3.1列代数式表示数量关系讲义-2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

第三章 代数式 第一节 列代数式表示数量关系 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1代数式的概念 2 知识点2代数式的意义 2 知识点3列代数式 2 知识点4正比例关系和反比例关系 2 题型精讲1用字母表示数 3 题型精讲2列代数式 3 题型精讲3正（反）比例关系 5 题型精讲4用代数式表示数、图形的规律 6 题型精讲5代数式的概念 7 题型精讲6代数式书写方法 7 题型精讲7代数式表示的实际意义 8 03拓展培优 10 04课堂检测 16 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：能识别实际问题中的 “和、差、积、商” 等关键词，准确分析数量关系，规范列出代数式；熟练掌握代数式书写规则，确保表达符合标准。 2. 素养能力：通过建模将实际问题转化为数学式子，发展抽象能力与符号意识；能解释代数式的实际意义，对接中考对应用能力的考查要求。 3. 情感应用：感受数学与生活的联系，培养用代数式解决行程、销售等实际问题的能力，夯实代数学习基础。 【新知学习】 【知识点1】代数式的概念 1. 代数式的定义：用 （即加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）将 与表示数的 连接而成的式子，称为代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 1. 代数式的书写要求 ① 数与数相乘必须用 “×” 连接，数与字母相乘、字母与字母相乘时，把 “×” 用 “・”（点乘符号）或 代替； ② 在数与字母以及式子相乘中，排列的先后顺序依次是 、 、然后是单项式，最后是多项式； ③ 带分数与字母相乘时，要把带分数写成 ； ④ 写含有字母的除法时，要把除法写成 的形式； ⑤ 代数式后面有单位时，一定要用 把代数式括起来。 边学边练下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B． C． D． 【知识点二】代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用 出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予 。 边学边练式子的意义是 ． 【知识点三】列代数式 在解决一些数学问题或实际问题时，把问题中的数量关系用含有 、 和 （加、减、乘、除、乘方等） 的式子表示出来，就是列代数式。同一个问题中同一个字母表示同一个量. 边学边练写出一个含有x的代数式 ，使其满足无论x取何值，这个代数式的值总比代数式的值大． 【知识点四】 正比例关系和反比例关系 1. 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的 一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值，且k≠0），正比例关系可以用=k来表示，其中k叫作比例系数。 2.反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的 一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数. 边学边练长方形的面积为100，则长方形的长y与宽x之间成 关系．（填“反比例”或“正比例”） 题型精讲 题型精讲1用字母表示数 【例题1】已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【变式训练1】夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁． A． B．21 C． D．6 【思维建模】本题题考查的是用字母表示数，熟练掌握用字母表示数及数量关系是解题的关键． 【变式训练2】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练3】如果，则的值可表示为 （用含的式子表示）． 题型精讲2列代数式 【例题1】某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具． 【思维建模】根据总共配发的数量=年级数量×每个年级配发的套数，列代数式． 【变式训练1】6．若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元． 【变式训练2】一个三位数，个位上的数字8，十位数的数字b，百位上的数字是a，表示这个三位数的式子是 ． 【变式训练3】如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 原甲：10 原乙：8 现甲：10-a 现乙：8+a 原甲：m 原乙：2m 现甲1：m-a 现乙1：2m+a 原甲：m黑 原乙：2m白 现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑 现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合 题型精讲3正（反）比例关系 【例题1】小明从家到学校路程一定，所需时间与行走的速度（   ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．时间与速度都一定 【思维建模】若两个量的乘积为定值，则它们成反比例关系，时间 x 与速度y的乘积固定，因此成反比例 【变式训练1】下面各题中的两个量，成正比例的是（    ） A．一袋大米的重量一定，吃了的部分和剩下的部分 B．圆的面积和半径 C．圆柱体的体积一定，它的底面积和高 D．若，则a和b 【变式训练2】判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是 （填序号）． ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 【变式训练3】科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克． 【思维建模】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握． （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用弹簧伸长的长度乘弹簧伸长每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量． 题型精讲4用代数式表示数、图形的规律 【例题1】如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子…那么，第9个图中的棋子数是（   ） A．27 B．30 C．35 D．38 【思维建模】本题考查规律型：图形的变化类，观察题图，发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多，第个图中棋子的枚数为，即可判断第个图中的棋子数．结合图形得出规律是解题的关键． 【变式训练1】醇是一类由碳，氢，氧元素组成的有机化合物，其中一元醇是指一个分子中氧原子个数为1的醇类，下图所示的3种结构式均为一元醇，则当一元醇化学式中碳原子个数为10时，氢原子个数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【变式训练2】如图，将一些大小相同，而颜色不同的黑白小球按如图所示的规律摆放，第n 个图形白球的个数为 ．（用含 n 的代数式表示） 【变式训练3】如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（  ） A．252 B．253 C．336 D．337 题型精讲5代数式的概念 【例题1】有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【思维建模】用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可 【变式训练1】下列各式中，是代数式的是 ．（填序号） ①；②；③；④π；⑤；⑥． 【思维建模】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式． 【变式训练2】下列各式中，不是代数式的是（　） A． B． C． D． 【思维建模】根据代数式的概念：用运算符号（+、-、×、÷、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案 【变式训练3】用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如下表： 每本用纸张数/张 8 10 15 20 24 装订本数/本 75 60 40 30 25 (1)这些纸一共有______张； (2)每本用纸张数和装订本数是否成反比例关系?为什么? 题型精讲6代数式书写方法 【例题1】下列式子中符合书写格式的是（    ） A． B． C． D． 【思维建模】 代数式的书写格式： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“∙”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【变式训练1】下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；     （2）；    （3）；     （4）； 。 （5）；    （6）米． 。 【变式训练2】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练3】将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 题型精讲7代数式表示的实际意义 【例题1】关于代数式的意义，下列说法中不正确的是（   ） A．比a的平方少9的数 B．a的平方与9的差 C．a的平方减去9 D．a与9的差的平方 【思维建模】 本题考查了代数式的意义，对代数式意义的描述，实际上就是把代数式用语言叙述出来，叙述时要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．根据代数式的意义对各选项分析即可． 【变式训练1】代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【变式训练2】“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（　　） A．在原价的基础上打8折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打8折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【变式训练3】一种商品每件成本元，原来按成本增加定出价格，现在由于库存积压减价，按原价的出售，现售价是 元． 【拓展培优】 【典例1】把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式训练1】数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法，如图①，一边长都为a的三个小长方形可拼成一个大长方形，大长方形面积可表示为，看成三个小长方形，那么面积可分别表示为，这验证了乘法对加法的分配律：． 探究1：如图②，用两个边长分别为a、b的小正方形和两个长方形，拼成大正方形，观察图形完成下列填空． （1）大正方形面积可表示为 ； （2） （其中，，填“”、“”或“”． （3）对比图②、图③，可得图③中阴影部分长方形的面积为 ． （用含a、b的代数式表示） 探究2：计算 ． 如图④，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； （4）求第3次分割后空白部分的面积为_______； （5）根据第6次分割图可得： ； 因此 ． （6）根据第n次分割图可得： 【变式训练2】如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 【典例2】将9个各不相同的正整数填在3×3表格的9个格子中，一个格子填一个数，使得每个的子表格中四个数的和都恰好等于100． （1）如图1，请你将20、25、35、40、50填入表格，使其符合条件，则 ； （2）这9个正整数总和的最小值是 ．（注：每个的子表格是指表格中形状为“”的表格．） 【变式训练1】一个各数位数字均不为零的四位自然数，它的后两位数为，前两位数为，若为整数，则这个数为“仁智数”． 例如：，，，，是“仁智数”． (1)判断1254，1339是否是“仁智数”，如果是，请求出的值； (2)四位数是“仁智数”，它的千位数字为，百位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的； (3)若四位数、均为“仁智数”，且满足，则称为“仁智组合”，请问满足条件的“仁智组合”有_____个． 【典例3】某市将举办“创意与科创成果”主题展览．距离展览开幕还有7天，有四个不同的展区需要布置展品．布置每个展区需要一定数量的志愿者连续合作若干天完成，所需的志愿者人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 展区 A B C D 志愿者人数 3 5 4 2 天数 4 3 2 5 （1）如果开幕前将每个展区都布置完成，主办方至少应招募 名志愿者； （2）每名志愿者的补贴标准为：每天补贴元，天数按照所有展区布置完成的天数计算．若主办方准备的补贴预算不超过元，且要在最短时间内完成工作，请问最少 天布置完成． 【变式训练1】某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） 题号学生 1 2 3 4 得分 甲 乙 丙 丁 A．50 B．40 C．30 D．20 【变式训练2】账单中的数学 素材1：为了节能减排，居民电费采用阶梯电价的方式执行，下面是阶梯电价的划分方式和收费标准． 阶梯名称 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 年累计用电量（千瓦时） 以上 单价（元/千瓦时） 0.55 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.05元 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.35元 素材2：峰谷电是一种电价制度，峰谷电电价按照高峰和低谷时段分别计算．高峰时段（8：00到22：00）的电价为每千瓦时0.568元，低谷时段（22：00到次日8：00）的电价为每千瓦时0.288元．对于开通峰谷分时电价的居民用户，按照高峰和低谷的合计电量执行阶梯电价，第二阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.05元，第三阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.35元． 素材3：2024年文文家未开通峰谷电，图1，图2和图3是她家1月、2月和9月份电费账单部分信息．（温馨提醒：账单中合计金额指该月的电费，合计电量指该月的用电量．） 根据以上素材，解决下列问题： (1)文文家2月份的电费是多少元？ (2)已知文文家前8个月累计用电2610千瓦时． ①文文家9月份的用电量是多少千瓦时？ ②如果文文家9月份开通峰谷电，且峰电占9月份用电量的，那么开通峰谷电后9月份的电费是多少元？ ③化化家前8个月累计用电量和文文家一样，若化化家9月份的用电量为千瓦时，其中峰用电量为千瓦时，当和满足什么关系时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期中）下列代数式符合书写要求的是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期中）下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广东清远·期中）某班共有个学生，其中女生人数占，那么男生人数是（   ）人． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·全国·期中）下列代数式书写正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级上·河北秦皇岛·开学考试）嘉嘉在期中考试中，语文、数学和英语三科的平均分是m分，语文和数学共得n分，则嘉嘉英语得（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 6．（24-25七年级上·广东韶关·期中）我校举办了用火柴棒摆“金鱼”的活动．按照图中所示的规律，第n个图形需用火柴棒的根数为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期中）小明去超市买了6千克售价为每千克m元的苹果，微信里全部余额40元（未绑定银行卡），扫码付款时提示余额不足，则他还差（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 8．（25-26七年级上·吉林长春·期中）某商品进价为每件a元，商店将价格提高作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折的价格开展促销活动，这时该商品每件的售价为（    ） A．a元 B．元 C．元 D．元 9．（25-26七年级上·全国·期中）“x与y两数的平方差”可以用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·陕西·期中）用一样长的火柴棒按如图所示的方式搭建图形．已知第1个图形需要6根火柴棒；第2个图形需要根火柴棒；第3个图形需要根火柴棒；……按照这个规律，第n个图形需要火柴棒的根数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26七年级上·吉林长春·期中）用代数式表示“比x的平方的2倍大1的数” ． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）为满足学生训练需要，某校打算将一块长为米，宽为米的长方形训练场地进行扩建，扩建后场地的宽增加了米，长不变，则扩建后训练场地的面积增加了 平方米． 三、解答题 13．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友．先填表，再回答． 每包的本数 10 20 40 包数 60 (1)每包的本数和包数成什么比例？为什么？ (2)如果每包15本，那么可以打成多少包？如果打成6包，那么每包多少本？ 每包的本数 10 20 40 包数 60 30 15 14．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四季上东小区，为美化环境，提高居民区生活质量，要建一个居民休闲广场（平面图如图所示），广场中间是一个正方形，边长为x米，以正方形的各边为长建四个长方形长廊（图中阴影部分），长方形的宽为y米，且广场的四角为四个扇形． (1)求该休闲广场的占地面积（用含x、y的式子表示） (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元，在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩，平均每平方米造价为105元，在四个扇形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元，该工程总造价多少钱？（用含x、y的式子表示） 15．（24-25七年级上·广东汕头·期中）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)小林一次性购物520元，他实际付款 元．小卢一次性购物300元，他实际付款 元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元． (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 16．（24-25七年级上·福建漳州·期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()． (1)若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示) (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 第一节 列代数式表示数量关系 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1代数式的概念 2 知识点2代数式的意义 4 知识点3列代数式 2 知识点4正比例关系和反比例关系 4 题型精讲1用字母表示数 4 题型精讲2列代数式 6 题型精讲3正（反）比例关系 7 题型精讲4用代数式表示数、图形的规律 9 题型精讲5代数式的概念 9 题型精讲6代数式书写方法 9 题型精讲7代数式表示的实际意义 9 03拓展培优 12 04课堂检测 18 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识技能：能识别实际问题中的 “和、差、积、商” 等关键词，准确分析数量关系，规范列出代数式；熟练掌握代数式书写规则，确保表达符合标准。 2. 素养能力：通过建模将实际问题转化为数学式子，发展抽象能力与符号意识；能解释代数式的实际意义，对接中考对应用能力的考查要求。 3. 情感应用：感受数学与生活的联系，培养用代数式解决行程、销售等实际问题的能力，夯实代数学习基础。 【新知学习】 【知识点1】代数式的概念 1. 代数式的定义：用基本运算符号（即加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）将数与表示数的字母连接而成的式子，称为代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 1. 代数式的书写要求 ① 数与数相乘必须用 “×” 连接，数与字母相乘、字母与字母相乘时，把 “×” 用 “・”（点乘符号）或省略不写代替； ② 在数与字母以及式子相乘中，排列的先后顺序依次是数字、字母、然后是单项式，最后是多项式； ③ 带分数与字母相乘时，要把带分数写成假分数； ④ 写含有字母的除法时，要把除法写成分数的形式； ⑤ 代数式后面有单位时，一定要用小括号（ ） 把代数式括起来。 边学边练下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由代数式的定义可得，只有A选项中的式子不是代数式， 故选：A． 【知识点二】代数式的意义 根据生活实际将给定的代数式的意义用语言叙述出来，就是将代数式的字母及运算符号赋予具体的含义. 边学边练式子的意义是 ． 【答案】x除以x与8的和所得的商. 【详解】解：该式子中，分子是，分母是，根据数学运算顺序，应先计算分母中的加法运算，得到与8的和，再进行除法运算，即用分子除以分母的结果. 故答案为：除以与8的和所得的商 ． 【知识点三】列代数式 在解决一些数学问题或实际问题时，把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方等） 的式子表示出来，就是列代数式。同一个问题中同一个字母表示同一个量. 边学边练写出一个含有x的代数式 ，使其满足无论x取何值，这个代数式的值总比代数式的值大． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设个代数式的值比代数式的值大1， 则这个代数式为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【知识点四】 正比例关系和反比例关系 1. 正比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的比值（k是一个确定的值，且k≠0），正比例关系可以用=k来表示，其中k叫作比例系数。 2.反比例关系：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数. 边学边练长方形的面积为100，则长方形的长y与宽x之间成 关系．（填“反比例”或“正比例”） 【答案】反比例 【详解】解：长方形的长y与宽x,长方形的面积为100，则， ∴长方形的长y与宽x之间成反比例关系． 故答案为：反比例． 题型精讲 题型精讲1用字母表示数 【例题1】已知每个人做某项工作的效率相同，个人做d天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用字母表示数 【分析】本题考查了用字母表示数，设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人，现在总人数是人，用工作总量除以总人数，即可求出完成工作所需的天数． 【详解】解：设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加r人， 则完成工作所需的天数为， 故选：D． 【变式训练1】夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁． A． B．21 C． D．6 【答案】B 【知识点】用字母表示数 【分析】根据夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，分别用含有字母的式子表示出爸爸今年的岁数、夏明6年后的岁数、爸爸6年后的岁数，用减法即可计算出爸爸6年后比夏明大的岁数．本题还可以根据“年龄差不变”直接得出答案． 【详解】爸爸今年：岁； 6年后，夏明岁； 爸爸：岁； 爸爸比夏明大： （岁）； 故答案为：B 【思维建模】本题题考查的是用字母表示数，熟练掌握用字母表示数及数量关系是解题的关键． 【变式训练2】一个两位数，它的十位数字是，个位数字是，那么这个两位数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用字母表示数 【分析】根据两位数的表示方法：十位数字个位数字，即可解答． 【详解】解：∵一个两位数，它的十位数是，个位数字是， ∴根据两位数的表示方法，这个两位数表示为：． 故选： 【变式训练3】如果，则的值可表示为 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【知识点】有理数乘法运算律、用字母表示数 【分析】本题考查了有理数乘法的分配律，代数式，利用有理数乘法的分配律把原式转化为，再展开整体代入即可得到答案，掌握有理数乘法的运算律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型精讲2列代数式 【例题1】某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发 套劳动工具． 【答案】 【知识点】列代数式 【【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：套， 故答案为：． 【思维建模】根据总共配发的数量=年级数量×每个年级配发的套数，列代数式． 【变式训练1】6．若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元． 【答案】 【知识点】列代数式 【详解】解：若每个篮球30元，则购买n个篮球需元， 故答案为：． 【变式训练2】一个三位数，个位上的数字8，十位数的数字b，百位上的数字是a，表示这个三位数的式子是 ． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，百位上的数字乘100，10位上的数字乘10，个位上数字乘1，然后把得到的数加起来，即为所表示的是三位数． 【详解】解：∵个位，十位，百位上的数字分别是8，b，a， ∴这个三位数为：． 故答案为：． 【变式训练3】如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒． （1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ； （2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为 ． 【答案】 4 1 【知识点】列代数式 【分析】①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可 ②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可 ③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子，个黑子，再根据要求算出y，即可 【详解】答题空1： 原甲：10 原乙：8 现甲：10-a 现乙：8+a 依题意： 解得： 故答案为：4 答题空2： 原甲：m 原乙：2m 现甲1：m-a 现乙1：2m+a 第一次变化后，乙比甲多： 故答案为： 答题空3： 原甲：m黑 原乙：2m白 现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑 现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合 第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子 则： 故答案为：1 题型精讲3正（反）比例关系 【例题1】小明从家到学校路程一定，所需时间与行走的速度（   ） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．时间与速度都一定 【答案】B 【知识点】正（反）比例关系 【详解】解：根据路程、速度和时间的关系式，当路程一定时，速度和时间的乘积为定值，符合反比例的定义， A、因随增大而减小，比值不固定，错误； B、因 为定值，正确； C、因两者存在明确的乘积关系，错误； D、因题目未限定和必须固定，错误； 故选：B． 【思维建模】若两个量的乘积为定值，则它们成反比例关系，时间 x 与速度y的乘积固定，因此成反比例 【变式训练1】下面各题中的两个量，成正比例的是（    ） A．一袋大米的重量一定，吃了的部分和剩下的部分 B．圆的面积和半径 C．圆柱体的体积一定，它的底面积和高 D．若，则a和b 【答案】D 【知识点】正（反）比例关系 【详解】A． 总重量=吃了的+剩下的，和为定值，故吃了的与剩下的不成正比例． B． 圆的面积，S与r的比值为，随变化而变化，比值不固定，故不成正比例． C． 圆柱体积（定值），与的乘积固定，属于反比例关系． D． 由得（定值），比值一定，故a和b成正比例． 【变式训练2】判断反比例关系：下列各组的两个变量间成反比例关系的是 （填序号）． ①销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系； ②等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长； ③三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高； ④圆的周长与它的半径． 【答案】③ 【知识点】正（反）比例关系 【详解】解：销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，故①不符合题意; 等腰三角形的周长一定时，它的底边与腰长不成反比例关系，故②不符合题意； 三角形的面积一定时，它的一边长与该边上的高成反比例关系，故③符合题意； 圆的周长与它的半径成正比例关系，故④不符合题意； 故答案为：③. 【变式训练3】科技小组的同学制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米．实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）： 弹簧伸长的长度/厘米 1 2 3 … 5 物体的质量/千克 2 4 6 … 10 在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例．当弹簧的总长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克． 【答案】 正 9.6 【知识点】正（反）比例关系 【详解】解：（1）（千克/厘米） （千克/厘米） （千克/厘米） …… （千克/厘米） 2是一定值，所以在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成正比例． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是： （厘米） 所挂物体的质量是： （千克） 答：当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是9.6千克． 故答案为：（1）正．（2）9.6． 【思维建模】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握． （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系． （2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧伸长的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用弹簧伸长的长度乘弹簧伸长每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量． 题型精讲4用代数式表示数、图形的规律 【例题1】如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子…那么，第9个图中的棋子数是（   ） A．27 B．30 C．35 D．38 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【详解】解：观察题图， 第个图中的棋子数为：， 第个图中的棋子数为：， 第个图中的棋子数为：， 第个图中的棋子数为：， …… 发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多， ∴第个图中的棋子数为：， ∴第个图中的棋子数是：． 故选：B． 【思维建模】本题考查规律型：图形的变化类，观察题图，发现每个图中棋子的枚数比前一个图中棋子的枚数多，第个图中棋子的枚数为，即可判断第个图中的棋子数．结合图形得出规律是解题的关键． 【变式训练1】醇是一类由碳，氢，氧元素组成的有机化合物，其中一元醇是指一个分子中氧原子个数为1的醇类，下图所示的3种结构式均为一元醇，则当一元醇化学式中碳原子个数为10时，氢原子个数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【详解】解：当碳原子个数为1时，氢原子个数为， 当碳原子个数为2时，氢原子个数为， 当碳原子个数为3时，氢原子个数为， …… 当碳原子个数为时，氢原子个数为， 当碳原子个数为10时，氢原子个数为． 故选：C． 【变式训练2】如图，将一些大小相同，而颜色不同的黑白小球按如图所示的规律摆放，第n 个图形白球的个数为 ．（用含 n 的代数式表示） 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形规律的探索，用代数式表示图形规律；找到白球数量的规律是解题的关键；第1个图形白球个数为，第2个图形白球个数为，第3个图形白球个数为，第4个图形白球个数为，……，由此得第n 个图形白球的个数为，最后计算即可． 【详解】解：第1个图形白球个数为， 第2个图形白球个数为， 第3个图形白球个数为， 第4个图形白球个数为， ……， 第n 个图形白球的个数为， 而， 故答案为：． 【变式训练3】如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（  ） A．252 B．253 C．336 D．337 【答案】B 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【详解】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒， 观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0， 第二个图形需要小木棒：14=6×2+2； 第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…， ∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2． ∴8n-2=2022，得：n=253， 故选：B． 题型精讲5代数式的概念 【例题1】有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中代数式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【知识点】代数式的概念 【详解】解：①是代数式； ②是代数式； ③是代数式； ④是代数式； ⑤不是代数式； ⑥不是代数式； ⑦是代数式． 综上，代数式有①②③④⑦，共5个． 故选：C． 【思维建模】用运算符号连接数或字母的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式．根据代数式的定义排除含有等号或不等号的式子，再统计即可 【变式训练1】下列各式中，是代数式的是 ．（填序号） ①；②；③；④π；⑤；⑥． 【答案】①④⑤ 【知识点】代数式的概念 【详解】解：是代数式的是①；④π；⑤． 故答案为：①④⑤． 【思维建模】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式． 【变式训练2】下列各式中，不是代数式的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式的概念 【详解】解：A、是代数式，不符合题意，选项错误； B、是代数式，不符合题意，选项错误； C、是代数式，不符合题意，选项错误； D、使等式，不是代数式，符合题意，选项正确， 故选：D． 【思维建模】根据代数式的概念：用运算符号（+、-、×、÷、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案 【变式训练3】用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如下表： 每本用纸张数/张 8 10 15 20 24 装订本数/本 75 60 40 30 25 (1)这些纸一共有______张； (2)每本用纸张数和装订本数是否成反比例关系?为什么? 【答案】(1)600 (2)反比例关系，见解析 【知识点】列代数式、代数式的概念 【详解】（1）解：因为， 这些纸一共有张； 故答案为：； （2）解：每本用纸张数和装订本数成反比例关系． 因为定值， 所以每本用纸张数和装订本数成反比例关系． 题型精讲6代数式书写方法 【例题1】下列式子中符合书写格式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【详解】解：A、原书写错误，应写为，故此选项不符合题意； B、原书写错误，应写为，故此选项不符合题意； C、原书写错误，应写为，故此选项不符合题意； D、原书写正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【思维建模】 代数式的书写格式： （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“∙”或者省略不写； （2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【变式训练1】下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： （1）；     （2）；    （3）；     （4）； （5）；    （6）米． 【答案】 米 【知识点】代数式书写方法 【详解】解：（1）应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； (5)应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； (6)米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 【变式训练2】有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【详解】解：①②④是符合要求的， ③应写为， ⑤应写为， ⑥应写为， 故选：B． 【变式训练3】将下列各式按照列代数式的规范要求重新书写： （1）a×5，应写成 ；     （2）S÷t应写成 ； （3），应写成 ； （4）, 应写成 . 【答案】 5a 【知识点】代数式书写方法 【详解】解：（1）a×5=5a， 故答案为∶5a； （2）S÷t=， 故答案为∶； （3）， 故答案为∶； （4） 故答案为∶． 题型精讲7代数式表示的实际意义 【例题1】关于代数式的意义，下列说法中不正确的是（   ） A．比a的平方少9的数 B．a的平方与9的差 C．a的平方减去9 D．a与9的差的平方 【答案】D 【知识点】代数式表示的实际意义 【详解】A．代数式表示比a的平方少9的数，说法正确，故本选项错误； B．代数式表示a的平方与9的差，说法正确，故本选项错误； C．代数式表示a的平方减去9，说法正确，故本选项错误； D．代数式表示a与3的平方差，说法错误，故本选项正确， 故选：D． 【思维建模】 本题考查了代数式的意义，对代数式意义的描述，实际上就是把代数式用语言叙述出来，叙述时要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．根据代数式的意义对各选项分析即可． 【变式训练1】代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【详解】解：的意义可以是与x的积． 故选C． 【变式训练2】“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为x元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（　　） A．在原价的基础上打8折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打8折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【详解】解：由题意可得， 元表示：在原价的基础上减去元后再打8折， 故选：C． 【变式训练3】一种商品每件成本元，原来按成本增加定出价格，现在由于库存积压减价，按原价的出售，现售价是 元． 【答案】 【知识点】列代数式、代数式表示的实际意义 【详解】解：∵每件成本元，原来按成本增加定出价格， ∴原价为（元）； ∵现在按原价的出售， ∴现售价：（元）； 故答案为：． 【拓展培优】 【典例1】把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【知识点】整式四则混合运算、列代数式 【详解】解：将B向左推，可得如图， 设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c， 根据图2是正方形，得， 即， 由图（2）两个A的位置，可得即， ∴图2正方形边长为 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【变式训练1】数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法，如图①，一边长都为a的三个小长方形可拼成一个大长方形，大长方形面积可表示为，看成三个小长方形，那么面积可分别表示为，这验证了乘法对加法的分配律：． 探究1：如图②，用两个边长分别为a、b的小正方形和两个长方形，拼成大正方形，观察图形完成下列填空． （1）大正方形面积可表示为 ； （2） （其中，，填“”、“”或“”． （3）对比图②、图③，可得图③中阴影部分长方形的面积为 ． （用含a、b的代数式表示） 探究2：计算 ． 如图④，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； （4）求第3次分割后空白部分的面积为_______； （5）根据第6次分割图可得： ； 因此 ． （6）根据第n次分割图可得： 【答案】（1）；（2）（3）；（4）（5），；（6） 【知识点】列代数式、用代数式表示数、图形的规律、乘方的应用 【详解】解： （1）大正方形面积可表示为， 故答案为：； （2）由图可以发现面积为的图形是大正方形的一部分， ∴， 故答案为：． （3）对比图②可得大正方形面积为， ∴可得图③中阴影部分长方形的面积为， 故答案为：； 如图④， ，…； （4）第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为，空白部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， 故答案为：； （5）根据第6次分割后，阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， ∴， 因此 故答案为：，； （6）根据第n次分割图可得：阴影部分的面积之和为 ，空白部分的面积为， ∴， 因此 ， 故答案为：． 【变式训练2】如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 【答案】C 【知识点】列代数式 【详解】设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形的周长为③ ①+③的周长为：， ②+③的周长为：， 已知①和②的周长之差为6， ①+③的周长和②+③的周长之差为6， 即， 化简可得， 则， 因为正方形和长方形周长相等， 所以，可得， 又因为， 可通过这两个式子求出的值， 所以与的差可求． 与的和，与的积，与的商，仅根据现有条件无法求出具体数值． 答案选C． 【典例2】将9个各不相同的正整数填在3×3表格的9个格子中，一个格子填一个数，使得每个的子表格中四个数的和都恰好等于100． （1）如图1，请你将20、25、35、40、50填入表格，使其符合条件，则 ； （2）这9个正整数总和的最小值是 ．（注：每个的子表格是指表格中形状为“”的表格．） 【答案】 或 【知识点】数字类规律探索、列代数式 【详解】解：（1）∵每个的子表格中四个数的和都恰好等于100． ∴左上角的数为：， 同理可得：其余空格里面的数如图示： ∴当时，如图所示， 此时符合题意； 当时，出现两个，不符合题意； 当时，如图， 此时符合题意； 当时，不符合题意； 综上：或； 故答案为：或 （2）若填入的数如图所示： ∴， ∴ ， ， ∵为各不相同的正整数， ∴，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴的最小值为：， 如图是和取最小值的情况： ． 故答案为： 【变式训练1】一个各数位数字均不为零的四位自然数，它的后两位数为，前两位数为，若为整数，则这个数为“仁智数”． 例如：，，，，是“仁智数”． (1)判断1254，1339是否是“仁智数”，如果是，请求出的值； (2)四位数是“仁智数”，它的千位数字为，百位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的； (3)若四位数、均为“仁智数”，且满足，则称为“仁智组合”，请问满足条件的“仁智组合”有_____个． 【答案】(1)1254不是“仁智数”， 1339是“仁智数”，且 (2)4545，1144，1199，1872 (3)1938 【知识点】数字类规律探索 【详解】（1）解：1254中， ∵，，， ∴1254不是“仁智数”． 1339中， ∵，，， ∴1339是“仁智数”，且． （2）解：∵， ，且a，b为整数， ∴． ∵为整数， ∴或7或14， ∴或9或16． ∴11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97． ∵M是“仁智数”， ∴为整数，设（k为整数），则， ∴， ∵为整数， ∴为整数或为整数． ①当为整数时， ∵11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或（舍去）， ∴． ②当为整数时， ∵根据题意 且k为整数， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， 又∵11，18，27，36，45，54，63，72，81，79，88，97， ∴或， ∴或或． ∴满足条件的M为4545，1144，1199，1872． （3）解：∵，， ∴， ∵四位数、均为“仁智数”， ∴，， ∵，为整数， ∴，2，3，4，5，6，7，8，9，，2，3，4，5，6，7，8，9， ∵， ∴， ∴，或，或，， 当，时， 符合条件的四位数P满足，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵四位数P中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数P有个， 符合条件的四位数Q满足，即， ∵，， 又∵四位数Q中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数Q有个， ∴此时满足条件的“仁智组合”有个； 当，时， 符合条件的四位数P满足，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴此时满足条件的数P有个， 符合条件的四位数Q满足，即， ∵，， ∴，， ∴， 又∵四位数Q中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数Q有个， ∴此时满足条件的“仁智组合”有个； 当，时， 符合条件的四位数P满足，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴此时满足条件的数P有个， 符合条件的四位数Q满足，即， ∵，， ∴， ∵四位数Q中每个数字都不为0， ∴此时满足条件的数Q有个， ∴此时满足条件的“仁智组合”有个； ∴满足条件的“仁智组合”有个． 【典例3】某市将举办“创意与科创成果”主题展览．距离展览开幕还有7天，有四个不同的展区需要布置展品．布置每个展区需要一定数量的志愿者连续合作若干天完成，所需的志愿者人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 展区 A B C D 志愿者人数 3 5 4 2 天数 4 3 2 5 （1）如果开幕前将每个展区都布置完成，主办方至少应招募 名志愿者； （2）每名志愿者的补贴标准为：每天补贴元，天数按照所有展区布置完成的天数计算．若主办方准备的补贴预算不超过元，且要在最短时间内完成工作，请问最少 天布置完成． 【答案】 7 5 【知识点】代数式表示的实际意义、有理数四则混合运算的实际应用 【详解】解：（1）设1名志愿者布置1天展区为1个工作量， 则将每个展区都布置完成的工作量， ∵距离展览开幕还有7天，， ∴主办方应招募不少于7名志愿者， 当主办方招募7名志愿者时，并且给志愿者编号， 编号为的志愿者需工作7天，安排4天布置A展区，3天布置B展区， 编号为的志愿者需工作7天，安排2天布置C展区，5天布置D展区， 编号为的志愿者需工作5天，安排3天布置B展区，2天布置C展区， ∴招募7名志愿者可以在开幕前将每个展区都布置完成，符合题意； ∴主办方至少应招募7名志愿者， 故答案为：7； （2）由题意得，布置D展区需要2名志愿者连续合作5天， ∴将每个展区都布置完成的时间不少于5天， 当主办方需要在5天内完成工作， 招募3名志愿者，安排4天布置A展区； 招募5名志愿者，安排3天布置B展区，其中4名志愿者再安排2天布置C展区； 招募2名志愿者，安排5天布置D展区； 则一共招募了名志愿者， 所以需要提供志愿者补贴为元，符合题意； ∴要在最短时间内完成工作，最少5天布置完成． 故答案为：5． 【变式训练1】某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（   ） 题号学生 1 2 3 4 得分 甲 乙 丙 丁 A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索 【详解】解：∵乙同学答对了一半以上， ∴乙同学至少答对了3道题， ∴， ∴， ∴甲、丙至少答对了2道题， 假设乙同学第3题答错，则另外3题都答对，而甲、丙的答案中另外3题答案都与乙不同，因此甲、丙一道题也没有答对，即，不符合题意； ∴第3题的答案一定是B， 假设乙同学4道题都答对，则甲、丙最多答对1道题，即，不符合题意； ∴乙同学答对了3道题， 假设第1题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意； 假设第1题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第4题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意； 假设第2题甲答对，乙答错，丙也答对了，则甲丙都答对了2道题，符合题意； ∴第1，4两个题甲、丙都答错，第2题甲、丙都答对了，乙答错了，即乙答对了另外3个题， ∴第1题答案为D，第2题答案为C，第3题答案为B，第4题答案为A， ∴甲、丙、丁都答对了2题，即，， ∴． 故选：B． 【变式训练2】账单中的数学 素材1：为了节能减排，居民电费采用阶梯电价的方式执行，下面是阶梯电价的划分方式和收费标准． 阶梯名称 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 年累计用电量（千瓦时） 以上 单价（元/千瓦时） 0.55 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.05元 在第一阶梯的基础上每千瓦时加收0.35元 素材2：峰谷电是一种电价制度，峰谷电电价按照高峰和低谷时段分别计算．高峰时段（8：00到22：00）的电价为每千瓦时0.568元，低谷时段（22：00到次日8：00）的电价为每千瓦时0.288元．对于开通峰谷分时电价的居民用户，按照高峰和低谷的合计电量执行阶梯电价，第二阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.05元，第三阶梯的部分在原来的基础上每千瓦时加收0.35元． 素材3：2024年文文家未开通峰谷电，图1，图2和图3是她家1月、2月和9月份电费账单部分信息．（温馨提醒：账单中合计金额指该月的电费，合计电量指该月的用电量．） 根据以上素材，解决下列问题： (1)文文家2月份的电费是多少元？ (2)已知文文家前8个月累计用电2610千瓦时． ①文文家9月份的用电量是多少千瓦时？ ②如果文文家9月份开通峰谷电，且峰电占9月份用电量的，那么开通峰谷电后9月份的电费是多少元？ ③化化家前8个月累计用电量和文文家一样，若化化家9月份的用电量为千瓦时，其中峰用电量为千瓦时，当和满足什么关系时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等． 【答案】(1)132元 (2)①400千瓦时；②211.7元；③ 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【详解】（1）解：二月用电量为：(千瓦时)， ∴二月的电费为：(元)； （2）解：①9月用满第一阶梯电量需要电费：， ∴第二阶段电费为：(元)， ∴第二阶段用电量为：(千瓦时)， ∴九月份用电量为：(千瓦时)； ②峰电用电量为：(千瓦时)， 谷电用电量为：(千瓦时)， ∴九月份的电费是：(元)； ③∵是否开通峰谷电，阶梯价上涨相同， ∴不需要考虑阶梯价， ∴当时，开通和不开通峰谷电电费相同， 即时，开通峰谷电和不开通峰谷电的电费相等． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·期中）下列代数式符合书写要求的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解： 代数式中不能出现乘、除号，且数字在前，因此、书写错误，故A、B错误； 带分数要写成假分数的形式，因此书写错误，故C错误． 符合书写要求，故D正确； 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·期中）下列式子中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、应写成，该选项错误，不符合题意； B、应写成，该选项错误，不符合题意； C、应写成，该选项错误，不符合题意； D.、该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·广东清远·期中）某班共有个学生，其中女生人数占，那么男生人数是（   ）人． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，百分数的应用，根据男生人数全班人数男生所占的全班的百分比即可求出答案． 【详解】解：因为女生人数占， 所以男生占总数的， 该班的男生人数是， 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·期中）下列代数式书写正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号，逐一判断即可，解题的关键是正确理解代数式的书写要求． 【详解】解：①应写成； ②书写正确； ③书写正确； ④应写成； ⑤，书写正确． 正确的有②③⑤，共3个， 故选：C． 5．（25-26七年级上·河北秦皇岛·开学考试）嘉嘉在期中考试中，语文、数学和英语三科的平均分是m分，语文和数学共得n分，则嘉嘉英语得（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】此题考查列代数式，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的数量关系进行解答．根据语文、数学和英语三科的平均分是m分可知总分为，再减去语文和数学的总得分即可． 【详解】解：因为语文、数学和英语三科的平均分是m分， 所以语文、数学和英语三科的总分为， 因为语文和数学共得n分， 所以嘉嘉英语得分， 故选：． 6．（24-25七年级上·广东韶关·期中）我校举办了用火柴棒摆“金鱼”的活动．按照图中所示的规律，第n个图形需用火柴棒的根数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形的规律探索，解题的关键是得出每增加一个基本图形就多6根火柴棒． 根据已知图形中火柴棒的根数，找出其中的规律即可求解． 【详解】∵第1个图形火柴棒的根数， 第2个图形火柴棒的根数， 第3个图形火柴棒的根数， 故第n个图形需要火柴棒的根数为． 故选：A． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期中）小明去超市买了6千克售价为每千克m元的苹果，微信里全部余额40元（未绑定银行卡），扫码付款时提示余额不足，则他还差（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据题意，用含m的代数式表示出小明还差的钱即可． 【详解】解：由题知， 苹果的总价为元． 因为微信里全部余额元，且扫码付款时提示余额不足， 所以他还差的钱为元． 故选：C． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期中）某商品进价为每件a元，商店将价格提高作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以8折的价格开展促销活动，这时该商品每件的售价为（    ） A．a元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式．解决问题的关键是熟练掌握零售价与进价和提高率的关系，销售价与零售价和折扣率的关系．根据可得销售旺季的售价，再乘可得促销时的售价． 【详解】解：依题意可得：（元）． 故选：． 9．（25-26七年级上·全国·期中）“x与y两数的平方差”可以用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，理解平方差运算是解题关键． 先分别求平方，再求差即可得． 【详解】解：“x与y两数的平方差”可以用代数式表示为． 故选：A． 10．（25-26七年级上·陕西·期中）用一样长的火柴棒按如图所示的方式搭建图形．已知第1个图形需要6根火柴棒；第2个图形需要根火柴棒；第3个图形需要根火柴棒；……按照这个规律，第n个图形需要火柴棒的根数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查根据图形的排列规律列代数式，解题的关键是找到“后一个图形的火柴棒比前一个图形的火柴棒多5根”．根据后一个图形的火柴棒比前一个图形的火柴棒多5根，即可得到答案． 【详解】解：搭第1个图形需要6根火柴棒，， 搭第2个图形需要根火柴棒，， 搭第3个图形需要根火柴棒，， …… ∴搭第个图形需要的火柴棒的根数是：． 故选∶D． 二、填空题 11．（25-26七年级上·吉林长春·期中）用代数式表示“比x的平方的2倍大1的数” ． 【答案】/ 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列式是解题关键；根据列代数式的方法求解即可． 【详解】解：用代数式表示“比x的平方的2倍大1的数”是， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）为满足学生训练需要，某校打算将一块长为米，宽为米的长方形训练场地进行扩建，扩建后场地的宽增加了米，长不变，则扩建后训练场地的面积增加了 平方米． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查列代数式，掌握长方形面积计算公式是解题的关键． 根据长方形面积公式计算即可． 【详解】解：平方米， 扩建后训练场地的面积增加了平方米． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友．先填表，再回答． 每包的本数 10 20 40 包数 60 (1)每包的本数和包数成什么比例？为什么？ (2)如果每包15本，那么可以打成多少包？如果打成6包，那么每包多少本？ 【答案】(1)填表见解析；每包的本数和包数成反比例，理由见解析 (2)如果每包15本，那么可以打成40包，如果打成6包，那么每包100本 【知识点】正（反）比例关系、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，成反比例关系，熟练掌握成反比例的定义是解题的关键． （1）先求出一批《百科全书》的数量，再由数量除以每包的本数即为包数，即可填表；根据两个变量的乘积为常数，即可判断每包的本数和包数成反比例； （2）根据每包的本数、包数、总数之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 则填表如下： 每包的本数 10 20 40 包数 60 30 15 由于， 所以两个变量的乘积为常数， ∴每包的本数和包数成反比例； （2）解：由题意得，（包），（本）， 答：如果每包15本，那么可以打成40包，如果打成6包，那么每包100本． 14．（20-21六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四季上东小区，为美化环境，提高居民区生活质量，要建一个居民休闲广场（平面图如图所示），广场中间是一个正方形，边长为x米，以正方形的各边为长建四个长方形长廊（图中阴影部分），长方形的宽为y米，且广场的四角为四个扇形． (1)求该休闲广场的占地面积（用含x、y的式子表示） (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元，在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩，平均每平方米造价为105元，在四个扇形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元，该工程总造价多少钱？（用含x、y的式子表示） 【答案】(1)平方米 (2)元 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键． （1）根据正方形面积公式，圆的面积公式，长方形面积公式列出代数式即可； （2）分别求出三个区域的面积，再根据各部分的造价，求出该工程总造价即可． 【详解】（1）解：该休闲广场的占地面积为：平方米； （2）解：该工程总造价为： 元． 15．（24-25七年级上·广东汕头·期中）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)小林一次性购物520元，他实际付款 元．小卢一次性购物300元，他实际付款 元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元． (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的优惠标准列式计算即可； （2）根据所给的优惠标准列式计算即可； （3）根据题意可得王老师第二次购物的货款大于500元，根据所给优惠标准分别计算出两次购物的货款，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得小林一次性购物520元，他实际付款（元）； 小卢一次性购物300元，他实际付款（元）； 故答案为：466；270； （2）解：由题意得，若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款元， 当x大于或等于500元时，他实际付款元； 故答案为：；； （3）解：∵王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元， ∴王老师第二次购物的货款大于500元， 元， 答：两次购物王老师实际付款元． 16．（24-25七年级上·福建漳州·期中）某学校准备在网上订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅网店后发现该品牌羽毛球拍每副定价200元，羽毛球每个定价5元，现有甲，乙两家网店均提供包邮服务，并提出各自的优惠方案： 甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球； 乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的90%付款． 已知学校要购买羽毛球拍20副，羽毛球x个()． (1)若在甲网店购买，需付款_______元；若在乙网店购买，需付款_________ 元；(用含x的式子表示) (2)若时，请你通过计算，说明此时在哪家网店购买较为合算？ (3)若时，你能给出一种最省钱的购买方案吗？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)两家网店一样合算； (3)在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球，理由见解析． 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算． (1)根据题目中优惠方案：可得答案； (2)结合(1)，求出当时，两个网店所需付款，再比较即可得出答案； (3)首先求得当时，两个网店所需付款，再计算在甲网店买20副球拍100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球所需费用，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：∵甲网店：买1副羽毛球拍送5个羽毛球， ∴若在甲网店购买，需付款元， ∵乙网店：羽毛球拍与羽毛球都按定价的付款， ∴若在乙网店购买，需付款元， 故答案为：，； （2）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 在甲网店购买，需付款： (元)， 在乙网店购买，需付款： (元)， ∵， ∴此时两家网店一样合算； （3）解：将分别代入甲、乙网店的购买方案所需付款的代数式， 甲： (元)， 乙： (元)， 若在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球， 此时需付款：元， ∵， 最省钱的购买方案为：在甲网店买20副球拍赠送100个羽毛球，在乙网店买150个羽毛球． 1 学科网（北京）股份有限公司 $