平面向量的数量积及其应用 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量数量积及其应用高考核心考点，涵盖定义、性质、运算律及夹角、垂直、模长、投影等应用，按“概念-性质-方法-应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导（基底法、坐标法、极化恒等式）、真题训练（6大题型）及分层练习，系统突破复习难点。 资料突出极化恒等式几何意义教学，结合基底法与坐标法对比应用，培养学生数学思维与数学语言表达能力。如模长计算例题采用公式法与几何法结合，助力快速解题，分层练习适配不同学生需求，为教师把控复习节奏提供支撑，有效提升学生应考能力。

2026年高考数学一轮复习 讲义：平面向量的数量积及其应用 知识点1 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景：在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角：已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质：设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==.②=0.③当与同向时，=；当与反向时，=-.特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.⑤=. (2)向量数量积的运算律：由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量，，和实数，有①交换律：=；②数乘结合律：()= ()=()；③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立.以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直：根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 知识点2 平面向量数量积的解题方法 1．平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 知识点3 数量积的两大应用 1．夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. 2．向量的模的求解思路： (1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； (2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； (3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 知识点4 向量数量积综合应用的方法和思想 1．向量数量积综合应用的三大解题方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. (3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用. 知识点5 极化恒等式 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得：. (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. (3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 【注】 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)；(2). 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π. 3．向量在向量上的投影向量为. 过关测试 【题型1 平面向量数量积的运算】 【例1-1】已知平面单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【例1-2】向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【例1-3】已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若向量，且，则实数（    ） A．2 B． C．18 D． 【变式1-2】设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【题型2 平面向量的夹角问题】 【例2-1】已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【例2-3】已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知平面向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量的模长】 【例3-1】已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【例3-2】若向量与的夹角为，且，则（   ） A．2 B． C． D．6 【例3-3】已知平面向量若，则 . 【变式3-1】已知，，且与的夹角，则（    ） A．13 B． C．37 D． 【变式3-2】若平面向量两两的夹角相等，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-3】已知向量，，且，则 . 【题型4 平面向量的垂直问题】 【例4-1】已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【例4-2】已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【变式4-2】已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式4-3】已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【题型5 平面向量的投影】 【例5-1】已知单位向量满足，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【例5-2】已知，且满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例5-3】在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型6 已知模求参数】 【例6】若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（    ） A． B．－ C． D．－ 【变式6-1】已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【变式6-2】已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 过关测试 1．已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 2．已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 3．已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 6．（多选）已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 7．中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 . 8．已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 课后练习 1．已知单位向量，满足，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，在方向上的投影向量为，且，则的值为（    ） A．4 B． C．16 D．48 3．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，则（    ） A． B．2 C． D．3 6．若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 7．若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，满足，，且，则 ． 9．已知向量的夹角为，且，求： (1); (2); (3)与夹角的余弦值. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 讲义：平面向量的数量积及其应用 知识点1 向量的数量积 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景：在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角：已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质：设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==.②=0.③当与同向时，=；当与反向时，=-.特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.⑤=. (2)向量数量积的运算律：由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量，，和实数，有①交换律：=；②数乘结合律：()= ()=()；③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立.以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直：根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 知识点2 平面向量数量积的解题方法 1．平面向量数量积的两种运算方法 (1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题； (2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解. 知识点3 数量积的两大应用 1．夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. 2．向量的模的求解思路： (1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； (2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； (3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 知识点4 向量数量积综合应用的方法和思想 1．向量数量积综合应用的三大解题方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解. (3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用. 知识点5 极化恒等式 1．极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得：. (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. (3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 【注】 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)；(2). 2．有关向量夹角的两个结论 (1)若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0. (2)若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π. 3．向量在向量上的投影向量为. 过关测试 【题型1 平面向量数量积的运算】 【例1-1】已知平面单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量垂直及运算律可得，进而求解即可. 【解答过程】由，则，即， 则. 故选：A． 【例1-2】向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由条件根据数量积的定义求，再结合数量积的运算律求. 【解答过程】因为，，向量与的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 【例1-3】已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据向量的数量积运算律运算即可. 【解答过程】由题得， 所以. 故选：A. 【变式1-1】若向量，且，则实数（    ） A．2 B． C．18 D． 【答案】B 【解题思路】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可． 【解答过程】因为向量， 所以，解得． 故选：B. 【变式1-2】设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【解答过程】由数量积的定义以及运算律直接计算即可求解. 【解答过程】设与的夹角为，则， 又，，所以， 所以． 故选：B. 【题型2 平面向量的夹角问题】 【例2-1】已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据数量积的运算及夹角公式得解. 【解答过程】因为，， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B. 故选：C. 【例2-2】向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据平面向量数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【解答过程】由两边平方得，即， 所以，又，所以. 故选：A. 【例2-3】已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】计算出，，，计算出，得到答案. 【解答过程】 ， 其中，故， ，故， 所以， 所以与夹角为. 故选：C. 【变式2-1】已知平面向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】对两边平方可得，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【解答过程】因为， 因为，， 所以，. 故选：D. 【变式2-2】已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解. 【解答过程】因为 ， ，， 又与的夹角为， 所以，即， 解得：. 故选：D. 【变式2-3】已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设向量与向量的夹角为，设，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即可求得答案. 【解答过程】设向量与向量的夹角为，, 设，则， 则， 与的夹角为，所以， 则，即， 可得,解得（舍）或， 则． 故选：A． 【题型3 平面向量的模长】 【例3-1】已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将题干条件平方处理，得出，然后对待求表达式也平方处理即可得解. 【解答过程】由，则， 解得，于是， 故. 故选：B. 【例3-2】若向量与的夹角为，且，则（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【解题思路】利用数量积求出后可得. 【解答过程】由题意得，, 故， 故选：C. 【例3-3】已知平面向量若，则 . 【答案】 【解题思路】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【解答过程】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 【变式3-1】已知，，且与的夹角，则（    ） A．13 B． C．37 D． 【解答过程】根据数量积的定义求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【解答过程】因为，，且与的夹角， 所以， 所以. 故选：D. 【变式3-2】若平面向量两两的夹角相等，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【解答过程】依题意可得，两两的夹角为或，按照此两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得出结果. 【解答过程】因为平面向量两两的夹角相等， 所以平面向量两两的夹角为或， 又因为 当夹角为时，即向量同向，则； 当夹角为时，即， ， ， 则. 综上所述，等于或. 故选：C. 【变式3-3】已知向量，，且，则 . 【答案】5 【解题思路】根据向量垂直的坐标公式列方程求参数，然后根据模的公式求解即可 【解答过程】因为向量，，且， 所以，解得， 故， 故 故答案为： 【题型4 平面向量的垂直问题】 【例4-1】已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】由题意有， 又因为， 所以， 故选：B. 【例4-2】已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【解答过程】利用平面向量数量积公式计算即可. 【解答过程】由题意知， 由知. 故选：D. 【变式4-1】已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. 【解答过程】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 【变式4-2】已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解题思路】利用向量数量积的运算律和数量积坐标公式计算即可. 【解答过程】因，，则，， 由可得，解得. 故选：D. 【变式4-3】已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解题思路】根据题意，求得，结合，列出方程，即可求解. 【解答过程】由向量，可得， 因为，可得， 即，解得. 故选：D. 【题型5 平面向量的投影】 【例5-1】已知单位向量满足，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据投影向量公式可求投影向量. 【解答过程】因为，故，故， 而在上的投影向量为， 故选：D. 【例5-2】已知，且满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】运用投影向量的概念，结合数量积运算计算即可. 【解答过程】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 【例5-3】在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【解答过程】以为基底向量表示，根据数量积结合投影向量的定义运算求解. 【解答过程】由题意可知：，，， 且， 则， ， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 【变式5-1】已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据已知条件利用模的平方求出数量积，再结合投影向量的定义即可求解. 【解答过程】由已知，且， 则， 解得， 故在上的投影向量是＝. 故选：B. 【变式5-2】已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】直接利用投影向量的计算公式进行计算即可. 【解答过程】由题意知，在上的投影向量为： . 故选：C. 【题型6 已知模求参数】 【例6】若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（    ） A． B．－ C． D．－ 【解答过程】根据，利用向量数量积的计算公式，展开计算求的值. 【解答过程】由题意可得：， ， 化简得，解得. 故选：B. 【变式6-1】已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【解答过程】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案. 【解答过程】因为，所以， 即，解得. 故选：A. 【变式6-2】已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【解答过程】先由题意结合向量垂直的表示得，再由题设两边平方计算即可得解. 【解答过程】由于与垂直， 所以 ，所以. 又由①，两边平方并化简得， 即，故，即或（不满足①，舍去）， 所以的值为. 故选：D. 过关测试 1．已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】法一：对，两边平方再开方计算可得答案；法二：由向量减法的几何意义和已知条件可得答案. 【解答过程】法一：， 即； 法二： 由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，， 则，，故. 故选：C. 2．已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量数量积的定义求两个向量的数量积. 【解答过程】因为 . 故选：B. 3．已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将已知条件平方，化简可得，利用该结论依次判断各个选项. 【解答过程】由于，则， 又由可得， 即，即， 对于选项，，故错误； 对于选项，由于，则，即， 所以，故正确； 对于选项，，故错误； 对于选项，，故错误． 故选：B． 4．已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求的值即可. 【解答过程】如图，以所在直线为轴，为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，， 则， 设，由得，， 所以 所以，所以， 所以. 故选：A. 5．已知不共线的向量，满足，，，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意，根据平面向量数量积的运算律可得，设，，进而知点C在直线上，点B直线上，结合计算即可求解. 【解答过程】由，得， 即，又， 整理得. 设，则， 设，则， 所以，即点C在直线上； 设，由，得，即点B直线上， 而的几何意义为直线上的点B到直线上的点C的距离， 所以， 即的最小值为. 故选：D. 6．（多选）已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】通过向量的数量积公式以及向量模长公式等进行计算和判断. 【解答过程】因为，且向量的夹角为， 对于选项A： ，则A错误； 对于选项B： 要使得，则它们的数量积为0. 即，则B正确； 对于选项C： 因为，则，则C错误； 对于选项D：因为， 所以，解得，则D正确． 故选：． 7．中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 . 【答案】； 【解题思路】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【解答过程】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 8．已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值； （3）由向平面向量的夹角公式即可求出. 【解答过程】（1）平面向量，满足，，． 所以， 解得，又， 可得向量，夹角的大小为． （2）， 所以． （3）， 因为，由（2）可得， 设向量与的夹角为，所以． 课后练习 1．已知单位向量，满足，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【解答过程】因为，即，解得， 设与的夹角为，则，又，所以， 即与的夹角等于. 故选：B. 2．已知向量，满足，在方向上的投影向量为，且，则的值为（    ） A．4 B． C．16 D．48 【解题思路】根据题意结合投影向量可得，再根据垂直关系可得，进而可求模长. 【解答过程】由题意可知：，即， 因为在方向上的投影向量为，可得， 又因为，则，可得， 则，所以. 故选：B. 3．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果. 【解答过程】根据题意可得， 所以，则 所以， 则在方向上的投影向量为. 故选：B. 4．已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由两边平方可得，结合投影向量的定义计算即可求解. 【解答过程】由，得， 即，整理可得， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B. 5．已知向量，则（    ） A． B．2 C． D．3 【解题思路】对两边平方化简可得，再对平方化简后再开方即可. 【解答过程】由两边平方得，， 所以， 所以 ， 所以， 故选：D. 6．若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【解题思路】由数量积的定义可求出，再由向量垂直的性质求解即可得出答案. 【解答过程】解：，是夹角为的两个单位向量， 则，， 因为与垂直， 则， 即，解得. 故选：A. 7．若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知条件，将两边同时平方，即可求解. 【解答过程】设向量夹角为， 两边平方得则， 又， 即，解得. 故选：A. 8．已知向量，，满足，，且，则 ． 【解题思路】根据已知条件依次求出、、，接着求出、和即可结合向量夹角余弦公式求解. 【解答过程】由题，故即， ，； ，故即， ，； ，故即， ，， 所以， 且，， 所以. 故答案为：. 9．已知向量的夹角为，且，求： (1); (2); (3)与夹角的余弦值. 【解题思路】（1）根据数量积的定义求解； （2）待求表达式平方后，结合（1）的结果求解； （3）结合（1）（2）的结果，运用夹角公式求解. 【解答过程】（1）根据数量积的定义，. （2）， 故 （3）由（1）（2）的结果，， 则. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $