平面向量的数量 讲义-2026届高三数学一轮复习

平面向量的数量积 课前必备知识 课标要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量数量积与向量投影的关系.3.掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算.4.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.5.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 知识梳理 1．两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则__∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)__叫做向量a，b的夹角．特别地，当a与b夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作__a⊥b__． 2．向量数量积的定义 已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量__|a||b|cos_θ__叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝__|a||b|cos_θ__． 规定：0与任一向量的数量积为__0__． 3．向量数量积的几何意义 设两个非零向量a，b，它们的夹角是θ， e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称上述变换为向量a向向量b__投影__，叫做向量a在向量b上的__投影向量__．记作|a|cos θe. 4．向量数量积的性质 a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ. (1)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|__；特别地，a·a＝__a2＝|a|2__或|a|＝____. (2)a·b＝0⇔__a⊥b__． (3)cos θ＝____． (4)|a·b|__≤__|a||b|. 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝__b·a__(交换律). (2)(λa)·b＝__λ(a·b)__＝__a·(λb)__(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__． 6．向量数量积的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__． (2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝__x2＋y2__，|a|＝____． (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝____，此为两点间的距离公式． (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__． (5)若a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝____． 常用结论 1．两个向量a，b的夹角为锐角a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角a·b<0且a，b不共线． 2．平面向量数量积的常用公式 (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 课前训练 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：D　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D. 2．(2025·海南校考阶段练习)已知a＝(2，1)，b＝(3，0)，则向量a在向量b方向上的投影向量为____________． 解析：(2，0)　由题意，a＝(2，1)，b＝(3，0)，|b|＝＝3，所以向量a在向量b方向上的投影向量为·＝×＝(3，0)＝(2，0). 3．(教材母题必修习题6.3T2改编)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有(　　) A．F1，F3成90°角 B．F1，F3成150°角 C．F2，F3成90°角 D．F2，F3成60°角 解析：A　如图，因为∠AOB＝120°， 所以∠OAC＝60°， 在△OAC中， 由余弦定理得OC＝， 所以OA2＋OC2＝AC2， 所以∠AOC＝90°，故F1与F3成90°角．故选A. 4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 解析：B　因为(b－2a)⊥b， 所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b， 又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2， 所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝.故选B. 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且＝m＋，若||＝3，||＝4，则·的值为________． 解析：　由＝2，得＝， 则＝m＋＝m＋×＝m＋， 又C，P，D三点共线，则m＋＝1，解得m＝， 则·＝(＋)·＝·＋2＝×4×3×＋×42＝. 课堂核心考点 考点1　向量的数量积 【例1】 (1)已知e是单位向量，且|2e－a|＝，a＋2e在e上的投影向量为5e，则a与e的夹角为(　　) A． B． C． D． (2)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，·＝6，＝3，则· ＝(　　) A．12 B．16 C．14 D．10 (3)已知向量||＝3，||＝2，＝(m－n)＋(2n－m－1)，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　) A． B． C． D． 解析：(1)B　因为e是单位向量，且|2e－a|＝，两边平方得 4e2－4a·e＋a2＝10， 即a2－4a·e＝6，(*) 由a＋2e在e上的投影向量为5e，可得·e＝5e， 所以(a＋2e)·e＝5，即a·e＝3， 代入(*)可得，a2＝18，即|a|＝3， 所以cos 〈a，e〉＝＝＝， 因为〈a，e〉∈[0，π]，所以〈a，e〉＝.故选B. (2)A　如图，＝－＝－－， ＝＋＝－， 所以·＝(－－)·(－) ＝－·＋2－2＋· ＝－·＋2－2 ＝－×6＋16－×9 ＝－2＋16－2＝12.故选A. (3)A　＝(m－n)＋(2n－m－1)， 即－＝(m－n)＋(2n－m－1)， 所以＝(m－n)＋(2n－m)， 因为⊥， 所以·＝[(m－n)＋(2n－m)·]·(－) ＝(2m－3n)·－(m－n)2＋(2n－m)2 ＝(2m－3n)||||cos 60°－(m－n)·||2＋(2n－m)·||2 ＝(2m－3n)×3×2×－9(m－n)＋4(2n－m) ＝6m－9n－9m＋9n＋8n－4m ＝－7m＋8n＝0， 解得＝.故选A. 求平面向量的数量积的基本方法：①利用定义a·b＝|a||b|cos θ；②利用基向量，结合向量的运算律；③利用向量的坐标运算． 变式探究 1．已知||＝，||＝，且，的夹角为，则在上的投影向量为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：D　由题意得·＝(－)·＝2－·＝6＋××＝9， 则在上的投影向量为·＝·＝.故选D. 2．已知向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋3b，＝2a－b，＝，则||＝(　　) A．2 B．2 C．2 D．6 解析：A　因为向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2， 所以a·b＝|a||b|cos ＝1×2×(－)＝－1， 又因为＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋ ＝(2a－b)＋(2a＋3b) ＝2a＋b， 所以||＝ ＝ ＝＝2.故选A. 3．在△ABC中，A＝，点D在线段AB上，点E在线段AC上，且满足2AD＝DB＝2，AE＝EC＝2，CD交BE于F，设＝a，＝b，则·＝________. 解析：　设＝λ，＝μ，λ，μ∈(0，1). 因为＝＋＝＋λ ＝＋λ(＋) ＝＋λ(－＋) ＝＋λ， ＝＋＝＋μ ＝＋μ(＋) ＝＋μ(－＋) ＝＋μ， 所以 因为A＝，AB＝3，AC＝4， 因此·＝(＋)·(－＋) ＝－2＋2－·， ＝－×9＋×16－×3×4× ＝. 考点2　平面向量数量积的应用 【例2】 (1)如图，一条河的南北两岸平行．游船在静水中的航行速度v1的大小为10 km/h，水流的速度v2的大小为4 km/h，则游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则其航行速度的大小为(　　) A．2 km/h B．2 km/h C．2 km/h D．14 km/h (2)在△ABC中，·＋2＝0，·＝，则△ABC的形状为(　　) A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰(非直角)三角形 (3)(2025·湖南长沙三模)在△ABC中，已知2·＝||||＝32，B<C，则sin C＝________． 解析：(1)A　设v1与v2所成的角为θ(0<θ<π)， 由题意得，(v1＋v2)·v2＝v1·v2＋v＝10×4×cos θ＋16＝0，则cos θ＝－， (v1＋v2)2＝v＋v＋2v1·v2＝100＋16－2×10×4×＝84，则|v1＋v2|＝2(km/h).故选A. (2)A　因为·＋2＝0， 即(＋)·＝0，即·＝0， 所以⊥，即AC⊥BC， 则∠ACB＝， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以·＝1×1×cos ∠CAB＝， 又∠CAB∈(0，)，所以∠CAB＝，所以∠CBA＝， 所以△ABC是等腰直角三角形．故选A. (3)　设BC＝a，AC＝b，AB＝c， 由2·＝||||得2bccos A＝bc， 所以cos A＝. 又A∈(0，π)，因此A＝，B＝－C. 由||||＝32， 得bc＝a2， 于是sin Csin B＝sin2A＝， 所以sinCsin (－C)＝， 所以2sin Ccos C＋2sin2C＝， 所以sin 2C＋(1－cos 2C)＝， 即sin (2C－)＝0. 因为A＝，所以0<C<， 所以－<2C－<， 所以2C－＝0或2C－＝π， 所以C＝或C＝. 又因为B<C， 所以A＝，C＝，B＝， 则sin C＝. (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝； ②|a±b|＝＝； ③若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)求平面向量夹角的方法： ①定义法：利用向量积的定义可知，cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|三个量或者找出这三个量之间的关系． ②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝. (3)注意：①夹角的范围为[0，π]；②计算模时，要特别注意|a|＝的应用，它能实现模与数量积的转化，是求距离的常用方法． 变式探究 4．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m，已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为(　　) A．24 J B．24 J C．24 J D．24 J 解析：D　 以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 由已知可得F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)， 所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，4＋2)， 又因为位移s＝(4，4)， 所以F·s＝(2－2)×4＋(4＋2)×4＝24(J)， 故这三个力的合力F所做的功是24 J．故选D. 5．已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且，则点O为△ABC的________心． 解析：外　在△ABC中，由H为△ABC的垂心，得CH⊥AB， 由＋＝， 得(＋)·(－)＝·(－)＝·＝0， 则2＝2，即||＝||， 又＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋，显然⊥， 同理得||＝||，因此点O为△ABC的外心． 6．(2025·黑龙江哈尔滨期中)如图，在△ABC中，＝2，E是AD的中点，若|AB|＝|AC|＝1，·＝－，则∠BAC的大小为________． 解析：　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋， ＝＋＝－＝(－)－×(＋)＝－＋， 设＝a，＝b， 则|a|＝|b|＝1，＝a＋b，＝－a＋b， 所以·＝(a＋b)·(－a＋b) ＝－a2－a·b＋b2 ＝－－cos∠BAC＋＝－， 得cos∠BAC＝， 又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝. 考点3　平面向量数量积的综合应用 【例3】 (1)如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是__________. (2)(2025·四川成都三模)已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是边AB，AD上的点(均不与端点重合)，记△AMN，△CMN的面积分别为S1，S2.若S1＝|·|·|·|，则S2的取值范围是(　　) A．[，) B．[－1，) C．[，) D．[－1，) 解析：(1)－2　因为O为AB的中点， 所以＋＝2， 从而(＋)·＝2·＝－2||·||. 又||＋||＝||＝2为定值， 再根据||·||≤()2＝1，可得－2||·||≥－2，所以当且仅当||＝||＝1时，即P为OC的中点时等号成立， 所以(＋)·的最小值是－2. (2)D　如图，设|AM|＝x，|AN|＝y，x，y∈(0，1)， 则S1＝xy，S2＝1－xy－(1－x)－(1－y)＝， 由平面向量数量积的运算可得 |·|＝|(＋)·|＝|·|＝||·||＝1－x， |·|＝|(＋)·|＝|·|＝||·||＝1－y， 又S1＝|·|·|·|＝(1－x)(1－y)， 所以xy＝(1－x)(1－y)，即x＋y＝1＋xy，即1＋xy≥2，当且仅当x＝y时取等号， 又xy>0，即0<≤2－，即0<xy≤6－4， 则S2＝＝＝－xy∈[－1，).故选D. (1)向量的数量积的综合问题，常常涉及平面向量的基本定理、向量数量积的定义及向量数量积的运算律等基础知识，要求有较强的运算求解能力． (2)向量数量积的计算有两个最基本的方法，其一是基向量法，其二是坐标法．当几何图形是特殊三角形或四边形时，一般通过建立平面直角坐标系的方法转化为向量的坐标运算． 变式探究 7．(2025·北京阶段练习)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝30°，则|c|的最大值等于__________． 解析：2　设＝a，＝b，＝c， 因为|a|＝1，|b|＝，a·b＝－， 所以cos∠AOB＝＝－⇒∠AOB＝150°， 又〈a－c，b－c〉＝30°， 所以cos∠ACB＝30°，所以点A，O，B，C共圆，如图所示． 要使|c|最大，即|OC|为直径，在△AOB中， 由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos∠AOB＝7⇒AB＝， 又由正弦定理得2R＝＝2， 即|c|的最大值等于2. 8．(2025·新疆联考期末)已知O为△ABC的外心，且＝λ＋(1－λ).若向量在向量上的投影向量为μ，其中μ∈[，]，则cos ∠AOC的取值范围为(　　) A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 解析：D　因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ，又因为O为△ABC的外心，所以△ABC为直角三角形且AB⊥AC，O为斜边BC的中点，过A作BC的垂线AQ，垂足为Q，如图所示． 因为在上的投影向量为μ， 所以在上的投影向量 ＝－＝μ－＝(μ－)， 又因为||＝||， 所以cos ∠AOC＝＝＝2μ－1， 因为μ∈[，]，所以2μ－1∈[，]， 即cos ∠AOC的取值范围为[，].故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的数量积 课前必备知识 课标要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量数量积与向量投影的关系.3.掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算.4.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.5.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 知识梳理 1．两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则__∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)__叫做向量a，b的夹角．特别地，当a与b夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作__a⊥b__． 2．向量数量积的定义 已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量__|a||b|cos_θ__叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝__|a||b|cos_θ__． 规定：0与任一向量的数量积为__0__． 3．向量数量积的几何意义 设两个非零向量a，b，它们的夹角是θ， e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，称上述变换为向量a向向量b__投影__，叫做向量a在向量b上的__投影向量__．记作|a|cos θe. 4．向量数量积的性质 a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ. (1)当a与b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a与b反向时，a·b＝__－|a||b|__；特别地，a·a＝__a2＝|a|2__或|a|＝____. (2)a·b＝0⇔__a⊥b__． (3)cos θ＝____． (4)|a·b|__≤__|a||b|. 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝__b·a__(交换律). (2)(λa)·b＝__λ(a·b)__＝__a·(λb)__(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__． 6．向量数量积的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__． (2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝__x2＋y2__，|a|＝____． (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝____，此为两点间的距离公式． (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__． (5)若a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝____． 常用结论 1．两个向量a，b的夹角为锐角a·b>0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角a·b<0且a，b不共线． 2．平面向量数量积的常用公式 (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 课前训练 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．(2025·海南校考阶段练习)已知a＝(2，1)，b＝(3，0)，则向量a在向量b方向上的投影向量为____________． 3．(教材母题必修习题6.3T2改编)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有(　　) A．F1，F3成90°角 B．F1，F3成150°角 C．F2，F3成90°角 D．F2，F3成60°角 4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且＝m＋，若||＝3，||＝4，则·的值为________． 课堂核心考点 考点1　向量的数量积 【例1】 (1)已知e是单位向量，且|2e－a|＝，a＋2e在e上的投影向量为5e，则a与e的夹角为(　　) A． B． C． D． (2)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，·＝6，＝3，则· ＝(　　) A．12 B．16 C．14 D．10 (3)已知向量||＝3，||＝2，＝(m－n)＋(2n－m－1)，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　) A． B． C． D． 求平面向量的数量积的基本方法：①利用定义a·b＝|a||b|cos θ；②利用基向量，结合向量的运算律；③利用向量的坐标运算． 变式探究 1．已知||＝，||＝，且，的夹角为，则在上的投影向量为(　　) A．－ B． C．－ D． 2．已知向量a，b的夹角为，|a|＝1，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋3b，＝2a－b，＝，则||＝(　　) A．2 B．2 C．2 D．6 3．在△ABC中，A＝，点D在线段AB上，点E在线段AC上，且满足2AD＝DB＝2，AE＝EC＝2，CD交BE于F，设＝a，＝b，则·＝________. 考点2　平面向量数量积的应用 【例2】 (1)如图，一条河的南北两岸平行．游船在静水中的航行速度v1的大小为10 km/h，水流的速度v2的大小为4 km/h，则游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则其航行速度的大小为(　　) A．2 km/h B．2 km/h C．2 km/h D．14 km/h (2)在△ABC中，·＋2＝0，·＝，则△ABC的形状为(　　) A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰(非直角)三角形 (3)(2025·湖南长沙三模)在△ABC中，已知2·＝||||＝32，B<C，则sin C＝________． (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝； ②|a±b|＝＝； ③若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)求平面向量夹角的方法： ①定义法：利用向量积的定义可知，cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|三个量或者找出这三个量之间的关系． ②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝. (3)注意：①夹角的范围为[0，π]；②计算模时，要特别注意|a|＝的应用，它能实现模与数量积的转化，是求距离的常用方法． 变式探究 4．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m，已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为(　　) A．24 J B．24 J C．24 J D．24 J 5．已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且，则点O为△ABC的________心． 6．(2025·黑龙江哈尔滨期中)如图，在△ABC中，＝2，E是AD的中点，若|AB|＝|AC|＝1，·＝－，则∠BAC的大小为________． 考点3　平面向量数量积的综合应用 【例3】 (1)如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是__________. (2)(2025·四川成都三模)已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是边AB，AD上的点(均不与端点重合)，记△AMN，△CMN的面积分别为S1，S2.若S1＝|·|·|·|，则S2的取值范围是(　　) A．[，) B．[－1，) C．[，) D．[－1，) (1)向量的数量积的综合问题，常常涉及平面向量的基本定理、向量数量积的定义及向量数量积的运算律等基础知识，要求有较强的运算求解能力． (2)向量数量积的计算有两个最基本的方法，其一是基向量法，其二是坐标法．当几何图形是特殊三角形或四边形时，一般通过建立平面直角坐标系的方法转化为向量的坐标运算． 变式探究 7．(2025·北京阶段练习)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝30°，则|c|的最大值等于__________． 8．(2025·新疆联考期末)已知O为△ABC的外心，且＝λ＋(1－λ).若向量在向量上的投影向量为μ，其中μ∈[，]，则cos ∠AOC的取值范围为(　　) A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 学科网（北京）股份有限公司 $