2.4 曲线与方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

本讲义聚焦“曲线与方程”核心知识点，系统梳理曲线与方程的概念（纯粹性与完备性）、求轨迹方程的常用方法（直接法、定义法、代入法）及曲线性质研究。以笛卡尔爱心函数情境引入，构建“概念辨析-方法应用-性质探究”的学习支架，衔接前后知识脉络。 该资料特色鲜明，通过笛卡尔爱心函数情境激发学习兴趣，培养数学眼光。结合定义辨析（如“纯粹性”“完备性”辨析）和轨迹方程推导（如直角三角形顶点轨迹），发展数学抽象与逻辑推理素养。题型分层设计（基础判断、综合应用）搭配课时测评，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

2．4　曲线与方程 [学习目标] 知识层面 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．　2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念．　3.掌握求轨迹方程的几种常用方法．　4.初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质. 素养层面 通过曲线与方程概念的学习，培养数学抽象素养；借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养；通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养. 笛卡尔被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学等方面都有研究且成就颇高．笛卡尔曾给他的恋人写的一封信，内容只有短短的一个公式：r＝a(1－sin θ)．你知道这是何意？其实这就是笛卡尔的爱心函数，图形是心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名． 问题　说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗． 提示：在平面直角坐标系中，如果一条曲线和它对应的方程之间具有如下关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都在曲线上． 知识点一　曲线的方程与方程的曲线 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． 微提醒 定义的“纯粹性”与“完备性” 1．定义中的(1)说明了曲线上所有的点都满足方程而毫无例外(纯粹性)； 2．定义中的(2)说明了符合条件的以方程的解为坐标的所有点都在曲线上，不能有任何遗漏(完备性)．　　 [微思考]　如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ 提示：若点P在曲线C上，则F(x0，y0)＝0；若F(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)＝0. 知识点二　求曲线的方程 1．坐标法 借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程F(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这就是坐标法． 2．求曲线方程的一般步骤 (1)设点：设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； (2)列式：写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简、检验：化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程． 学生用书↓第78页 微提醒 1．求动点M轨迹方程时，如果题中没有确定坐标系，首先要选取适当的坐标系，建立坐标系时，通常选取特殊位置为原点，以运算简单为原则．　　 2．列式是将几何条件转化为代数方程，在这个过程中常用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等． 3．化简过程中要注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”．　　 1．已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　) A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0 B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0 答案：C 解析：根据曲线的方程的定义可知选C. 2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　) 答案：B 解析：因为x＋|y－1|＝0，所以|y－1|＝－x≥0，所以x≤0，所以方程表示的曲线在y轴及y轴左侧．故选B. 3．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程为(　　) A．(x＋3)2＋(y－2)2＝ B．(x－3)2＋(y＋2)2＝ C．(x＋3)2＋(y－2)2＝2 D．(x＋3)2＋(y＋2)2＝2 答案：C 解析：将圆的方程化为标准形式(x－1)2＋y2＝2，圆心坐标为(1，0)，半径r＝.设圆心关于直线2x－y＋3＝0的对称点为(a，b)，则即解得所以所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝2.故选C. 4．在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝α＋β，其中α，β∈R，且α＋β＝1，O为坐标原点，则点C的轨迹为(　　) A．射线 B．直线 C．圆 D．线段 答案：B 解析：设C(x，y)，则由＝α＋β，得(x，y)＝(3α，α)＋(－β，3β)＝(3α－β，α＋3β)，所以所以因为α＋β＝1，所以x＋2y＝5.故选B. 题型一　曲线与方程的关系判断及应用 (1)如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则以下说法正确的是(　　) A．曲线l的方程是F(x，y)＝0 B．方程F(x，y)＝0的曲线是l C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上 D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系． ①到两坐标轴距离相等的点与方程y＝x的关系； ②以坐标原点为圆心，半径为2的圆与方程(x2＋y2－4)(x－y)＝0. 答案：(1)C 解析：(1)原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线l上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线l上”，故选C. (2)①方程y＝x上的点都在一、三象限的角平分线上，即这些点到两坐标轴的距离相等．反之，到两坐标轴距离相等的点的坐标，不一定在y＝x上，也可能在y＝－x上． ②以坐标原点为圆心，以2为半径的圆上的点的坐标，都满足方程(x2＋y2－4)(x－y)＝0，但以方程(x2＋y2－4)(x－y)＝0的解为坐标的点不一定在以原点为圆心，以2为半径的圆上． 方法技巧 说明曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0是曲线C的方程时，必须严格考察纯粹性和完备性，即“多一点不行，少一点不可”．　　 学生用书↓第79页 对点练1．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条(　　) A．过点P且垂直于l的直线 B．过点P且平行于l的直线 C．不过点P但垂直于l的直线 D．不过点P但不平行于l的直线 答案：B 解析：因为P(x0，y0)不在直线l上，所以f(x0，y0)≠0.所以方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线与l平行．又f(x0，y0)－f(x0，y0)＝0，所以点P(x0，y0)在方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线上，即直线过点P. 题型二　 已知方程判断曲线类型 方程(x＋y－1) ＝0表示什么曲线？ [思路点拨]　判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有配方法、因式分解法，然后转化为我们熟悉的曲线方程的形式，再根据方程、等式的性质作出准确判断． 解：由(x＋y－1)＝0， 得或x2＋y2－4＝0， 即或x2＋y2＝4. 由圆x2＋y2＝4的圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝<2，知直线与圆相交， 所以表示直线x＋y－1＝0在圆x2＋y2＝4上及此圆外的部分． 故原方程表示圆心在(0，0)、半径为2的圆和斜率为－1、纵截距为1的直线在圆x2＋y2＝4外的部分． 方法技巧 已知方程判断曲线类型的步骤 对点练2．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是(　　) A．前后两者都是一条直线和一个圆 B．前后两者都是两点 C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点 D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆 答案：C 解析：x(x2＋y2－1)＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1， 表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1. x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔ ⇔表示点(0，1)、(0，－1)． 题型三　利用方程研究曲线的性质 已知曲线C的方程是x4＋y2＝1.关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C关于直线y＝x对称； ③曲线C所围成的区域的面积大于π. 其中，所有正确结论的序号是________． 答案：①③ 解析：将方程中的x换成－x，y换成－y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4＋x2＝1与原方程不同，故②错误；在曲线C上任取一点M(x0，y0)，x＋y＝1，因为|x0|≤1，所以x≤x，所以x＋y≥x＋y＝1，即点M在圆x2＋y2＝1外，故③正确．故正确结论的序号是①③. 方法技巧 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面 1．研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围； 2．研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点； 3．研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点)； 4．研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况； 5．根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图象，然后根据对称性画出整条曲线．　　 对点练3．(多选) (2024·北京东城高二期末检测)曲线C：xm＋yn＝1，其中m，n均为正数，则下列命题正确的是(　　) A．当m＝3，n＝1时，曲线C关于中心对称 B．当m＝，n＝时，曲线C是轴对称图形 C．当m＝4，n＝2时，曲线C所围成的面积小于π D．当m＝3，n＝2时，曲线C上的点与距离的最小值等于1 答案：ABD 解析：对于A，当m＝3，n＝1时，x3＋y＝1，即y＝－x3＋1，由函数y＝－x3为奇函数，其关于原点中心对称，所以得y＝－x3＋1关于中心对称，故A正确；对于B，当m＝，n＝时，x＋y＝1，对于曲线上任意一点P，则点P关于直线y＝x的对称点P′也在曲线上，所以曲线关于直线y＝x对称，故B正确；对于C，当m＝4，n＝2时，x4＋y2＝1，所以≤1，≤1，可知曲线图象是一个封闭的图形，所以可设曲线上任意一点T，且到原点距离2＝c2＋t2，又因为c4＋t2＝1，所以2＝c2＋t2＝1＋c2－c4，因为0<≤1，所以c2－c4≥0，所以2≥1，又因为曲线是个封闭图形，所以其面积S≥π×12＝π，故C错误；对于D，当m＝3，n＝2时，x3＋y2＝1，所以x≤1，y∈R，设曲线上任意一点N，则2＝a2＋b2，又因为a3＋b2＝1，所以2＝a2＋b2＝a2＋1－a3，因为a≤1，所以a2－a3≥0，所以当a2－a3＝0，即a＝0，或a＝1时，2有最小值1，所以的最小值为1，故D正确．故选ABD. 学生用书↓第80页 题型四　直接法或定义法求曲线方程 在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程． [思路点拨]　以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． 方法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解． 方法二(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上． 解：方法一(直接法)：以AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－a，0)，B(a，0)，设动点C为(x，y)． 由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以()2＋()2＝4a2， 整理得x2＋y2＝a2. 由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a. 所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)． 方法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一． 因为AC⊥BC， 则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)， 因此顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)． 方法技巧 1．直接法求曲线方程 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少． 2．定义法求曲线方程 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．　　 对点练4．(1)已知一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程． (2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解：(1)设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|. 则|8－x|＝2. 化简，得3x2＋4y2＝48， 故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48. (2)如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ. 设M为OC的中点，则M的坐标为. 因为∠OPC＝90°，所以动点P在以点M为圆心，OC为直径的圆上， 由圆的方程得＋y2＝(0<x≤1)． 题型五　代入法求曲线方程 点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 [思路点拨]　中点M与圆上点Q有关，点Q是点M的相关点，只需找到点M与点Q的坐标之间的关系，即可求得点M的轨迹方程． 答案：A 解析：设Q(x0，y0)为圆x2＋y2＝4上任一点，PQ的中点为M(x，y)， 则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.故选A. 方法技巧 代入法(相关动点法)求轨迹方程的一般步骤： 对点练5.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 答案：B 解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，所以||＝4，||＝，·＝4(x－2)．根据已知条件得4＝4(2－x)．整理得y2＝－8x.所以点P的轨迹方程为y2＝－8x. 学科网（北京）股份有限公司 $