复数及其运算讲义-2026届高三数学一轮复习

复数及其运算 课前必备知识 课标要求 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 知识梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如__a＋bi__的数叫做复数，其中__a__为实部，__b__为虚部，i是__虚数__单位，且满足i2＝__－1__，全体复数组成的集合C叫做__复数集__． (2)复数的分类： ①a＋bi(a，b∈R)为实数⇔__b＝0__； ②a＋bi(a，b∈R)为虚数⇔__b≠0__； ③a＋bi(a，b∈R)为纯虚数⇔__a＝0，且b≠0__． (3)复数相等的充要条件： a＋bi＝c＋di⇔__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R). 特别地，a＋bi＝0⇔__a＝b＝0__(a，b∈R). 2．复数的几何意义 (1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__实__轴，y轴叫做__虚__轴． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点__Z(a，b)__及平面向量＝__(a，b)__是一一对应关系． (3)复数的模：对应复数z的向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|. |z|＝|a＋bi|＝____． 3．共轭复数 (1)定义：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__共轭复数__，复数z的共轭复数用____表示． (2)代数形式：a＋bi与a－bi互为共轭复数(a，b∈R)，即z＝a＋bi⇔＝__a－bi__． (3)几何意义：非零复数z1，z2互为共轭复数⇔它们的对应点Z1，Z2(或向量，)关于__实轴__对称． 4．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). 运　算 运算法则 加减法 z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di) ＝__(a±c)＋(b±d)i__ 乘　法 z1z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__ 除　法 ＝＝__＋i__ (2)复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义 若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的__对角线__所对应的复数． ②复数减法的几何意义 复数z1－z2是连接，的__终点__所对应的向量，并指向__被减数z1所对应的点Z1__所对应的复数． ③复平面内的两点间的距离公式d＝__|z1－z2|__． 其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1与Z2的距离． 常用结论 复数的三角形式 (1)任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)，我们把z＝r(cos θ＋isin θ)叫复数的三角形式． (2)复数乘、除运算的三角表示： 已知复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，＝[cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2) 课前训练 1．(教材母题必修7.1.2练习T2)复数z＝－2＋i所对应的点位于复平面的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：B　z＝－2＋i的实部为－2、虚部为1，在复平面上对应点的坐标为(－2，1)，位于第二象限．故选B. 2．(教材母题必修习题7.1T2)已知m∈R，若复数z＝m2＋m－2－(m－1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则m＝(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．2 解析：B　已知复数z＝m2＋m－2－(m－1)i是纯虚数，则m2＋m－2＝0且m－1≠0，得m＝－2.故选B. 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 解析：C　若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C. 4．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：C　因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C. 5．(2023·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：C　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 课堂核心考点 考点1　复数的概念 【例1】 (1)已知a∈R，若复数z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，则复数a－i在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2025·江苏苏州模拟预测)设z＝a＋bi(a，b∈R)(i为虚数单位)为复数，则下列说法正确的是(　　) A．若z是纯虚数，则a＝0或b≠0 B．复数z模长的平方值等于复数z的平方值 C．若z的模长为1，则|z＋i|的最大值为2 D．若|z－1|＝1，则0<|z|≤2 解析：(1)D　因为z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数， 所以解得a＝1， 所以复数a－i＝1－i，其在复平面内对应的点(1，－1)在第四象限，故选D. (2)C　对于A，若z是纯虚数，则a＝0且b≠0，A错误； 对于B，取z＝1＋i，则|z|2＝1＋1＝2，z2＝(1＋i)2＝2i，则|z|2≠z2，B错误； 对于C，因为|z|＝1，则|z＋i|≤|z|＋|i|＝2，当且仅当z＝i时，等号成立，即|z＋i|的最大值为2，C正确； 对于D，因为|z－1|＝1，设z－1＝cos θ＋isin θ，则z＝1＋cos θ＋isin θ，所以|z|＝＝∈[0，2]，D错误．故选C. (1)本题主要考查了复数的实部、虚部，复数的模，共轭复数等概念，考查了复数的基本运算． (2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算把复数化为a＋bi的形式，然后从定义出发，把复数问题转化为实数问题来处理． (3)判断一个与复数有关的命题为真，需要利用复数相关的知识进行证明，而要判断为假时，只需要举出反例即可． 变式探究 1．已知复数z＝(a－3i)(3＋2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7，则实数a的值为(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 解析：C　z＝(a－3i)(3＋2i)＝3a＋2ai－9i－6i2＝3a＋6＋(2a－9)i，所以复数z的实部与虚部分别为3a＋6，2a－9，于是3a＋6＋2a－9＝7，解得a＝2，故选C. 2．设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i 解析：C　设z＝a＋bi，则＝a－bi， 则2(z＋)＋3(z－)＝4a＋6bi＝4＋6i， 所以解得a＝b＝1，因此z＝1＋i.故选C. 3．(2024·湖南衡阳三模)已知1－2i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(其中p，q为实数)的一个根，则p－q的值为________． 解析：－7　(方法1)由已知可得(1－2i)2＋p(1－2i)＋q＝0，即(p＋q－3)－(4＋2p)i＝0， 所以解得所以p－q＝－7. (方法2)因为1－2i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(其中p，q为实数)的一个根， 所以1＋2i也是该方程的一个根， 由韦达定理得 解得所以p－q＝－7. 考点2　复数的四则运算 【例2】 (1)(2025·江西赣州一模)已知i为虚数单位，＝2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝(　　) A．1 B． C．2 D．4 (2)(2025·广东茂名期中)已知复数z满足z(1－i)＝2，则|z|·＝(　　) A．＋ B．－i C．－i D．＋i (3)若复数z＝，则z＋z2＋z3＋…＋z99＝(　　) A．－1 B．1 C．－1＋i D．1－i 解析：(1)B　由＝2＋bi可得3＋ai＝(2＋bi)(1－i)＝(2＋b)＋(b－2)i， 则解得 则|a＋bi|＝|－1＋i|＝.故选B. (2)C　因为复数z满足z(1－i)＝2， 所以z＝＝＝＋i，所以|z|＝＝1，＝－i，则|z|·＝－i.故选C. (3)A　因为z＝＝ ＝＝i， 又i＋i2＋i3＋i4＝0， 所以z＋z2＋z3＋…＋z99 ＝i＋i2＋i3＋i4＋…＋i93＋i94＋i95＋i96＋i97＋i98＋i99 ＝(i＋i2＋i3＋i4)＋…＋(i93＋i94＋i95＋i96)＋i97＋i98＋i99 ＝i97＋i98＋i99 ＝i＋i2＋i3＝－1.故选A. (1)复数的四则运算的解题策略 ①复数的加减乘法可类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． ②复数的乘、除运算可以互相转化，运算时，要根据题目特点合理转化． (2)几个常用结论 在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度． ①(1±i)2＝±2i；＝i，＝－i. ②i(a＋bi)＝－b＋ai. ③i2＝－1，i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0，n∈N*. 变式探究 4．已知i为虚数单位，复数z满足(3＋4i)z＝25，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　已知(3＋4i)z＝25， 则z＝＝＝3－4i. 故z在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限，故选D. 5．已知复数z满足(z＋i)(1＋i)＝2－i，其中i为虚数单位，则z＝______，|z|＝______. 解析：－i　　由题意得z＝－i＝－i＝－i－i＝－i， 所以|z|＝＝. 6．(2025·广东广州模拟)已知(1＋i)z＝4i，z是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0(其中m，n为实数)的一个根，则mn＝________． 解析：－32　由题意得 z＝＝＝2＋2i，＝2－2i. (方法1)将z代入方程有(2＋2i)2＋m(2＋2i)＋n＝0，化简得2m＋n＋(8＋2m)i＝0. 所以解得所以mn＝－32. (方法2)因为z，都是方程的根，由韦达定理有m＝－(z＋)＝－4，n＝z＝8， 所以mn＝－32. 考点3　复数的几何意义 【例3】 (1)复平面内A，B，C三点所对应的复数分别为1－i，2－i，3＋i，若四边形ABCD为平行四边形，则点D对应的复数为(　　) A．2 B．2＋i C．1 D．1＋i (2)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________. (3)(多选)已知复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，则(　　) A．若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥ B．若(＋)⊥(－)，则|z1|＝|z2| C．若z1与z2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z1z2＝|z1z2| D．若|z1|＝|z2|，则z＝z 解析：(1)B　由题意知A，B，C三点的坐标为A(1，－1)，B(2，－1)，C(3，1)，设复平面内点D(x，y)，则＝(1，0)，＝(3－x，1－y)，又四边形ABCD是复平面内的平行四边形，则＝，则解得则D(2，1).故选B. (2)2　设z1，z2在复平面内对应的向量分别为，. 由题意知||＝||＝2，|＋|＝|＋i|＝2， 则以，为邻边的平行四边形为菱形，且∠Z2OZ1＝120°，如图所示， 则|z1－z2|＝|－|＝2. (3)ABC　因为 |z1＋z2|＝|z1－z2|， 所|＋|＝|－|， 则|＋|2＝|－|2， 即4·＝0，则⊥，A正确； 因为(＋)⊥(－)， 所以(＋)·(－)＝0， 即2＝2，则|z1|＝|z2|，B正确； 设z1＝a＋bi(a，b∈R)， 因为z1与z2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z2＝a－bi(a，b∈R)， 所以z1z2＝a2＋b2，|z1z2|＝a2＋b2，则z1z2＝|z1z2|，C正确； 设z1＝1＋i，z2＝1－i满足|z1|＝|z2|，而z≠z，D错误． (1)复平面内的点、向量与复数之间可以建立一一对应关系，这是复数的几何意义． (2)复数加、减法的几何意义就是对应的向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则).在解题时，要充分理解几何意义的本质，明确向量对应的复数与某一点对应的复数的异同． 变式探究 7．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，z1－z2＝－＋i，则|z1＋z2|＝(　　) A．1 B． C． D． 解析：D　由题设，|z1－z2|2＝(z1－z2)·(1－2)＝z11－z21－z12＋z22＝1， 又|z1|＝|z2|＝1，所以z21＋z12＝1， 而|z1＋z2|2＝(z1＋z2)(1＋2)＝z11＋z21＋z12＋z22，所以|z1＋z2|2＝3， 故|z1＋z2|＝.故选D. 8．已知z1，z2∈C，且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：C　设z1＝a＋bi(a，b∈R)，|z1|＝1， 故a2＋b2＝1，z1＋z2＝2i，则z2＝－a＋(2－b)i， |z1－z2|＝|2a＋(2b－2)i| ＝ ＝＝， 由b∈[－1，1]，当b＝－1时，|z1－z2|有最大值4.故选C. 9．(多选)已知z1，z2∈C，且|z1|＝，|z1＋z2|＝10，则(　　) A．当z1＝1－i，z2＝x＋yi(x，y∈R)时，必有(x＋1)2＋(y－1)2＝10 B．复数z1在复平面内所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆 C．|z1－i|min＝1＋ D．||max＝1＋5 解析：BD　|z1＋z2|＝10(x＋1)2＋(y－1)2＝100，A错误； 因为|z1|＝，故B正确； |z1－i|≥||z1|－|i||＝－1，当z1与i对应的向量同向时取等号，C错误； ||＝＝ ≤＝＝1＋5， 当z1＋z2与z1对应的向量反向时取等号，D正确．故选BD. 考点4　复数三角形式及应用 【例4】 (1)在复平面内，O为坐标原点，复数z对应的点为Z(1，0)，将向量按逆时针方向旋转30°得到，则对应的复数z′为(　　) A．＋i B．＋i C．－i D．－i (2)4(cos π＋isin π)÷2(cos ＋isin )＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：(1)A　设z'＝a＋bi，由题意知，a＝cos 30°＝，b＝sin 30°＝，所以z′＝＋i，故选A. (2)C　4(cos π＋isin π)÷2(cos ＋isin )＝2[cos (π－)＋isin (π－)]＝2(cos ＋isin )＝－1＋i，故选C. 复数三角形式的乘、除运算一般步骤： (1)化(确认)复数表示的形式为“标准式”z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0)； (2)依据复数三角形式的乘、除运算的运算法则进行计算； (3)整理化简． 变式探究 10．将复数3(cos ＋isin )化为代数形式为________________. 解析：－＋i　由题得3(cos ＋isin )＝3(－＋i)＝－＋i. 11．(cos 75°＋isin 75°)×(－i)9＝(　　) A．＋i B．－i C．＋i D．－i 解析：A　(－i)9 ＝[(－i)2×(－i)2]2×(－i) ＝[(－i－)×(－i－)]2×(－i) ＝－i， (cos 75°＋isin 75°)×(－i) ＝(cos 75°＋isin 75°)×(cos 315°＋isin 315°) ＝cos (75°＋315°)＋isin (75°＋315°) ＝cos 390°＋isin 390°＝cos 30°＋isin 30° ＝＋i，故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 复数及其运算 课前必备知识 课标要求 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 知识梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如__a＋bi__的数叫做复数，其中__a__为实部，__b__为虚部，i是__虚数__单位，且满足i2＝__－1__，全体复数组成的集合C叫做__复数集__． (2)复数的分类： ①a＋bi(a，b∈R)为实数⇔__b＝0__； ②a＋bi(a，b∈R)为虚数⇔__b≠0__； ③a＋bi(a，b∈R)为纯虚数⇔__a＝0，且b≠0__． (3)复数相等的充要条件： a＋bi＝c＋di⇔__a＝c且b＝d__(a，b，c，d∈R). 特别地，a＋bi＝0⇔__a＝b＝0__(a，b∈R). 2．复数的几何意义 (1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__实__轴，y轴叫做__虚__轴． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点__Z(a，b)__及平面向量＝__(a，b)__是一一对应关系． (3)复数的模：对应复数z的向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|. |z|＝|a＋bi|＝____． 3．共轭复数 (1)定义：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__共轭复数__，复数z的共轭复数用____表示． (2)代数形式：a＋bi与a－bi互为共轭复数(a，b∈R)，即z＝a＋bi⇔＝__a－bi__． (3)几何意义：非零复数z1，z2互为共轭复数⇔它们的对应点Z1，Z2(或向量，)关于__实轴__对称． 4．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). 运　算 运算法则 加减法 z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di) ＝__(a±c)＋(b±d)i__ 乘　法 z1z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__ 除　法 ＝＝__＋i__ (2)复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义 若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的__对角线__所对应的复数． ②复数减法的几何意义 复数z1－z2是连接，的__终点__所对应的向量，并指向__被减数z1所对应的点Z1__所对应的复数． ③复平面内的两点间的距离公式d＝__|z1－z2|__． 其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1与Z2的距离． 常用结论 复数的三角形式 (1)任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)，我们把z＝r(cos θ＋isin θ)叫复数的三角形式． (2)复数乘、除运算的三角表示： 已知复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，＝[cos (θ1－θ2)＋isin (θ1－θ2) 课前训练 1．(教材母题必修7.1.2练习T2)复数z＝－2＋i所对应的点位于复平面的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．(教材母题必修习题7.1T2)已知m∈R，若复数z＝m2＋m－2－(m－1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则m＝(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．2 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 4．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 5．(2023·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 课堂核心考点 考点1　复数的概念 【例1】 (1)已知a∈R，若复数z＝a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，则复数a－i在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2025·江苏苏州模拟预测)设z＝a＋bi(a，b∈R)(i为虚数单位)为复数，则下列说法正确的是(　　) A．若z是纯虚数，则a＝0或b≠0 B．复数z模长的平方值等于复数z的平方值 C．若z的模长为1，则|z＋i|的最大值为2 D．若|z－1|＝1，则0<|z|≤2 (1)本题主要考查了复数的实部、虚部，复数的模，共轭复数等概念，考查了复数的基本运算． (2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算把复数化为a＋bi的形式，然后从定义出发，把复数问题转化为实数问题来处理． (3)判断一个与复数有关的命题为真，需要利用复数相关的知识进行证明，而要判断为假时，只需要举出反例即可． 变式探究 1．已知复数z＝(a－3i)(3＋2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7，则实数a的值为(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 2．设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i 3．(2024·湖南衡阳三模)已知1－2i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(其中p，q为实数)的一个根，则p－q的值为________． 考点2　复数的四则运算 【例2】 (1)(2025·江西赣州一模)已知i为虚数单位，＝2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝(　　) A．1 B． C．2 D．4 (2)(2025·广东茂名期中)已知复数z满足z(1－i)＝2，则|z|·＝(　　) A．＋ B．－i C．－i D．＋i (3)若复数z＝，则z＋z2＋z3＋…＋z99＝(　　) A．－1 B．1 C．－1＋i D．1－i (1)复数的四则运算的解题策略 ①复数的加减乘法可类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． ②复数的乘、除运算可以互相转化，运算时，要根据题目特点合理转化． (2)几个常用结论 在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度． ①(1±i)2＝±2i；＝i，＝－i. ②i(a＋bi)＝－b＋ai. ③i2＝－1，i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0，n∈N*. 变式探究 4．已知i为虚数单位，复数z满足(3＋4i)z＝25，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知复数z满足(z＋i)(1＋i)＝2－i，其中i为虚数单位，则z＝______，|z|＝______. 6．(2025·广东广州模拟)已知(1＋i)z＝4i，z是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0(其中m，n为实数)的一个根，则mn＝________． 考点3　复数的几何意义 【例3】 (1)复平面内A，B，C三点所对应的复数分别为1－i，2－i，3＋i，若四边形ABCD为平行四边形，则点D对应的复数为(　　) A．2 B．2＋i C．1 D．1＋i (2)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________. (3)(多选)已知复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，则(　　) A．若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥ B．若(＋)⊥(－)，则|z1|＝|z2| C．若z1与z2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z1z2＝|z1z2| D．若|z1|＝|z2|，则z＝z (1)复平面内的点、向量与复数之间可以建立一一对应关系，这是复数的几何意义． (2)复数加、减法的几何意义就是对应的向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则).在解题时，要充分理解几何意义的本质，明确向量对应的复数与某一点对应的复数的异同． 变式探究 7．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，z1－z2＝－＋i，则|z1＋z2|＝(　　) A．1 B． C． D． 8．已知z1，z2∈C，且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 9．(多选)已知z1，z2∈C，且|z1|＝，|z1＋z2|＝10，则(　　) A．当z1＝1－i，z2＝x＋yi(x，y∈R)时，必有(x＋1)2＋(y－1)2＝10 B．复数z1在复平面内所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆 C．|z1－i|min＝1＋ D．||max＝1＋5 考点4　复数三角形式及应用 【例4】 (1)在复平面内，O为坐标原点，复数z对应的点为Z(1，0)，将向量按逆时针方向旋转30°得到，则对应的复数z′为(　　) A．＋i B．＋i C．－i D．－i (2)4(cos π＋isin π)÷2(cos ＋isin )＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 复数三角形式的乘、除运算一般步骤： (1)化(确认)复数表示的形式为“标准式”z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0)； (2)依据复数三角形式的乘、除运算的运算法则进行计算； (3)整理化简． 变式探究 10．将复数3(cos ＋isin )化为代数形式为________________. 学科网（北京）股份有限公司 $