2.4曲线与方程（第一课时） 教案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学教案聚焦“曲线与方程”概念及交点求法，通过回顾点在直线上的充要条件导入，结合到两垂直直线距离相等的点的集合等探究活动，衔接已学直线方程知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 此教案以数学抽象和逻辑推理为核心素养，通过判断射线方程、联立抛物线与|y|=|x|求交点等实例，引导学生理解概念的纯粹性与完备性，采用启发式与练习法，培养学生用数学眼光观察、思维能力，助力教师高效教学，夯实数形结合基础。

课题 2.4 曲线与方程 第一课时 学科 数学 教材 人教B版（2019）选择性必修第一册 章节 第二章第四节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 【教学目标】 1. 结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系 2. .掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念 3. 掌握两条曲线交点的求法，会求两曲线交点 【教学重难点】 1. 掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念（重点） 2. 掌握两条曲线交点的求法，会求两曲线交点（难点） 核心素养 1. 数学抽象：通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，建立数学抽象的能力。 2. 逻辑推理：在形成曲线和方程概念的过程中，经历观察、分析、讨论等数学活动过程，培养逻辑推理能力。 3. 数学建模：掌握求曲线方程的方法，能够建立并解决与现实生活相关的数学模型。 4. 数学运算：通过练习和解答问题，提高数学运算的准确性和效率。 教学方法和手段 教学方法：启发法、讲授法、练习法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置意图 引入新课 知识精讲 知识点1：曲线的方程与方程的曲线 知识点2：求曲线交点 【导入语】 在直角坐标系中，一个点在直线上的充要条件是什么？ 平面直角坐标系中的一个点在直线的充要条件是它的坐标满足直线的方程. 【师生活动】 教师：同学们，在数学的世界里，数与形是两个紧密相连的伙伴。之前我们学习了直线与圆的方程，通过方程我们可以清晰地描述直线和圆的位置和性质。那么，你们是否想过，除了直线和圆，其他的曲线是否也能用方程来表示呢？ 学生回顾直线和圆的方程知识，为学习新内容做准备。 过渡：“今天我们就来学习如何用方程来表示更复杂的曲线，即《曲线与方程》。 【问题1】：什么是曲线？曲线C与方程具有怎样的关系？ 【师生活动】 教师通过三个探究活动引导学生进入今天的课堂： (1) 如图所示，设l1，l2是平面内两条互相垂直的直线，且M是所有到l1，l2的距离相等的点组成的集合，则M中元素组成的图形 直线l1，l2所形成的四个角的角平分线. (2)如果分别以l1，l2为坐标轴建立平面直角坐标系，那么M中的点的坐标的特点 (3)方程|y|=|x|有几组实数解，如果将每一组实数解都看成平面直角坐标系中的一点，请说出所有实数解表示的点组成的集合与(1)中的集合M之间的关系 教师引入方程的概念，并说明方程是描述数学对象之间数量关系的等式。 通过实例（如椭圆、抛物线等）说明曲线与方程之间的关系，即曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上。 强调“曲线的方程”和“方程的曲线”的区别与联系。 学生活动： 认真听讲，理解曲线与方程的基本概念，尝试自己举出类似的例子加深理解。 【问题2】：如何判断一个方程是否是某条曲线的方程？如果一个点在给定的曲线上，它的坐标应满足什么条件？ 【师生活动】 教师活动：讲解曲线与方程对应关系的两个基本性质：纯粹性和完备性。强调如果一个点在给定的曲线上，那么它的坐标必须满足该曲线的方程。 学生活动：认真听讲，理解曲线与方程对应关系的两个基本性质。掌握如何判断一个方程是否是某条曲线的方程以及如何判断一个点是否在给定曲线上。 过渡：这节课我们主要学习了什么呢？引导学生回顾本节课的重点内容。 【师生活动】 教师：教师可以通过提问、讨论等方式引导学生积极参与课堂活动，加深对知识点的理解和掌握。同时，教师还需要注意过渡的自然和流畅，使各个教学环节之间紧密相连，形成一个完整的教学体系。 学生：认真听讲并做好笔记，思考并回答教师提出的问题。 通过回顾点在直线上的充要条件，激发学生的学习兴趣和好奇心。 详细介绍曲线方程和方程曲线，让学生掌握其应用和求曲线的交点。 例题典析 类型一：曲线的方程定义应用 【例1】已知平面直角坐标系中，C是端点为原点且其他所有点都在x轴正半轴上的射线，判断y=0以及y=0(y>0)是否是C的方程，如果都不是，写出C的方程. C 【师生活动】 教师活动：讲解直线与方程的基本概念，包括“曲线的方程”与“方程的曲线”的对应关系。引导学生观察图形，分析图形的特点，如直线的位置、方向、是否经过特定点等。组织学生分组讨论，分享各自的分析过程和结论。总结直线与方程的判断方法，强调关键点和易错点。 学生活动：集中注意力，认真听教师讲解直线与方程的基本概念和判断方法。 教师给出解题思路： 1. 理解题目： 仔细阅读题目，理解图形中的各个元素（如点C、直线等）以及它们之间的关系。 注意题目中给出的函数表达式，理解它们各自代表的含义。 2. 分析图形： 观察图形，确定直线的位置、方向以及是否经过特定的点（如点C）。 如果图形中有多个直线，需要区分它们并分别考虑。 3.应用直线与方程的关系： 利用“曲线的方程”与“方程的曲线”之间的对应关系，即曲线上的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在曲线上。 将图形中的点（如点C）代入给定的函数表达式中，检验是否满足方程。 如果图形中的直线与x轴平行或垂直，可以利用直线的斜率或截距来进一步判断。 4. 得出结论： 根据以上分析，判断给定的函数表达式是否是图形中直线的方程。 类型二 求曲线交点 【例2】已知曲线C1的方程是x2-y=0 ，曲线C2的方程是|y|=|x|， 判断C1与C2是否有交点.如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由. 【师生活动】 教师活动： 引导学生理解题目要求，明确需要解决的问题。 分析曲线C1的方程性质，帮助学生理解其图形特征。 指出曲线C2方程的不完整性，并引导学生合理推测其完整形式。 示范如何联立方程求解交点，或通过几何直观判断交点存在性。 总结答案，并强调解题过程中的关键点和易错点。 学生活动： 认真听讲，理解题目要求和解题思路。 跟随教师的引导，分析曲线性质，尝试自己判断交点存在性。 参与课堂讨论，提出自己的疑问和见解。 完成相关练习题，巩固所学知识。 教师给出解题思路： 1. 理解题意：首先，明确题目要求我们判断的是哪两个曲线的相交情况，并注意到题目中给出的两个方程。 2. 分析方程： 曲线C1的方程是x²-y=0，可以改写为y=x²，这是一个开口向上的抛物线，其顶点在原点(0,0)，且关于y轴对称。 假设的曲线C2的方程是|y|=|x|，这个方程描述了两个直线段和一个抛物线段组成的图形，分别是y=x (x≥0, y≥0)，y=-x (x≤0, y≥0)，y=x (x≤0, y≤0)，和y=-x (x≥0, y≤0)。这四部分在坐标系中形成了一个正方形形状（不包括边界），但实际上由于绝对值的存在，它覆盖了所有的四个象限，只是每个象限中的图形都是对称的。 3. 判断交点： 要判断y=x²与|y|=|x|是否有交点，我们可以将两个方程联立起来求解。但考虑到|y|=|x|的几何性质，我们可以直接通过观察或画图来判断。显然，抛物线y=x²会与直线y=x和y=-x在原点以外有交点，因为抛物线会进入所有四个象限，并且随着x的增大或减小，y的值也会增大。 4. 求解交点坐标： 联立方程y=x²和y=|x|，分两种情况考虑： 当x≥0时，y=x²和y=x联立，解得x=0或x=1，对应的y值分别为0和1，所以交点为(0,0)和(1,1)。但(0,0)是原点，我们通常不将其作为两个不同曲线的交点来计算（除非题目有特殊要求），因此这里主要关注(1,1)。 当x<0时，y=x²和y=-x联立，解得x=0（此解已舍去，因为我们在找非原点交点）或x=-1，对应的y值为1，所以交点为(-1,1)。 5.总结答案：曲线C1与C2（假设C2的方程为|y|=|x|）有交点，交点坐标为(1,1)和(-1,1)。 通过具体实例，学生可以更直观地感受到 “曲线上的点的坐标都是方程的解” 以及 “以方程的解为坐标的点都在曲线上” 这两个关键性质。 通过具体实例，学生可以更直观地感受到方程的交点在题目中的应用 当堂达标 PPT展示练习题，学生回答，教师讲解 通过练习题，学生可以加深对曲线与方程基本概念的理解；通过解决这些问题，学生的数学思维能力得到提升。 课堂总结 教师带领学生共同回顾本节课知识点. 通过小结，学生可以再次回顾和强化本节课所学的知识，加深记忆和理解。 板书设计 一、课题引入 曲线与方程的基本概念 二、曲线与方程的关系 1. 曲线上的点的坐标都是方程的解 2. 以方程的解为坐标的点都在曲线上 三、例题讲解 类型1 曲线的方程定义应用 类型2 求曲线交点 4、 练习 设置不同的练习，在练习过程中，学生可能会遇到难以解决的问题或错误，这些问题和错误可以反映出学生在知识掌握上的不足和漏洞，从而促使学生进行查漏补缺。 五、小结 曲线与方程的两个关键性质 如何利用这两个性质判断曲线与方程的关系 六、作业布置 练习题，巩固课堂所学 教学设计反思 1、 教学内容与目标的达成 教学内容反思 概念理解：从课堂表现和课后作业来看，大部分学生对曲线与方程的基本概念有了较为清晰的理解，能够区分曲线的方程和方程的曲线。但仍有少数学生对此概念存在模糊认识，需要在后续课程中加强巩固。 方法掌握：在求曲线方程的方法和步骤上，大多数学生能够按照教师指导的步骤进行操作，但部分学生在实际操作中还存在一些问题，如设定点的坐标时不够准确，或者在解方程时遇到困难。这需要在后续课程中加强练习和指导。 数形结合思想：通过本次课程，学生初步体验了坐标法和数形结合的思想。但部分学生对此思想的理解还不够深入，需要在后续课程中通过更多的实例和练习来加深理解。 教学方法反思 互动与讨论：本次课程中，我注重与学生进行互动和讨论，鼓励学生提出问题。但从实际效果来看，部分学生的参与度和积极性还有待提高。在后续课程中，我需要更加灵活地运用教学方法，激发学生的学习兴趣和主动性。 多媒体辅助教学：本次课程中，我利用多媒体教学工具辅助教学，使抽象概念直观化。但部分学生在使用多媒体工具时还存在一些困难，需要我提供更多的帮助和指导。 练习与巩固：本次课程中，我设计了多样化的练习题来巩固学生的知识点。但从作业情况来看，部分学生在解题时还存在一些问题。在后续课程中，我需要加强练习题的难度和广度，以提高学生的解题能力和思维水平。 2、 教学方法与手段的运用 启发式教学法： 通过提出问题、引导学生思考、鼓励学生发表见解等方式，激发学生的学习兴趣和探究欲望。 讲授与讨论相结合： 在讲解基本概念和例题时，结合学生的实际情况进行讨论，使学生能够更好地理解和掌握所学知识。 多媒体辅助教学： 利用多媒体课件展示例题和图形，使学生能够更直观地理解曲线与方程的关系。 练习巩固法： 通过布置练习题和课堂练习，巩固学生所学知识，提高其应用能力。 三、学生学习情况的反馈 优点： 学生对基本概念的理解较为准确，能够掌握曲线与方程之间的对应关系。 学生在例题讲解过程中积极参与讨论，表现出较高的学习兴趣和探究欲望。 部分学生能够灵活运用所学知识解决实际问题，表现出较强的应用能力。 不足： 部分学生对曲线与方程关系的理解还不够深入，容易混淆两个关键性质。 部分学生在解题过程中缺乏耐心和细致，容易出现计算错误或遗漏情况。 部分学生缺乏独立思考和解决问题的能力，需要教师的引导和帮助。 四、教学不足与改进方向 教学不足： 在例题讲解过程中，部分教师过于注重解题过程而忽略了对学生思维能力的培养。 在课堂互动环节，部分教师缺乏有效的引导和组织，导致课堂氛围不够活跃。 在作业布置和批改方面，部分教师缺乏针对性和差异性，无法满足不同学生的学习需求。 改进方向： 加强对学生思维能力的培养，通过提问、讨论等方式引导学生深入思考和理解所学知识。 提高课堂互动效果，通过设计有效的课堂活动和问题引导学生积极参与讨论和交流。 针对不同学生的学习情况和需求进行差异化教学，通过分层布置作业和个性化辅导等方式提高教学效果。同时，加强对学生作业的批改和反馈 学科网（北京）股份有限公司 $