平面向量的概念及线性运算讲义-2026届高三数学一轮复习

平面向量的概念及线性运算 课前必备知识 课标要求 1.了解向量的实际背景(力、速度、位移)，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示和基本要素.2.掌握向量的加、减法的运算，并理解其几何意义.3.掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的含义． 知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量的定义：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的__大小(叫做向量的模)__，有向线段的箭头所指的方向表示向量的__方向__． (2)两个特殊向量 __长度为0__的向量叫做零向量，记作0. __长度等于1个单位长度__的向量叫做单位向量． (3)平行向量(或共线向量) ①方向__相同或相反__的__非零__向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做__共线__向量． ②规定0与任意向量平行． ③长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量． 2．向量的线性运算 (1)向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ②法则：向量的加法有__三角形__法则和__平行四边形__法则． ③几何意义：如下图所示． ④运算律： a＋b＝__b＋a__； (a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__． (2)向量的减法 ①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__． ②法则：向量的减法符合三角形法则． ③几何意义：如下图所示． (3)向量的数乘运算 ①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下： (ⅰ)|λa|＝__|λ||a|__； (ⅱ)当λ>0时，λa的方向与a的方向__相同__； 当λ<0时，λa的方向与a的方向__相反__； 当λ＝0时，λa＝__0__． ②运算律 a，b，c为任意向量，λ，μ为实数． λ(μa)＝__(λμ)a__； (λ＋μ)a＝__λa＋μa__； λ(a＋b)＝__λa＋λb__． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__b＝λa__． 常用结论 1．在平行四边形中，如图： (1)若a，b为不共线的两个向量，则a＋b，a－b为以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量． (2)＝(a＋b). (3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2). 2．在△ABC中： (1)＝(＋＋)(向量式)⇔G是△ABC的重心． (2)G为△ABC的重心⇔＋＋＝0. (3)λ(＋)(λ≠0)所在直线(即∠BAC的平分线所在直线)过△ABC的内心． 3．共线的有关结论： (1)A，B，C三点共线⇔，共线． (2)＝x＋y(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则x＋y＝1. 4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 课前训练 1．下列关于向量的描述正确的是(　　) A．若向量a，b都是单位向量，则a＝b B．若向量a，b都是单位向量，则a·b＝1 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆 解析：D　对于A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同，均为1，方向不定，故向量a和b不一定相同，A错误； 对于B，因为a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ，由cos θ∈[－1，1]知，a·b＝1不一定成立，B错误； 对于C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，C错误； 对于D，因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，D正确．故选D. 2．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝__________. 解析：　因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则所以λ＝. 3．(教材母题必修习题6.3T1)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析：B　因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2， 即－＝2(－)， 所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B. 4．在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且＝，＝＋λ，则λ＝(　　) A． B． C． D． 解析：A　因为＝，所以＝，即＝2，又＝＋λ，所以＝＋2λ，因为点P是线段BD上一点，即B，P，D三点共线，所以＋2λ＝1，解得λ＝.故选A. 5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2＋＝2＋，则四边形ABCD的形状为__________. 解析：梯形　因为2＋＝2＋， 所以2(－)＝－，即2＝， 所以∥，且||＝||， 所以四边形ABCD是梯形． 课堂核心考点 考点1　平面向量的概念 【例1】 (1)以下说法中，正确说法的个数是(　　) ①|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关 ②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量 ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 ④单位向量都是共线向量 ⑤零向量的长度为 0，没有方向 A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(多选)下列关于平面向量的说法中正确的是(　　) A．已知a，b均为非零向量，则a∥b存在唯一的实数λ，使得b＝λa B．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 C．若a·c＝b·c且c≠0，则a＝b D．若点G为△ABC的重心，则＋＋＝0 解析：(1)C　①正确，|a|与|b|是模长，与方向无关； ②错误，共终点不代表共线，向量的方向是由起点和终点共同决定的； ③正确； ④错误，单位向量的定义只是模长为1，方向有无数种情况； ⑤错误，零向量也有方向，只是方向任意．故选C. (2)AD　对于A，若a，b均为非零向量，则a∥b存在唯一的实数λ，使得b＝λa，A正确； 对于B，若向量，共线，则点A，B，C，D在同一直线上，或A，B，C，D为平面四边形的四个顶点，B错误； 对于C，若a·c＝b·c且c≠0，则c·(a－b)＝0，不一定有a＝b，可能存在c⊥(a－b)，C错误； 对于D，点G为△ABC的重心，延长AG交BC于M，可得M为BC的中点，即有＝2＝2×(＋)＝＋，即为＋＋＝0，D正确．故选AD. 分析有关向量的概念问题，应注意向量有关概念的5个关键点：(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反．(3)单位向量：长度是一个单位长度．(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等向量：方向相同且长度相等． 变式探究 1．下列有关平面向量的命题正确的是(　　) A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a与b共线且模长相等，则a＝b C．若|a|>|b|且a与b方向相同，则a>b D．(λa)·b＝λ(a·b)＝(λb)·a恒成立 解析：D　对于A，取b＝0，满足a∥b，b∥c，但a，c不一定共线，A错误； 对于B，若a与b共线且模长相等，则a＝b或a＝－b，B错误； 对于C，任何两个向量不能比大小，C错误； 对于D，(λa)·b＝λ(a·b)＝(λb)·a恒成立，D正确．故选D. 2．(多选)给出下列命题，正确的有(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形 C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线 D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 解析：BC　零向量是有方向的，其方向是任意的，A错误； 因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形，B正确； 因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b反向共线时才成立，C正确； 当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线，D错误．故选BC. 考点2　平面向量的线性运算 【例2】 (1)在△ABC中，D是BC的中点，E在AD上，且＝2，则＝(　　) A．－ B．－＋ C．－ D．－＋ (2)(多选)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(　　) A．＝ B．＋＝＋ C．＝－ D．＝＋ (3)如图，点O是△ABC的重心，点D是边BC上一点，且＝4，＝m＋n，则＝(　　) A． B．－ C．－ D． 解析：(1)D　因为D是BC的中点， 所以＝＋. 因为＝2， 所以＝＝＋， 则＝－＝－＋.故选D. (2)AB　由题意知，E，F分别是CD边上的两个三等分点，且与方向相同，则＝，A正确； 由图可知，＋＝，＋＝，所以＋＝＋，B正确； －＝，C错误； ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，D错误．故选AB. (3)C　如图所示，延长AO交BC于E，已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，可得＝2，且＝(＋)，又由＝4，可得D是BC的四等分点， 则＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－＋， 因为＝m＋n， 所以m＝－，n＝， 所以＝－.故选C. 平面向量的线性表示应注意：(1)目标明确，注意寻找需要表示的向量与已知向量的联系；(2)构造三角形(平行四边形)，创造利用向量加法、减法及数乘向量的条件；(3)注意平面几何知识的运用，如利用三角形中位线定理、相似三角形的性质等． 变式探究 3．如图所示，在△ABC中，D为BC边上靠近点B的三等分点，若＝a，＝b，E为AD的中点，则＝(　　) A．－a＋b B．a＋b C．－a＋b D．a＋b 解析：A　＝－＝－＝(＋)－＝－＋(－)＝－＋＝－a＋b，故选A. 4．如图，在△ABC中，＝3，P为CD上一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　) A． B． C． D． 解析：B　已知P为CD上一点，设＝λ， 因为＝3，所以＝， 则由向量的加法与减法运算可得 ＝＋＝＋λ ＝＋λ(－) ＝(1－λ)＋λ ＝(1－λ)＋λ. 因为＝m＋， 所以解得故选B. 5．在△ABC中，＝，＝(＋)，点P为AE与BF的交点，＝λ＋μ，则λ－μ＝(　　) A．0 B． C． D． 解析：B　因为＝(＋)，所以F为AC的中点．又B，P，F三点共线，故可设＝k，即－＝k(－)， 整理得＝k＋(1－k)＝(1－k)＋k. 因为＝，所以－＝－，即＝＋， 又A，P，E三点共线，可得＝m＝m(＋)＝m＋m， 所以解得 所以＝＋，则λ＝，μ＝，故λ－μ＝.故选B. 考点3　向量共线定理及应用 【例3】 (1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D (2)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向共线，则实数λ的值为(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ (3)已知O，A，B，C是平面上的4个定点，A，B，C不共线，若点P满足＝＋λ(＋)，其中λ∈R，则点P的轨迹一定经过△ABC的(　　) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 解析：(1)A　依题意＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，＝＋＋＝3a＋6b＝3， 所以，共线，所以A，B，D三点共线，A正确． ＝＋＝－4a＋8b，则，不共线、，不共线，B、D错误． ＝＋＝2a＋4b，则，不共线，C错误．故选A. (2)A　因为c与d同向共线，所以存在μ(μ>0)使得c＝μd， 即λa＋b＝μ[a＋(2λ－1)b]＝μa＋μ(2λ－1)b， 又向量a，b不共线， 所以 解得λ＝－(舍去)或λ＝1.故选A. (3)A　如图，取线段BC的中点E，则＋＝2. 动点P满足：＝＋λ(＋)，λ∈R， 则－＝2λ，即＝2λ，所以∥， 又AP∩AE＝A，所以A，E，P三点共线，即点P的轨迹是直线AE，一定通过△ABC的重心．故选A. (1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点． A，B，C三点共线⇔，共线． (2)证明两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b＝λa(a为非零向量)，则a与b共线． (3)注意如下结论的运用：①若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.②＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 变式探究 6．(2025·黑龙江双鸭山一中高三校考)如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A．8 B．12 C．32 D．16 解析：C　因为＝，所以＝， 因为＝x＋y，所以＝x＋3y， 因为A，D，E三点共线，所以x＋3y＝1，x>0，y>0， 所以＋＝(＋)(x＋3y)＝20＋＋≥20＋2＝20＋12＝32， 当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，所以＋的最小值是32.故选C. 7．如图所示，O点在△ABC内部，D，E分别是AC，BC边的中点，且有＋2＋3＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为(　　) A． B． C． D． 解析：A　由＋2＋3＝0可得＋＝－2(＋)， 又因为D，E分别是AC，BC边的中点， 所以＋＝2，＋＝2， 所以2＝－4，即＝－2， 所以O，D，E三点共线，且＝，所以E到AC的距离与O到AC的距离之比也为， 又△AEC的面积与△AOC的面积都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为.故选A. 8．(多选)(2024·辽宁二模)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足＝＋＋，则(　　) A．O，P，G三点共线 B．＝2 C．2＝＋＋ D．点P在△ABC的内部 解析：AC　＝＋＋＝＋＋＋＋＋＝3＋＋＋， 因为点G为△ABC的重心，所以＋＋＝0，所以＝3， 所以O，P，G三点共线，A正确，B错误； ＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋＋)＋3， 因为＝＋＋， 所以(＋＋)＋3＝－＋3＝2， 即2＝＋＋，C正确； 因为＝3，所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，D错误．故选AC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的概念及线性运算 课前必备知识 课标要求 1.了解向量的实际背景(力、速度、位移)，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示和基本要素.2.掌握向量的加、减法的运算，并理解其几何意义.3.掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的含义． 知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量的定义：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的__大小(叫做向量的模)__，有向线段的箭头所指的方向表示向量的__方向__． (2)两个特殊向量 __长度为0__的向量叫做零向量，记作0. __长度等于1个单位长度__的向量叫做单位向量． (3)平行向量(或共线向量) ①方向__相同或相反__的__非零__向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做__共线__向量． ②规定0与任意向量平行． ③长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量． 2．向量的线性运算 (1)向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ②法则：向量的加法有__三角形__法则和__平行四边形__法则． ③几何意义：如下图所示． ④运算律： a＋b＝__b＋a__； (a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__． (2)向量的减法 ①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__． ②法则：向量的减法符合三角形法则． ③几何意义：如下图所示． (3)向量的数乘运算 ①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下： (ⅰ)|λa|＝__|λ||a|__； (ⅱ)当λ>0时，λa的方向与a的方向__相同__； 当λ<0时，λa的方向与a的方向__相反__； 当λ＝0时，λa＝__0__． ②运算律 a，b，c为任意向量，λ，μ为实数． λ(μa)＝__(λμ)a__； (λ＋μ)a＝__λa＋μa__； λ(a＋b)＝__λa＋λb__． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__b＝λa__． 常用结论 1．在平行四边形中，如图： (1)若a，b为不共线的两个向量，则a＋b，a－b为以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量． (2)＝(a＋b). (3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2). 2．在△ABC中： (1)＝(＋＋)(向量式)⇔G是△ABC的重心． (2)G为△ABC的重心⇔＋＋＝0. (3)λ(＋)(λ≠0)所在直线(即∠BAC的平分线所在直线)过△ABC的内心． 3．共线的有关结论： (1)A，B，C三点共线⇔，共线． (2)＝x＋y(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则x＋y＝1. 4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 课前训练 1．下列关于向量的描述正确的是(　　) A．若向量a，b都是单位向量，则a＝b B．若向量a，b都是单位向量，则a·b＝1 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆 2．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝__________. 3．(教材母题必修习题6.3T1)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 4．在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且＝，＝＋λ，则λ＝(　　) A． B． C． D． 5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2＋＝2＋，则四边形ABCD的形状为__________. 课堂核心考点 考点1　平面向量的概念 【例1】 (1)以下说法中，正确说法的个数是(　　) ①|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关 ②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量 ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 ④单位向量都是共线向量 ⑤零向量的长度为 0，没有方向 A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(多选)下列关于平面向量的说法中正确的是(　　) A．已知a，b均为非零向量，则a∥b存在唯一的实数λ，使得b＝λa B．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 C．若a·c＝b·c且c≠0，则a＝b D．若点G为△ABC的重心，则＋＋＝0 分析有关向量的概念问题，应注意向量有关概念的5个关键点：(1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反．(3)单位向量：长度是一个单位长度．(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等向量：方向相同且长度相等． 变式探究 1．下列有关平面向量的命题正确的是(　　) A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a与b共线且模长相等，则a＝b C．若|a|>|b|且a与b方向相同，则a>b D．(λa)·b＝λ(a·b)＝(λb)·a恒成立 2．(多选)给出下列命题，正确的有(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形 C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线 D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 考点2　平面向量的线性运算 【例2】 (1)在△ABC中，D是BC的中点，E在AD上，且＝2，则＝(　　) A．－ B．－＋ C．－ D．－＋ (2)(多选)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有(　　) A．＝ B．＋＝＋ C．＝－ D．＝＋ (3)如图，点O是△ABC的重心，点D是边BC上一点，且＝4，＝m＋n，则＝(　　) A． B．－ C．－ D． 平面向量的线性表示应注意：(1)目标明确，注意寻找需要表示的向量与已知向量的联系；(2)构造三角形(平行四边形)，创造利用向量加法、减法及数乘向量的条件；(3)注意平面几何知识的运用，如利用三角形中位线定理、相似三角形的性质等． 变式探究 3．如图所示，在△ABC中，D为BC边上靠近点B的三等分点，若＝a，＝b，E为AD的中点，则＝(　　) A．－a＋b B．a＋b C．－a＋b D．a＋b 4．如图，在△ABC中，＝3，P为CD上一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　) A． B． C． D． 5．在△ABC中，＝，＝(＋)，点P为AE与BF的交点，＝λ＋μ，则λ－μ＝(　　) A．0 B． C． D． 考点3　向量共线定理及应用 【例3】 (1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D (2)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向共线，则实数λ的值为(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ (3)已知O，A，B，C是平面上的4个定点，A，B，C不共线，若点P满足＝＋λ(＋)，其中λ∈R，则点P的轨迹一定经过△ABC的(　　) A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 (1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点． A，B，C三点共线⇔，共线． (2)证明两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b＝λa(a为非零向量)，则a与b共线． (3)注意如下结论的运用：①若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.②＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. 变式探究 6．(2025·黑龙江双鸭山一中高三校考)如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A．8 B．12 C．32 D．16 7．如图所示，O点在△ABC内部，D，E分别是AC，BC边的中点，且有＋2＋3＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为(　　) A． B． C． D． 8．(多选)(2024·辽宁二模)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足＝＋＋，则(　　) A．O，P，G三点共线 B．＝2 C．2＝＋＋ D．点P在△ABC的内部 学科网（北京）股份有限公司 $