（1）5200+430t；4800+530t； （2）当它计划使用空调4年以内，选择3级能效空调综合费用较低，当他计划使用空调4年，选3级能效空调或1级能效空调综合费用都一样，它计划使用空调4年以上，选择1级能效空调综合费用较低． 【分析】（1）根据空调的综合费用等于售价加上年耗电量乘以电价乘以空调的使用年数t，即可求解； （2）本题需要根据空调使用时间进行讨论，先计算出两款空调综合费用相等时的使用年限，再计算两款空调综合费用不相等时的使用年限，然后即可求解； 【解答】解：（1）由条件可知1级能效空调的综合费用为：5200+430t， 3级能效空调的综合费用为：4800+530t； 故答案为：5200+430t；4800+530t； （2）①两款空调综合费用相等时，由题意可得：5200+430t＝4800+530t， 解得：t＝4 ②两款空调综合费用不相等时，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子变形为1级能效空调的综合费用与另一个式子的和，即：5200+430t+（100t﹣400）， 也就是5200+430t+100（t﹣4）， 当t＜4时，100（t﹣4）是负数，说明3级能效空调的综合费用较低； 当t＞4时，100（t﹣4）是正数，说明1级能效空调的综合费用较低， 答：当它计划使用空调4年以内，选择3级能效空调综合费用较低，当他计划使用空调4年，选3级能效空调或1级能效空调综合费用都一样，它计划使用空调4年以上，选择1级能效空调综合费用较低． 【点评】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用的知识，解决本题的关键是列一元一次方程求出使用多少年时，两款空调的综合费用相等． 16．小芳房间的窗户如图所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）． （1）窗户的面积是多少？ （2）装饰物所占的面积是多少？ （3）窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？（结果保留π，窗框面积忽略不计） 【答案】（1）ab； （2）； （3）． 【分析】（1）直接利用长方形的面积公式计算； （2）半径相同的两个四分之一圆和一个半圆正好构成了一个整圆，所求装饰物所占的面积正好是一个整圆的面积； （3）能射进阳光的部分的面积＝窗户面积﹣装饰物面积． 【解答】解：（1）由图可知：窗户的面积是ab； （2）装饰物的面积正好等于一个半径为的圆的面积，即； （3）窗户中能射进阳光的部分的面积是． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是运用圆和长方形的面积公式来解答． 17．如图是某校田径运动场的平面图，运动场跑道由直跑道和半环形跑道组成，最中间长方形的长为am，环形跑道内侧半圆的半径为rm，跑道宽为cm． （1）用含有a，r的代数式表示跑道内侧的周长为　（2a+2πr）　 m； （2）用含有a，r，c的代数式表示跑道外侧的周长为　（2a+2πr+2πc）　 m； （3）用含有a，r，c的代数式表示跑道的面积为　（2ac+πc2+2πrc）　 m2． 【答案】（1）（2a+2πr）； （2）（2a+2πr+2πc）； （3）（2ac+πc2+2πrc）． 【分析】（1）根据周长的意义，直道长度加上弯道长度，用a，r表示出跑道内侧的周长， （2）根据周长的意义，直道长度加上弯道长度，用a，r，c表示出跑道外侧的周长即可． （3）根据圆的面积公式和长方形面积公式进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知直道总长度为2am， ∵内侧半圆形弯道的半径为rm， ∴内侧半圆形弯道的总长度为2πrm， ∴内侧跑道的周长为（2a+2πr）m， 故答案为：（2a+2πr）； （2）由条件可知直道总长度为2am， ∵外侧半圆形弯道的半径为（r+c）m， ∴外侧半圆形弯道的总长度为2π（r+c）m， ∴外侧跑道的周长为2a+2π（r+c）＝（2a+2πr+2πc）m． 故答案为：（2a+2πr+2πc）； （3）跑道的面积为：2×a×c+π×（r+c）2﹣π×r2＝（2ac+πc2+2πrc）m2． 故答案为：（2ac+πc2+2πrc）． 【点评】本题主要考查列代数式，解题关键是用代数式表示数量关系． 18．如图，小明的房间由小卧室和阳台组成，小明爸妈的房间由大卧室和露台组成．大小卧室都是正方形，大卧室的边长和小明房间的长都是a，露台的宽度为b，阳台的宽度是露台宽度的． （1）用含a，b的代数式分别表示大卧室和阳台的面积； （2）若5a＝3（3a﹣b），S露台＝m•S阳台，求m的值． 【答案】（1）a2，． （2）m＝6． 【分析】（1）大小卧室都是正方形，大卧室的边长是a，根据正方形的面积公式：正方形的面积＝边长×边长，代入字母表示出大卧室的面积；阳台是一个长方形，露台的宽度为b，阳台的宽度是露台宽度的，阳台的宽是，阳台的长是，长方形的面积＝长×宽，代入字母表示出代数式即可． （2）由5a＝3（3a﹣b），得，因为S露台＝m•S阳台，所以ab＝m•（），化简求出m即可． 【解答】解：（1）大卧室面积是：a×a＝a2， 阳台的面积是：． 答：大卧室的面积是a2，阳台的面积是． （2）因为5a＝3（3a﹣b）， 所以， 露台面积是：ab， 阳台的面积是：， 因为S露台＝m•S阳台， 所以ab＝m•（）， 即， 得：， 得m＝6． 【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是熟练利用长方形得到面积公式计算． 学科网（北京）股份有限公司 $