平面向量基本定理及坐标表示 讲义-2026届高三数学一轮复习

平面向量基本定理及坐标表示 课前必备知识 课标要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 知识梳理 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__．若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个__基底__． 注意：(1)构成基底的两向量不共线； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一； (3)若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0. 2．平面向量的正交分解 (1)把一个向量分解为两个__互相垂直__的向量，叫做把向量作正交分解． (2)向量的直角坐标：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴__方向相同__的两个__单位__向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，__(x，y)__就叫做向量a的坐标． 3．平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__； (2)a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__； (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__(λx，λy)__； (4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__． 4．平面向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是__x1y2－x2y1＝0__． 常用结论 1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x2，y2≠0，则a∥b⇔＝. 3．中点与重心的坐标公式 (1)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)为P1P2的中点，则点P的坐标为(，)； (2)设三角形的三个顶点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，重心G的坐标为(，). 课前训练 1．(教材母题必修6.3.3练习T2)已知A(－1，1)，B(－3，4)，平面向量的坐标是(　　) A．(2，3) B．(－2，－3) C．(2，－3) D．(－2，3) 2．(教材母题必修6.3例4改编)已知向量a＝(－7，6)，b＝(5，－3)，则|a＋b|＝________． 3．设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是(　　) A．e2和e1＋e2 B．e1和e1－e2 C．2e1－4e2和－e1＋2e2 D．e1＋2e2和2e1＋e2 4．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　) A．－2 B．－4 C．－3 D．－1 5．(2024·辽宁大连期末)在△ABC中，若＝m，＝＋λ，则λ＝________． 课堂核心考点 考点1　平面向量基本定理及应用 【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P.若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b (2)(2024·常德市一中校阶段考)直角梯形ABCD中，角B为直角，＝3，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　) A． B． C．1 D．2 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． 变式探究 1．如图，点D，E分别是AC，BC的中点，设＝a，＝b，F是DE的中点，则＝(　　) A．a＋b B．－a＋b C．a＋b D．－a＋b 2．(2025·广东惠州模拟预测)在△ABC中，M是AB的中点，＝3，CM与BN相交于点P，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝__________． 考点2　平面向量的坐标运算 【例2】 (1)(2024·河北保定联考)已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，若正实数m，n满足c＝ma＋nb，则＋＝(　　) A． B． C． D． (2)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).若a＝mb＋nc，则m＋n的值为______________；若(a＋kc)∥2b－a，则实数k的值为______________． (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来求解． 变式探究 3．(2024·广东深圳模拟预测)已知点A(2，6)，B(－2，－3)，C(0，1)，D(，6)，则与向量＋2同方向的单位向量为(　　) A．(，) B．(，) C．(，－) D．(－，) 4．(2025·广东中山模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是______________． 考点3　平面向量坐标运算的综合应用 【例3】 (1)(2025·广西南宁期中)在△OAB中，已知||＝，||＝1， ∠AOB＝45°，点P满足＝λ＋μ(λ，μ∈R)，其中2λ＋μ＝3，则||的最小值为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·四川成都石室中学一模)在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，M为斜边BC的中点，以M为圆心，MA为半径作，点P在线段BC上，点Q在上，则|＋|的取值范围是____________． (1)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些． (2)求有关向量的坐标或点的坐标时，常利用方程的思想方法，通过解方程(组)进行求解． (3)解决向量问题有两种基本思路，一是利用基向量进行处理，二是利用坐标进行求解．因此，在求解时，要注意方法的选择． 变式探究 5．(多选)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，＝2，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上任意一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值可能是(　　) A．1 B． C． D．3 6．(2025·福建福州第一中学校期末考)在平面直角坐标系Oxy中，角α的终边与单位圆O的交点为E，将向量逆时针方向旋转90°，得到向量，记A(1，0)，B(0，－1).则向量与的位置关系是________；|＋|的最大值为____________． 向量的新定义问题 【典例剖析】 (多选)(2024·广东广州三模)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当x1≥x2，且y1>y2时，则记作a≫b；当x1<x2，且y1≤y2时，则记作a≪b，则下面四个结论中正确的是(　　) A．若a＝(2，－4)，b＝(3，4)，则ab B．若a≫b且λa≫μb，则λ≥μ C．若a≫b，则对于任意向量c，都有a－c≫b－c D．若a≪b，则对于任意向量c，都有a·c≤b·c 新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量基本定理及坐标表示 课前必备知识 课标要求 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 知识梳理 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__．若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个__基底__． 注意：(1)构成基底的两向量不共线； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一； (3)若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0. 2．平面向量的正交分解 (1)把一个向量分解为两个__互相垂直__的向量，叫做把向量作正交分解． (2)向量的直角坐标：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴__方向相同__的两个__单位__向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，__(x，y)__就叫做向量a的坐标． 3．平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__； (2)a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__； (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__(λx，λy)__； (4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__． 4．平面向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是__x1y2－x2y1＝0__． 常用结论 1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x2，y2≠0，则a∥b⇔＝. 3．中点与重心的坐标公式 (1)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)为P1P2的中点，则点P的坐标为(，)； (2)设三角形的三个顶点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，重心G的坐标为(，). 课前训练 1．(教材母题必修6.3.3练习T2)已知A(－1，1)，B(－3，4)，平面向量的坐标是(　　) A．(2，3) B．(－2，－3) C．(2，－3) D．(－2，3) 解析：D　由已知得＝(－3，4)－(－1，1)＝(－2，3)，故选D. 2．(教材母题必修6.3例4改编)已知向量a＝(－7，6)，b＝(5，－3)，则|a＋b|＝________． 解析：　因为向量a＝(－7，6)，b＝(5，－3)，则a＋b＝(－2，3)，|a＋b|＝＝. 3．设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是(　　) A．e2和e1＋e2 B．e1和e1－e2 C．2e1－4e2和－e1＋2e2 D．e1＋2e2和2e1＋e2 解析：C　对于A，令e2＝m(e1＋e2)，则m不存在，所以e2，e1＋e2不共线，可以作为基底，A错误； 对于B，令e1＝n(e1－e2)，则n不存在，所以e1，e1－e2不共线，可以作为基底，B错误； 对于C，因为2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不能作为一组基底，C正确； 对于D，令e1＋2e2＝t(2e1＋e2)，则t不存在，所以e1＋2e2，2e1＋e2不共线，可以作为基底，D错误．故选C. 4．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　) A．－2 B．－4 C．－3 D．－1 解析：D　因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)，所以2a＋b＝(－2，6).又(2a＋b)∥c，所以－2×3－6x＝0，x＝－1.故选D. 5．(2024·辽宁大连期末)在△ABC中，若＝m，＝＋λ，则λ＝________． 解析：　由＝m， 得＝＋＝(1＋)， 则＝， ＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋＝＋λ， 故故λ＝. 课堂核心考点 考点1　平面向量基本定理及应用 【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P.若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b (2)(2024·常德市一中校阶段考)直角梯形ABCD中，角B为直角，＝3，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：(1)B　因为E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点， 所以＝，＝. 设＝λ， 则＝λ(＋)＝λ(＋3). 因为E，F，P三点共线， 所以λ＋3λ＝1， 解得λ＝， 于是＝λ(＋)＝(＋)＝a＋b.故选B. (2)B　如图，因为＝3，＝－2， 所以＝＋＝＋ ＝＋(＋＋) ＝＋＋＋ ＝＋＋＋×， 可得＝＋，＝＋， 又＝x＋y， 所以x＋y＝＋＝.故选B. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． 变式探究 1．如图，点D，E分别是AC，BC的中点，设＝a，＝b，F是DE的中点，则＝(　　) A．a＋b B．－a＋b C．a＋b D．－a＋b 解析：C　因为点D，E分别是AC，BC的中点，F是DE的中点， 所以＝＋＝＋ ＝＋，即＝a＋b.故选C. 2．(2025·广东惠州模拟预测)在△ABC中，M是AB的中点，＝3，CM与BN相交于点P，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝__________． 解析： 如图，由M是AB的中点，得＝2， 由＝3，得＝， 因为＝λ＋μ， 所以＝2λ＋μ，且＝λ＋μ， 由CM与BN相交于点P可知，点P在线段CM上，也在线段BN上， 由三点共线可得解得 所以λ＋μ＝＋＝. 考点2　平面向量的坐标运算 【例2】 (1)(2024·河北保定联考)已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，若正实数m，n满足c＝ma＋nb，则＋＝(　　) A． B． C． D． (2)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).若a＝mb＋nc，则m＋n的值为______________；若(a＋kc)∥2b－a，则实数k的值为______________． 解析：(1)A　因为a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)， 所以c＝ma＋nb＝(2m＋n，－3m＋2n)＝(9，4)， 所以解得 所以＋＝＋＝.故选A. (2)　－ 因为向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，且a＝mb＋nc， 所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)， 所以解得 所以m＋n＝＋＝. 由题意得a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 因为(a＋kc)∥2b－a， 所以2(3＋4k)＝－5(2＋k)，解得k＝－. (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来求解． 变式探究 3．(2024·广东深圳模拟预测)已知点A(2，6)，B(－2，－3)，C(0，1)，D(，6)，则与向量＋2同方向的单位向量为(　　) A．(，) B．(，) C．(，－) D．(－，) 解析：A　由题意得＝(－4，－9)，＝(，5)， 所以＋2＝(3，1)， 从而与向量＋2同方向的单位向量为 ＝(3，1)＝(，).故选A. 4．(2025·广东中山模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是______________． 解析：(1，)　如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(3，0)，C(1，1)，D(0，1)，直线BD的方程为＋＝1，化简得x＋3y－3＝0，所以点C到BD的距离d＝＝， 可得以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝. 设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(0，1)，＝(3，0)， 因为＝α＋β(α，β∈R)， 所以(x，y)＝α(0，1)＋β(3，0)＝(3β，α)， 可得x＝3β且y＝α，P的坐标为(3β，α)， 因为P在圆内，(3β－1)2＋(α－1)2<， 设α＋β＝t，则α＝t－β，代入上式化简整理得 10β2－(2t＋4)β＋t2－2t＋<0， 若要上述不等式有实数解，则Δ＝(2t＋4)2－4×10×(t2－2t＋)>0， 化简得3t2－8t＋5<0，解得1<t<，即1<α＋β<， 所以α＋β的取值范围是(1，). 考点3　平面向量坐标运算的综合应用 【例3】 (1)(2025·广西南宁期中)在△OAB中，已知||＝，||＝1， ∠AOB＝45°，点P满足＝λ＋μ(λ，μ∈R)，其中2λ＋μ＝3，则||的最小值为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·四川成都石室中学一模)在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，M为斜边BC的中点，以M为圆心，MA为半径作，点P在线段BC上，点Q在上，则|＋|的取值范围是____________． 解析：(1)A　在△OAB中，已知||＝，||＝1，∠AOB＝45°， 由正弦定理可得＝， 即＝，解得sin ∠OAB＝1， 因为0°<∠OAB<180°，则∠OAB＝90°，所以△OAB为等腰直角三角形． 以O为原点，OB所在直线为x轴，以OB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示， 过A作AM⊥OB于B，则OM＝AM＝， 则点A的坐标为(，)， 所以＝(，)，＝(，0)， 因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)， 则＝λ(，)＋μ(，0)＝(λ＋μ，λ)， 则||＝ ＝. 因为2λ＋μ＝3，则μ＝3－2λ，代入上式可得 ||＝＝＝， 所以当λ＝时，||min＝＝，故选A. (2)[0，]　以M为原点，MC，MA所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为AB＝AC＝2，所以BC＝2，BM＝CM＝，A(0，)，由于点Q在上，不妨设Q(cos θ，sin θ)，θ∈[0，]，P(a，0)，其中－≤a≤， ＋＝(a，－)＋(cos θ，sin θ)＝(a＋cos θ，－＋sin θ)， 所以|＋| ＝， 　　可看作上的点Q(cos θ，sin θ)到点R(－a，)的距离， 由于点R(－a，)在线段y＝(－≤x≤)上运动， 故当点R(－a，)运动到点E(－，)时，距离最大，为CE，连接CE，CF， 则CE＝＝＝， 当点R(－a，)运动到点A(0，)时，距离最小，为0. 综上可知，|＋|∈[0，]. (1)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些． (2)求有关向量的坐标或点的坐标时，常利用方程的思想方法，通过解方程(组)进行求解． (3)解决向量问题有两种基本思路，一是利用基向量进行处理，二是利用坐标进行求解．因此，在求解时，要注意方法的选择． 变式探究 5．(多选)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，＝2，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上任意一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值可能是(　　) A．1 B． C． D．3 解析：AB　如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 不妨设AB＝6，AD＝3m，m>0，则A(0，0)，B(6，0)，D(0，3m)，E(3，0)，M(2，m)，N(1，2m)， 则＝(2，m)，＝(1，2m)，＝(－6，3m)，＝(6，0). 设＝x，0≤x≤1， 则＝＋＝＋x＝(6－6x，3mx). 因为＝λ＋μ， 所以(6－6x，3mx)＝λ(2，m)＋μ(1，2m)＝(2λ＋μ，mλ＋2mμ)， 所以 整理得λ＋μ＝2－x. 因为x∈[0，1]，所以λ＋μ＝2－x∈[1，2].故选AB. 6．(2025·福建福州第一中学校期末考)在平面直角坐标系Oxy中，角α的终边与单位圆O的交点为E，将向量逆时针方向旋转90°，得到向量，记A(1，0)，B(0，－1).则向量与的位置关系是________；|＋|的最大值为____________． 解析：共线　2＋ 向量与共线，理由如下：角α的终边与单位圆O的交点为E，则E(cos α，sin α)，所以＝(cos α，sin α)， 又将向量逆时针方向旋转90°得到向量， 所以＝(cos (α＋)， sin (α＋))＝(－sin α，cos α)， 又A(1，0)，B(0，－1)， 则＝(cos α－1，sin α)，＝(－sin α，cos α＋1)， 因为(cos α－1)(cos α＋1)－sin α(－sin α)＝0， 所以∥，即向量与共线． 因为＝(cos α－1，sin α)，＝(－sin α－1，cos α)， 所以＋＝(－sin α＋cos α－2，sin α＋cos α)， 所以|＋| ＝ ＝ ＝， 所以当α－＝＋2kπ，k∈Z， 即α＝＋2kπ，k∈Z时，sin (α－)有最大值1， 所以|＋|的最大值为＝＝2＋. 向量的新定义问题 【典例剖析】 (多选)(2024·广东广州三模)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当x1≥x2，且y1>y2时，则记作a≫b；当x1<x2，且y1≤y2时，则记作a≪b，则下面四个结论中正确的是(　　) A．若a＝(2，－4)，b＝(3，4)，则ab B．若a≫b且λa≫μb，则λ≥μ C．若a≫b，则对于任意向量c，都有a－c≫b－c D．若a≪b，则对于任意向量c，都有a·c≤b·c 解析：AC　对于A，若a＝(2，－4)，b＝(3，4)，则所以a≪b，A正确； 对于B，取a＝(1，1)，b＝(－1，－1)，λ＝－1，μ＝2，满足a≫b，则λa＝(－1，－1)，μb＝(－2，－2)，满足λa≫μb，但λ<μ，B错误； 对于C，若a≫b，则x1≥x2，且y1>y2，设c＝(x0，y0)， 则a－c＝(x1－x0，y1－y0)，b－c＝(x2－x0，y2－y0)， 可知所以a－c≫b－c，C正确； 对于D，取a＝(－2，－2)，b＝c＝(－1，－1)，可知a≪b，但a·c＝4，b·c＝2，即a·c>b·c，D错误．故选AC. 新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $